復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)合復(fù)合(fh)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)第一頁(yè)，共25頁(yè)。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): :基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)(hnsh)(hnsh)的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)公式數(shù)公式第1頁(yè)/共24頁(yè)第二頁(yè)，共25頁(yè)。第2頁(yè)/共24頁(yè)第三頁(yè)，共25頁(yè)。高考鏈接高考鏈接0 x (2008海南寧夏文海南寧夏文)設(shè)設(shè) ,若若( )lnf xxx則則 （ ） A. B. C. D. 0()2,fx2eeln22ln2Ba121-21A.1 B C D2axy 062 yx(2008全國(guó)全國(guó)卷文卷文)設(shè)曲線設(shè)曲線a在點(diǎn)（在點(diǎn)（1, )處的切線與直線處的切線與直線平行平行,則則( )A第3頁(yè)/共24頁(yè)第四頁(yè)，共25頁(yè)。例例5:在曲線在曲線y=x3-

2、6x2-x+6上上,求斜率最小的切線求斜率最小的切線(qixin)所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn),并證明曲線關(guān)于此點(diǎn)對(duì)稱并證明曲線關(guān)于此點(diǎn)對(duì)稱.例題例題(lt)選講選講解解: ,故當(dāng)故當(dāng)x=2時(shí)時(shí), 有最小值有最小值.1323112322)(xxxyy 即當(dāng)即當(dāng)x=2時(shí)時(shí),y= -12,故斜率故斜率(xil)最小的切線所最小的切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為A(2,-12).第4頁(yè)/共24頁(yè)第五頁(yè)，共25頁(yè)。一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)(fx)與引入：與引入： 如如: 求函數(shù)求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 我們可以把平方式我們可以把平方式(fngsh)展開展開,利用導(dǎo)數(shù)的四利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)則運(yùn)算法則算法則

3、,再求導(dǎo)再求導(dǎo).思考思考: 能否用其它能否用其它(qt)的辦法求導(dǎo)呢的辦法求導(dǎo)呢? 又如我們知道函數(shù)又如我們知道函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是 ,那么函數(shù)那么函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)又是什么呢的導(dǎo)數(shù)又是什么呢?21xy 32xy3231)(xy第5頁(yè)/共24頁(yè)第六頁(yè)，共25頁(yè)。一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)(fx)與與引入：引入： 為了解決上面的問題為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則數(shù)的運(yùn)算法則,這就是復(fù)合函數(shù)這就是復(fù)合函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 如如:求函數(shù)求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),我們就可以令我們就可以令 y=u2,u=3x-2,則則 從而從而 ., 3,2 xuuuy結(jié)果

4、結(jié)果(ji gu)(ji gu)與用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得的結(jié)果與用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得的結(jié)果(ji gu)(ji gu)一致一致. .第6頁(yè)/共24頁(yè)第七頁(yè)，共25頁(yè)。二、新課二、新課復(fù)合復(fù)合(fh)函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)(hnsh)的概念的概念: 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y= f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是是中間變量中間變量u的函數(shù)的函數(shù), u= (x)是自變量是自變量x的函數(shù)的函數(shù),則則稱稱y= f (x)是自變量是自變量x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù).2.復(fù)合復(fù)合(fh)函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ,函數(shù)函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)

5、在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ,則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)處也有導(dǎo)數(shù),且且 或記或記第7頁(yè)/共24頁(yè)第八頁(yè)，共25頁(yè)。 在書寫時(shí)不要把在書寫時(shí)不要把 寫成寫成 ,兩兩者是不完全一樣者是不完全一樣(yyng)的的,前者表示對(duì)自變量前者表示對(duì)自變量x的求導(dǎo)的求導(dǎo),而后者是對(duì)中間變量而后者是對(duì)中間變量 的求導(dǎo)的求導(dǎo).注意注意(zh y):第8頁(yè)/共24頁(yè)第九頁(yè)，共25頁(yè)。3.復(fù)合復(fù)合(fh)函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則: 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間等于已知函數(shù)對(duì)中間(zhngjin)變量的導(dǎo)數(shù)變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間乘以中間(zhngji

6、n)變量對(duì)變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)自變量的導(dǎo)數(shù).法則法則(fz)可以推廣到兩個(gè)以上的中間變可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量量. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,合理選定中間變量合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個(gè)變量明確求導(dǎo)過程中每次是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),一般地一般地,如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo),就不必再選中間變量就不必再選中間變量. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則要復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則要有機(jī)的結(jié)合和綜合的運(yùn)用有機(jī)的結(jié)合和綜合的運(yùn)用.要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)要通過求一些初等

