數(shù)學(xué)物理方法期末復(fù)習(xí)提綱

1、1試卷題型：試卷題型：一、填空題（每小題一、填空題（每小題2分，共分，共12分）分）二、單項(xiàng)選擇題（每小題二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共分，共12分）分）三、名詞解釋（每小題三、名詞解釋（每小題4分，共分，共8分）分）四、證明題（每小題四、證明題（每小題8分，共分，共32分）分） 五、計(jì)算題（每小題五、計(jì)算題（每小題12分，共分，共36分）分）試卷類型：開卷試卷類型：開卷2教教 材材：梁昆淼編寫的梁昆淼編寫的數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法第四版第四版 內(nèi)內(nèi) 容容第一篇第一篇 復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論第二篇第二篇 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 物物 理理 方方 法法3第一章第一章 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1

2、 1、復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的定義一、復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)zxRezyIm實(shí)部實(shí)部： 虛部虛部： 模模： 22yxz輻角輻角： kzArgz2arg), 2, 1, 0(k主輻角：主輻角： )(argxyarctgz ,2arg0z共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù):iyxz*zxiyiyxz三角式三角式)sin(cosiziez 指數(shù)式指數(shù)式代數(shù)式代數(shù)式* *復(fù)數(shù)三種表示式之間的轉(zhuǎn)換復(fù)數(shù)三種表示式之間的轉(zhuǎn)換 42、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的運(yùn)算: : 加、減、乘、除、乘方、開方加、減、乘、除、乘方、開方 (1)、加法和減法、加法和減法 )()(212121yyixxzz111iyxz222iyxz(2)、乘法和除法、乘法和除法 )

3、(221121iyxiyxzz)()(12212121yxyxiyyxx22222211)(yxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx*22*21zzzz21zz5(2)、乘法和除法、乘法和除法 兩復(fù)數(shù)相除就是把模數(shù)相除兩復(fù)數(shù)相除就是把模數(shù)相除, , 輻角相減。輻角相減。)sin()cos(21212121izz)(2121ie121111122222(cossin)(cossin)iiziezie1 2121212cos()sin()z zi )(2121ie兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, , 輻角相加輻角相加; ;6(3) 復(fù)數(shù)的乘方和復(fù)

4、數(shù)的乘方和開方開方ninez)(inne)sin(cosninn或或( n為正整數(shù)的情況為正整數(shù)的情況)12 2 cossinnnkkzinn)1,2, 1,0( nknkine2 復(fù)數(shù)的乘、除、乘方和開方運(yùn)算，采用三角式復(fù)數(shù)的乘、除、乘方和開方運(yùn)算，采用三角式或指數(shù)式往往比代數(shù)式來得方便或指數(shù)式往往比代數(shù)式來得方便。 棣莫弗公式棣莫弗公式： nininsincos)sin(cos7二、六種初等復(fù)變函數(shù)二、六種初等復(fù)變函數(shù)： 1. 冪函數(shù)冪函數(shù)nzw 2 .指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) zew 周期為周期為2 i， 3. 3. 三角函數(shù)三角函數(shù)cos,2izizeezsin,2izizeezi周期為周期為

5、2 84、雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù) 2zzeeshz2zzeechz5、根式函數(shù)、根式函數(shù) iez nkinew2)(,1210nk周期為周期為2 i6、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù) zwlnln ziArgzkzArgz2arg, 10 k9222zzxy13例例1：已知已知 ，則，則 。23zizz13例例2：復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)ez 的模為的模為 ，輻角為，輻角為 . xe2,0, 1, 2,ykk zx iyeexiye e10三、解析函數(shù)三、解析函數(shù)),(),()(yxivyxuzf1 1、柯西、柯西- -黎曼方程黎曼方程 xvyuyvxu直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系：vuvu112 2、解析函

6、數(shù)性質(zhì)：、解析函數(shù)性質(zhì)： (1)、若、若 是解析函數(shù)，則是解析函數(shù)，則 。 ),(),()(yxivyxuzf0vu(2)、若函數(shù)、若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 B上解析，則上解析，則 u和和v必為必為B上的上的相互共軛調(diào)和函數(shù)相互共軛調(diào)和函數(shù)。 ivuzf)(113 3、構(gòu)建解析函數(shù)：、構(gòu)建解析函數(shù)： 給出一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)作為解析函數(shù)的實(shí)部給出一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)作為解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，通過或虛部，通過CR條件求出該解析函數(shù)的虛部或條件求出該解析函數(shù)的虛部或?qū)嵅浚瑥亩鴮懗鲞@個(gè)解析函數(shù)。實(shí)部，從而寫出這個(gè)解析函數(shù)。 算偏導(dǎo)算偏導(dǎo) u或或v 的全微分的全微分 求積分求積分 表成表成 ( )f z12例例

