2019四川省高考數(shù)學試卷(文科)

1、2015年四川省高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1. （5分）設(shè)集合M=x|1<x<2,集合N=x|1<x<3,則MUN=（）A.x|-1<x<3B.x|-1<x<2C.x|1<x<3D.x|1<x<22. （5分）設(shè)向量！=（2,4）與向量E=（x,6）共線，則實數(shù)x=（）A.2B.3C4D.63. （5分）某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調(diào)查

2、，則最合理的抽樣方法是（）A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣法C.分層抽樣法D.隨機數(shù)法4. （5分）設(shè)a,b為正實數(shù)，則“Ab>1”是“l(fā)oga>log2b>0”的（A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D,既不充分也不必要條件5.A.C.（5分）下列函數(shù)中，最小正周期為冗且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（y=cos（2x+-）By=sin（2x+-）y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx6.（5分）A.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（BCD7.（5分）2x+y<109. （5分）設(shè)實數(shù)x,y滿足，,則xy的最大值為（）A三B.工C.12D.162210.

3、 （5分）設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點，與圓（x-5）2+y2=r2（r>0）相切于點M,且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）A.（1,3）B.（1,4）C.（2,3）D.（2,4）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11. （5分）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)i-4-=.112. （5分）lg0.01+log216的值是.13. （5分）已知sin+2cos民=0貝2sin民cos-ocos2a的值是.14. （5分）在三棱住ABC-A1B1G中，/BAC=90,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角

4、形，設(shè)M,N,P分別是AB,BC,B1C1的中點，則三棱錐P-AMN的體積是.15. （5分）已知函數(shù)f（x）=2x,g（x）=x2+ax（其中aCR）.對于不相等的實數(shù)、兒f（Xi）-f（X2）式工1A晨m-十八mxvx2,設(shè)m=-,n=-.現(xiàn)有如下命題：xj-X2Kt-X2對于任意不相等的實數(shù)x1、x2,都有m>0;對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1、x?,都有n>0;對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1、x2,使得m=n；對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1、x2,使得m=-n.其中的真命題有（寫出所有真命題的序號）.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明

5、過程或演算步驟.16. （12分）設(shè)數(shù)列an（n=1,2,3）的前n項和&,滿足&=2備-a1，且a1，a2+1,a3成等差數(shù)列.（I）求數(shù)列an的通項公式；（n）設(shè)數(shù)列（）的前n項和為Tn,求品.af17. (12分)一輛小客車上有5名座位，其座號為1,2,3,4,5,乘客Pi,P2,P3,F4,P5的座位號分別為1,2,3,4,5.他們按照座位號順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位.(I)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘

6、客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號填入表中空格處)乘客P1巳P3F4P5座位號3214532451(n)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率.18. (12分)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(I)請按字母F,G,H標記在正方體相應地頂點處(不需要說明理由)(II)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論.(m)證明：直線DF，平面BEG19. (12分)已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，tanA,tanB是關(guān)于方程x2+V5px-p+1=0(peR)兩個實根.(

7、I)求C的大小(H)若AB=3,AC=n,求p的值.20. (13分)如圖，橢圓E:蕓+J=1(a>b>0)的離心率是坐，點P(0,1)a2b22在短軸CD上，且PC?PD=-1(I)求橢圓E的方程；(H)設(shè)O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)入使彳#標?而+而?說為定值？若存在，求入的值；若不存在，請說明理由.21. (14分)已知函數(shù)f(x)=2xlnx+x22ax+a2,其中a>0.(I)設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(II)證明：存在a(0,1),使得f(x)>0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1,+OO)內(nèi)有唯一解

8、.2015年四川省高考數(shù)學試卷(文科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1. (5分)設(shè)集合M=x|1<x<2,集合N=x|1<x<3,則MUN=()A.x|-1<x<3B.x|-1<x<2C.x|1<x<3D.x|1<x<2【分析】根據(jù)并集的定義解答即可.【解答】解：根據(jù)并集的定義知：MUN=x|-1<x<3,故選：A.【點評】本題考查了并集運算，熟練掌握并集的定義是解題的關(guān)鍵.2. (5分)設(shè)向量！=(2,4)與向量E=

