課件分講概率統(tǒng)計(jì)15

1、5:35:511 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái)來(lái). 也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.第六章第六章 大數(shù)定律和大數(shù)定律和中心極限定理中心極限定理5:35:512 研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣

2、泛，其中最重要的有兩限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種種:與與大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律下面我們先介紹大數(shù)定律5:35:513 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率廢品率第一節(jié)第一節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律5:35:514 在第一章中我們指出,隨機(jī)事件的頻率某種穩(wěn)定性某種穩(wěn)定性. nnAfAn)(.當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),nnnAfAn)(具有具有清楚清楚, 現(xiàn)在就來(lái)說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在就來(lái)說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題. 對(duì)

3、于這一點(diǎn)對(duì)于這一點(diǎn), 大數(shù)定理將給于理論上的依據(jù)大數(shù)定理將給于理論上的依據(jù).下面只介紹下面只介紹大數(shù)定理的幾種基本情形大數(shù)定理的幾種基本情形.它們的真正含義它們的真正含義,在當(dāng)時(shí)無(wú)法說(shuō)在當(dāng)時(shí)無(wú)法說(shuō)5:35:515幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理定理1（契比雪夫大數(shù)定律契比雪夫大數(shù)定律）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 設(shè)設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，契契比雪夫比雪夫則對(duì)任意的則對(duì)任意的0，5:35:526

4、證明證明契契比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是工具是契比雪夫不等式契比雪夫不等式. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，則對(duì)于任給則對(duì)于任給 0,2 221| )(| XEXP5:35:527 切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，則，如果方差有共同的上界，則niiXn11與其數(shù)學(xué)期望與其數(shù)學(xué)期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于近于1.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)，充

5、分大時(shí)，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大數(shù)定律給出了切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述5:35:528 定義1 依次列出的可數(shù)無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)變量依次列出的可數(shù)無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)變量,簡(jiǎn)稱(chēng)隨機(jī)簡(jiǎn)稱(chēng)隨機(jī)(變量變量) ,21nXXX簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為nX序列序列.nX 定義2 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量序列序列nX和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量X(或常數(shù)或常數(shù)a),若對(duì)任意若對(duì)任意 0,有有 1|limXXPnn1|limaXPnn(或)則稱(chēng)隨機(jī)變量序列則稱(chēng)隨機(jī)變量序列nX依概率收斂于隨機(jī)依概率收斂于隨機(jī)變量變量X(或常數(shù)或常數(shù)a). )( ,nXXPn(或)( ,naXPn)簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為5

6、:35:529 作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理有下面的定理.1|1|lim1 niinXnP定理定理2（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律） 設(shè)設(shè)Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,則對(duì)任給則對(duì)任給 0,2 5:35:5210 下面給出的貝努里大數(shù)定律，下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理是定理2的一種特例的一種特例.貝努里貝努里 設(shè)設(shè)Sn是是n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，生的次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，否則，發(fā)生次試驗(yàn)如第，0

7、1AiXi引入引入i=1,2,n則則 niinXS1niinXnnS11是事件是事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率5:35:5211 于是有下面的定理：于是有下面的定理： 設(shè)設(shè)nA是是n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，定理定理3（貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律）1|limpnnPAn或或0|limpnnPAn貝努里貝努里5:35:5212貝努里大數(shù)定律表明貝努里大數(shù)定律表明:事件事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n依概率收斂于事件依概率收斂于事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率.這正是用頻這正是用頻率作為概率的估計(jì)值的

8、理論依據(jù)率作為概率的估計(jì)值的理論依據(jù). 在實(shí)際應(yīng)在實(shí)際應(yīng)用中用中,通常做多次試驗(yàn)通常做多次試驗(yàn),獲得某事件發(fā)生的頻獲得某事件發(fā)生的頻率率,作為該事件發(fā)生的概率的估計(jì)值作為該事件發(fā)生的概率的估計(jì)值. 當(dāng)重復(fù)當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差的概率很小有較大偏差的概率很小. 貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法定事件概率的方法.5:35:5213蒲豐投針問(wèn)題中解法的蒲豐投針問(wèn)題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律理論依據(jù)就是大數(shù)定律 當(dāng)投針次數(shù)當(dāng)投針次數(shù)n很大時(shí)，用針與線相交的

