人口指數(shù)模型

1、指數(shù)函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合世界人口預(yù)測(cè)問(wèn)題下表給出了本世紀(jì)六十年代世界人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：億)年I96019611962196319641965196619671968人口29.730.631.532.132.332.833.534.234.8211345603有人根據(jù)表中數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)公元2000年世界人口會(huì)超過(guò)60億。這一結(jié)論在六十年代末令人難以置信，但現(xiàn)在已成為事實(shí)。試建立數(shù)學(xué)模型并根據(jù)表中數(shù)據(jù)推算出2000年世界人口的數(shù)量。根據(jù)馬爾薩斯人口理論，人口數(shù)量按指數(shù)遞增的規(guī)律發(fā)展人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題，認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)。早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬

2、爾薩(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：rty=y()e其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率。表3是19501959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料:年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)/萬(wàn)人55196563005748258796602666145662828645636599467207t0123456789(1)如果以各年人口增長(zhǎng)平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001),用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)

3、據(jù)是否相符；解：設(shè)19511959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1,r2，,r9.55196(1r1)=56300,可得1951年的人口增長(zhǎng)率r10.0200.同理可得，r20.0210,r30.0229,r40.0250,r50.0197,r60.0223,r70.0276,r80.0222,r90.0184.于是，19511959年期間，我國(guó)人口的年均增長(zhǎng)率為令y0二55196則我國(guó)在1950195笄期間的人口增長(zhǎng)模型為r=(r1r2.r9)90.0221y=55196e0.0221t.tN由圖4可以看出，所得模型與19501959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合。根據(jù)表格3中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并作出函圖

4、4(2)如果按表3的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？將y=130000代入y=55196e0.0221t.twN.由計(jì)算可得t38.7639所以，如果按表3的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.functiony=ys1(a,t)y=55196*exp(a*t);t=0:9;y=55196563005748258796602666145662828645636599467207;a0=1;a,res=lsqcurvefit('ys1'

5、;,a0,t,y)t1=0:0.1:9;y1=55196*exp(0.0220*t1);plot(t1,y1,t,y,'*')例1已知1790-1990年間美國(guó)每隔十年的人口記錄如下：（人口單位：106）年1790180018101820183018401850人口3.95.37.29.612.917.223.2年1860187018801890190019101920人口31.438.650.262.97692106.5年1930194019501960197019801990人口123.2131.7150.7179.3204226.5251.4用以上數(shù)據(jù)檢驗(yàn)Malthus人

6、口（指數(shù)）增長(zhǎng)模型方法一(1)編寫函數(shù)M文件fit1(圖1)functiony=fit1(a,t)二rty=3.9*exp(a*(t-1790);yy0e(2)輸入并運(yùn)行如下命令t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4;a0=0.1;a,res=lsqcurvefit('fit1',a0,t,y)a=0.0217res=1.2724e+004(或t=1790:10:1990;y=3.

7、9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4;f=inline('3.9*exp(a*(t-1790)','a','t');a,res=lsqcurvefit(f,0.1,t,y)yi=3.9*exp(a*(ti-1790);人口增長(zhǎng)模型的圖形顯示ti=1790:1990;plot(t,y,'o',ti,yi)G(圖1)方法二二代(1)編寫函數(shù)M文件fitl(圖2)y=y()e

8、functiony=fit1(a,t)y=a(1)*exp(a(2)*(t-1790);(2)輸入并運(yùn)行如下命令t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4;a0=0,0;a,res=lsqcurvefit('fit1',a0,t,y)a=13.86950.0148rty=y0eres=1.8257e+003人口增長(zhǎng)模型的圖形顯示ti=1790:1990;yi=a(1)*exp(a(2)

9、*(ti-1790);plot(t,y,'o',ti,yi)gtext('人口指數(shù)函數(shù)')%注釋(或t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4;c,d=solve('c*exp(d*10)=5.3','c*exp(d*20)=7.2','c','d')f=inline('a(1)*exp(a(2)*(t-1790)','a','t');a,res=lsqcurvefit(f,3.9,0.03,t,y)a=13.86920.0148res