第3章_基于虛位移原理變分法(1)

1、 在前述有限元的直接剛度法里，我們采用材料力學(xué)中在前述有限元的直接剛度法里，我們采用材料力學(xué)中的疊加原理來求解直梁和剛架的單元剛度矩陣。但對于的疊加原理來求解直梁和剛架的單元剛度矩陣。但對于復(fù)雜的二維平面甚至三維立體的力學(xué)問題，就無法采用復(fù)雜的二維平面甚至三維立體的力學(xué)問題，就無法采用直接剛度法來求解單元剛度矩陣，此時我們可以采用基直接剛度法來求解單元剛度矩陣，此時我們可以采用基于虛位移原理的變分法。于虛位移原理的變分法。1 1、背景、背景2 2、基本概念、基本概念2.1 2.1 虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理） 在材料力學(xué)中，虛功原理表述為：在虛位移中，外力在材料力學(xué)中，虛功原理

2、表述為：在虛位移中，外力所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所做的虛功（虛應(yīng)所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所做的虛功（虛應(yīng)變能）。變能）。2.1 2.1 虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理）在材料力學(xué)中，虛功原理在材料力學(xué)中，虛功原理表述為：在虛位移中，外表述為：在虛位移中，外力所做虛功等于內(nèi)力在相力所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所做的虛功應(yīng)的虛變形上所做的虛功（虛應(yīng)變能）。（虛應(yīng)變能）。2.2 2.2 虛位移和變分虛位移和變分 在材料力學(xué)中，我們規(guī)定實位移是在材料力學(xué)中，我們規(guī)定實位移是v，對應(yīng)的虛位移，對應(yīng)的虛位移就是就是v*。但嚴格來講，虛位移應(yīng)該用變分符號表示為但嚴格來講，虛位

3、移應(yīng)該用變分符號表示為v。變分與微分有相似的地方，都具有無限小變化的意思。但變分與微分有相似的地方，都具有無限小變化的意思。但嚴格來講，二者是兩個完全不同的數(shù)學(xué)概念。嚴格來講，二者是兩個完全不同的數(shù)學(xué)概念。3 3、應(yīng)用基于虛位移原理的變分法求解直梁、應(yīng)用基于虛位移原理的變分法求解直梁的單元剛度矩陣的單元剛度矩陣3.1 3.1 位移函數(shù)位移函數(shù)假設(shè)圖示直梁單元的位移函數(shù)假設(shè)圖示直梁單元的位移函數(shù)v(x)（插值函數(shù)）為：（插值函數(shù)）為：332210)(xaxaxaaxv 已知單元在兩個節(jié)點的邊界條件：已知單元在兩個節(jié)點的邊界條件：0 xifv )0(iv )0(lx jlv )(jflv )(實際

4、上對于直梁單元，實際上對于直梁單元，v(x) 就是在其上各點的撓度就是在其上各點的撓度f 。)()(xvx 根據(jù)材料力學(xué)可知，截面轉(zhuǎn)角和撓度之間的關(guān)系是根據(jù)材料力學(xué)可知，截面轉(zhuǎn)角和撓度之間的關(guān)系是 。 將上述將上述v(x)的表達式（位移函數(shù)）代入四個邊界條件得到如的表達式（位移函數(shù)）代入四個邊界條件得到如下四個方程式。下四個方程式。 jjiilalaaflalalaaafa 23213322101032將所有的將所有的ai代入前述代入前述v(x)的表達式得到插值形式的位移函數(shù)。的表達式得到插值形式的位移函數(shù)。解得解得寫成矩陣形式寫成矩陣形式 jjiijjiiiilfllflalfllflaaf

5、a 232332221012121323jjiixlxlfxlxlxlxlxfxlxlxv 32233223223322112312231)(T4321)(jjiiffNNNNxv 式中式中33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 上述位移函數(shù)可進一步縮寫成上述位移函數(shù)可進一步縮寫成eNxv )(式中式中 ； 4321NNNNN Tjjiieff 3.2 3.2 形狀函數(shù)形狀函數(shù)上式中的上式中的Ni（i = 1, 2, 3, 4) )叫做形狀函數(shù)，有時簡稱為形函數(shù)叫做形狀函數(shù)，有時簡稱為形函數(shù)。在梁單元中。在梁單元中, ,它表示一個

