相似三角形六大證明技巧

1、第2講相似三角形6大證明技巧模塊一相似三角形證明方法之反A型與反X型回顧相似三角形的判定方法總結：1.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似2.三邊成比例的兩個三角形相似.(SSS3.兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.(SAS)4.兩角分別相等的兩個三角形相似.(AA)5.斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似(HL)模型一：反 A 型：如圖，已知ABC,/ADE=/C,若連 CD、BE,進而能證明ACDAABE(SAS)試一試寫出具體證明過程模型二：反 X 型：如圖，已知角/BAO=/CDO,若連 AD,BC,進而能證明AODABOC.試一試寫出具體證明過

2、程應用練習：1.已知 4ABC 中，/AEF=/ACB,求證：(1)AEAB=AFAC(2)/BEO=/CFO,/EBO=/FCO(3)/OEF=/OBC,/OFE=/OCB132.已知在從BC中，/ABC=90,AB=3,BC=4.點Q是線段AC上的一個動點,過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P.當點P在線段AB上時，求證：AAPQs叢BC;（2）當APQB為等腰三角形時，求AP的長。模塊一相似三角形證明方法之射影定理與類射影模型三：射影定理如圖已知ABC,/ACB=90,CHLAB 于 H,求證：AC2=AHAB,BC2=BHBA,HC2=HAHB,試一

3、試寫出具體證明過程模型四：類射影BDAB如圖，已知 AB2=ACAD,求證：二，試一試寫出具體證明過程BCACB應用練習:1 .如圖，在 4ABC 中，ADBC 于 D,DE，AB 于 E,DF，AC 于 F。求、丁AEAC證：一AFAB2 .如圖，在 4ABC4ABC 中，八口，8 8。于口，口，八 8 8 于,口尸，八。于尸，連EF,求證:/AEF=/C15模塊一相似三角形證明方法之一線三等角模型五：一線三等角如圖，已知/B=/C=/EDF,則BDEsCFD(AA),試一試寫出具體證明過程應用練習：1.如圖，ABC和4DEF兩個全等的等腰直角三角形，/BACWEDF=9(J,ADEF的頂點

4、E與4ABC的斜邊BC的中點重合.將ADEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.(1)如圖，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：zBP/ACQE(2)(2)如圖，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：zBPaACEC；并求當BP=a,CQ=9a/2時，P、Q兩點間的距離(用含a的代數(shù)式表示)長。（直接寫出結果，不必寫出解答過程）172 .AABC中，AB=AC,D為BC的中點，以D為頂點作/MDN=/B（1）如圖（1）當射線DN經過點A時，DM交AC邊于點E,不添加輔助線，寫出圖中所有與叢DE相似的三角形.（2）如圖（2）,將/MDN繞點D沿

5、逆時針方向旋轉，DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論.（3）在圖（2）中，若AB=AC=10,BC=12,當ADEF的面積等于叢BC的面積的工時，求線段EF的長.3.如圖，點3在線段4c上，點。、E在?IC同側，2A=Uto,.4。=UC011）求證：AC=.-W+CE。（2）若=CE=5,點F為線段加上的動點，連接DR,作PQ1D匕交直線BE于點Q。當點P與人B兩點不重合時，求的值。當點P從土點運動到的中點時，求線段網的中點所經過的路徑（線段）模塊二I比例式的證明方法之三點定型通過前面的學習，我們知道，比例線段的

6、證明，離不開“平行線模型（A 型，X 型，線束型），也離不開上述的 6 種“相似*II 型”.但是“模型”只是工具，怎樣選擇工具，怎樣使用工具，怎樣用好工具，取決于我們如何思考問題.合理的思維方法，能讓模型成為解題的利刃，讓復雜的問題變簡單。在本模塊中，我們將學比例式的證明中，會經常用到的思維技巧技巧一：三點定型法技巧二：等線段代換技巧三：等比代換技巧四：等積代換技巧五：證等量先證等比技巧六：幾何計算技巧一：三點定型橫向與縱向觀察所證線段比列式（如果是等積式，則將其化為等比式）的分子分母，三個字母即可確定三角形，從而證三角形相似即可。1 .如圖，在 RHABC 中，AD 是斜邊 BC 上的高，