7、3 3：已知解析函數(shù)：已知解析函數(shù) 的實(shí)部的實(shí)部 ，求虛部和這個(gè)解析函數(shù)。求虛部和這個(gè)解析函數(shù)。 )(zf22( , ),(0)0u x yxyxy f2,2uuxyxyxy根據(jù)根據(jù)C-R條件條件， 2,2vuvuyxxyxyyx 解：解：21( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx 1321( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx 2( )vxyy( )yy21( )2yyC2212()2vxyyxC 222222221( )2()21()()212f zuivxyxyixyyxiCxiyixiyiCziziC(0)0f0C221( )2f zziz2

8、,2vyxxvxyy14 例例4：已知解析函數(shù)：已知解析函數(shù) f (z)的虛部的虛部 ，求實(shí)部求實(shí)部 和這個(gè)解析函數(shù)和這個(gè)解析函數(shù) f (z) 。22),(yxxyxv),(yxu解：解：提示：提示：當(dāng)給定的當(dāng)給定的 u 或或 v 中含有因子中含有因子x2+y2，這種情，這種情況下采用極坐標(biāo)處理比較方便況下采用極坐標(biāo)處理比較方便， 即令即令 。 222yx 2cosvcos)cos1 (2sin222sin2152sin2v21212sin2v2sin21212cos2v2cos2vuvu11vu12cos212cos21vu2sin212sin216sin22u 將上面第二式對(duì)將上面第二式對(duì)

9、 積分，積分， 視作參數(shù)，有視作參數(shù)，有 ( )uudRsin( )22dRsin( )22dR 2cos( )2R其中其中 為為 的任意函數(shù)。的任意函數(shù)。 ( )R將上式兩邊對(duì)將上式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，求導(dǎo)， 1cos( )22uR1cos221cos22u171cos( )22uR1cos22( )0R( )RCCu2cos22sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(cos2122 (cossin)iC122 (cossin)iC2zC18第二章第二章 復(fù)變函數(shù)積分復(fù)變函數(shù)積分一、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：一、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)： P23 二、計(jì)算復(fù)變函數(shù)回路積分二、計(jì)算復(fù)變函數(shù)回路積分 1、

10、單通區(qū)域柯西定理：、單通區(qū)域柯西定理：P242、復(fù)通區(qū)域柯西定理：、復(fù)通區(qū)域柯西定理：P253 3、重要公式應(yīng)用（、重要公式應(yīng)用（P28P28） )(2)(01包圍不包圍lildzzl194 4、柯西公式、柯西公式 ( ) d2( )lf zzifz ( )1( )2( )()!nnlf zidzfzn 高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式20 當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)的回路積當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)的回路積分，可利用柯西公式來計(jì)算分，可利用柯西公式來計(jì)算, , 1( )()nf zz(1)(1)把被積函數(shù)寫成把被積函數(shù)寫成 的形式，的形式，f( (z) )在積在積分區(qū)域上解析分區(qū)

11、域上解析, , 為積分區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)；為積分區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)； (2) (2) 利用柯西公式利用柯西公式 來計(jì)算積分來計(jì)算積分.lnnfnidzzzf)(!)()()(2121222sin()4.,:(1)11czdzcxyz 例1其中2yxo1sin()411czdzzIz 1sin421zziz22i22例2下列積分不為零的是 ( )。 0.51.zAdzz 20.51.zBdzz 1.0.5zCdzz 21.1zDdzz C21111()1211zzz21111()12111(22)20zzzdzdzdzzzzii0()12()lldzzil 不包圍包圍23第三章第三章 冪級(jí)數(shù)展開冪級(jí)數(shù)展開一、收

12、斂半徑一、收斂半徑 方法方法1：比值判別法：比值判別法1limkkkaaR方法方法2 ：根值判別法：根值判別法1limkkkRa收斂圓：收斂圓： 收斂域：收斂域： Rzz00zzR00()kkkazz2010200()()()kkaa zzazzazz24例例1求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂圓的收斂圓.1limkkkaaR1lim1kkkkak解解0()kkk zi收斂圓收斂圓:1zi25解解:1!lim1(1)!kkk, 例例2冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的收斂域。的收斂域。1limkkkaaRlim1kk收斂域收斂域:z 0!kzkzek26二、把圓域或環(huán)域或某一點(diǎn)的鄰域上解析函數(shù)展二、把圓域或環(huán)域或某一點(diǎn)的

