2007年考研數(shù)學(xué)一真題及參考答案

1、2007 年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題(110小題，每小題4分，共40分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。)X0+當(dāng)時，與公等價的無窮小量是廠,11-e7K/n；(=(A)1(B)：(C)/lT-l(D)l-c0S；x【答案】Bo【解析】(當(dāng)X-0+)時忑=in(1+x)-1注( (1一的后幾個不同階的無窮小量的代數(shù)和，其階數(shù)由其中階數(shù)最低的項來決定。綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較y=-Fln?(1+ex)-,曲線父I漸近線的條數(shù)為(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】Do【解析】由于limy=+In(1+

2、2上)=8，一*oLO則些二。是曲線的垂直漸近線;limylim又1-+/n(1+胤=+8XlimR+In(1+-IneAlimX-*十 8綜上所述，本題正確答案是Do【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線liiny-limXT+8一側(cè)。則曲線有斜漸近線Y方，故該曲線有三條漸近線。4QOb=Um(y-r)=lim-+(n(1+-x|,T+8JTT+8所以二。是曲線的水平漸近線;如圖，連續(xù)函數(shù)上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間廣=9dt上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是(A)F=_*2)(B)F(2)J)九二一F(-2)=J。V()d

3、i-P.2f戊=-(-9另、一3八ro一mm3p-3)J。=-f_3f(t)dt=-J=研則F(-3)=%?！痉椒ǘ縁F(3)0由定積分幾何意義知.，排除(B)又由“)的圖形可知旗的奇函數(shù)，則F3=由為偶函數(shù)，從而?F(-3)=F(3)0網(wǎng)-2)=F(2)0顯然排除(A)和(D),故選(C)。綜上所述，本題正確答案是C【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分的應(yīng)用設(shè)函數(shù) J 在處連續(xù)，下列命題錯誤的是(A)若,幻hm存在，則/。)=。(C)11F=國dt=(。祖+以ay=hmY(B)右hm存在，則)=。(C)若t基：存在，則/(0)存在Um(D)若 T存在，則八)存在

4、【答案】Do【解析】lim(A):若凸I存在,因為limY-00limf(x)=0，則處連續(xù),所以，故/)=0,(A)正確;(B):若工存在，則Mm|f。)+/(-x)=/(0)+/(0)=x-K),貝八)二,故(B)正確。(C)rwhmx-*0f=o存在，知八,，則lfwr/w-rmUmhm-=/(0)x-K)x-*0一0),一一則J 存在，故(C)正確Um/(X)-f(-X)(D)-lim-0-f(。)存在,不能說明例如limXT。*T。/(X)=閉fCO-fD存在,x=0,，在處連續(xù),存在，但是r(o)不存在，故命題(D)不正確。綜上所述，本題正確答案是Do【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分

5、學(xué)一導(dǎo)數(shù)和微分的概念(5)設(shè)函數(shù)慮在/(x)0內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且%，令， 則下精心整理列結(jié)論正確的是UiU2un一,Hlu?$,(A)若1旭/必收斂(B)若1則*必發(fā)散(C)若也2,則此/必收斂(D)若也,知曲線y=/()是凹的,一，一，人-，%=fS)T-8一人一，人,顯然，圖1排除選項(A),其中八,；圖2排除選項(B);圖3排除選取,在(+8)上，小)0,且/=e0。c2-當(dāng)時，%=f=eJ+00,排除(C),故應(yīng)選(D)項(C),其中r=)T+8;故應(yīng)選(D)。除B;fW=f()一f(2)+/(2)=/(C(H-2)+f(2)由于/區(qū)且巨工則f(9( () )。從而有/(門)/(c)(