7、NABC 的平分線 BEBE 交 AC 于 E E, ,交 AD 于2 .如圖，平行四邊形 ABCD 中，E E 是 ABAB 延長線上的一點,DE 交 BC 于 F,求證：DCCF-3 .如圖，4ABC 中，/BAC=90*,M M 為 BC 的中點，DM_LBC 交 CA 的延長線于于 E.E.求證：AMAM2=MDME=MDMEF.F.求證:BFABBE-BCAEADC若三點定型法無法確定哪兩個三角形相似，則考慮用等量代換替代其中線段，然后再用三點定型法確定三角形證相似，常用的方法有：等線段代換，等比代換，等積代換【例1】如圖，在ABC,AD 平分/BAG,AD 的垂直平分線交 AD 于

8、 E,交 BC 的延長線于F,求證：FD2=FBFC證明：連接 AF,4。是/8AC 的平分線，12，,:FE是 AD 的垂直平分線，：FA二FD（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.AFAD=FDA等邊對等角）,;B.I1一門。又：二1Uh【例2】如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，點 E E 在邊 BABA 的延長線上,模塊二比例式的證明方法之等線段代換19），CE 交 AD 于 F,ACBE=CE.AD【例3】如圖，4ACB 為等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90,/DAE=45,求證:AB2=BECD【例4】如圖，4ABC 中，AB=AC,AD 是中線，P P 是 AD

9、上一點，過 C 作 CF/AB延長 BPBP 交 ACAC 于 E,E,交 CF 于 F.F.求證:BPBP2= =PEPF-PEPF-模塊二比例式的證明方法之等比代換，OB2=OE-OF.在ABC 中，已知/A=90時，AD_LBC 于 D D, ,E E 為直角邊 ACAC 的中點,E E 作直線交 A AB B的延長線于 F.F.求證：ABAF=ACDF.例 7如圖，在ABC 中（ABAC）的邊 ABAB 上取一點 D D, ,在邊 ACAC 上取一點 E E, ,使AD=AE,直線 DE 和 BC 的延長線交于點 P.求證：BPCE=CPBD【例 5】如圖，平行四邊形 ABCDABCD

10、 中，過 B B 作直線 ACAC、AD 于 O O, ,E E、交 CDCD 的延長線于 F F，求證：OB2=OEOF.【解題方法提示】OBOF要證OB2=OF-OE,即證OE=OB,接下來你有思路了嗎？OAOB因為 AB/CE,由平行線分線段成比例定理，可得OC=OE;OAOF同理因為 AF/BC,可得=:;,由等式的傳遞性，問題即可得證證明：VAB/CE,VAF/BC,【例 6】 如圖,過D D、21A例8.(1)如圖1,在叢BC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE/BC,AQ交DE于點P,求證：空=空；BQPC(2)如圖，9BC中，/BAC=90,正方形DEFG的四個頂點

11、在小BC的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點.如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長；如圖3,求證：MN2=DM?EN.模塊二比例式的證明方法之等積代換【例8】如圖，ABC中， BDBD、 CE是高， EH_LBC于H、 交B BD D于G G、 交CA的延長線于M.求證： HE2=HGMH.如圖，在ABC 中，/BAC=90D D 為 ACAC 中點，AE_LBD,EAE_LBD,E 為垂足，求證:ZCBD=/ECD.在 RtAABC 中，ADBC,P 為 AD 中點，MNBC,求證MN2=ANN=ANNC11.如圖，已知 AABCAABC 中，AD,BF 分別為 BC,AC 邊

12、上的高，過 D 作 AB 的垂線交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延長線于 Ho 求證：DU=EG?EH【例9】【例10】模塊二比例式的證明方法之證等量先證等比23A【例13如圖，ABC 為等腰直角三角形，點 P 為 AB 上任意一點，PFXBC,PEXAC,AF 交 PE 于 N,BE 交 PF 于 M.,求證：PM=PN,MN/AB.【例14如圖，正方形 BFDE 內接于ABC,CE 與 DF 交于點 N,AF 交 ED 于點 M,CE【例11】已知，平行四邊形ABCD 中，E、F 分另 1J 在直線 AD、CD 上，EF/AC,BE、BF分別交 AC 于 M、N.,求證：AM

