第2章-2隨機過程r3

1、12.3.1 隨機變量的概率分布n隨機變量的概念：若某種試驗A的隨機結果用X表示，則稱此X為一個隨機變量，并設它的取值為x。 例如，在一定時間內電話交換臺收到的呼叫次數是一個隨機變量。n隨機變量的分布函數：u定義：FX(x) = P(X x) u性質： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a) 12u離散隨機變量的分布函數：離散隨機變量的分布函數：p設設X的取值為：的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別，其取值的概率分別為為p1, p2, , pi, , pn，則有，則有P

2、 P ( (X X x x1 1) = 0,) = 0,P P( (X X x xn n) = 1) = 1P P( (X X x xi i) = ) = P P( (X X = = x x1 1) + ) + P P( (X X = = x x2 2) + + ) + + P P( (X X = = x xi i),), p性質：性質： FX(- ) = 0 FX(+ ) = 1 若若x1 x2，則有，則有: FX(x1) FX(x2) ，為單調增函數。，為單調增函數。2nikikXxxxxxpxxxF10)(11113u連續(xù)隨機變量的分布函數：連續(xù)隨機變量的分布函數：當當x連續(xù)時，由定義分

3、布函數定義連續(xù)時，由定義分布函數定義 FX(x) = P(X x)可知，可知， FX(x) 為一連續(xù)單調遞增函數：為一連續(xù)單調遞增函數：34n連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度pX (x)upX (x)的定義：的定義：upX (x)的意義：的意義：ppX (x)是是FX (x)的導數，是的導數，是FX (x)曲線的斜率曲線的斜率p能夠從能夠從pX (x)求出求出P(a 0, a = 常數常數u概率密度曲線：概率密度曲線：6222)(exp21)(axxpX7n均勻分布隨機變量均勻分布隨機變量u定義：概率密度定義：概率密度式中，式中，a，b為常數為常數u概率密度曲線：概率密度曲線：7其

4、他0)/(1)(bxaabxpXbax0pA(x)8u定義：概率密度為定義：概率密度為式中，式中，a 0，為常數。，為常數。u概率密度曲線：概率密度曲線：80)exp(2)(2xaxaxxpX92.5 隨機變量的數字特征若若X和和Y互相獨立，且互相獨立，且E(X)和和E(Y)存在。存在。9dxxxpXEX)()(CCE)()()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE)()(XECXCE)()()(YEXEXYE CE(X)E(CX)102.5.2 方差方差n定義：式中，u方差的改寫：證：u對于離散隨機變量，u對于連續(xù)隨機變量，n性質：uD( C ) = 0uD(X

5、+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)uD(X+Y)=D(X)+D(Y)uD(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn)10)()(22XXEXDX的數學期望標準偏差，XXX22)(XXXD2222222222)(XXXXXXXXXEXXEiiipXxXD2)()(dxxpXxXDX)()()(2112.5.3 矩矩n定義：隨機變量定義：隨機變量X的的k階矩為階矩為uk階原點矩：階原點矩：a = 0時的矩：時的矩：uk階中心矩：階中心矩： 時的矩：時的矩：n性質：性質：u 一階原點矩為數學期望：一階原點矩為數學期望：u 二階中心矩為方差：二階中心矩為方差

6、：11dxxpaxaXEXkk)()()(dxxpxXmXkk)()(Xa ()()( )kkXMXxXpx dx)()(1XEXm22)()(XXDXM122.6 隨機過程隨機過程l2.6 隨機過程隨機過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機過程窄帶隨機過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)132.6 隨機過程隨機過程l2.6.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程l2.6.3 各態(tài)歷經性各態(tài)歷經性l2.6.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度1

7、42.6 隨機過程隨機過程l2.6.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念n什么是隨機過程？u隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數描述?？蓮膬煞N不同角度看：u角度1：對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。15第第2章章 信號信號【例】n臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機的輸出噪聲波形 p樣本函數i (t)：隨機過程的一次實現，是確定的時間函數。p隨機過程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數的集合。16第第2章章 信號信號u角度2：隨機過程是隨機變量概念的延伸。p在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數i (t)都是一個確定的數值i (t

