2019-2020年高中數(shù)學(xué)3.1.1兩角差的余弦公式教案新人教A版必修4

1、2019-20202019-2020 年高中數(shù)學(xué)年高中數(shù)學(xué) 3.1.13.1.1 兩角差的余弦公式教案新人教兩角差的余弦公式教案新人教 A A 版必修版必修 4 4本章知識(shí)框圖本章知識(shí)框圖簡單三角恒等變換本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換.變換是數(shù)學(xué)的重要工具,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一在本冊(cè)第一章,學(xué)生接觸了同角三角函數(shù)公式.在本章，學(xué)生將運(yùn)用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式,由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角變換公式,并運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的

2、過程中,發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力,并體會(huì)三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會(huì)它們?cè)跀?shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.本章內(nèi)容安排按兩條線進(jìn)行，一條明線是建立公式，學(xué)習(xí)變換;一條暗線就是發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力,并且發(fā)展能力的要求不僅僅體現(xiàn)在學(xué)習(xí)變換過程之中,也體現(xiàn)在建立公式的過程之中因此在本章教學(xué)中，教師要特別注意恰時(shí)恰點(diǎn)地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問題，使學(xué)生能依據(jù)三角函數(shù)式的特點(diǎn)，逐漸明確三角函數(shù)恒等變換不僅包括式子的結(jié)構(gòu)形式變換，還包括式子中角的變換,以及不同三角函數(shù)之間的變換，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)變換思路的意識(shí).突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上

3、進(jìn)行引導(dǎo)，本章不僅關(guān)注使學(xué)生得到和（差）角公式,而且還特別關(guān)注公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法例如，在兩角差的余弦公式這一關(guān)鍵性問題的解決中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應(yīng)用；從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式，在這個(gè)過程中,始終引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)化歸思想；在應(yīng)用公式進(jìn)行恒等變換的過程中,滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法,特別是充分發(fā)揮了“觀察”“思考”“探究”等欄目的作用，對(duì)學(xué)生解決問題的一般思路進(jìn)行引導(dǎo)，這對(duì)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣能起到積極的促進(jìn)作用另外，還在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)θ亲儞Q中的數(shù)學(xué)思想方法作了明確的總結(jié)例如，在旁白中有“倍

4、是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的,2a 是 a 的二倍,4a 是 2a 的二倍,這里蘊(yùn)含著換元的思想”等，都是為了加強(qiáng)思想方法而設(shè)置的.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是歷屆高考考查的“重點(diǎn)”和“熱點(diǎn)”，在高考中占有重要的地位，主要考查對(duì)這十一個(gè)公式的正用、逆用、變形用，考查對(duì)公式的熟練掌握程度和靈活運(yùn)用能力，其考查難度屬低檔,這就要求我們不要過分引導(dǎo)學(xué)生去挖掘一些特殊的變化技巧，應(yīng)把主要精力放在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)律和通性通法上.教師在教學(xué)中，要注意控制好難度因?yàn)榻鼛啄甑母呖贾袑?duì)三角部分的考查難度降低，但教材中部分習(xí)題卻有一定難度，因此教師要把握好難度.本章教學(xué)時(shí)間約需 8 課時(shí),具體分配如下

5、（僅供參考）：節(jié)次標(biāo)題課時(shí)3.1.1兩角差的余弦公式1 課時(shí)3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式2 課時(shí)3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1 課時(shí)3.2簡單的三角恒等變換2 課時(shí)本章復(fù)習(xí)2 課時(shí)差角余弦公式和差公式倍角公式3.13.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.13.1.1 兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式整體設(shè)計(jì)整體設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析一、教學(xué)分析本節(jié)是以一個(gè)實(shí)際問題做引子，目的在于從中提出問題,引入本章的研究課題在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識(shí)布列方程的過程中，提出了兩個(gè)問題:實(shí)際問題中存在研究像 tan(45+a)這樣的包含

6、兩個(gè)角的三角函數(shù)的需要;實(shí)際問題中存在研究像 sina 與tan(45+a)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與 a、45單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.以實(shí)例引入課題也有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的聯(lián)系,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過程.本節(jié)首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì) cos(a-B)的結(jié)果進(jìn)行探究，讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力，進(jìn)行猜想,給出所有可能的結(jié)果，然后再去驗(yàn)證其真假這也展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的具體過程,最后提出了兩種推導(dǎo)證明“兩角差的余弦公式”的方案方案一，利用單位圓上的三角函數(shù)線進(jìn)行探索、推導(dǎo)，讓學(xué)生動(dòng)手畫圖,構(gòu)造出 a-B 角，利用學(xué)過的三角函數(shù)知識(shí)探索存在