13、=CN.【例12】已知如圖 AB=AC,BD/AC,AB/CE,證：AM=NC,MN/DE.過 A 點的直線分別交 BD、CE 于 D、E.25與 AF 交于點 P.求證：(1)MN/AC；(2)EM=DN.【例16（X）如圖，梯形 ABCD 的底邊 AB 上任取一點 M,過 M 作 MK/BD,MN/AC,分別交 AD、BC于 K、N,連 KN,分別交對角線 AC、BD 于 P、Q,求證：KP=QN.【例15】（X）設 E、F 分別為 AC、AB 的中點，D 為 BC 上一點,P 在 BF 上，DP/CF,Q 在 CE 上，DQ/BE,PQ 交 BE 于 R,交 CF 于 S,求證:c1c1

14、 八RSPQRSPQ3 3【例 17】(2016 年四月調考)如圖，在ABC 中，ACAB,AD 是角平分線，AE 是中線，BFLAD 于 G,交 AC 于點 M,EG的延長線交 AB于點 H.(1)求證：AH=BH,(2)若/BAC=60,求毛的值.【例 18】(2016 七一華源)如圖：正方形 ABCD 中，點 E、點 F、點 G 分別在邊 BC、AB、CD 上，/1=/2=/3=a 求證：(1)EF+EG=AE(2)求證：CE+CG=AFDG模塊二比例式的證明方法之動點問題運動問題中經常涉及沒有明確對應關系的相似三角形，此時分類討論思想在動態(tài)問題中尤其重要，應充分考慮所有可能出現(xiàn)的情況避

15、免遺漏。利用相似三角形對應邊成比列為等量關系，建立方程求解，進而解決問題。1 .如圖， 在 RtAABC 中， /ACB=90,AC=3,BC=4,過點 B 作射線 BB1/AC.動點 D 從點 A 出發(fā)沿射線 AC方向以每秒 5 個單位的速度運動，同時動點 E 從點 C 沿射線 AC 方向以每秒 3 個單位的速度運動.過點D 作 DHLAB 于 H,過點 E 作 EFLAC 交射線 BB1 于 F,G 是 EF 中點， 連接 DG.設點 D 運動的時間為 t 秒.(1)當 t 為何值時，AD=AB,并求出此時 DE 的長度；(2)當 4DEG 與 4ACB 相似時，求 t 的值.2 .如圖，

16、在 4ABC 中，/ABC=90,AB=6m,BC=8m,動點 P 以 2m/s 的速度從 A 點出發(fā)，沿 AC 向點 C移動.同時，動點 Q 以 1m/s 的速度從 C 點出發(fā)，沿 CB 向點 B 移動.當其中有一點到達終點時，它們都停止移動.設移動的時間為 t 秒.(1)當 t=2.5s 時，求 4CPQ 的面積；求 4CPQ 的面積 S(平方米)關于時間 t(秒)的函數(shù)解析式；(2)在巳 Q 移動的過程中，當 4CPQ 為等腰三角形時，求出 t 的值.3 .如圖 1,在 RABC 中，/ACB=90,AC=6,BC=8,點 D 在邊 AB 上運動，DE 平分/CDB 交邊 BC 于點E,

17、EMXBD,垂足為 M,ENICD,垂足為 N.(1)當 AD=CD 時，求證：DE/AC;(2)探究：AD 為何值時，4BME 與 ACNE 相似？4 .如圖所示，在ABC 中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點 P 從 A 點出發(fā)，沿著AB 以每秒 4cm 的速度向 B 點運動；同時點 Q 從 C 點出發(fā)，27沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 點運動，當 P 點到達 B 點時，Q 點隨之停止運動.設運動的時間為 x.(1)當 x 為何值時，PQ/BC?(2)AAPQ 與 4CQB 能否相似？若能，求出 AP 的長；若不能說明理由.5.如圖，在矩形 ABCD 中，AB=12cm,

18、BC=6cm,點 P 沿 AB 邊從 A 開始向點 B 以 2cm/s 的速度移動；點 Q 沿 DA 邊從點 D 開始向點 A 以 1cm/s 的速度移動.如果 P、Q 同時出發(fā)，用 t(s)表示移動的時間(0vtv6)。(1)當 t 為何值時，4QAP 為等腰直角三角形？(2)當 t 為何值時，以點 Q、A、P 為頂點的三角形與ABC 相似？模型三：射影定理如圖已知ABC,/ACB=90,CH，AB 于 H,求證:模型四：類射影應用練習:AEAC1 .如圖，在 4ABC 中，ADBC 于 D,DELAB 于 E,DF,AC 于 F。求證：=2 .如圖，在ABCABC 中，AD_LBCAD_L