8、1)，但是每個i (t1)都是不可預知的。p在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是一個隨機變量，記為 (t1)。p換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。p因此，我們又可以把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。p這個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數學描述。17第第2章章 信號信號n1.隨機過程的分布函數u設 (t)表示一個隨機過程，則它在任意時刻t1的值 (t1)是一個隨機變量，其統(tǒng)計特性可以用分布函數或概率密度函數來描述。u隨機過程 (t)的一維分布函數：u隨機過程 (t)的一維概率密度函數：若上式中的偏導存在的話。

9、)(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf18第第2章章 信號信號u隨機過程 (t) 的二維分布函數：u隨機過程 (t)的二維概率密度函數：若上式中的偏導存在的話。 u隨機過程 (t) 的n維分布函數：u隨機過程 (t) 的n維概率密度函數：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，19第第2章章 信號信號n2.

10、 隨機過程的數字特征u均值（數學期望）：在任意給定時刻t1的取值 (t1)是一個隨機變量，其均值式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函數由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接寫為t， x1改為x，這樣上式就變?yōu)閐xtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE20第第2章章 信號信號 (t)的均值是時間的確定函數，常記作a ( t )，它表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心 :dxtxxftE),()(1a (t )21第第2章章 信號信號u方差方差常記為 2( t )。這里也把任意時刻t1直接寫成了t 。因為所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在

11、時刻 t 對于均值a ( t )的偏離程度。2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方22第第2章章 信號信號u相關函數式中， (t1)和 (t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機變量。可以看出，R(t1, t2)是兩個變量t1和t2的確定函數。u協(xié)方差函數式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2時刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR

12、 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 232.6 隨機過程隨機過程l2.6.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程l2.6.3 各態(tài)歷經性各態(tài)歷經性l2.6.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度24第第2章章 信號信號l2.6.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程n1 .嚴平穩(wěn)隨機過程的定義u定義：若一個隨機過程(t)的任意有限維分布函數與時間起點無關，也就是說，對于任意的正整數n和所有實數，有則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機

13、過程，簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；25第第2章章 信號信號u廣義平穩(wěn)隨機過程：可見，（1）其均值與t 無關，為常數a ； （2）自相關函數只與時間間隔 有關。把同時滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機過程。顯然，嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數可視為平穩(wěn)的隨機過程。因此，研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。 adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 262.6 隨機過程隨機過程l2.6.1 隨機過程的

14、基本概念隨機過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程l2.6.3 各態(tài)歷經性各態(tài)歷經性l2.6.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度272.6隨機過程隨機過程n2.6.3 各態(tài)歷經性u問題的提出：我們知道，隨機過程的數字特征（均值、相關函數）是對隨機過程的所有樣本函數的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數x(t)來決定平穩(wěn)過程的數字特征呢?u回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，一個平穩(wěn)隨機過程的一個實現能夠經歷此過程的所有狀態(tài)，稱為

15、“各態(tài)歷經性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經性的過程，其數字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現的時間平均值來代替。 u下面，我們來討論各態(tài)歷經性的條件。28第第2章章 信號信號u各態(tài)歷經性條件設：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實現（樣本），則其時間均值和時間相關函數分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa29第第2章章 信號信號u“各態(tài)歷經”的含義是：隨機過程中的任一次實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)

16、計平均（均值或自相關函數等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現的“時間平均”值代替過程的“統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算的問題大為簡化。u具有各態(tài)歷經的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經條件。30第第2章章 信號信號u 例例1 設一個隨機相位的正弦波為其中，A和c均為常數；是在(0, 2)內均勻分布的隨機變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經性?！窘狻俊窘狻?1)先求(t)的統(tǒng)計平均值：數學期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sins

17、incoscos22020dtdtAcc31第第2章章 信號信號自相關函數令t2 t1 = ，得到可見， (t)的數學期望為常數，而自相關函數與t 無關，只與時間間隔 有關，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc32第第2章章 信號信號 (2) 求(t)的時間平均值比較統(tǒng)計平均與時間平均，有因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經的。220)cos(1limTTcTdt

