第二章躉繳純保費(fèi)-108

1、第二章躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)本章結(jié)構(gòu)l人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理l死亡年末賠付保險(xiǎn)（離散型人壽保險(xiǎn)）躉繳純保費(fèi)的厘定l死亡即刻賠付保險(xiǎn)（連續(xù)型人壽保險(xiǎn)）躉繳純保費(fèi)的厘定l 遞歸方程l 生存年金l 人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介 什么是人壽保險(xiǎn) 狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。 廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括在保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括在保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)的的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。l 人壽保險(xiǎn)的分類 受益金額是否恒定- 定額受益保險(xiǎn) - 變額受益保險(xiǎn) 保單簽約日和保障期期始日是否同時(shí)進(jìn)行 非延期保險(xiǎn) 延期保險(xiǎn) 保障標(biāo)的的不同 人

2、壽保險(xiǎn)（狹義） 生存保險(xiǎn) 兩全保險(xiǎn) 保障期是否有限 定期壽險(xiǎn) 終身壽險(xiǎn)l 人壽保險(xiǎn)的性質(zhì) 保障的長(zhǎng)期性 這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。 保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性 人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布。 被保障人群的大數(shù)性 這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。l 躉繳純保費(fèi)的厘定 假定條件: 假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。 假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用

3、經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。 假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來(lái)的投資受益（即預(yù)定利率）。 原則 保費(fèi)凈均衡原則 解釋 所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)值正好等于將來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)值等于支出期望現(xiàn)值 。l 躉繳純保費(fèi)的厘定 躉繳純保費(fèi)的定義 在保單生效日一次性支付將來(lái)保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)值 躉繳純保費(fèi)的厘定 按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于其中Z是給付的保險(xiǎn)金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值( )E Z2.1 離散（死亡年末賠付）型人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定 死亡年末賠付 死亡年末賠付的含義 死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡

4、，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。 由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加1。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。 基本符號(hào) 歲投保的人整值未來(lái)壽命 保險(xiǎn)在K(x)+1處保險(xiǎn)給付金額 在K(x)+1處給付的1個(gè)單位在簽單時(shí)貼現(xiàn)系數(shù)。 給付的保險(xiǎn)金額在簽單時(shí)的現(xiàn)時(shí)值。 躉繳純保費(fèi)。kxK)(+1kb+1kvZK+1K+1Zbv1k+1101k+11k0( )Pr( )nkknkxkE

5、ZvbK xkvbqx主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定 n年期定期壽險(xiǎn) 終身壽險(xiǎn) n年期生存保險(xiǎn) n年期兩全保險(xiǎn) 延期壽險(xiǎn) 變額受益保險(xiǎn)1、n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)l n年定期壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)l基本函數(shù)關(guān)系年齡為x歲的人，投?；蚝灱s保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的 n年定期壽險(xiǎn)，給付現(xiàn)值函數(shù)：1+1+11+1+1 , 0,1,11 , 0,1,10 , , 0,1,10 , kkkkkkvvknknbvknZbv其他其他l 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號(hào)： 表示躉繳純保費(fèi) 厘定：1: x nA11+1k:0(

6、Z)nkxx nkAEvq+1111+1:00+1+00+001:=D=-Mxknnkxkxkxx nkkxxxxxxxxxxkxxkkkxxkxxkkkxxnx nxdvdAvlv lvdv lMDRMNMAD記 C，C， N， Sl 現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的方差記222112:( )()( )()x nx nVar ZE ZE ZAA為利力其中vqqvEAxnkxnkknx-ln1)(k(-2exp)(Z10k10k)1(221|:2例題例題例例由題意可知由題意可知1:1n=1xxxxCvqD當(dāng)時(shí)，A1:1xxxxxcCcD在人壽保險(xiǎn)中，純保費(fèi)A 稱為自然純保費(fèi)注意：自然純保費(fèi)在一般情況下，是隨著

