2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試題（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）（含解析）

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2.作答時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，則( )A. 2，3B. 2，2，3C. 2，1，0，3D. 2，1，0，2，3【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后計算補(bǔ)集即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.【點睛】本題主要考查

2、并集、補(bǔ)集的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.若為第四象限角，則( )A. cos2>0B. cos2<0C. sin2>0D. sin2<0【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.【詳解】方法一：由為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時，選項B錯誤；當(dāng)時，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每

3、天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者( )A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，設(shè)需要志愿者x名，,故需要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.北京天壇的圜丘壇為古

4、代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )A. 3699塊B. 3474塊C. 3402塊D. 3339塊【答案】C【解析】【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為前n項和，則第一層

5、、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關(guān)計算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.5.若過點(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

6、.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.6.數(shù)列中，若，則( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能

7、力，屬于中等題.7.如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為，在俯視圖中對應(yīng)的點為，則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，即可求得點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點.【詳解】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，上的點在正視圖中都對應(yīng)點M,直線上的點在俯視圖中對應(yīng)的點為N,在正視圖中對應(yīng),在俯視圖中對應(yīng)的點是,線段,上的所有點在側(cè)試圖中都對應(yīng),點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為.故選：A【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想

8、象，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為( )A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等

9、式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.9.設(shè)函數(shù)，則f(x)( )A. 是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B. 是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C. 是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D. 是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域為，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D

10、正確.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.10.已知ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為( )A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為， 是面積為的等邊三角形，解得：，球心到平面的距離.故選：C.【點睛】本題考

11、查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.11.若，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個選項中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.12.0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序

12、列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，對于選項A，不滿足；對于選項B，不滿足；對于選項D，不滿足；故選：C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=_.【答案】【解

13、析】【分析】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實數(shù)k的值.【詳解】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14.4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有_種.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學(xué)在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計數(shù)原理得解.【詳解】4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少

14、安排1名同學(xué)先取2名同學(xué)看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：.【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.15.設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，則=_.【答案】【解析】【分析】方法一：令，根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得，代入復(fù)數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.方法二：設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為, 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，判定平行四邊形為菱形，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計算.【詳解】方法一：設(shè)，又，所以，.故答案為：.方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為,由已知,平行四

15、邊形為菱形，且都是正三角形， .【點睛】方法一：本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.方法二：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解16.設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面，直線m平面，則ml.則下述命題中所有真命題的序號是_.【答案】【解析】【分析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利

16、用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點在平面內(nèi)，同理，與的交點也在平面內(nèi)，所以，即，命題為真命題；對于命題，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，為真命題，為假命題，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

17、步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3，求周長的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；(2)利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理可得：，.(2)由余弦定理得：，即.(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，解得：(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，周長，周長的最大值為.【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角

18、形周長最大值的求解問題；求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.18.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，20)的相

19、關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，1.414.【答案】(1)；(2)；(3)詳見解析【解析】【分析】(1)利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；(2)利用公式計算即可；(3)各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.【詳解】(1)樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為(2)樣本(i=1，2，20)的相關(guān)系數(shù)為(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野

20、生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.19.已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點，若|

21、MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)；(2)，.【解析】【分析】(1)求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；(2)由(1)可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點的坐標(biāo)，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進(jìn)而可得出與的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】(1)，軸且與橢圓相交于、兩點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，即，即，即，解得，因此，橢圓的離心率為；(2)由(1)知，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或(舍去)，由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，同時也考查了利用拋物線的定義

22、求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計算能力，屬于中等題.20.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)證明：AA1MN，且平面A1AMNEB1C1F；(2)設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由分別為，的中點，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；(2)連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由(1)平面

23、，可得為與平面所成角，即可求得答案.【詳解】(1)分別為，的中點，又在中，為中點，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面 又平面平面平面平面平面(2)連接平面，平面平面根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面故：四邊形是平行四邊形設(shè)邊長是()可得：，為的中心，且邊長為故：解得：在截取，故且四邊形是平行四邊形，由(1)平面故為與平面所成角在，根據(jù)勾股定理可得：直線與平面所成角的正弦值：.【點睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和線面角的定義，考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.21.已知函數(shù)f(x)=

24、sin2xsin2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0，)的單調(diào)性；(2)證明：；(3)設(shè)nN*，證明：sin2xsin22xsin24xsin22nx.【答案】(1)當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點確定其在各個區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合(1)中的結(jié)論確定函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大值和最小值即可證得題中的不等式；(3)對所給的不等式左側(cè)進(jìn)行恒等變形可得，然后結(jié)合(2)的結(jié)論和三角函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.(2)注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：，據(jù)此可得：，即.(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識