9、(x,6)共線，則實數(shù)x=()A.2B.3C.4D.6【分析】利用向量共線的充要條件得到坐標的關(guān)系求出x.【解答】解；因為向量a=(2,4)與向量E=(x,6)共線，所以4x=2X6,解得x=3;故選：B.【點評】本題考查了向量共線的坐標關(guān)系；如果兩個向量向量a=(x,y)與向量b=(m,n)共線，那么xn=ym.3. (5分)某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣法C.分層抽樣法D.隨機數(shù)法【分析】若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進行抽樣

10、.【解答】解：我們常用的抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，而事先已經(jīng)了解到三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，這種方式具有代表性，比較合理.故選：C.【點評】本小題考查抽樣方法，主要考查抽樣方法，屬基本題.4. (5分)設(shè)a,b為正實數(shù)，則“Ab>1”是“l(fā)oga>log2b>0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D,既不充分也不必要條件【分析】先求出10g2a>log2b>0的充要條件，再和a>b>1比較，從而求出答案.【解答】解：若10g2a>log2b>0,則a>b&g

11、t;1,故“Ab>1”是“l(fā)oga>log2b>0”的充要條件，故選：A.【點評】本題考察了充分必要條件，考察對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.5. (5分)下列函數(shù)中，最小正周期為冗且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是(A.y=cos(2x+-)B.y=sin(2x+-)C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可.【解答】解：y=cos(2x+)=-sin2x,是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：陽滿足題意，所以A正確y=sin(2x+-)=cos2x,函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：冗，不滿足題意，所以B不正確；y=sin2x+cos2x=；r

12、2sin(2x+-),函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為陽所以C不正確；y=sinx+cosx=/2sin(x+-),函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2陽所以D不正確；故選：A.【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的奇偶性以及紅絲帶周期的求法,考查計算能力.6. (5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為(A匚B=C.-D.2222【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的k的值，當k=5時滿足條件k>4,計算并輸出S的值為工.2【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=1k=2不滿足條件k>4,k=3不滿足條件k>4,k=4不滿足條件k>4,k=5滿足條件k>4,S

13、=sin=62輸出S的值為2故選：D.【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.27. （5分）過雙曲線x過雙曲線x2-二二1的右焦點且與x軸垂直的直線，x=2,可得yA=2丫區(qū)yB=-2寸區(qū)|AB|=4二.故選：D.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查基本知識的應用.8.（5分）某食品保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：C）滿足函-=1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點，則|AB|二（）AB.2三C.6D.4三3【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出AB的方程，得到AB坐標，即可求解|A旦.2【解答】解：雙曲線x2-9=1的右焦點（2,0

14、）,漸近線方程為y=±V3x,數(shù)關(guān)系y=ekx+b（e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）.若該食品在0C的保鮮時間是192小時，在22c的保鮮時間是48小時，則該食品在33c的保鮮時問是（）A.16小時B,20小時C.24小時D,28小時【分析】由已知中保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)型關(guān)系，由已知構(gòu)造方程組求出ek,eb的值，運用指數(shù)幕的運算性質(zhì)求解e33k+b即可.【解答】解：y=ekx+b（e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）.當x=0時，eb=192,當x=22時e22k+b=48,口22k,e192411k-e=：eb192當x33時，e33kb（ek）33

15、?（eb）（工）3x19224故選：C.【點評】本題考查的知識點是函數(shù)解析式的運用，列出方程求解即可，注意整體求解.2x+y109. （5分）設(shè)實數(shù)x,y滿足2y<14,則xy的最大值為（）A.幺B.C.12D.1622【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用基本不等式進行求解即可.【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖；由圖象知y<10-2x,貝UxyWx（10-2x）2x（5-x）<2（x+|K）2得，當且僅當x=I，y5時，取等號，經(jīng)檢驗（,，5）在可行域內(nèi)，故xy的最大值為年，故選：A.【點評】本題主要考查線性規(guī)劃以及基本不等式的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵

16、.10. （5分）設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點，與圓（x-5）2+y2=r2（r>0）相切于點M,且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）A.（1,3）B.（1,4）C.（2,3）D.（2,4）【分析】先確定M的軌跡是直線x=3,代入拋物線方程可得y=±2«,所以交點與圓心（5,0）的距離為4,即可得出結(jié)論.【解答】解：設(shè)A（xi,yi）,B（X2,y2）,M（xo,yo）,斜率存在時，設(shè)斜率為k,則yi2=4xi,y22=4x2,（2.第1=4il一則，z，相減，行（yi+y2）（y1一y2）=4（xx2）,產(chǎn)2二虱2當l的斜

17、率存在時，利用點差法可得kyo=2,因為直線與圓相切，所以-=-,所以xo=3,“0-5k即M的軌跡是直線x=3.將x=3代入y2=4x,彳#y2=12,-2點4<知，.M在圓上，（xo-5）2+yo2=r2,.r2=yo2+4<12+4=16,;直線l恰有4條，.yoWO,.4<r2<16,故2<r<4時，直線l有2條；斜率不存在時，直線l有2條；所以直線l恰有4條，2<r<4,故選：D.【點評】本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查點差法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11. （5

18、分）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)i-4-=_2i【分析】直接利用復數(shù)的運算法則求解即可.【解答】解：復數(shù)iL=i=i+i=2i.V11-1故答案為：2i.【點評】本題考查復數(shù)的基本運算，考查計算能力.12. （5分）lg0.01+log2l6的值是2.【分析】直接利用對數(shù)的運算法則化簡求解即可.【解答】解：Ig0.01+log2l6=-2+4=2.故答案為：2.【點評】本題考查對數(shù)的運算法則的應用，考查計算能力.13. （5分）已知sin+2cos民=0貝2sin民cos-ocos2a的值是-1.【分析】已知等式移項變形求出tana的值，原式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，將tana的值代入計算即

19、可求出值.【解答】解：,sin+2cos=0即sina=2cos%tana=2,22則原式=Ni匚*=-1,1ein2d+cos2dtan2+14"故答案為：-1【點評】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.14. （5分）在三棱住ABC-A1BC1中，/BAC=90,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)M,N,P分別是AB,BC,B1C1的中點，則三棱錐P-A1MN的體積是wni【分析】判斷三視圖對應的幾何體的形狀，畫出圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解三棱錐P-AMN的體積即可.【解答】解：由三視圖可知，可知幾何

20、體的圖形如圖：幾何體是底面為等腰直角三角形直角邊長為1,高為1的直三棱柱，底面積為,，所求三棱車t的高為NP=1,三棱錐底面積是三棱柱底面三角形的-y,4所求三棱錐P-A1MN的體積是：4X；X,X1X1乂l=yr.故答案為：.k.24【點評】本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，組作出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵之一，考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.15. (5分)已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中aCR).對于不相等的實數(shù)、兒f(孫)g(Xi)-g(Kn)tb士w人際xi、x2,設(shè)m=-,n=-.現(xiàn)有如下命題：Xt-x2KJ-K2對于任意不相等的實數(shù)x1、x2,

21、都有m>0;對于任意的a及任意不相等的實數(shù)xi、xz,都有n>0;對于任意的a,存在不相等的實數(shù)xx2,使得m=n；對于任意的a,存在不相等的實數(shù)xi、x2,使得m=-n.其中的真命題有(寫出所有真命題的序號).【分析】運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；通過函數(shù)h(x)=x2+ax-2x,求出導數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷；通過函數(shù)h(x)=x2+ax+2x,求出導數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷.【解答】解：對于，由于2>1,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在R上遞增，即有m>0,則正確；對于，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得g(x)在(-8,一2)遞減，在(-呈，+