7、年齡的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)的，即年齡越大，自然純保費(fèi)越高2 終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn) 定義 保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 基本函數(shù)關(guān)系1+1+11K+1 K+1 , 0,1,1, 0,1, , K0,1,kkkKvvkbkZbvvl 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號(hào)（躉繳純保費(fèi)）： 厘定：xA1k0( )kxxkAE ZvqxxxMAD 由 可得保單簽發(fā)時(shí)， 個(gè)年齡為x的被保險(xiǎn)人所支付的躉交純保費(fèi)組成的基金總額等于按死亡預(yù)定流出資金的現(xiàn)值總額.l例 P371k0kxxkAvq10kxxx kkl Avdxl222(1)k0k0()exp(-2 (k1)kxxkxkAE Z

8、vqq2222( )()( )()xxVar ZE ZE ZAAl 現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的方差記3 、 n 年定期生存保險(xiǎn)年定期生存保險(xiǎn) n年定期生存保險(xiǎn)定義： 被保險(xiǎn)人投保后至少生存n年才支付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 基本函數(shù)關(guān)系：+1K+1 K+11+10 , 0,1,11 , 0, K 0,1,1 , K , 0,1,1 , knkknknbknnZ b vvnvknvvkn 符號(hào)： 躉繳純保費(fèi)厘定1: xnA1:( )nxnxnAE Zvpl 躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定4 、 兩全保險(xiǎn)l定義：n年期兩全保險(xiǎn)是由n年生存保險(xiǎn)和n年定期保險(xiǎn)組成l 基本函數(shù)關(guān)系年齡為x歲的人，投?；蚝灱s保險(xiǎn)金額為1個(gè)

9、單位的 n年期兩全保險(xiǎn)，給付現(xiàn)值函數(shù)+11+11+1+11=0,1,2 , 0,1,1 , , 0,1,1 , kkknKKKnbkvknvvknvknZbvvknl 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號(hào)：表示躉繳純保費(fèi) 厘定：: x nA1+111:k:0:( )+-M+nknxnxxnx nx nkxx nx nx nxAE ZvqvpAAMDAD例題例題例題例題例題例題5 、延期壽險(xiǎn)、延期壽險(xiǎn)l 延期壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保h年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。l假定：x歲的人，投保金額為1個(gè)單位，延期h年的n年定期壽險(xiǎn)。（投保時(shí)間與保單生效時(shí)間不同）l基本函數(shù)關(guān)系：+11+1K 1

10、+1+11 , , + -10 , 0,1,2 , K0,1, +10 , kkkKKkhh nbvvkvh nZbv其他，其他l 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號(hào)： 表示躉繳純保費(fèi) 厘定：1:xhh nx nAA或h+11+1k:1+h+h:( )-Mnkxhx nk hxx nhx nxAE ZvqMAD例題例題例題例題 6 、變額受益保險(xiǎn)、變額受益保險(xiǎn)l 定義保險(xiǎn)金額的給付隨著被保人的未來(lái)壽命的變化而改變。這類人壽保險(xiǎn)稱為變額受益保險(xiǎn)。主要討論按算術(shù)數(shù)理n遞增和遞減的情形l 遞增n年定期保險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系年齡為x歲的人，投保離散型的按算術(shù)數(shù)列遞增的 n年定期保險(xiǎn)，即被保險(xiǎn)人在第k+1個(gè)保單年度內(nèi)死

11、亡，則給付k+1元的保險(xiǎn)金（k=0,1,n-1）給付現(xiàn)值函數(shù)。相應(yīng)的有關(guān)函數(shù)為+11+11K+1 K+1+1 , 0,1,1(K+1) kkkKbkvvknZbvvl躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定 符號(hào)： 表示躉繳純保費(fèi) 厘定：1:(I )x nA11+1k:01:(I )(Z)(k+1)-R-nM(I )nkxx nkxx nx nx nxAEvqRADl 遞增終生壽險(xiǎn)遞增終生壽險(xiǎn) 符號(hào)： 表示躉繳純保費(fèi) 厘定按算術(shù)數(shù)列遞增的終生壽險(xiǎn)實(shí)際上是由一系列的延期變額終生壽險(xiǎn)構(gòu)成(I )xA+1k00(I )(Z)(k+1)(I )kxxkxxkkAEvqAA變形可得例l 遞減n年定期保險(xiǎn) 基本函

