課件分講概率統(tǒng)計15

1、5:35:511 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科規(guī)律性的學科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象.第六章第六章 大數(shù)定律和大數(shù)定律和中心極限定理中心極限定理5:35:512 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究形式，由此導致對極限定理進行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣

2、泛，其中最重要的有兩限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種種:與與大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律下面我們先介紹大數(shù)定律5:35:513 大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率第一節(jié)第一節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律5:35:514 在第一章中我們指出,隨機事件的頻率某種穩(wěn)定性某種穩(wěn)定性. nnAfAn)(.當當時時,nnnAfAn)(具有具有清楚清楚, 現(xiàn)在就來說清楚這個問題現(xiàn)在就來說清楚這個問題. 對

3、于這一點對于這一點, 大數(shù)定理將給于理論上的依據(jù)大數(shù)定理將給于理論上的依據(jù).下面只介紹下面只介紹大數(shù)定理的幾種基本情形大數(shù)定理的幾種基本情形.它們的真正含義它們的真正含義,在當時無法說在當時無法說5:35:515幾個常見的大數(shù)定律幾個常見的大數(shù)定律定理定理1（契比雪夫大數(shù)定律契比雪夫大數(shù)定律）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 設設 X1,X2, 是相互獨立的隨機是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，契契比雪夫比雪夫則對任意的則對任意的0，5:35:526

4、證明證明契契比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是工具是契比雪夫不等式契比雪夫不等式. 設隨機變量設隨機變量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，則對于任給則對于任給 0,2 221| )(| XEXP5:35:527 切比雪夫大數(shù)定律表明，獨立隨機變切比雪夫大數(shù)定律表明，獨立隨機變量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，則，如果方差有共同的上界，則niiXn11與其數(shù)學期望與其數(shù)學期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11隨機的了，取值接近于其數(shù)學期望的概率接隨機的了，取值接近于其數(shù)學期望的概率接近于近于1.即當即當n充分大時，充

5、分大時，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大數(shù)定律給出了切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學描述平均值穩(wěn)定性的科學描述5:35:528 定義1 依次列出的可數(shù)無窮多個隨機變量依次列出的可數(shù)無窮多個隨機變量,簡稱隨機簡稱隨機(變量變量) ,21nXXX簡記為簡記為nX序列序列.nX 定義2 對于隨機變量對于隨機變量序列序列nX和隨機變量和隨機變量X(或常數(shù)或常數(shù)a),若對任意若對任意 0,有有 1|limXXPnn1|limaXPnn(或)則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列nX依概率收斂于隨機依概率收斂于隨機變量變量X(或常數(shù)或常數(shù)a). )( ,nXXPn(或)( ,naXPn)簡記為簡記為5

6、:35:529 作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理有下面的定理.1|1|lim1 niinXnP定理定理2（獨立同分布下的大數(shù)定律獨立同分布下的大數(shù)定律） 設設Xn是獨立同分布的隨機變量是獨立同分布的隨機變量序列，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,則對任給則對任給 0,2 5:35:5210 下面給出的貝努里大數(shù)定律，下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理是定理2的一種特例的一種特例.貝努里貝努里 設設Sn是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，生的次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，否則，發(fā)生次試驗如第，0

7、1AiXi引入引入i=1,2,n則則 niinXS1niinXnnS11是事件是事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率5:35:5211 于是有下面的定理：于是有下面的定理： 設設nA是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對任給的發(fā)生的概率，則對任給的 0，定理定理3（貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律）1|limpnnPAn或或0|limpnnPAn貝努里貝努里5:35:5212貝努里大數(shù)定律表明貝努里大數(shù)定律表明:事件事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n依概率收斂于事件依概率收斂于事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率.這正是用頻這正是用頻率作為概率的估計值的

8、理論依據(jù)率作為概率的估計值的理論依據(jù). 在實際應在實際應用中用中,通常做多次試驗通常做多次試驗,獲得某事件發(fā)生的頻獲得某事件發(fā)生的頻率率,作為該事件發(fā)生的概率的估計值作為該事件發(fā)生的概率的估計值. 當重復當重復試驗次數(shù)試驗次數(shù)n充分大時，事件充分大時，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差的概率很小有較大偏差的概率很小. 貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法定事件概率的方法.5:35:5213蒲豐投針問題中解法的蒲豐投針問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律理論依據(jù)就是大數(shù)定律 當投針次數(shù)當投針次數(shù)n很大時，用針與線相交的