6、n-2)+f(2T+8則有：綜上所述，本題正確答案是Do【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(6)設(shè)曲線=(“)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過第象限內(nèi)的點網(wǎng)和第“象限，一Nr,M,N,一，的點，為上從點到點的一段弧，則下列小于零的是(A)孫曲卜出曲Jrf(xfy)dsfrfx(xty)dx+ry(xty)dy(C)(D)【答案】Bo【解析】設(shè)外？的坐標(biāo)分別為，則由題設(shè)可得.2,力及二二11因為frf(.x,y)dx=frdx-x2-xi0,/小y曲向=先-力。：I./叼)*=/0=的孤氏Jj式3)dr+fy(xfy)dy-Jr0dx+Ody=0綜上所述，本題正確答案是B。

7、【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算，一，/CQ4(7)設(shè)向量組一線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是at_a2.2-i(C嚴(yán)-239-2%。廠2%“：一/【答案】A?！窘馕觥浚阂驗橐?0-+儂-3)二。所以向量組國-90153g3sS線性相關(guān)；(B)：rioT&+a2fa2+a：a3+aj=(cq1120I。I101.，C=11o。11Ja.a?Ja7a( (+a2,a2+因為g3線性無關(guān)，所以判斷線性無關(guān)M101J121=2,。CLi4-a?a2+。山。m由于o11，故知一線性無關(guān)；線性無關(guān);(L+2a2fa2+2afa3+2aJ=(at/a2las201

8、2010120121201203pz(l-p)2(C)(D)6pl-pf102210021綜上所述，本題正確答案是A。【考點】線性代數(shù)一向量一向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似【答案】B。合同的充分必要條件是具有相同的正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)。綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】線性代數(shù)一二次型一二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣(9)某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為一占一第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為3P(1-P)：心6p(i-PH(B)CQ十22,+Zot3,ot3+2al線性無關(guān);(8)

9、設(shè)矩陣2-1A-1211-11nooi-1JJ=010000,則與根據(jù)相似的必要條件：一一,易得近和肯定不相似,XE-A=A-211X-21114-2111A-2x1AxAOOAjqV知矩陣二的特征值.故二次型的正慣性指數(shù)次型”X也是正慣性指數(shù)，負慣性指數(shù)=刈-3)2P-2-t,z(7=0，負慣性指數(shù),所以和“合同，而二，則此人(A)精心整理【答案】C?！窘馕觥扛鶕?jù)獨立重復(fù)的伯努利試驗，前3次試驗中有1次成功和2次失敗，其概率為。如(1-浦：第4次試驗成功，其概率為也所以此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為。如(1二p)2?p=3p2(l-p)2綜上所述，本題正確答案是Co【考點】概率論與

10、數(shù)理統(tǒng)計一隨機事件和概率一概率的基本公式，事件的獨立性,獨立重復(fù)試驗(10)設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且*與-不相關(guān)，/*心)分別表示J的概率密度，則在了=2的條件下，的條件概率密度瓢為研砌(A)(B)(C)(D)&【答案】A?！窘馕觥侩S機變量服從二維正態(tài)分布，且*與丫不相關(guān)，說明“與丫相互獨立，且/(秘)=fx(x)fY(y)fy(y)手o/fxY(y)的條件概率密度八吠為綜上所述，本題正確答案是A【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一多維隨機變量及其分布一二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機變量的獨立性和不相關(guān)性，常用二維隨機變量的分布My)=A(x)在y二y的條件下，

11、根據(jù)題目顯然精心整理二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分)(11)Jeldx二一JteLdt=PteEdt=?!一PeLdtJ-JrJi=5 二綜上所述，本題正確答案是Z?！究键c】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一不定積分和定積分的換元積分法與分部積利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方式，可直接得出=f?yxy-1+f：?/7ny分法(12)設(shè)“,是二元可微函數(shù),+6?必吊y【方法必=-:夕d綜上所述，本題正確答案是門?+九?必叫【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微分學(xué)一多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(13)二階常系數(shù)非齊次微分方程ATy+3y=2i的通解為片【答案】互】之2蘭二絲，其中G，Q為任意常數(shù)【解析】對應(yīng)齊次