13、鄰域上解析函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)成冪級(jí)數(shù) 根據(jù)解析函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)展根據(jù)解析函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)展開的唯一性開的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展開式，通過一般可利用熟知的泰勒展開式，通過變量變換，結(jié)合級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)和積變量變換，結(jié)合級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分、分解成最簡分式等分、分解成最簡分式等方法去展開方法去展開 。間接展開法：間接展開法：2701)!kzkzek012)1kkzz013)( 1)1kkkzz2104) sin( 1)(21)!kkkzzk)1( z)1( z)( z)( z205) cos( 1)(2 )!kkkzzk)( z常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展

14、開式:280.( )0f zarctgzz例3 把在鄰域展成泰勒級(jí)數(shù).解：解： 211arctgzdzz2201( 1),11kkkzzz210( 1)21kkkarctgzck00 arctg0c1,12) 1(012zzkarctgzkkk01( 1),11kkkttt2911( )dzi dz z 21.( )1()f zzizzi 例4 把在圓環(huán)展成冪級(jí)數(shù).解：解： 22111( )()f zzzizi z03101111()11( 1) ()( ) ()kkkkkkiziziziziiziziizi 31320011( )( ) ()( ) (1)()kkkkkkdf ziziikz

15、izi dzzi 33(3)(2)() , (1)kkkkizizi 01( 1),11kkkttt30奇點(diǎn)名稱奇點(diǎn)名稱可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)不含負(fù)冪項(xiàng)不含負(fù)冪項(xiàng)含無限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含無限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)的洛朗級(jí)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)00zzR極限性質(zhì)極限性質(zhì)0lim( )zzf z 有限值0lim( )zzf z 0lim( )zzf z無定值三、有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)分類及其類型判定三、有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)分類及其類型判定31極限判定法來判定可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)，本性奇點(diǎn)。極限判定法來判定可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)，本性奇點(diǎn)。幾個(gè)名詞的定義：幾個(gè)名詞的定義：孤立奇點(diǎn)，非孤立奇點(diǎn)，可去奇點(diǎn)，孤立奇點(diǎn)，

16、非孤立奇點(diǎn)，可去奇點(diǎn)， m階極點(diǎn)，本性奇點(diǎn)階極點(diǎn)，本性奇點(diǎn)532( ): _.4zif zzz的極點(diǎn)為0,2i1/2( ):_;:_.9zef zz的極點(diǎn)為本性奇點(diǎn)為3 , 3ii032 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(z)在回路在回路 l 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 B上除有限個(gè)孤上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)立奇點(diǎn)b1，b2，bn外解析，在閉區(qū)域外解析，在閉區(qū)域 上除上除b b1 1，b2，bn外連續(xù)，則外連續(xù)，則f( (z) )沿沿l正向積分正向積分 之值之值等于等于f( (z) )在在l所圍區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)的留數(shù)和的所圍區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)的留數(shù)和的2 2 i倍倍. . Bldzzf)( )lf z dz 12Re()njjisf

17、b左邊的積分是沿左邊的積分是沿l 的正向進(jìn)行的；的正向進(jìn)行的； 注意注意: :右邊的奇點(diǎn)是指右邊的奇點(diǎn)是指l 所圍區(qū)域內(nèi)的，并非是所圍區(qū)域內(nèi)的，并非是f(z)所有的奇點(diǎn)。所有的奇點(diǎn)。 一、留數(shù)定理：一、留數(shù)定理：P52P5233二、計(jì)算留數(shù)二、計(jì)算留數(shù) 各孤立奇點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式各孤立奇點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式奇點(diǎn)類型奇點(diǎn)類型0Re()sf z可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)0m階極點(diǎn)階極點(diǎn)01011lim()( )(1)!mmmzzdzzf zmdz一一階階極極點(diǎn)點(diǎn)普遍公式普遍公式00lim() ( )zzzzf z本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)0010( )Re()zzRf zsf za在展開得00()()P zQ z( )(