9、很大時，用針與線相交的頻率頻率m/n近似針與線相交的近似針與線相交的概率概率p，從而求得，從而求得的的近似值近似值.針長針長L線距線距aamLn2 5:35:5214下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在律，不要求隨機變量的方差存在. 設隨機變量序列設隨機變量序列X1,X2, 獨立同獨立同分布，具有有限的數(shù)學期分布，具有有限的數(shù)學期E(Xi)=, i=1,2,， 則對任給則對任給 0 ，定理定理4（辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽辛欽 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可

10、行的途徑望值提供了一條實際可行的途徑.5:35:5215niiXnX11記記,則定理則定理2和定理和定理4即是說即是說1|limXPn也即X依概率收斂于常數(shù).這個結論這個結論將在第八章中用到將在第八章中用到,是用樣本均值作為總體是用樣本均值作為總體均值的點估計的理論依據(jù)均值的點估計的理論依據(jù).5:35:5216 例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如收割某些有代表性的地塊，例如n 塊塊. 計計算其平均畝產(chǎn)量，則當算其平均畝產(chǎn)量，則當n 較大時，可用它較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.5:35:5

11、217 下面我們再舉一例說明大數(shù)定律的下面我們再舉一例說明大數(shù)定律的應用應用.定積分的概率計算法定積分的概率計算法求求的值的值10)(dxxgI5:35:5218 我們介紹我們介紹均值法，均值法，步驟是步驟是1) 產(chǎn)生在產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)上均勻分布的隨機數(shù)rn,2) 計算計算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即即IrgNINnn1)(13) 用平均值近似積分值用平均值近似積分值求求的值的值10)(dxxgI5:35:5219因此，當因此，當N充分大時，充分大時， 原理是什么呢？原理是什么呢？設設XU(0, 1)由大數(shù)定律由大數(shù)定律1|)()(1|lim101dxxgrg

12、NPNnnNIrgNINnn1)(1其它, 010, 1)(xxfX101)()(1dxxgrgNNnn, 0 10)(dxxgdxxfxgXgE)()()(5:35:5220應如何近似計算？請思考應如何近似計算？請思考. 思考思考 若求若求的值的值badxxgI)(5:35:5221這一講我們介紹了大數(shù)定律這一講我們介紹了大數(shù)定律 大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表達了隨大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn)它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應用大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應用.平均結果的穩(wěn)定性

13、平均結果的穩(wěn)定性5:35:5222休息片刻繼續(xù)下一講休息片刻繼續(xù)下一講5:35:5223 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響著許多隨機因素的影響.第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理5:35:5224 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等炮

14、彈或炮身結構所引起的誤差等等.5:35:5225 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見在自然界中極為常見.5:35:5226 現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題特有的規(guī)律性問題.

15、當當n無限增大時，這個和的極限分布是無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？5:35:5227 由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量它的標準化的隨機變量nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函數(shù)的極限的分布函數(shù)的極限.5:35:5228 可以證明，滿足一定的條件，上述極可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標準正態(tài)分布限分布是標準正態(tài)分布. 中心極限定理中心極限定理這就是下面要介這就是下

16、面要介紹的紹的5:35:5229 在概率論中，習慣于把和的分布在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心中心極限定理極限定理.我們只討論幾種簡單情形我們只討論幾種簡單情形. 下面給出的獨立同分布隨機變量序列下面給出的獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱的中心極限定理，也稱列維一林德伯格列維一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.5:35:5230lim1xnnXPniin定理定理1（獨立同分布下的中心極限定理獨立同分布下的中心極限定理）x-2t -dte212 它表明，當它表明，當n充分大時，充分大時，n個具有期望和方差個具有期