12、數(shù)關(guān)系年齡為x歲的人，投保離散型的按算術(shù)數(shù)列遞減的 n年定期保險(xiǎn)，即被保險(xiǎn)人在第k+1個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付n-k元的保險(xiǎn)金（k=0,1,n-1）給付現(xiàn)值函數(shù)。+11+11K+1 K+1- , 0,1,1(n-k) , K0, -10 , KkkkKbn kvvknvnZbvnl 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號(hào)： 表示躉繳純保費(fèi) 厘定：1:(D )x nA11+1k:01+1+1:(D )(Z)(n-k)nM -(-R)(D )nkxx nkxxxnx nxAEvqRAD 對(duì)上式適當(dāng)變形可得 可看到，遞減n年定期壽險(xiǎn)是由一組定期壽險(xiǎn)或一組延期k年的一年期定期壽險(xiǎn)組合而成 例 見(jiàn)課本P42第二節(jié)死亡即

13、刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定死亡即刻賠付 死亡即刻賠付的含義 死亡即刻賠付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單簽單日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定 n年期定期壽險(xiǎn) 終身壽險(xiǎn) 延期h年的終身壽險(xiǎn) n年期生存保險(xiǎn) n年期兩全保險(xiǎn) 延期m年的n年期的兩全保險(xiǎn) 遞增終身壽險(xiǎn) 遞減n年定期壽險(xiǎn)1 1、n n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn) 定義 保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的n

14、年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)。 假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ttttt ttvvtvtnzbvtnbtntn 符號(hào)： 厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()( 方差公式 記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)） 所以方差等價(jià)為 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar例例 設(shè) 計(jì)算( ) 1 , 01001000

15、.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）055. 0092. 021. 1ln21. 1701 092. 07011 . 1 )()(2092. 01 . 1ln1 . 1701 7011 . 1)(1001)()()() 1 (2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（2、終身壽險(xiǎn) 定義 保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 假定： 歲的人，保額1元終身壽險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 01 , 0 ttttt ttvv

16、tzbvvtbt 符號(hào)： 厘定：xA000( )( )xttTtttxx ttxx tAE zz f t dtv pdtepdt 方差公式 記 所以方差等價(jià)為 22220( )( )( )( )( )ttttTtVar zE zE zef t dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例例 設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元 保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付 簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為 計(jì)算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9xtAVar zz（）的分位數(shù)0606002260220120602(1)( )116

17、0602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAef t dteedtVar zAAedtAee（）0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvf t dtvve例例 見(jiàn)P453、延期終身壽險(xiǎn) 定義 保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm 符號(hào)： 厘定：

18、xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxxmAE zz f t dtz f t dtz f t dtAA 方差公式 記 所以方差等價(jià)于2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA例例 假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保額1元。 保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付。 已知 求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.04

19、0.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmS x tf teS xAeedtedteAeedtVar zAA4、n 年定期生存保險(xiǎn)年定期生存保險(xiǎn) 定義 被保險(xiǎn)人投保后生存至n年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn 符號(hào)： 躉繳純保費(fèi)厘定 現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：1: x nA1:( )nnx ntnxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxnxx nx

20、nVar zvpvpAA5、n年定期兩全保險(xiǎn)年定期兩全保險(xiǎn) 定義 被保險(xiǎn)人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至n年期滿，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。它等價(jià)于n年生存保險(xiǎn)加上n年定期壽險(xiǎn)的組合。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系)(x , , , , 1 , 0tttntt tntvtnvvtnzbvvtnvtnbt 符號(hào)： 厘定記：n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知?jiǎng)t: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnxnE zE zE

21、 zAAA因?yàn)樗?1212121212( )( )( ) 2( ,)( )( ) 2 () 2 ( )( )Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE z zE zE z120z z 11:312:()( )()2x nx nVar zVar zVar zAA例例 設(shè) 計(jì)算( ) 1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)(

22、 )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA由例3.1已知：6、延期、延期m年年n年定期兩全保險(xiǎn)年定期兩全保險(xiǎn) 定義定義 被保險(xiǎn)人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開(kāi)始為期n年的定期兩全保險(xiǎn) 假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttt tm ntvtm ntmvvtm nzbvvtm ntmvtm nbtm 符號(hào)： 厘定:mxnA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA 記： m年延期n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知?jiǎng)t1z2z3z312zzz11:312:()(