18、)( )P zf zQ z000()0,()0()0P zQ zQ z34 極點(diǎn)階數(shù)判定極點(diǎn)階數(shù)判定 非零的有限值mmzzazfzz)()(lim00法一法一0ma00lim()( )nzzzzf z把極點(diǎn)階數(shù)估計(jì)得過高把極點(diǎn)階數(shù)估計(jì)得過高n就是極點(diǎn)的階數(shù)就是極點(diǎn)的階數(shù)把極點(diǎn)階數(shù)估計(jì)得過低把極點(diǎn)階數(shù)估計(jì)得過低(nm)(n=m)(nm)法二法二零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系 若若z = z0是是 f(z)的的m階零點(diǎn)，則階零點(diǎn)，則z = = z0 0必是必是 的的m階極點(diǎn)。階極點(diǎn)。1( )f z35三、留數(shù)定理的應(yīng)用三、留數(shù)定理的應(yīng)用 1、計(jì)算閉合回路積分；、計(jì)算閉合回路積分； 例例1 133

19、sin(4) (1)(2)zzdzzzz 計(jì)算積分解： 3sin( )(4) (1)(2)zf zzzz，其奇點(diǎn)為：z1=4, z2=2, z3=1 只有單極點(diǎn)z2=2, z3=1 在積分回路內(nèi)。 31sinsin1Re(1)lim(4) (2)27zzsfzz2Re(1)Re(2)Iisfsfsin1sin22()278i32sinsin2Re(2)lim(4) (1)8zzsfzz 3611201(cos ,sin )(,)22zzzzzdzRxx dxRiiz 類型一：類型一：類型二：類型二：( )2 ( )f x dxi f z在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)和 ( )f zi在實(shí)軸上所有單極

20、點(diǎn)的留數(shù)和2、計(jì)算三種類型實(shí)變函數(shù)定積分；、計(jì)算三種類型實(shí)變函數(shù)定積分； 類型三：類型三：01( )cos( )2imxF xmxdxF x edx01( )sin( )2imxG xmxdxG x edxi(2)imzF z ei在實(shí)軸上所有單極點(diǎn)的留數(shù)之和( )imzF z ei在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和)(2留數(shù)之和在實(shí)軸上所有單極點(diǎn)的imzezG( )imzG z e在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和37201254cosIdxx例計(jì)算 =解：解： 21011154cos542zdzdxzzxiz 111542zdzzziz 2111522zdzizz 111( 21)(2)zdzizz

21、38111( 21)(2)zIdzizz 且其留數(shù)為且其留數(shù)為 只有單極點(diǎn)只有單極點(diǎn) 在圓在圓 內(nèi)，內(nèi)， 21z1z1( )( 21)(2)f zzz1211lim()2 ( 21)(2)zzzz1Re( )2sf1323111( 21)(2)zIdzizz 112Re( )2isfi3944,0.dxaxa例3 計(jì)算其中解：解： 441)(azzf 設(shè)設(shè)，解方程解方程044 az3, 2, 1, 0,:04)12(44 kaezazikk 有四個(gè)根有四個(gè)根，即即ikeaaz )12(444 所以所以47345243140iiiiaezaezaezaez ，即：即：10, zz 明顯，只有明顯

22、，只有 在上半平面，且為在上半平面，且為 f (z) 的一階極點(diǎn)，因此的一階極點(diǎn)，因此01442Re()Re( )dxisf zsf zxa40Re()lim() ( )kkkzzsf zzzf z44limkkzzzzza44()lim()kkzzzzza31lim4kzzz34031Re()4isf zea3122()422ia94131Re()4isf zea3122()422ia4314iea331221222()()422422iiiaa322a01442Re()Re( )dxisf zsf zxa341izae40izae412220sin4,0()xmxdx axa例計(jì)算解：解：

23、 222( )( )()imzimzzf zG z eeza有兩個(gè)二階極點(diǎn)有兩個(gè)二階極點(diǎn) ， ai其中其中 在上半平面，在上半平面， ai22221Re()lim()1!()imzzaidzesf aizaidzza2lim()imzzaidzedzzai4mamea2222220sin1()2()imxxmxxedxdxxaixa12Re()2Iisf aiiRe()sf ai4mameaRe()Isf ai4mameaP61 例例742第五章第五章 傅里葉變換傅里葉變換 一、傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)1 1、周期函數(shù)、周期函數(shù)(T=2l)的傅里葉展開的傅里葉展開 一般周期函數(shù)：一般周期函數(shù)：