17、望和方差的獨立同分布的的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布之和近似服從正態(tài)分布.由由此可見此可見,正態(tài)分布在概率論中占有重要的地位正態(tài)分布在概率論中占有重要的地位. 設設X1,X2, 是獨立同分布的隨機是獨立同分布的隨機變量序列，且變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，則，則2 5:35:5231 雖然在一般情況下，我們很難求出雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ +Xn 的分布的確切形式，但當?shù)姆植嫉拇_切形式，但當n很大時，可以求出近似分布很大時，可以求出近似分布.5:35:5232定理定理2( (棣莫佛拉普拉斯棣莫佛拉普拉斯( (De Moivre-Lapla

18、ce)1 (limxpnpnpYPnn 設隨機變量設隨機變量 服從參數(shù)服從參數(shù)n, p( (0p1) )的的二項分布，則對任意二項分布，則對任意x，有，有nYdtext2221 定理表明，當定理表明，當n很大，很大，0p1920)5:35:5235由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理由中心極限定理,近似近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.21195:35:5236稍事休息稍事休息5:35:5237例例2 (供電問題供電問題)某車間有某車間有200臺車床臺車床

19、,在生產(chǎn)期在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車換工件等常需停車. 設開工率為設開工率為0.6, 并設每并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦千瓦.問應供應多少瓦電力就能以問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?5:35:5238用用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，表示在某時刻工作著的車床數(shù)，解：解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗觀察該臺車床在某時刻是否工作，每次試驗觀察該

20、臺車床在某時刻是否工作， 工作的概率為工作的概率為0.6，共進行，共進行200次試驗次試驗.依題意，依題意，XB(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：現(xiàn)在的問題是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求滿足求滿足設需設需N臺車床工作，臺車床工作，（由于每臺車床在開工時需電力（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，千瓦，N臺工作所需電力即臺工作所需電力即N千瓦千瓦.）5:35:5239由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理)1 (pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)這里這里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(N由由3準則，準

21、則，此項為此項為0。)48120N(5:35:5240查正態(tài)分布函數(shù)表得查正態(tài)分布函數(shù)表得由由 0.999，)48120(N從中解得從中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也就是說也就是說, 應供應應供應142 千瓦電力就能以千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)足而影響生產(chǎn).999. 0)01. 3(48120N 3.01,故故5:35:5241例例3 在一個罐子中在一個罐子中,裝有裝有10個編號為個編號為0-9的同的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼抽一個，并記下號碼

22、.問對序列問對序列Xk,能否應用大數(shù)定律？能否應用大數(shù)定律？ 諸諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律使用大數(shù)定律.解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 否則次取到號碼第001kXk(1) 設設，k=1,2, 5:35:5242 nkknXnP11| 1 . 01|lim 即對任意的即對任意的0,解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 諸諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律使用大數(shù)定律.5:35:5243(2) 至少應取球多少次才能使至少應取球多少

23、次才能使“0”出現(xiàn)的頻出現(xiàn)的頻率在率在0.09-0.11之間的概率至少是之間的概率至少是0.95?解：設應取球解：設應取球n次，次，0出現(xiàn)頻率為出現(xiàn)頻率為nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心極限定理由中心極限定理近似近似N(0,1)nnXnkk3 . 01 . 01nXnnkk3 . 01 . 0115:35:524411. 0109. 01nkkXnP01. 0|1 . 01|1nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk1)30(2n nXnnkk3 . 01 . 011近似近似N(0,1)5:35:524595. 01)3

24、0(2n 欲使欲使975. 0)30(n 即即96. 130n查表得查表得從中解得從中解得3458n即至少應取球即至少應取球3458次次才能使才能使“0”出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率在頻率在0.09-0.11之間之間的概率至少是的概率至少是0.95.5:35:5246(3) 用中心極限定理計算在用中心極限定理計算在100次抽取中次抽取中,數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率之間的概率.解：在解：在100次抽取中次抽取中, 數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)為1001kkX由中心極限定理由中心極限定理,100110011001)()(kkkkkkXDXEX近似近似N(0,1)3101001kkX即即近似近似N(0,1)E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.095:35:5247即在即在100次抽取中，數(shù)碼次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率為之間的概率為0.6826.1001)137(kkXP=0.68263101001kkX近似近似N(0,1) 13101(1001kkXP) 1() 1 (1