7、一定的難度,教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).方案二，利用向量知識(shí)探索兩角差的余弦公式時(shí)，要注意推導(dǎo)的層次性:在回顧求角的余弦有哪些方法時(shí)，聯(lián)系向量知識(shí)，體會(huì)向量方法的作用;結(jié)合有關(guān)圖形,完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備;探索過程不應(yīng)追求一步到位,應(yīng)先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問題及其線索進(jìn)行探索，然后再反思，予以完善;補(bǔ)充完善的過程，既要運(yùn)用分類討論的思想，又要用到誘導(dǎo)公式.本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué)，教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律,應(yīng)注意以下幾方面:要使學(xué)生了解公式的由來;使學(xué)生認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特征，加以記憶;使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明;通過例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用公式進(jìn)行解答有關(guān)問題.二、教學(xué)目標(biāo)二、

8、教學(xué)目標(biāo)1 1 知識(shí)與技能：知識(shí)與技能：通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2.2. 過程與方法：過程與方法：通過兩角差的余弦公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明，體會(huì)化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用，使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.3. 情感態(tài)度與價(jià)值觀：情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)探究的樂趣，認(rèn)識(shí)到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題

9、.創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí),從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法三、重點(diǎn)難點(diǎn)三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn): :通過探究得到兩角差的余弦公式教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn): :探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo).四、課時(shí)安排四、課時(shí)安排1 課時(shí)五、教學(xué)設(shè)想五、教學(xué)設(shè)想( (一一) ) 導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課思路思路 1.1.(問題導(dǎo)入)播放多媒體，出示問題，讓學(xué)生認(rèn)真閱讀課本引例在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識(shí)布列方程的過程中，提出了兩個(gè)問題:實(shí)際問題中存在研究像tan(45+a)這樣的包含兩個(gè)角的三角函數(shù)的需要;實(shí)際問題中存在研究像 si

10、na 與 tan(45+a)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與 A、 45單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.在此基礎(chǔ)上， 再一般化而提出本節(jié)的研究課題進(jìn)入新課思路思路 2 2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道 cos45=,cos30=，由此我們能否得到cosl5=cos(45-30)=?這里是不是等于 cos45-cos30呢？教師可讓學(xué)生驗(yàn)證，經(jīng)過驗(yàn)證可知,我們的猜想是錯(cuò)誤的那么究竟是個(gè)什么關(guān)系呢？cos(A-B)等于什么呢？這時(shí)學(xué)生急于知道答案,由此展開新課:我們就一起來探討“兩角差的余弦公式”這是全章公式的基礎(chǔ).( (二二) ) 推進(jìn)新課、新知探究、提出問題推進(jìn)新課、新知探究、提出問題1請(qǐng)學(xué)生猜想

11、cos(a-B)=?2利用前面學(xué)過的單位圓上的三角函數(shù)線，如何用A、B 的三角函數(shù)來表示 cos(a-B)呢？3利用向量的知識(shí)，又能如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn) cos(a-B)=?4細(xì)心觀察 C(、公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？其中 a、B 角的取值范圍如何？(a-B)5如何正用、逆用、靈活運(yùn)用 C(B、公式進(jìn)行求值計(jì)算？(a-B)活動(dòng)活動(dòng)：問題，出示問題后，教師讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下，大膽猜想，有的同學(xué)可能就首先想到 cos(a-B)=cosa-cosp 的結(jié)論，此時(shí)教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，然后讓學(xué)生由特殊角來驗(yàn)證它的正確性.如 a=60,p=30,則 cos(a-p)=cos30=,而 cosa-cosp=

12、cos60-cos30=,這一反例足以說明 cos(a-p)Mcosa-cosp.讓學(xué)生明白，要想說明猜想正確，需進(jìn)行嚴(yán)格證明，而要想說明猜想錯(cuò)誤，只需一個(gè)反例即可.問題，既然 cos(a-p)Mcosa-cosp，那么 cos(a-p)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題，是 a-p 這個(gè)角的余弦問題,我們能否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢？如圖 1,設(shè)角 a 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為 Pi,ZP0Pi=p，則 ZP0 x=a-p過點(diǎn) P 作 PM 垂直于 x 軸,垂足為 M,那么 OM 就是角 a-p 的余弦線，即 OM=cos(a-p)，這里就是要用角 a、P 的正弦線、余弦線