19、BC 于 D,DE_LABDE_LAB 于 E,口尸_1 八。于尸，連 EF,求證:ZAEF=ZC_2_CHAHB,試一試寫出具體證明過程_22AC=AHAB,BC=BHBA-如圖，已知 AB2=ACAD,求證:BDAB,試一試寫出具體證明過程BCAC29模塊一相似三角形證明方法之一線三等角模型五：一線三等角如圖，已知/B=/C=/EDF,則BDEsCFD(AA),試一試寫出具體證明過程應用練習：1.如圖，ABC和4DEF兩個全等的等腰直角三角形，/BACWEDF=9(J,ADEF的頂點E與4ABC的斜邊BC的中點重合.將ADEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與

20、射線CA相交于點Q.(3)如圖，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：zBP/ACQE(4)(2)如圖，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：zBPaACEC；并求當BP=a,CQ=9a/2時，P、Q兩點間的距離(用含a的代數(shù)式表示)2 .AABC中，AB=AC,D為BC的中點，以D為頂點作/MDN=/B(1)如圖(1)當射線DN經過點A時，DM交AC邊于點E,不添加輔助線，寫出圖中所有與叢DE相似的三角形.(2)如圖(2),將/MDN繞點D沿逆時針方向旋轉，DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點(點E與點A不重合)，不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論.(3)在圖(2)

21、中，若AB=AC=10,BC=12,當ADEF的面積等于叢BC的面積的工時，求線段EF的長.313.如圖，點片在線段AC上，點|D、E在4c同側，ZA=ZC=90BD1BE,AD=BC。（1）求證：.4C=D+CE。（2）若勘=3,CE=5,點P為線段M上的動點，連接DP,作PQLDP,交直線HE于點Q。當點P與、R兩點不重合時，求?：”的值。當點P從1點運動到的中點時，求線段DQ的中點所經過的路徑（線段）通過前面的學習，我們知道，比例線段的證明，離不開“平行線模型（A A 型，X 型，線束型），也離不開上述的 6 種“相似*IIII 型”.但是“模型”只是工具，怎樣選擇工具，怎樣使用工具，怎

22、樣用好工具，取決于我們如何思考問題.合理的思維方法，能讓模型成為解題的利刃，讓復雜的問題變簡單。在本模塊中，我們將學比例式的證明中，會經常用到的思維技巧技巧一：三點定型法技巧二：等線段代換技巧三：等比代換技巧四：等積代換技巧五：證等量先證等比技巧六：幾何計算技巧一：三點定型橫向與縱向觀察所證線段比列式（如果是等積式，則將其化為等比式）的分子分母，三個字母即可確定三角形，從而證三角形相似即可。BFABBE 一 BC1.如圖，在 RtABC 中,AD 是斜邊 BC 上的高,/ABC 的平分線 BEBE 交 ACAC 于 E E, ,交 AD 于D2 .如圖，平行四邊形 ABCD 中，E E 是 A

23、BAB 延長線上的一點,DE 交 BC 于 F,求證：DCCFAEAD3 .如圖，ABC 中，/BAC=90*,M M 為 BC 的中點，DM_LBC 交 CA 的延長線于 D D, ,交 ABAB于 E.E.求證：AMAM2=MDME=MDME=/FD4（等邊對等角）,4CF=/FD4+22【例 19如圖，在ABC,AD 平分/BAC,AD 的垂直平分線交 AD 于 E,交 BC 的延長線于2.F,求證：FD=FBFC證明：連接 AF,2,:FE是 AD 的垂直平分線，=FD（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等),33一力,1/7；一匕如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，點 E E

24、在邊 BABA 的延長線上，CE 交 AD 于 F,/ECA=/D求證：ACBE=CEAD如圖，4ACB 為等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90,/DAE=45,求證:_2AB=BECD如圖，ABC 中，AB=AC,AD 是中線，P P 是 AD 上一點，過 C 作 CF/AB,延長 BPBP 交 ACAC 于 E E,交 CF 于 F F.求證：BPBP2= =PEPF-PEPF-【例20【例21【例22模塊二比例式的證明方法之等比代換【例 23如圖， 平行四邊形 ABCDABCD 中， 過 B B 作直線 ACAC、 AD 于 O O, ,E E、 交 CDCD 的延長線于 F,求證