18、tATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa332.6 隨機過程隨機過程l2.6.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程l2.6.3 各態(tài)歷經性各態(tài)歷經性l2.6.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度34第第2章章 信號信號n2.6.4-1 平穩(wěn)過程的自相關函數u平穩(wěn)過程自相關函數的定義：同前u平穩(wěn)過程自相關函數的性質p (t)的平均功率p 的偶函數p R()的上界即自相關函數R()在 =

19、0有最大值。p (t)的直流功率p 表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。當均值為0時，有 R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR35第第2章章 信號信號n2.6.4-2 平穩(wěn)過程的功率譜密度u定義：p對于任意的確定功率信號f (t)，它的功率譜密度定義為式中，FT ( f )是f (t)的截短函數fT (t) 所對應的頻譜函數TfFmi lfPTTf2)()(36第第2章章 信號信號p對于平穩(wěn)隨機過程 (t) ，可以把f (t)當作是(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看作是對所有樣本的

20、功率譜的統(tǒng)計平均，故 (t)的功率譜密度可以定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(37第第2章章 信號信號u功率譜密度的計算p維納-辛欽關系 非周期的功率型確知信號的自相關函數與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有簡記為以上關系稱為維納維納-辛欽辛欽關系。它在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR38第第2章章 信號信號p例例2 求隨機相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相關函數和功率譜密度?！窘狻俊窘狻吭诶?中，我們已經考察隨機

21、相位余弦波是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關函數為因為平穩(wěn)隨機過程的相關函數與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有 以及由于有所以，功率譜密度為平均功率為 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS392.6 隨機過程隨機過程l2.6 隨機過程隨機過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機過程窄帶隨機過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)40第第2章章 信號信號l 2.7 高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）n1. 定義u如果隨機過程 (t)的任意n維（n

22、 =1,2,.）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。u n維正態(tài)概率密度函數表示式為：式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa41第第2章章 信號信號式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代數余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(42第第2章章 信號信號n 2. 重要性質u由高斯過程的定義式可以看出,高斯過程的n維分布只依賴各個

23、隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數字特征就可以了。u廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的。因為，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關，協(xié)方差函數只與時間間隔有關，而與時間起點無關，則它的n維分布也與時間起點無關，故它也是嚴平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴平穩(wěn)。43第第2章章 信號信號u如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，即對所有j k，有bjk =0，則其概率密度可以簡化為這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。u高斯過程經過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也

24、是高斯過程。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf44第第2章章 信號信號n 2. 高斯隨機變量u定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數為式中a 均值 2 方差曲線如右圖：221()( )exp22xaf x45第第2章章 信號信號u性質pf (x)對稱于直線 x = a，即p pa表示分布中心， 稱為標準偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當a = 0和 = 1時，稱為標準化的正態(tài)分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdx

25、xf21)()(21( )exp22xf x46第第2章章 信號信號u正態(tài)分布函數這個積分的值無法用閉合形式計算，通常利用其他特殊函數，用查表的方法求出：p用誤差函數表示正態(tài)分布函數：令 則有 及 式中 誤差函數，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedt47第第2章章 信號信號p用互補誤差函數erfc(x)表示正態(tài)分布函數：式中當x 2時，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex4

26、82.6 隨機過程隨機過程l2.6 隨機過程隨機過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機過程窄帶隨機過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)49第第2章章 信號信號l2.8 窄帶隨機過程窄帶隨機過程 n2.8.1 什么是窄帶隨機過程？ 若隨機過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f 內，即滿足f fc的條件，且 fc 遠離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機過程。 50第第2章章 信號信號n典型的窄帶隨機過程的譜密度和樣本函數 51第第2章章 信號信號n窄帶隨機過程的表示式式中，a (t) 隨機包絡， (t) 隨機相

27、位 c 中心角頻率顯然， a (t)和 (t)的變化相對于載波cos ct的變化要緩慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatc52第第2章章 信號信號n窄帶隨機過程表示式展開可以展開為式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量可以看出：(t)的統(tǒng)計特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性確定。若(t)的統(tǒng)計特性已知，則a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。 0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats53第第2章章 信號信號n1. c(t)和s(t)的統(tǒng)