13、來表示 OM.過點(diǎn) P 作 PA 垂直于 OP1，垂足為 A,過點(diǎn) A 作 AB 垂直于 x 軸,垂足為 B,過點(diǎn) P 作 PC垂 直 于 AB, 垂 足 為 C. 那 么 ， 0A 表 示 cosP,AP 表 示 sinP ， 并 且 ZPAC=ZpOx=a. 于 是 ，0M=0B+BM=0B+CP=0Acosa+APsina 二 cospcosa+sinpsina,所以,cos(a-p)=cosacosp+sinasinp.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，以上的推理過程中，角 a、p、a-p 是有條件限制的，即 a、p、a-p 均為銳角，且 ap，如果要說明此結(jié)果是否對(duì)任意角 a、p 都成立，還要

14、做不少問題， 教師引導(dǎo)學(xué)生， 可否利用剛學(xué)過的向量知識(shí)來探究這個(gè)問題呢？如圖 2,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)作單位圓 O,以 Ox 為始邊作角 a、B,它們的終邊與單位圓 0 的交點(diǎn)分別為 A、B,貝=(cosa,sina),=(cosp,sinp),ZAOB=a-p.由向量數(shù)量積的定義有=|cos(a-p)=cos(a-p),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有=(cosa,sina)(cosp,sinp)=cosacosp+sinasinp,于是,cos(a-p)=cosacosp+sinasinp.我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用向量工具進(jìn)行探究推導(dǎo)，過程相當(dāng)簡潔，但在向量數(shù)量積的概念中，角 a-p必須符合條件 O

15、Wa-pWn，以上結(jié)論才正確，由于 a、p 都是任意角,a-p 也是任意角，因此就是研究當(dāng) a-p 是任意角時(shí)，以上公式是否正確的問題.當(dāng) a-p 是任意角時(shí),由誘導(dǎo)公式,總可以找到一個(gè)角 0 丘0,2n)，使 cos0=cos(a-p)，若 0 丘0,n,則=cos0=cos(a-p).若 0en,2n,貝V2n-00,n,且二 cos(2n-0)=cos0=cos(a-p).由此可知，對(duì)于任意角 a、p 都有cos(a-p)=cosacosp+sinasinp(C)L(ap)此公式給出了任意角 a、p 的正弦、余弦值與其差角 a-p 的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式,簡記為 C.有了

16、公式 C、以后，我們只要知道 cosa、cosp、sina、sinp 的值，就可以求得 cos(a-p)的值了.問題，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式 C(、的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩(a-p)角差的余弦”，右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”，可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶， 特別是運(yùn)算符號(hào)， 左“-”右“+”或讓學(xué)生進(jìn)行簡單填空， 如： cos(A-B)二,cos(0-Q)=等.因此，只要知道了 sina、cosa、sinp、cosp 的值就可以求得 cos(a-p)的值了.問題，對(duì)于公式的正用是比較容易的，關(guān)鍵在于“拆角”的技巧，而公式的逆用則需要學(xué)生的逆向思維的靈活性,特

17、別是變形應(yīng)用，這就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察能力和熟練的運(yùn)算技巧.如 cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=，cosa=cos(a+p)-p=cos(a+p)cosp+sin(a+p)sinp.討論結(jié)果討論結(jié)果: :一略.( (三三) )應(yīng)用示例應(yīng)用示例思路思路 1 1例 1 利用差角余弦公式求 cos15的值.活動(dòng)活動(dòng): :先讓學(xué)生自己探究,對(duì)有困難的學(xué)生教師可點(diǎn)撥學(xué)生思考題目中的角 15,它可以拆分為哪些特殊角的差，如 15=45-30或者 15=60-45，從而就可以直接套用公5式 C(R、計(jì)算求值教師不要包辦，充分讓學(xué)生自己獨(dú)立完成，在學(xué)生的具體操作

18、下，體會(huì)公式(a-p)的結(jié)構(gòu)，公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于很快就完成的同學(xué),教師鼓勵(lì)其換個(gè)角度繼續(xù)探究.解：解：方法一：cosl5=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30邁、月216+邁二.X+X二一22224方法二：cosl5=cos(6045)=cos60cos45+sin60sin45點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :本題是指定方法求 cos15的值，屬于套用公式型的，這樣可以使學(xué)生把注意力集中到使用公式求值上但是仍然需要學(xué)生將這個(gè)非特殊角拆分成兩個(gè)特殊角的差的形式，靈活運(yùn)用公式求值.本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角， 但可以拆分成兩角差的情形.至