24、 (5.1.3)、(5.1.5)；P88 奇函數(shù)：奇函數(shù)： (5.1.8)、(5.1.9)； P90 偶函數(shù)：偶函數(shù)： (5.1.10)、(5.1.11)；P90 傅里葉正弦級(jí)數(shù)傅里葉正弦級(jí)數(shù)傅里葉余弦級(jí)數(shù)傅里葉余弦級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)432 2、定義在有限區(qū)間、定義在有限區(qū)間(0,(0,l) )上的函數(shù)的傅里葉展開上的函數(shù)的傅里葉展開 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)f(x)的邊界的邊界（區(qū)間的端點(diǎn)區(qū)間的端點(diǎn)x=0, x=l）上的行為提出上的行為提出限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。 (1)、邊界條件為邊界條件為f(0)=0,(0)=0,

25、f( (l)=0)=0 應(yīng)延拓成以應(yīng)延拓成以2 2l為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù) ( (奇延拓奇延拓) ) 1( )sinkkkf xbxl02( )sinlkkbfdll(2)、邊界條件為邊界條件為應(yīng)延拓成以應(yīng)延拓成以2l為周期的偶函數(shù)為周期的偶函數(shù) ( (偶延拓偶延拓) ) (0)0,( )0ffl01( )coskkkf xaaxl02( )coslkkkafdll44(3)、邊界條件為邊界條件為(0)0,( )0ffl01()2( )sinkkkxf xbllkdlkflb0)21(sin)(2根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件f(0)=0應(yīng)將函數(shù)應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn)的端

26、點(diǎn)x=0作奇延拓。作奇延拓。 又根據(jù)邊界條件又根據(jù)邊界條件 ，應(yīng)將函數(shù)，應(yīng)將函數(shù) f( (x) )對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間(0,(0,l) )的端點(diǎn)的端點(diǎn)x= =l作偶延拓，作偶延拓， ( )0f l 然后以然后以4l為周期向整為周期向整個(gè)實(shí)軸延拓，延拓以后的函數(shù)是個(gè)實(shí)軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以以4l為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)。 45(4)、邊界條件為邊界條件為(0)0,( )0ff l01()2( )coskkkxf xallkdlkfla0)21(cos)(2 又根據(jù)邊界條件又根據(jù)邊界條件f (l)=0 ，應(yīng)將函數(shù)，應(yīng)將函數(shù)f( (x) )對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間(0,(0,l) )的端點(diǎn)的端點(diǎn)x= =l作奇延

27、拓，作奇延拓， 然后以然后以4l為周期向整為周期向整個(gè)實(shí)軸延拓，延拓以后的函數(shù)是個(gè)實(shí)軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以以4l為周期的偶函數(shù)為周期的偶函數(shù)。 根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件 應(yīng)將函數(shù)應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn)的端點(diǎn)x=0作偶延拓。作偶延拓。 (0)0f 46實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分和傅里葉變換實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分和傅里葉變換: : 00 xdBxdAxfsin)(cos)()(其中其中 dfAcos)()(1dfBsin)()(1復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分: :*1( )( )2i xFf x edxdeFxfxi)()(二、傅里葉積分二、傅里葉積分 f(x)非周期

28、函數(shù)非周期函數(shù) x (- , )可以寫成對(duì)稱的形式可以寫成對(duì)稱的形式: : deFxfxi)(21)(*1( )( )2i xFf x edx47三、三、 函數(shù)函數(shù)1、 函數(shù)函數(shù)定義定義2、 函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)挑選性：挑選性： 00( ) ()()f xxx dxf xdexxi21)(3、 函數(shù)函數(shù)的傅里葉積分的傅里葉積分滿足下面兩個(gè)條件滿足下面兩個(gè)條件: : 的函數(shù)的函數(shù) ( x- x0)稱為稱為 函數(shù)函數(shù)。 0000()()()xxxxxx(1)(2)1)(0dxxx48定解問題定解問題泛定方程泛定方程定解條件定解條件初始條件初始條件: :說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條

29、件 邊界條件邊界條件: :說明邊界上的約束情況的條件說明邊界上的約束情況的條件 波動(dòng)方程波動(dòng)方程輸運(yùn)方程輸運(yùn)方程穩(wěn)定場(chǎng)方程穩(wěn)定場(chǎng)方程2( , )ttxxua uf x t2( , )txxua uf x t( )uf r 第七章第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理定解問題 銜接條件銜接條件490( , , , )( , , )tu x y z tx y z桿或弦的振動(dòng)：桿或弦的振動(dòng)：0( , , , )( , , )ttu x y z tx y z表示初始的位移表示初始的位移表示初始的速度表示初始的速度初始條件：初始條件： 給出某一初始時(shí)刻給出某一初始時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)整個(gè)系統(tǒng)的已知狀態(tài)。的已知狀態(tài)。