22、22°°)遞增，則n>0不包成立，則錯誤；對于，由m=n,可得f(xi)-f(x2)=g(xi)g(x2),即為g(xi)-f(xi)=g(x2)-f(x2),考查函數(shù)h(x)=x2+ax-2x,h'(x)=2x+a-2xln2,當a-00,h'(x)小于0,h(x)單調(diào)遞減，則錯誤；對于，由m=-n,可得f(xi)-f(x2)=-g(xi)-g(x2),考查函數(shù)h(x)=x2+ax+2x,h'(x)=2x+a+2xln2,對于任意的a,h'(x)不恒大于0或小于0,則正確.故答案為：.【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，注意運用指數(shù)函

23、數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，以及導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. (12分)設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3)的前n項和滿足&=2備-a1，且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項公式；(II)設(shè)數(shù)列山的前n項和為Tn,求品.【分析】(I)由條件&滿足&=2an-a1,求得數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比q=2；再根據(jù)a1，a2+1,生成等差數(shù)列，求得首項的值，可得數(shù)列an的通項公式.(R)由于上，利用等比數(shù)列的前n項和公式求得數(shù)列占的前n項和%2n%Tn.【解答】解：(I)由已知S1=2an

24、-a1,有an=S-&1=2an-2an1(n>2),即an=2an1(n12),從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列，即a+a3=2(a2+1)所以a1+4a1=2(2a1+1),解得：a1=2.所以，數(shù)列、是首項為2,公比為2的等比數(shù)歹1.故an=2n.(H)由(I)得=,%2n所以丁二一+1+一+T一24S2n【點評】本題主要考查數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系，等差、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題.17. (12分)一輛小客車上有5名座位，其座號為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,F4,P5的座位號分別

25、為1,2,3,4,5.他們按照座位號順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位.(I)若乘客Pi坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號填入表中空格處)乘客Pi巳P3P4P5座位號32i453245i324i53254i(n)若乘客Pi坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率.【分析】(I)根據(jù)題意，可以完成表格；(n)列表，確定所有可能的坐法，再

26、求出乘客Pi坐到5號座位的概率.【解答】解：(I)余下兩種坐法：乘客Pi巳P3P4P5座位號32i453245i324i53254i(n)若乘客Pi坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則所有可能的坐法可用下表表示為乘客PiP2P3P4P5座位號2i34523i45234i52345i2354i243i52435125341于是，所有可能的坐法共8種，設(shè)乘客P5坐到5號座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個數(shù)為4,所以P(A)=A=L.82答：乘客P5坐到5號座位的概率是工.2【點評】本題考查概率的運用，考查學生的計算能力，列表確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵.18. (12分)一個正方體的平面展開圖

27、及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(I)請按字母F,G,H標記在正方體相應地頂點處(不需要說明理由)(II)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論.(m)證明：直線DF，平面BEG【分析】(I)直接標出點F,G,H的位置.(H)先證BCH助平行四邊形，可知BE/平面ACH,同理可證BG/平面ACH,即可證明平面BEG/平面ACH.(m)連接FH,由DH±EG又DHXEG,EGLFH,可證EG,平面BFHD,從而可證DFLEG同理DFLBG,即可證明DFL平面BEG【解答】解：(I)點F,G,H的位置如圖所示.(H)平面BEG/平面ACH,證明如下：ABCAEFGHfe

28、正方體，BC/FG,BC=EH又FG/EH,FG=EHBC/EH,BC=EHBCH日平行四邊形.BE/CH,又CH?平面ACH,BE?平面ACH,BE/平面ACH,同理BG/平面ACH,又BEnBG=B平面BEG/平面ACH.(m)連接FH,ABCAEFGHfe正方體，DHLEGXvEG?平面EFGHDHLEG又EG±FH,EGAFH=O,EG，平面BFHD又DF?平面BFHDDF±EG,同理DF，BG,又.EGABG=GDF，平面BEG【點評】本題主要考查了簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行與垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題.19.