25、： OB2=OEOF.證明：VAB/CE,35OAOF同理因為 AF/BC,可得=（）b由等式的傳遞性，問題即可得證OBOF=OE=OB，OB2=OE-OF.【例24如圖，在ABC 中，已知/A=90。時，AD_LBC 于 D,ED,E 為直角邊AC的中點,過 D D、E E 作直線交ABAB 的延長線于 F.F.求證：ABAF=ACDF.如圖，9BC中，/BAC=90,正方形DEFG的四個頂點在小BC【例25如圖，在 4ABC 中(ABAC)的邊 ABAB 上取一點 D D, ,在邊 ACAC 上取一點 E E, ,使AD=AE,直線 DE 和 BC 的延長線交于點 P.求證：BPCE=CP

26、BD(1)如圖1,在叢BC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且BC,AQ交DE于點P,求證：DP=-PE;BQPC例8.DE/(2)的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點.如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長;如圖3,求證：MN2=DM?EN.模塊二比例式的證明方法之等積代換【例26如圖，ABC中， BDBD、 CE是高， EH_LBC于H、 交B BD D于G G、 交CA的延長線于M.求證： HE2=HGMH.【例27如圖，在ABC 中，ZBAC=90=90, ,D D 為 ACAC 中點，AE_LBDAE_LBD, ,E E 為垂足，求證:/CBD=NECD.37C

27、C【例28】在 RtAABC 中，ADXBC,P 為 AD 中點，MN，BC,求證 MNMN2= =ANAN，NCNC11.如圖，已知 AABCAABC 中，AD,BF 分別為 BC,AC 邊上的高，過 D 作 AB 的垂線交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延長線于 Ho 求證：DE2=EG?EH模塊二比例式的證明方法之證等量先證等比【例29】已知，平行四邊形 ABCD 中，E、F 分別在直線分別交 AC 于 M、N.,求證：AM=CN.【例30】已知如圖 AB=AC,BD/AC,AB/CE,過 A 點的直線分另交BD、CE 于 D、E.求證：AM=NC,MN/DE.AD、CD 上

28、，EF/AC,BE、BFBC【例31如圖，ABC 為等腰直角三角形，點 P 為 AB 上任意一點，PFXBC,PEXAC,AF 交 PE 于 N,BE 交 PF 于 M.,求證：PM=PN,MN/AB.【例32如圖，正方形 BFDE 內接于ABC,CE 與 DF 交于點 N,AF 交 ED 于點 M,CE 與 AF 交于點 P.求證：(1)MN/AC;(2)EM=DN.【例33】()設 E、F 分別為 AC、AB 的中點，D 為 BC 上一點，P 在 BF 上，DP/CF,39-_1-Q 在 CE 上，DQ/BE,PQ 交 BE 于 R,交 CF 于 S,求證：RS=RS=PQPQ3 3【例3

29、4（X）如圖，梯形 ABCD 的底邊 AB 上任取一點 M,過 M 作 MK/BD,MN/AC,分別交 AD、BC于 K、N,連 KN,分別交對角線 AC、BD 于 P、Q,求證：KP=QN.模塊二比例式的證明方法之幾何計算【例35】（2016 年四月調考）如圖，在ABC 中，AOAB,AD 是角平分線，AE 是中線，BFLAD 于 G,交 AC 于點 M,EG 的延長線交 AB 于點 H.（1）求證：AH=BH,（2）若/BAC=60,求FG的值.DG【例36】（2016 七一華源）如圖：正方形 ABCD 中，點 E、點 F、點 G 分別在邊 BC、AB、HBCCD 上，/1=/2=/3=a 求證：（1）EF+EG=AE（2）求證：CE+CG=AF運動問題中經常涉及沒有明確對應關系的相似三角形，此時分類討論思想在動態(tài)問題中尤其重要，應充分考慮所有可能出現(xiàn)的情況避免遺漏。利用相似三角形對應邊成比列為等量關系，建立方程求解，進而解決問題。1 .如圖， 在 RtAABC 中， /ACB=90,AC=3,BC=4,過點 B 作射線 BB1/A