30、在在熱傳導(dǎo)現(xiàn)象熱傳導(dǎo)現(xiàn)象中，初始條件就是給出初始時(shí)刻中，初始條件就是給出初始時(shí)刻系統(tǒng)中每點(diǎn)的系統(tǒng)中每點(diǎn)的溫度溫度u之值。之值。 0( )tuT r其中其中T(r)是已知函數(shù)。是已知函數(shù)。 50如：如： 2ttxxua uf 00( )( )tttuxux2txxua uf 0( )tux( , , )ug x y z 不需要初始條件不需要初始條件 一般地說，一般地說，初始條件的個(gè)數(shù)等于初始條件的個(gè)數(shù)等于數(shù)理方程所含有數(shù)理方程所含有的的對(duì)時(shí)間最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)時(shí)間最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。 51(1)(1)、桿或弦兩端固定、桿或弦兩端固定 0),(0 xtxu0),(lxtxu常見的邊界條件：常見的

31、邊界條件：邊界條件：邊界條件： 給出系統(tǒng)的邊界在給出系統(tǒng)的邊界在各個(gè)時(shí)刻各個(gè)時(shí)刻的已知狀態(tài)。的已知狀態(tài)。 三類線性邊界條件：三類線性邊界條件：P123(1)(1)、第一類邊界條件：、第一類邊界條件： )(tfu(2)(2)、第二類邊界條件：、第二類邊界條件： )(tfnu(3)(3)、第三類邊界條件：、第三類邊界條件： )()(tfnuHu5200 xxu0 xx lu(2)(2)、桿兩端自由、桿兩端自由 (3)、桿的兩端保持恒溫、桿的兩端保持恒溫T 0( , )xu x tT( , )x lu x tT(4)、兩端絕熱、兩端絕熱 00 xxuuqkix 0lxxu0 x53(5)、兩端有熱流

32、強(qiáng)度為、兩端有熱流強(qiáng)度為f(t)的熱流流出的熱流流出 0 xl f(t) f(t)在在x=0端端:ktfuxx)(0ktfulxx)(0( )xukf tx ( )x lukf tx在在x=l端端:uqkix 同理得，兩端有熱流強(qiáng)度為同理得，兩端有熱流強(qiáng)度為f(t)的熱流的熱流流入流入，則，則 0( )( ),xxxx lf tf tuukk 54數(shù)學(xué)物理定解問題的適定性數(shù)學(xué)物理定解問題的適定性: (1) 解的存在性解的存在性 看所歸結(jié)出來的定解問題是否有解； (2) 解的唯一性解的唯一性 看是否只有一個(gè)解 (3) 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性 當(dāng)定解問題的自由項(xiàng)自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí)，解是否相

33、應(yīng)地只有微小的變化量 定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性定解問題的適定性. 55解：弦僅在解：弦僅在x0處受策動(dòng)力作用，故其定解問題為：處受策動(dòng)力作用，故其定解問題為： 200sin()ttxxFtxxua u 00 xx luu000tttuu例例1 1：長為：長為l的均勻弦，兩端的均勻弦，兩端x=0和和x=l固定，固定，在點(diǎn)在點(diǎn)x0(0 x0l)受受諧變力諧變力F0sin t的作用的作用而作微小振動(dòng)，試寫出其定解問題。而作微小振動(dòng)，試寫出其定解問題。 56解定解問題三步曲：解定解問題三步曲： （1 1）寫出正確的定解問題；）寫出正確的定解問題； （2 2）邊界條件齊次

34、化；）邊界條件齊次化； （3 3）求解）求解傅氏級(jí)數(shù)法或分離變數(shù)法傅氏級(jí)數(shù)法或分離變數(shù)法. . 第八章第八章 分離變數(shù)法分離變數(shù)法 57分離變數(shù)法分離變數(shù)法 齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程 齊次的邊界條件齊次的邊界條件 傅里葉級(jí)數(shù)法傅里葉級(jí)數(shù)法 齊次或非齊次的齊次或非齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程方程 齊次的邊界條件齊次的邊界條件 58一、分離變數(shù)法解題步驟一、分離變數(shù)法解題步驟 (1) 對(duì)齊次方程和齊次邊界條件分離變量；對(duì)齊次方程和齊次邊界條件分離變量；(2) 解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問題；解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問題；(3)求其它常微分方程的解