19、于如何拆分,讓學(xué)生在應(yīng)用中仔細(xì)體會(huì).變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.不查表求 sin75,sinl5的值解：解：sin75=cosl5=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin3023邁16+=2=X+X二一2232416點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :本題是例題的變式，比例題有一定的難度，但學(xué)生只要細(xì)心分析，利用相關(guān)的誘導(dǎo)公式,不難得到上面的解答方法.2.不查表求值:cosll0cos20+sinll0sin20.解解: :原式二 cos(110-20)=cos90=0.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :此題學(xué)生一看就有似曾相識(shí)而又無從下手的感覺，需要教師加以引導(dǎo)，讓學(xué)生細(xì)心觀察，再結(jié)合公式 C(、的右邊的特征，逆用公式

20、便可得到 cos(110-20).這就是公式逆(a-p)用的典例，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性.例 2 已知 sina=，a 丘(,n)，cosp=，p 是第三象限角，求 cos(a-p)的值.活動(dòng)活動(dòng): :教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征， 聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式， 學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，欲求 cos(a-p)的值，必先知道 sina、cosa、sinp、cosp 的值,然后利用公式 C廠即可求解從已知條件看，還少 cosa 與 sinp 的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出，但是這里必須讓學(xué)生注意利用同角的平方和關(guān)系式時(shí)， 角 a、 p 所在的象限， 準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號(hào).本例可由學(xué)生自己獨(dú)立完成.

21、=X+遼X遇6+邁222：8-2、鬲X42_v6-邁sin155解解: :由 sina=,a 丘(,n)，得又由 cosp=,p 是第三象限角，得sinB=7-沖卩=飛1-(-春)2一H所以 cos=(-3)x(,、 ,51351365點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :本題是直接運(yùn)用公式 C(、求值的基礎(chǔ)練習(xí)，但必須思考使用公式前應(yīng)作出的必要(a-B)準(zhǔn)備特別是運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式求值時(shí),一定要弄清角的范圍，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào)教師可提醒學(xué)生注意這點(diǎn)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.w(0,n),cosp=,B 是第三象限角，求 cos(a-B)的值.丘,n)時(shí)，且 sina=,得 cosa=-丫1-sin2a-”

22、1-(了)2-5,5sinB=-；1一cos2卩=一：1一(13)2=所以 cos=(-)X(,、，51351365.當(dāng) a 丘(0,)時(shí)，且 sina=,得又由 cosB=,B 是第三象限角，得sinB=-1-cos2P所以 cos(a-B)=cosacosB+sinasinB3/5、4/12、6351351365點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :本題與例 2 的顯著的不同點(diǎn)就是角 a 的范圍不同.由于 ae(0,n)，這樣 cosa 的符號(hào)可正、可負(fù)，需討論,教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想，對(duì)角 a 進(jìn)行分類討論，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性教師強(qiáng)調(diào)分類時(shí)要不重不漏.思路思路 2 2例 1 計(jì)算：(

23、l)cos(-15);(a-B)=cosacosB+sinasinB5)+4x(-12)=33變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練已知sina=,a解解: :當(dāng) a又由 cosB=,B 是第三象限角，得(a-B)=cosacosB+sinasinB5)+4x(-12)=33C0Saf1-血2a12132爲(wèi)-21v6+42(2)cosl5cosl05+sinl5sinl05;(3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y).活動(dòng)活動(dòng): :教師可以大膽放給學(xué)生自己探究,點(diǎn)撥學(xué)生分析題目中的角-15， 思考它可以拆分為哪些特殊角的差，如-15=15-30或-15=45-60，然后套用公式求值即可也可化 cos(

24、-15)=cos15再求值.讓學(xué)生細(xì)心觀察(2)(3)可知,其形式與公式 C(、的右邊一(a-B)致，從而化為特殊角的余弦函數(shù).解：解：(1)原式二 cosl5=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin302爲(wèi)-21v6+4222224(2)原式二 cos(15T05)=cos(-90)=cos90=0.(3)原式二 cosx-(x+y)二 cos(-y)二 cosy.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :本例重點(diǎn)是訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行計(jì)算求值,從不同角度培養(yǎng)學(xué)生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力，為后面公式的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ).例 2 已知 cosa=,cos(a+B)=,且