7、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.第9頁(yè)/共24頁(yè)第十頁(yè)，共25頁(yè)。三、例題三、例題(lt)選選講：講：例例1: 求下列求下列(xili)函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù):解解: (1) 設(shè)設(shè)y=u5,u=2x+1, 則則:第10頁(yè)/共24頁(yè)第十一頁(yè)，共25頁(yè)。4)31(1)2(xy 解解: ,設(shè)設(shè)y=u-4,u=1-3x,則則:42)sin1()3(xy 解解: ,設(shè)設(shè)y=u-4,u=1+v2,v=sinx,說(shuō)明說(shuō)明: : 在對(duì)法則的運(yùn)用熟練在對(duì)法則的運(yùn)用熟練(shlin)(shlin)后后, ,就不必再寫中間就不必再寫中間步驟步驟. .三、例題三、例題(lt)選選講：

8、講：第11頁(yè)/共24頁(yè)第十二頁(yè)，共25頁(yè)。隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)(linx)求下列求下列(xili)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3) y=(3x+2)第12頁(yè)/共24頁(yè)第十三頁(yè)，共25頁(yè)。練習(xí)練習(xí)(linx)1:求下列函數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù): 答案答案:課本課本(kbn): P25 1,2第13頁(yè)/共24頁(yè)第十四頁(yè)，共25頁(yè)。例例2: 設(shè)設(shè)f(x)可導(dǎo)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x2); (2)f( ); (3)f(sin2x)+f(cos2x)解解: 三、例題三、例題(lt)選選講：講：第14頁(yè)/共24頁(yè)第十五頁(yè)，共25頁(yè)。四、小結(jié)四、小結(jié)(xioji)： 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

9、法則來(lái)求導(dǎo)數(shù)時(shí)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)求導(dǎo)數(shù)時(shí),選擇中間變量選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵(gunjin).必須正確分析復(fù)合函必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其分清其間的復(fù)合關(guān)系間的復(fù)合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體體,這個(gè)暫時(shí)的整體這個(gè)暫時(shí)的整體,就是中間變量就是中間變量.求導(dǎo)時(shí)需要記住中間求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量變量,注意逐層求導(dǎo)注意逐層求導(dǎo),不遺漏不遺漏,而其中特別要注意中間變量而其中特別要注意中間變量的系數(shù)的系數(shù),求導(dǎo)后求導(dǎo)后,要把中間變量轉(zhuǎn)

10、換成自變量的函數(shù)要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).第15頁(yè)/共24頁(yè)第十六頁(yè)，共25頁(yè)。例例3:如果如果(rgu)圓的半徑以圓的半徑以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圓半徑求圓半徑R= 10cm時(shí)時(shí),圓面積增加的速度圓面積增加的速度.解解:由已知知由已知知:圓半徑圓半徑R=R(t),且且 = 2cm/s.又圓面積又圓面積S=R2,所以所以=40(cm)2/s.故圓面積增加故圓面積增加(zngji)的速度為的速度為40(cm)2/s.例例4:在曲線在曲線 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn),使通過該點(diǎn)的切線平行于使通過該點(diǎn)的切線平行于 x軸軸,并求此切線的方程并求此切線的方程.解解:設(shè)所求點(diǎn)為設(shè)所求點(diǎn)為P(x

11、0,y0).則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義(yy)知知:切線斜率切線斜率把把x0=0代入曲線方程得代入曲線方程得:y0=1.所以點(diǎn)所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,1),切線方程為切線方程為y-1=0.第16頁(yè)/共24頁(yè)第十七頁(yè)，共25頁(yè)。例例5:求證雙曲線求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓與橢圓(tuyun)C2:4x2+9y2=72在交在交 點(diǎn)處的切線互相垂直點(diǎn)處的切線互相垂直.證證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(duchn),故只需證故只需證明其中一明其中一 個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直即可個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直即可.聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限聯(lián)立兩曲線方程解得

12、第一象限(xingxin)的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為P(3,2),不妨不妨證明過證明過P點(diǎn)的兩條切線互相垂直點(diǎn)的兩條切線互相垂直.由于點(diǎn)由于點(diǎn)P在第一象限在第一象限,故由故由x2-y2=5得得同理由同理由4x2+9y2=72得得因?yàn)橐驗(yàn)閗1k2=-1,所以兩條切線互相垂直所以兩條切線互相垂直.從而命題成立從而命題成立.第17頁(yè)/共24頁(yè)第十八頁(yè)，共25頁(yè)。 我們?cè)?jīng)利用我們?cè)?jīng)利用(lyng)導(dǎo)數(shù)的定義證明過這樣的一個(gè)結(jié)論導(dǎo)數(shù)的定義證明過這樣的一個(gè)結(jié)論:“可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在我們利用現(xiàn)在我們利用(lyn

13、g)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以證明復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以證明:證證:當(dāng)當(dāng)f(x)為為可導(dǎo)的偶函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)時(shí)時(shí),則則f(-x)=f(x).兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得: ,故故 為為 奇函數(shù)奇函數(shù).同理可證另一個(gè)同理可證另一個(gè)(y )命題命題. 我們還可以證明類似我們還可以證明類似(li s)的一個(gè)結(jié)論的一個(gè)結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)函數(shù)也是周期函數(shù).證證:設(shè)設(shè)f(x)為為可導(dǎo)的周期函數(shù)可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個(gè)為其一個(gè)周期周期,則對(duì)定義則對(duì)定義 域內(nèi)的每一個(gè)域內(nèi)的每一個(gè)x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得: 即即 也是