35、，與本征函數(shù)相乘，得求其它常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，得 到本征解。到本征解。(4) 迭加所有本征解，由初始條件或非齊次邊界條件迭加所有本征解，由初始條件或非齊次邊界條件 確定迭加系數(shù)，而最后得到所求定解問題的解。確定迭加系數(shù)，而最后得到所求定解問題的解。59例例1 1：用分離變數(shù)法求定解問題用分離變數(shù)法求定解問題200000,(0)0,0,0ttxxxx ltttua uxluuuu u先以分離變數(shù)形式的試探解先以分離變數(shù)形式的試探解 解：解： 代入泛定方程代入泛定方程(1)和邊界條件和邊界條件(2)，得，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta

36、 T(1)(2)(3)(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l60222lnn(1,2,3,)n 1( )sinnn xXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問題本征值問題 本征值：本征值：本征函數(shù)：本征函數(shù)：0)()(2222 tTlantTnn02 TaT其通解為其通解為 相應(yīng)的本征解相應(yīng)的本征解 tlanBtlanAtTnsincos)(1,2,3,)n )()(),(tTxXtxunnn(cossin)sinnnn an anAtBtxlll(1,2,3,)n 一般解是所有本征解的線性迭加，一般解是所有本征解的線性迭加， 1( , )(

37、)( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)61一般解是所有本征解的線性迭加，一般解是所有本征解的線性迭加， 代入初始條件，代入初始條件，00,0tntuB01sinnnnAxul1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)lnxdxlnluA00sin2021 ( 1) nun 00,24,21(21)nkunkk00) 12(sin) 12(cos) 12(4),(kxlktlakkutxu62例例2 2：用分離變數(shù)法求定解問題用分離變數(shù)法求定解問題2000,

38、(0)0,0( )txxxxx ltua uxluuux(1)(2)(3)先以分離變數(shù)形式的試探解先以分離變數(shù)形式的試探解 解：解： 代入泛定方程代入泛定方程(1)和邊界條件和邊界條件(2)，得，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l632221()2nnl(0,1,2,3,)n 21()2( )cosnnxXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問題本征值問題 本征值：本征值：本征函數(shù)：本征函數(shù)：22221()2( )( )0nnnaTtT tl其通解為其通解

39、為 )()(),(tTxXtxunnn相應(yīng)的本征解相應(yīng)的本征解 20Ta T22221()2( )natlnT tCe22221()21()2cosnatlnnxC el(0,1,2,)n 一般解是所有本征解的線性迭加，一般解是所有本征解的線性迭加， 0( , )( )( )nnnu x tXx T t22221()201()2cosnatlnnnxC el64代入初始條件，代入初始條件，0( )tux01()2cos( )nnnxCxl01()22( )coslnnCdll 所求的定解問題的解為：所求的定解問題的解為： 22221()201()2( , )cosnatlnnnxu x tC

40、el22221()20011()()222( , )( )coscosnaltlnnnxu x tdelll 650(1)0,0;xx luu1( , )( )sinnnn xu x tT tl0(2)0,0;xxxx luu0( , )( )cosnnn xu x tT tl0(3)0,0;xxx luu01()2( , )( )sinnnnxu x tT tl0(4)0,0;xxx luu01()2( , )( )cosnnnxu x tT tl 運(yùn)用傅氏級(jí)數(shù)法求定解問題，要注意在不同運(yùn)用傅氏級(jí)數(shù)法求定解問題，要注意在不同齊次邊界條件下，所求定解問題的解展開為不同形齊次邊界條件下，所求定解

41、問題的解展開為不同形式的傅里葉級(jí)數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù)，二、傅里葉級(jí)數(shù)法二、傅里葉級(jí)數(shù)法66三、熟練掌握如何把非齊次邊界條件齊次化：三、熟練掌握如何把非齊次邊界條件齊次化： (1)、若是第一類非齊次邊界條件、若是第一類非齊次邊界條件 可設(shè)可設(shè) )()(),(tBxtAtxv可將可將w(x,t)的邊界條件齊次化。的邊界條件齊次化。 120( ),( )xx luf tuf t引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)v(x,t)，令，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使使v(x,t)滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)u(x,t)滿足的非齊次滿足的非齊次邊界條件的定解問題邊界條件的定解問題