12、方程的特征方程為%-4JL+3=0?&二=3則對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)原方程特解為廣二代入原方程可得4Ae2x-8Ae2jf+3Ae2x=2e2x?A=-2所以原方程的特解為,yC1ex+C7eix-2e2x.rCbC2tz故原方程的通解為2其中一L*為任意常數(shù),【考點】高等數(shù)學(xué)一常微分方程一簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(14)設(shè)曲面期再道自則%3d上。【答案】?！窘馕觥坑煞e分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性有，回押=0#JMdS=。削ds=毋Jz|d5JuCt坦y|dS=掰式田+y+z)dS=；力解5=1?8?y=g故綜上所述，本題正確答案是其中r,為任意常數(shù)。所以,綜上所述，本題正確答案

13、是丑?！究键c】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算【解析】因為r（匣）=1所以。綜上所述，本題正確答案是1?！究键c】線性代數(shù)一矩陣一矩陣的乘法，矩陣的秩（16）在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之差的絕對值小于2的概率為。|3【答案】K【解析】假定在區(qū)間（1）中隨機地取兩個數(shù)為,則0*1,0V1,把（Xy）看做直角坐標(biāo)系內(nèi)一個點的坐標(biāo)，則如下圖所示，為正方形區(qū)域內(nèi)的點，而滿足Y-v工11（-2#）/J需必。Z52,。）=4比較以上函數(shù)值，可得函數(shù)在區(qū)域國*4之，上的最大值為/（0（2）=8b*0,0）=0,最小值為【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微分學(xué)一多元函數(shù)的極值和條件極值，

14、多元函數(shù)的精心整理三、解答題（本題共8小題，滿分86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（17）（本題滿分11分）求函數(shù)在區(qū)域最小值。D=+y0)上的最大值和了,=2x-2xy2=0（x=+（x=土、儲儼=0因為小尸4y=。y=l，|y=-（y=O所以函數(shù)在區(qū)域D=1醐）*+昨4,y0內(nèi)的駐點為(/2,0(-,2)(0,0)f(土、21)=2/(0,0)=0再求函數(shù)在邊界線上的極值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為:L(x,y,X)-x2+2y2-x2y2+A(x2+y2-4)，則-2x-2xy2+2Ax0=4y-2x2y+2Ay=071j=x2+y2-4=0iA*，解得”土、2，1Mv=2y=01

15、=0(X=+2,于是條件駐點為精心整理最大值、最小值及其簡單應(yīng)用(18)(本題滿分10分)計算曲面積分，l-?產(chǎn)4y心+2八必+其中為曲面z=17京001)的上側(cè)?！窘馕觥渴繛榍尕?一產(chǎn)一*z=1)的上側(cè)，f2=0.一2*|l, ,Loi添加一個平面十彳W1,取下側(cè)，則和構(gòu)成閉合曲面，其所圍區(qū)域記為，于是/=毋-而毋xzdydz+2yzdzdx+3xydxdy4十上*I|=+=3fffnzdxdydzmjdwjj上v2dxdy=6TT/z(1-z)dz=/xzdydz+2yzdzdx+3xydxdy-fJx3xydxdy-JT.73xydxdy-0,i*+彳I【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)

16、一兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算(19)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)刈名在?加上連續(xù)，在缶內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且存在相等的最大值,f9L=g(Q)/(b)=g)、工業(yè)f(a,b)f0耶）=m幽=施-M0I：此時，由連續(xù)函數(shù)介值定理知在4?之間至少存在點時，網(wǎng)通=，：綜上所述，存在遍）,使得卜二由羅爾定理知，存在L必26（叫吏得抽1=0/（&）=。；再由羅爾定理知，存在在&）,使得歹=即/=g?！痉椒ǘ坑梅醋C法證明存在He3使得=:假設(shè)不存在“e8力），使得T 則由8）的連續(xù)性知對于一切xeQ8）恒大于零或恒小于零。設(shè)螞出設(shè)則在催（哂取到最大值，則也即及。）g（）從而可知/在xe）上的