25、a、B 丘(0,)，求 cosp 的值.活動(dòng)活動(dòng): :教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的條件與所求，讓學(xué)生探究 a、a+p、p 之間的關(guān)系,也就是尋找已知條件中的角與所求角的關(guān)系學(xué)生通過探究、 討論不難得到 p=(a+p)-a 的關(guān)系式,然后利用公式 C(、求值即可但還應(yīng)提醒學(xué)生注意由 a、p 的取值范圍求出(a-p)a+p 的取值范圍，這是很關(guān)鍵的一點(diǎn)，從而判斷 sin(a+p)的符號(hào)進(jìn)而求出 cosp.解：解：Va、pw(0,),.a+pe(0,n).又 Vcosa=,cos(a+p)=,.sina=sin(a+p)=又 Vp=(a+p)-a,.cosp=cos(a+p)cosa+sin(a+p)s

26、ina=(-)X+X_.1471472點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :本題相對(duì)于例 1 難度大有提高，但是只要引導(dǎo)適當(dāng)，學(xué)生不難得到 p=(a+p)-a的關(guān)系式，繼而運(yùn)用公式解決但值得注意的是 a+p 的取值范圍確定,也是很關(guān)鍵的，這是我們以后解題當(dāng)中常見的問題.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.求值:cosl5+sinl5.解解: :原式二cosl5+sinl5)=(cos45cosl5+sin45sinl5)=cos(45-15)=cos30=.2. 已知 sina+sinp=,cosa+cosp=,求 cos(a-p)的值.解：解：V(sina+sinp)2=()2,(cosa+cosp)2=()2,以上兩式展開兩邊分

27、別相加得2+2cos(a-p)=1,.*.cos(a-p)=.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :本題又是公式 C(、的典型應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵就是將已知中的兩個(gè)和式兩邊平方,從而得到公式 Cg 廠中 cosacosp 和 sinasinp 的值，即可求得 cos(a-p)的值，本題培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式解決問題的能力.3. 已知銳角 a、p 滿足 cosa=,tan(a-p)=,求 cosp.解：解：Va 為銳角，且 cosa=,得 sina=.又 V0a,0p,.-a-p.又 Vtan(a-p)=0,.*.cos(a-p)=.從而 sin(a-p)=tan(a-p)cos(a-p)=.cosp 二 co

28、sa-(a-B)二 cosacos(a-p)+sinasin(a-B)=x（四）課堂小結(jié)（四）課堂小結(jié)1. 先由學(xué)生自己思考、回顧公式的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用及掌握變角和拆角的思想方法解決問題然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下知識(shí)點(diǎn)小結(jié)：（1）怎么聯(lián)系有關(guān)知識(shí)進(jìn)行新知識(shí)的探究？（2）利用差角余弦公式方面：對(duì)公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識(shí);三角變換的特點(diǎn).2. 教師畫龍點(diǎn)睛:本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo)，要正確熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行解題， 在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱、 角的關(guān)系， 準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào).多對(duì)題目進(jìn)行一題多解，從中比較最佳解決問題的途徑,以達(dá)

29、到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟,領(lǐng)悟變換思路，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法之目的.（五）作業(yè)（五）作業(yè)2019-20202019-2020 年高中數(shù)學(xué)年高中數(shù)學(xué) 3.1.13.1.1 傾斜角與斜率新人教傾斜角與斜率新人教 A A 版必修版必修 2 2【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解直線的傾斜角的定義、范圍和斜率；2掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；3.能用公式和概念解決問題.【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：傾斜角與斜率的概念難點(diǎn)：直線的斜率與傾斜角的關(guān)系【教學(xué)過程】一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材，找出疑惑之處）復(fù)習(xí) 1：在直角坐標(biāo)系中,只知道直線上的一點(diǎn)，能不能確定一條直線呢？復(fù)習(xí) 2：在日常生活中，我們常說這個(gè)山坡很陡峭，有時(shí)也說坡度，這

30、里的陡峭和坡度說的是山坡與水平面之間的一個(gè)什么關(guān)系呢？二、新課導(dǎo)學(xué)探究點(diǎn)一：傾斜角的概念當(dāng)直線與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角（angleofinclination）.發(fā)現(xiàn)：直線向上方向；x 軸的正方向；小于平角的正角.注意注意: :當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為 0 0 度度.思考：在日常生活中，我們經(jīng)常用“升高量與前進(jìn)量的比”表示“坡度”，則坡度的公式是怎樣的？斜率與傾斜角的關(guān)系一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率（slope）.記為k=tan.試試：已知各直線傾斜角，則其斜率的值