29、 (12分)已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，tanA,tanB是關(guān)于方程x2+行px-p+1=0(pCR)兩個實根.(I)求C的大小(H)若AB=3,AC=/6,求p的值.【分析】(I)由判別式=3p2+4p-4>0,可得p0-2,或p£,由韋達定理，有tanA+tanB=-Mp,tanAtanB=1-p,由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanC=-tan(A+B)=6，結(jié)合C的范圍即可求C的值.(II)由正弦定理可求sinB若薩，解得B,A,由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanA=tan75；從而可求p=一去(tanA+tanB)的值.【解答】解：(I)由已知，方程x2+V3px-p+1

30、=0的判別式：=(V3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4>0,所以p<-2,或p>r.由韋達定理，有tanA+tanB=-V5p,tanAtanB=1-p.所以,1-tanAtanB=1-(1-p)=p0,從而tan(A+B)=曲生迎二逗二病.1-tanAtanBp所以tanC=-tan(A+B)=Vs,所以C=60.(II)由正弦定理，可得sinB典返二運逆匚返A(chǔ)B32解得B=45,或B=135(舍去)于是，A=180°BC=75.則tanA=tan75=tan(45+30°)所以p=一3(tanA+tanB)=-V31*=+tan3d=_=2+7

31、.l-tan45°tan30°dV31萬-jU(2+V3+1)=-1-代.V3220.(13分)如圖，橢圓E:彳+a【點評】本題主要考查了和角公式、誘導公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識，考查了運算求解能力，考查了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想的應用，屬于中檔題.=1(a>b>0)的離心率是零，點P(0,1)在短軸CD上，且正?而=-1(I)求橢圓E的方程；(H)設(shè)O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)%使彳#示?而+而?詼為定值？若存在，求入的值；若不存在，請說明理由.【分析】(I)通過e黑、PC?PD=-1,計算即得a=2、b地,進而可得結(jié)論

32、；(n)分情況對直線AB斜率的存在性進行討論：當直線AB的斜率存在時，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，利用韋達定理計算可得當入=1寸0A?0B+/PA?PB=-3;當直線AB的斜率不存在時，示?而+XPA?PB=-3.【解答】解：(I)根據(jù)題意，可得C(0,-b),D(0,b),又;P(0,1),且正?氏=-1,(,?1-b4,解得a=2,b=/,aZ22橢圓E的方程為：U1;42(H)結(jié)論：存在常數(shù)入=1使得了?而+原?而為定值-3.理由如下：對直線AB斜率的存在性進行討論：當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A(xi,yi),B(X2,v2，y2聯(lián)立“丁+工-=1,消去y并整理

33、得：(1+2k2)x2+4kx-2=0,y=kx+l,/=(4k)2+8(1+2k2)>0,4k2x1+x2=,乂僅2=7,1+2/l+2k2從而OA?OB+廊？通=x1x2+y1y2+耳引&+(y一1)(y21)=(1+力(1+k2)x1x2+k(x+x2)+1=(-2%Y)k。(-2%T)l+2k2=-y-入-2.R2kz.當人=1寸，人工-入2=-3,l+2kz此時OA?OB+廊?麗=-3為定值；當直線AB的斜率不存在時，直線AB即為直線CD,此時水?而+晶?m=前+55+PC宙=-2-1=-3;故存在常數(shù)入=1使得丞?麗+通?正為定值-3.【點評】本題考查橢圓的標準方程、

34、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學思想，注意解題方法的積累，屬于難題.21.(14分)已知函數(shù)f(x)=2xlnx+x22ax+a2,其中a>0.(I)設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(II)證明：存在a(0,1),使得f(x)>0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1,+OO)內(nèi)有唯一解.【分析】(I)函數(shù)f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.可得：x>0.g(x)=f'(x)=2(x-1-lnx-a),可得g'(x)=2/*1),分別解出g'(x)<0,g'(x)>0,即可得出單調(diào)性.(II)由f'(x)=2(