42、變換為函數(shù)變換為函數(shù)w(x,t)滿足的齊次滿足的齊次邊邊界條件的定解問題界條件的定解問題。 67120( ),( )xxxx luf tuf t可設(shè)可設(shè) 2( , )( )( )v x tA t xB t x可將可將w( (x, ,t) )的邊界條件是齊次的，的邊界條件是齊次的， (3)、若是第一、二類非齊次邊界條件、若是第一、二類非齊次邊界條件 120( ),( )xxx luf tuf t120( ),( )xxx luf tuf t或或可設(shè)可設(shè) )()(),(tBxtAtxv可將可將w(x,t)的邊界條件齊次化。的邊界條件齊次化。 (2)、若是第二類非齊次邊界條件、若是第二類非齊次邊界條

43、件 68例例3、求定解問題、求定解問題 解：設(shè),uwv000,xx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式000( ),( )( )0B tuA t luuA t0vu 200000000000,(0),(),(0)ttxxxx ltttua uxluu uuuuuxxxluu200000000,0(),ttxxxx ltttwa wwwwuxxwu69由于邊界條件是第一類齊次邊界條件，所以設(shè)1( )sinnnnwT txl代入泛定方程，得02222 nnTlanTcossinnnnn atn atTABll1( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBt

44、xlll22221sin0nnnnanTTxll200000000,0(),ttxxxx ltttwa wwwwuxxwu701( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBtxlll代入初始條件，0001sin()ntnn xwAxuxxl所求的定解問題的解為： 001sintntnn anuBx ull0000022()sinsinlnn xnAuxxxdxullll00000()22sin1 ( 1) 4()lnnnunBuxdxun aln ann a 為偶數(shù)為奇數(shù)000000241(2)(21)sincossinsinsin(21)nkun xun atnnat

45、nxuuxllllanll71例例4、求定解問題、求定解問題 2010000,(0),txxxxx ltua uxluu uuuu解： 設(shè)uwv010,xxx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式01( ), ( )B tuA tu10vu xu 201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 72201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 由于邊界條件是第一類齊次邊界條件，所以設(shè)01()2sinnnnxwTl代入泛定方程，得22221()20nnnaTTl22221()2( )natlnnT tC e22221()201()2( , )sinnatln

46、nnxw x tC el代入初始條件，101()2sinnnnCxu xl 101()22sinlnnxuCxdxll 11222( 1)1()2nu ln定解問題的解為 22221()121012201()2( 1)2( , )sin1()2nantlnnu lu x tuu xexln731 1、掌握勒讓德方程本征值問題的解及其性質(zhì)、掌握勒讓德方程本征值問題的解及其性質(zhì) (1) l階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問題階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問題 1( )xy x 當(dāng)時(shí)有限0) 1(2)1 (2 yllyxyx(自然邊界條件自然邊界條件)本征值問題本征值問題本征值本征值是是l

47、 (l+1) 本征函數(shù)本征函數(shù)則是則是l階勒讓德多項(xiàng)式階勒讓德多項(xiàng)式Pl(x)。 (0,1,2)l 第十章第十章 球函數(shù)球函數(shù) 74(2)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 1)、正交性正交性 不同階的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間不同階的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間(-1, 1)上正交，上正交， 11( ) ( )0()klP x P x dxkl2)2)、勒讓德多項(xiàng)式的模、勒讓德多項(xiàng)式的模 221lNl(0,1,2,)l 753)3)、勒讓德多項(xiàng)式的全體構(gòu)成完備組、勒讓德多項(xiàng)式的全體構(gòu)成完備組 如何將一個(gè)定義在如何將一個(gè)定義在x的區(qū)間的區(qū)間-1, 1上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)展開成展開成廣義傅里葉級(jí)數(shù)廣義傅里葉

48、級(jí)數(shù)： 一般公式：一般公式： 0)()(lllxPfxf展開系數(shù)展開系數(shù) 11)()(212dxxPxflfll待定系數(shù)法待定系數(shù)法 僅適用于僅適用于f(x)是關(guān)于是關(guān)于x的次冪的多項(xiàng)式的次冪的多項(xiàng)式 76(3)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 母函數(shù)母函數(shù) 2cos211),(rrrw211 2 cosrr101(cos )lllPr0(cos )lllr P) 1( r(1)r 10(cos )llllrPR2212cosRrRr10(cos )llllRPr()rR()rR以半徑為以半徑為R的球代替單位球，則的球代替單位球，則 773、掌握關(guān)于極軸對(duì)稱拉掌握關(guān)于極軸對(duì)稱拉氏方程在球坐標(biāo)系下的解：氏方程在球坐標(biāo)系下的解： 關(guān)于軸對(duì)稱的拉氏