數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識歸納與總結(jié)

1、WORD二次函數(shù)知識歸納與總結(jié)二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果特，特別注意a不為零那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點(diǎn)法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B與拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸

2、只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C與對稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像。二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣- 一般 兩根 三頂點(diǎn)（1）一般 一般式：（2）兩根 當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。（3）三頂點(diǎn) 頂點(diǎn)式：二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量

3、的取值圍是，那么，首先要看是否在自變量取值圍，若在此圍，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此圍，則需要考慮函數(shù)在圍的增減性，如果在此圍，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；如果在此圍，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2

4、）對稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開口方向：>0時(shí)，拋物線開口向上<0時(shí)，拋物線開口向下與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。當(dāng)>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，圖

5、像與x軸沒有交點(diǎn)。中考二次函數(shù)壓軸題常考公式（必記必會(huì)，理解記憶）1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） y如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為 A 0 x B2，二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識點(diǎn)，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）特別記憶-同左上加 異右下減 (必須理

6、解記憶)說明 函數(shù)中ab值同號，圖像頂點(diǎn)在y軸左側(cè)同左，a b值異號，圖像頂點(diǎn)必在Y軸右側(cè)異右向左向上移動(dòng)為加左上加，向右向下移動(dòng)為減右下減3、 直線斜率： b為直線在y軸上的截距4、直線方程：4、 兩點(diǎn)由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩式: 此公式有多種變形 牢記點(diǎn)斜斜截直線的斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)截距 由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：牢記 口訣 -兩點(diǎn)斜截距-兩點(diǎn) 點(diǎn)斜 斜截 截距5、設(shè)兩條直線分別為，： 若，則有且。 若6、 點(diǎn)P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 7、 拋物線中， a b c,的作用

7、（1）決定開口方向與開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時(shí)，對稱軸為軸；（即、同號）時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時(shí)，對稱軸在軸右側(cè). 口訣 - 同左 異右 （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .二次函數(shù)單元測試一、選擇題：1下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是( )A. B.C. D.2. 二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，則的值應(yīng)取（ ）xA1

8、2 B11 C10 D9OxOyxOyxOyx3. 若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則函數(shù)的圖象只可能是( ) A. B. C. D.4.在函數(shù)y=中，自變量的取值圍是( ) A. -2且±3 B. -2且3C. >-2且-3 D. >-2且35.無論為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象總是過定點(diǎn)( ) A.(-1，3) B.(1，0)C.(1，3) D.(-1，0)6.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上到點(diǎn)P(-3，-4)的距離等于5的點(diǎn)共有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7. 下列四個(gè)函數(shù)中，的值隨著值的增大而減小的是（ ）A B C DCAyxO8拋物線的圖象如圖，OA=

9、OC，則 ( ) A BCD以上都不9.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為( ) OyxOyxyOxOyx A B C D10若，則二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限二、填空題：11已知二次函數(shù)解析式為，則這條拋物線的對稱軸為直線= 3 ，滿足0的的取值圍是 1x5，將拋物線向上平移4個(gè)單位，則得到拋物線。12請寫出一個(gè)開口向上，對稱軸為直線，且與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)的拋物線的解析式y(tǒng)=(x2)23等。14已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，則該拋物線上縱坐標(biāo)為-8的另一點(diǎn)的坐標(biāo)是_(1,-8) _。15如右圖

10、所示，長方體的底面是邊長為cm的正方形，高為6cm，請你用含的代數(shù)式表示這個(gè)長方體的側(cè)面展開圖的面積S=_，長方體的體積為V=_，各邊長的和L=_，在上面的三個(gè)函數(shù)中，_是關(guān)于的二次函數(shù)。16.拋物線與直線有_個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)是_。三、解答題：17.當(dāng)二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，且與軸交點(diǎn)為（0，-2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。18.求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并求這些交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積。19. 一男生推鉛球，鉛球出手后運(yùn)動(dòng)的高度，與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系是，那么這個(gè)男生的鉛球能推出幾米？20.某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量 (件)與每件的銷

11、售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，請寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤(元)與每件銷售價(jià) (元)之間的函數(shù)關(guān)系式。21. 心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在一定的時(shí)間圍，學(xué)生對概念的接受能力與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系，的值越大，表示接受能力越強(qiáng)。(1)若用10分鐘提出概念，學(xué)生的接受能力的值是多少?(2)如果改用8分鐘或15分鐘來提出這一概念，那么與用10分鐘相比，學(xué)生的接受能力是增強(qiáng)了還是減弱了?通過計(jì)算來回答。22如圖有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位是AB寬20米，水位上升3m就達(dá)到警戒線CD，這是水面寬度為10米，（1）在如圖的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式；（2）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.2米的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時(shí)才能到拱橋頂？參考答案一、選擇題：1.D； 2.C； 3.C； 4.B； 5.A； 6.C； 7.B； 8.A； 9.B； 10.C。二、填空題：新 課標(biāo) 第一 網(wǎng)xkb1.11. 3 ， ，上 ， 4 ； 12. （答案不唯一）；13. ，