17、最大值比式乃在“（力）上的最大值要大，與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)命題不成立。存在它（QM使得加=0所以由羅爾定理知，存在於（。必2）使得%）=。及）=。再由羅爾定理知，存在2函使得F。,即八【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一微分中值定理（20）（本題滿分10分）設(shè)哥級數(shù)Ruo冊x在（-8.+8）內(nèi)收斂，其和函數(shù)y5）滿足y-2xy-4y=0,y(0)=01y(0)=1（ii）求y（）的表達式?！窘馕觥?i)由題設(shè)可得y=Eoanxn,y=El初“廿一二：1y=/s-1)。了-z=琮+1)5+2)距+2r【考點】高等數(shù)學(xué)一無窮級數(shù)一簡單哥級數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的哥級數(shù)（I）證明:即+2一丹+簿I

18、j2j3f?小,y-2xy-4y=0叢0)=Ofy(O)=1展開式精心整理(21)(本題滿分11分)勺+刈+=0X+2x2+a3=0設(shè)線性方程組jQ+4%2+屆刈=0工?勺+2也+為=Q_1小與萬程有公共解，求的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程組有公共解，即為將兩個方程聯(lián)立的解F工+冷+心=0X+2X2+UX30元1+42+=0占+2x2+打=a-1對聯(lián)立方程組的增廣矩陣進行初等行變換，有rl00001001 110-010-0a a1-a1Q-11u(。一l)(a-2已知方程組有解，所以應(yīng)有(a-l)(a-2)=0a=lfa=21-101胃010,AT000?000boooooo- -

19、門?1 1a2a1113111311ooo1oooooo-aooo-a，其中“為任意常數(shù)Fl01-11N010：1Q=2討 A。0_?，0000bd【方法二】111112?_(a.-1)(。2)先求方程組的解，其系數(shù)行列式為14a2-當(dāng)I?時，方程組只有零解，但此時不是方程的解，所以公共解發(fā)生在瓦=1或時，當(dāng)3=1時，對方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換ri1r12114111or010000常數(shù)。,a=2t、,、,、當(dāng)時，同樣求方程組的通解方程組的通解為kL1,其中阮為任意常數(shù)1-1,x=k。此解也滿足方程組，所以此時方程組和的公共解為L1,其中也為任意此時，有唯一的公共解為O O1 1O OO

20、 O1 1O O1 1oOoOT.1131131131131 1oOoO.01x-kT方程組的通解為1,其中為任意常數(shù)124124124124將其代入方程組中得：。+2(f)+k=l得乂二匚,因此此時方程組和的公共解為【考點】線性代數(shù)一線性方程組一齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，非齊次線性方程組的通解(22)(本題滿分11分)設(shè)3階實對稱矩陣力的特征值為，n二認=一2，且曲二(，一L1)是的屬AiR-J5_44：+FF于的一個特征向量，記”凡十上，其中上為3階單位矩陣。aiMR(I)驗證是矩陣的特征向量，并求的所有特征值和特征向量；(II)求矩陣【解析】(I)由巴三知：一，那么Bffi二(再5

21、443+E)a1=-4431+cq=(4J+1)?1=-21rl所以“是矩陣屬于特征值出二一2的特征向量4a2=心即43=入聲同理，有8=(%/-4七*+1)劭=a?,8%=(為5-4婷+1)3=3B12山a=匕=1因此，矩陣的特征值為巴里。一J，_B一，-,-B,tt3=1,由矩陣一是對稱矩陣知矩陣也是對稱矩陣，設(shè)矩陣凹關(guān)于特征值的特征向量是P二儼123),那么因為實對稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，有底/0=xr-x2+x3=0一，一6,一/=出=1，所以矩陣巴關(guān)于特征值的特征向量是,_B41=一2因此，矩陣1-屬于特征值A(chǔ)的特征向量是方=逗0)加二(-10對心(一1卬右,其中匚是不為0的任意常數(shù)。矩陣“屬于特征值?=1的特征向量是十 1TOR其中/依是不全為0的任意常數(shù)。（II）由咽=一町3色=色m=出有日（支112，角）=（-2%曲#3）所以b=（-2a&出）（“必）t【考點】線性代數(shù)一矩陣的特征值與特征向量一矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，實對稱矩陣的特征值、特征向