9、很大時(shí)，用針與線相交的頻率頻率m/n近似針與線相交的近似針與線相交的概率概率p，從而求得，從而求得的的近似值近似值.針長(zhǎng)針長(zhǎng)L線距線距aamLn2 5:35:5214下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在律，不要求隨機(jī)變量的方差存在. 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)任給則對(duì)任給 0 ，定理定理4（辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽辛欽 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可

10、行的途徑望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.5:35:5215niiXnX11記記,則定理則定理2和定理和定理4即是說(shuō)即是說(shuō)1|limXPn也即X依概率收斂于常數(shù).這個(gè)結(jié)論這個(gè)結(jié)論將在第八章中用到將在第八章中用到,是用樣本均值作為總體是用樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)的理論依據(jù)均值的點(diǎn)估計(jì)的理論依據(jù).5:35:5216 例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如收割某些有代表性的地塊，例如n 塊塊. 計(jì)計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì)作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).5:35:5

11、217 下面我們?cè)倥e一例說(shuō)明大數(shù)定律的下面我們?cè)倥e一例說(shuō)明大數(shù)定律的應(yīng)用應(yīng)用.定積分的概率計(jì)算法定積分的概率計(jì)算法求求的值的值10)(dxxgI5:35:5218 我們介紹我們介紹均值法，均值法，步驟是步驟是1) 產(chǎn)生在產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)rn,2) 計(jì)算計(jì)算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即即IrgNINnn1)(13) 用平均值近似積分值用平均值近似積分值求求的值的值10)(dxxgI5:35:5219因此，當(dāng)因此，當(dāng)N充分大時(shí)，充分大時(shí)， 原理是什么呢？原理是什么呢？設(shè)設(shè)XU(0, 1)由大數(shù)定律由大數(shù)定律1|)()(1|lim101dxxgrg

12、NPNnnNIrgNINnn1)(1其它, 010, 1)(xxfX101)()(1dxxgrgNNnn, 0 10)(dxxgdxxfxgXgE)()()(5:35:5220應(yīng)如何近似計(jì)算？請(qǐng)思考應(yīng)如何近似計(jì)算？請(qǐng)思考. 思考思考 若求若求的值的值badxxgI)(5:35:5221這一講我們介紹了大數(shù)定律這一講我們介紹了大數(shù)定律 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn)它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性

13、平均結(jié)果的穩(wěn)定性5:35:5222休息片刻繼續(xù)下一講休息片刻繼續(xù)下一講5:35:5223 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響著許多隨機(jī)因素的影響.第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理5:35:5224 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等炮

14、彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.5:35:5225 觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測(cè)量誤差服從正自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn)在自然界中極為常見(jiàn).5:35:5226 現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題特有的規(guī)律性問(wèn)題.

15、當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？什么呢？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？5:35:5227 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函數(shù)的極限的分布函數(shù)的極限.5:35:5228 可以證明，滿足一定的條件，上述極可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 中心極限定理中心極限定理這就是下面要介這就是下

16、面要介紹的紹的5:35:5229 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心中心極限定理極限定理.我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形. 下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱(chēng)的中心極限定理，也稱(chēng)列維一林德伯格列維一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.5:35:5230lim1xnnXPniin定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理獨(dú)立同分布下的中心極限定理）x-2t -dte212 它表明，當(dāng)它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差個(gè)具有期

17、望和方差的獨(dú)立同分布的的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布之和近似服從正態(tài)分布.由由此可見(jiàn)此可見(jiàn),正態(tài)分布在概率論中占有重要的地位正態(tài)分布在概率論中占有重要的地位. 設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，則，則2 5:35:5231 雖然在一般情況下，我們很難求出雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ +Xn 的分布的確切形式，但當(dāng)?shù)姆植嫉拇_切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布很大時(shí)，可以求出近似分布.5:35:5232定理定理2( (棣莫佛拉普拉斯棣莫佛拉普拉斯( (De Moivre-Lapla

18、ce)1 (limxpnpnpYPnn 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)服從參數(shù)n, p( (0p1) )的的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有，有nYdtext2221 定理表明，當(dāng)定理表明，當(dāng)n很大，很大，0p1920)5:35:5235由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理由中心極限定理,近似近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.21195:35:5236稍事休息稍事休息5:35:5237例例2 (供電問(wèn)題供電問(wèn)題)某車(chē)間有某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床臺(tái)車(chē)床