6、兩端固定的梁只產(chǎn)生一個單位位移它表示一個兩端固定的梁只產(chǎn)生一個單位位移時梁彎曲成的形狀（如下圖所示）。其性質(zhì)將在下一章講解。時梁彎曲成的形狀（如下圖所示）。其性質(zhì)將在下一章講解。33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 232166xlxlN 222341xlxlN 232366xlxlN 22432xlxlN 3.3 3.3 用虛位移原理求單元剛度矩陣用虛位移原理求單元剛度矩陣 ljjjjiiiixMmfqmfq)(d)( i 在平衡狀態(tài)下，梁單元有撓曲線在平衡狀態(tài)下，梁單元有撓曲線v(x)，其節(jié)點位移分別為，其節(jié)點位移分別為fi

7、、i、fj、j 。給該單元的節(jié)點任意虛位移。給該單元的節(jié)點任意虛位移fi 、 、 、 ，由此由此在撓曲線各點上產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移在撓曲線各點上產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移 和虛轉(zhuǎn)角和虛轉(zhuǎn)角 （即（即虛功原理中的虛變形）。根據(jù)虛功原理得到以下方程式。虛功原理中的虛變形）。根據(jù)虛功原理得到以下方程式。j )(x jf)(xv由撓曲線的近似微分方程，彎矩可寫成由撓曲線的近似微分方程，彎矩可寫成 ljjjjiiiixMmfqmfq)(d)( 22dd)(xvEIxM xxvxxvxxxdddddddddddd22 因為虛位移具有和實位移相同的性質(zhì)，因為虛位移具有和實位移相同的性質(zhì)，因此以上方程也適用于虛位移。故因此

8、以上方程也適用于虛位移。故xxvdd)(d)d(22 上述虛功原理方程式變?yōu)樯鲜鎏摴υ矸匠淌阶優(yōu)?leexxvEIxvPdddd)(d2222T 式中單元節(jié)點虛位移列陣式中單元節(jié)點虛位移列陣單元節(jié)點力列陣單元節(jié)點力列陣Tjjiieff TjjiiemqmqP 位移函數(shù)位移函數(shù)TT)(NNxvee 其變分為其變分為 TT)(Nxve leexxvEIxvPdddd)(d2222T 將以上兩式代入將以上兩式代入 得到得到 leeeexNEINPdTTT eleeexNEINP dTTTelexNEINP dTeeeKP 將上式與將上式與 相比較，得到單元剛度矩陣的表達式。相比較，得到單元剛度矩陣

9、的表達式。 lexNEINKdT33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 232166xlxlN 222341xlxlN 232366xlxlN 22432xlxlN 3.4 3.4 通過積分計算單元剛度矩陣通過積分計算單元剛度矩陣 llexNNNNNNNNEIxNEINKdd4321T4321T llllllllllllllllexNxNNxNNxNNxNNxNxNNxNNxNNxNNxNxNNxNNxNNxNNxNEIKd)(ddddd)(ddddd)(ddddd)(2434241443232313423222124131212

10、1xllN321126 xllN2264 xllN323126 xllN2462 代入所有的代入所有的 （i = 1, 2, 3, 4) )，通過積分計算得到如下單元，通過積分計算得到如下單元剛度矩陣。剛度矩陣。iN lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIke46266126122646612612222323222323這與第二章直接剛度法通過材料力學(xué)疊加原理得到的這與第二章直接剛度法通過材料力學(xué)疊加原理得到的單元剛度矩陣完全相同。單元剛度矩陣完全相同。1 1、在后面研究更復(fù)雜的彈性力學(xué)平面問題時，我們不再、在后面研究更復(fù)雜的彈性力學(xué)平面問題時，我們不再采用直接剛度法，而采用基于虛位移原理的變分法。采用直接剛度法，而采用基于虛位移原理的變分法。4 4、兩點說明、兩點說明2 2、基于虛位移原理的變分法并不是求解復(fù)雜力學(xué)問題的、基于虛位移原理的變分法并不是求解復(fù)雜力學(xué)問題的有限元方程的唯一方法。其他著名的方法還有伽遼金法有限元方程的唯一方法。其他著名的方