28、計特性p數學期望：對下式求數學期望：得到 因為(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t，都有E(t) = 0 ，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，2.8.2 窄帶隨機過程性質54第第2章章 信號信號p(t)的自相關函數：由自相關函數的定義式式中因為(t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時間t無關，而僅與有關。 因此，若令 t = 0，上式仍應成立，它變?yōu)?()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttR

29、ccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),()(55第第2章章 信號信號因與時間t無關，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)樵倭?t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(56第第

30、2章章 信號信號p進一步分析，下兩式應同時成立，故有上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關函數。根據互相關函數的性質，應有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函數，所以同理可證 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR57第第2章章 信號信號將代入下兩式得到即上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(

31、csR)0()0()0(scRRR222sc58第第2章章 信號信號p根據平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關，故由式 得到因為(t)是高斯過程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機變量，從而c(t) 、 s(t)也是高斯過程。p根據可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關，又由于它們是高斯型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計獨立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時)()(,2222ttttsc時0)0(csR59第第2章章 信號信號u結論結論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過

32、程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的c和s是互不相關的或統(tǒng)計獨立的。60第第2章章 信號信號n2. a(t)和(t)的統(tǒng)計特性u聯(lián)合概率密度函數 f (a , )根據概率論知識有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff61第第2章章 信號信號于是有式中a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aa62第第2章章 信號信號ua的一維概率密度函數可見， a服從瑞利(Raylei

33、gh)分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa63第第2章章 信號信號u的一維概率密度函數可見， 服從均勻分布。20212exp21),()(02220daaadaaff64第第2章章 信號信號u結論一個均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計獨立的 ，即有 )()(),(fafaf652.6 隨機過程隨機過程l2.6 隨機過程隨機過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機過程窄帶隨機過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l

34、2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)66第第2章章 信號信號l2.9 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲n正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中 窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機相位，均勻分布在0 2間 A和c 確知振幅和角頻率于是有式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss67第第2章章 信號信號n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡和相位表示式包絡：相位：0,)()()(22z

35、tztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs68第第2章章 信號信號n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡的統(tǒng)計特性u包絡的概率密度函數 f (z)利用上一節(jié)的結果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨立的高斯隨機變量，且有所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數為222sincosnscscAzEAzE2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc69第第2章章 信號信號利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據zc，zs與z，之間的隨機變量關系可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數然后求給定條件下的邊際分布， 即sincoszzzzs

36、c)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(22022222070第第2章章 信號信號由于故有式中I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數因此由上式可見，f (, z)與無關，故包絡z的概率密度函數為稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。 )(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn71第第2章章 信號信

37、號u討論p當信號很小時，即A 0時，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。p當(Az/n2)很大時，有這時上式近似為高斯分布，即0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnnxexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf72第第2章章 信號信號p包絡概率密度函數 f (z)曲線73第第2章章 信號信號n正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計特性F()742.6 隨機過程隨機過程l2.6 隨機過程隨機過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機過程窄帶隨機過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)

38、信號通過線性系統(tǒng)75第第2章章 信號信號l2.10 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)n確知信號通過線性系統(tǒng)（復習） ：式中 vi 輸入信號， vo 輸出信號對應的傅里葉變換關系：n隨機信號通過線性系統(tǒng)：u假設：i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機過程， a 均值， Ri() 自相關函數， Pi() 功率譜密度；求輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性，即它的均值、自相關函數、功率譜以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f ()f ()f (0iVHVdthti)()()(076第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的均值 對下式兩邊取統(tǒng)計平均：得到設輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有

39、式中，H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應，因此輸出過程的均值是一個常數。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE77第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的自相關函數：根據自相關函數的定義根據輸入過程的平穩(wěn)性，有于是 上式表明,輸出過程的自相關函數僅是時間間隔 的函數。 由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。 ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 78第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的功率譜密度對下式進行傅里葉變換：得出令 = + - ，代入上式，得到即結論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應模值的平方。應用：由Po( f )的反傅里葉變換求Ro() )()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii79第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的概率分布p如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