19、,在生產(chǎn)期在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車(chē)換工件等常需停車(chē). 設(shè)開(kāi)工率為設(shè)開(kāi)工率為0.6, 并設(shè)每并設(shè)每臺(tái)車(chē)床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力臺(tái)車(chē)床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?5:35:5238用用X表示在某時(shí)刻工作著的車(chē)床數(shù)，表示在某時(shí)刻工作著的車(chē)床數(shù)，解：解：對(duì)每臺(tái)車(chē)床的觀察作為一次試驗(yàn)，對(duì)每臺(tái)車(chē)床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)觀察該臺(tái)車(chē)床在某時(shí)刻是否工作，每次試驗(yàn)觀察該

20、臺(tái)車(chē)床在某時(shí)刻是否工作， 工作的概率為工作的概率為0.6，共進(jìn)行，共進(jìn)行200次試驗(yàn)次試驗(yàn).依題意，依題意，XB(200,0.6),現(xiàn)在的問(wèn)題是：現(xiàn)在的問(wèn)題是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求滿足求滿足設(shè)需設(shè)需N臺(tái)車(chē)床工作，臺(tái)車(chē)床工作，（由于每臺(tái)車(chē)床在開(kāi)工時(shí)需電力（由于每臺(tái)車(chē)床在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦，千瓦，N臺(tái)工作所需電力即臺(tái)工作所需電力即N千瓦千瓦.）5:35:5239由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理)1 (pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)這里這里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(N由由3準(zhǔn)則，準(zhǔn)

21、則，此項(xiàng)為此項(xiàng)為0。)48120N(5:35:5240查正態(tài)分布函數(shù)表得查正態(tài)分布函數(shù)表得由由 0.999，)48120(N從中解得從中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也就是說(shuō)也就是說(shuō), 應(yīng)供應(yīng)應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)足而影響生產(chǎn).999. 0)01. 3(48120N 3.01,故故5:35:5241例例3 在一個(gè)罐子中在一個(gè)罐子中,裝有裝有10個(gè)編號(hào)為個(gè)編號(hào)為0-9的同的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼抽一個(gè)，并記下號(hào)碼

22、.問(wèn)對(duì)序列問(wèn)對(duì)序列Xk,能否應(yīng)用大數(shù)定律？能否應(yīng)用大數(shù)定律？ 諸諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律使用大數(shù)定律.解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 否則次取到號(hào)碼第001kXk(1) 設(shè)設(shè)，k=1,2, 5:35:5242 nkknXnP11| 1 . 01|lim 即對(duì)任意的即對(duì)任意的0,解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 諸諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律使用大數(shù)定律.5:35:5243(2) 至少應(yīng)取球多少次才能使至少應(yīng)取球多少

23、次才能使“0”出現(xiàn)的頻出現(xiàn)的頻率在率在0.09-0.11之間的概率至少是之間的概率至少是0.95?解：設(shè)應(yīng)取球解：設(shè)應(yīng)取球n次，次，0出現(xiàn)頻率為出現(xiàn)頻率為nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心極限定理由中心極限定理近似近似N(0,1)nnXnkk3 . 01 . 01nXnnkk3 . 01 . 0115:35:524411. 0109. 01nkkXnP01. 0|1 . 01|1nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk1)30(2n nXnnkk3 . 01 . 011近似近似N(0,1)5:35:524595. 01)3

24、0(2n 欲使欲使975. 0)30(n 即即96. 130n查表得查表得從中解得從中解得3458n即至少應(yīng)取球即至少應(yīng)取球3458次次才能使才能使“0”出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率在頻率在0.09-0.11之間之間的概率至少是的概率至少是0.95.5:35:5246(3) 用中心極限定理計(jì)算在用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中次抽取中,數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率之間的概率.解：在解：在100次抽取中次抽取中, 數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)為1001kkX由中心極限定理由中心極限定理,100110011001)()(kkkkkkXDXEX近似近似N(0,1)3101001kkX即即近似近似N(0,1)E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.095:35:5247即在即在100次抽取中，數(shù)碼次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率為之間的概率為0.6826.1001)137(kkXP=0.68263101001kkX近似近似N(0,1) 13101(1001kkXP) 1() 1 (1