31、為(1) =0時(shí)，則(2) 090，則(3) =90,，則(4) 90180，則已知直線上兩點(diǎn)(，()的直線的斜率公式：探究任務(wù)二：1. 已知直線上兩點(diǎn)運(yùn)用上述公式計(jì)算直線的斜率時(shí)，與 AB 兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序有關(guān)嗎？2.當(dāng)直線平行于軸時(shí)，或與軸重合時(shí)，上述公式還需要適用嗎？為什么？三、典型例題分析例例 1 1 已知直線的傾斜角，求直線的斜率：;解(略)變式變式：已知直線的斜率，求其傾斜角.(1) =0；(2)=1；(3)=；(4)不存在.解(略)例例 2 2 求經(jīng)過兩點(diǎn)(2,3),(4,7)AB 的直線的斜率和傾斜角，并判斷這條直線的傾斜角是銳角還是鈍角.解(略)變式變式. .1 求經(jīng)過下列兩點(diǎn)

32、直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.(1)A(2,3),BA(2,3),B(1,4)(1,4)；(2)(2)A A(5,0),(5,0),B(4,B(4,2)2). .解(略)2. 畫出斜率為 0,1,0,1,-1-1 且經(jīng)過點(diǎn)(1,0)的直線.3.判斷 A(-2,12),B(1,3),C(4,-6)三點(diǎn)的位置關(guān)系，并說明理由.解略四、四、總結(jié)提升1任何一條直線都有唯一確定的傾斜角，直線斜角的范圍是0,180).2直線斜率的求法：(1)利用傾斜角的正切來求；利用直線上兩點(diǎn)(,的坐標(biāo)來求；(3)當(dāng)直線的傾斜角=90時(shí)，直線的斜率是不存在的.3直線傾斜角、斜率、斜率公式三者之間的關(guān)系：直線的

33、傾斜角直線的斜率直線的斜率公式定義二 tana.取值范圍0,180)()五、五、當(dāng)堂檢測1.下列敘述中不正確的是()A.若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)B.每一條直線都惟一對(duì)應(yīng)一個(gè)傾斜角C與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角為 0。或 90D.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為 tana2.經(jīng)過 A(2,0),B(5,3)兩點(diǎn)的直線的傾斜角()A.45B.135C.90D.603.過點(diǎn) P(2,m)和 Q(m,4)的直線的斜率等于 1，貝 Vm 的值為().A.1B.4C.1 或 3D.1 或 44.直線經(jīng)過二、三、四象限，的傾斜角為，斜率為，則為角；的取值范圍.5.已知直線的傾斜角為，則關(guān)于軸對(duì)稱

34、的直線的傾斜角為【板書設(shè)計(jì)】一、直線的傾斜角二、直線的斜率三、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系四、求直線的斜率【作業(yè)布置】課后鞏固練習(xí)與提高3.1.13.1.1 直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率課前預(yù)習(xí)學(xué)案課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、一、預(yù)習(xí)目標(biāo)(1) 知道確定直線的要素(2) 知道直線傾斜角的定義(3) 知道直線的傾斜角與斜率的關(guān)系二、二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1、 在直角坐標(biāo)系中,只知道直線上的一點(diǎn),能不能確定一條直線呢？要想確定一條直線，的給出什么條件呢？2、通過咱們的預(yù)習(xí)，什么是直線的傾斜角？傾斜角的范圍是什么？3、什么是直線的斜率？它與直線的傾斜角的關(guān)系是什么？4、如果知道了直線上的兩個(gè)點(diǎn)，直線已經(jīng)確定了，那么如何求直線的斜率？5、練習(xí)：傾斜角為，求斜率傾斜角為，求斜率直線過點(diǎn)(18,8)(4，-4)求斜率直線過點(diǎn)(0,0)(-1，)求斜率課內(nèi)探究學(xué)案課內(nèi)探究學(xué)案一學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)1.理解直線的傾斜角的定義、范圍和斜率；2掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；3.能用公式和概念解決問題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：傾斜角與斜率的概念學(xué)習(xí)難點(diǎn)：直線的斜率與傾斜角的關(guān)系二、