14、以也是以T為為周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù).第18頁(yè)/共24頁(yè)第十九頁(yè)，共25頁(yè)。例例7:求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).說(shuō)明說(shuō)明:這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達(dá)先根據(jù)各段的函數(shù)表達(dá) 式式,求出在各可導(dǎo)求出在各可導(dǎo)(開開)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后再用然后再用 定義定義(dngy)來(lái)討論分段點(diǎn)的可導(dǎo)性來(lái)討論分段點(diǎn)的可導(dǎo)性.解解:當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí), .又又 ,故故f(x)在在x=1處連續(xù)處連續(xù).而而從而從而(cng r)f(x)在在x=1處處不可導(dǎo)不可導(dǎo).第19頁(yè)/共24頁(yè)第二十頁(yè)，共25頁(yè)。 在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點(diǎn)的切線在上面的例子中涉及到

15、了二次曲線在某點(diǎn)的切線問題問題(wnt),但在上面的解法中回避了點(diǎn)在第二、三、四象但在上面的解法中回避了點(diǎn)在第二、三、四象限限的情況的情況.可能有同學(xué)會(huì)提出對(duì)于二次曲線在任意點(diǎn)的切線怎可能有同學(xué)會(huì)提出對(duì)于二次曲線在任意點(diǎn)的切線怎樣求的問題樣求的問題(wnt),由于它涉及到隱函數(shù)的求導(dǎo)問題由于它涉及到隱函數(shù)的求導(dǎo)問題(wnt).我們不便去過多的去研究我們不便去過多的去研究. 下面舉一個(gè)例子使同學(xué)們了解下面舉一個(gè)例子使同學(xué)們了解(lioji)一下求一般曲線在任意一下求一般曲線在任意點(diǎn)的切線的方法點(diǎn)的切線的方法.(說(shuō)明說(shuō)明:這個(gè)內(nèi)容不屬于考查范圍這個(gè)內(nèi)容不屬于考查范圍.)例子例子:求橢圓求橢圓 在點(diǎn)

16、在點(diǎn) 處的切線方程處的切線方程.解解:對(duì)橢圓方程的兩邊分別求導(dǎo)對(duì)橢圓方程的兩邊分別求導(dǎo)(在此把在此把y看成是關(guān)于看成是關(guān)于x 的函數(shù)的函數(shù))得得:于是所求切線方程為于是所求切線方程為:備用備用(biyng)第20頁(yè)/共24頁(yè)第二十一頁(yè)，共25頁(yè)。例例2:求下列求下列(xili)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(2x3-x+1/x)4;解解:(3)y=tan3x;解解:(2)解解:(4)解解:第21頁(yè)/共24頁(yè)第二十二頁(yè)，共25頁(yè)。利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程(fngchng)如下如下:(1)過圓過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)上一點(diǎn)(y din

17、)P0(x0,y0)的切的切線方程是線方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)過橢圓過橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是的切線方程是:(2)過橢圓過橢圓(tuyun) 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是的切線方程是:(4)過拋物線過拋物線y2=2px上一點(diǎn)上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是的切線方程是:y0y =p(x+x0).(3)過雙曲線過雙曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是的切線方程是:第22頁(yè)/共24頁(yè)第二十三頁(yè)，共25頁(yè)。證證:設(shè)設(shè)x有增量有增量x,則對(duì)應(yīng)則對(duì)應(yīng)(duyng)的的u,y分別有增量分別有增量u, y.因?yàn)橐驗(yàn)?在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo),所以所以 在點(diǎn)在點(diǎn)x處連續(xù)處連續(xù).因因此當(dāng)此當(dāng)x 0時(shí)時(shí), u 0.當(dāng)當(dāng)u0時(shí)時(shí),由由 ,且且 得得:當(dāng)當(dāng)u=0時(shí)時(shí),公式公式(gngsh)也成也成立立. 上面的證明其實(shí)不是一個(gè)很嚴(yán)格的證明上面的證明其實(shí)不是一個(gè)很嚴(yán)格的證明,而且中間還會(huì)而且中間還會(huì)有不少的疑問有不少的疑問,譬如譬如, u=0時(shí)公式也成立時(shí)公式也成立, 怎樣去理解怎樣去理解;x 0時(shí)與時(shí)與u 0時(shí)的極限相等問題等等時(shí)的極限相等問題等等.因此同學(xué)們只要了解因此同學(xué)們只要了解公式證明中的基本思想公式證明中的基本思想(sxing)和方法即可和方法即可,不必過多的去不必過多的