(完整版)一元二次方程配方法,公式法,因式分解法

1、一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由實(shí)際問題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問題的解.例1：下面哪些數(shù)是方程2P+10x+12=0的根？4、一3、一2、一1、0、1、2、3、4分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.例2：解方程：x'+6x+9=2解：由已知，得：(x+3)2=2直接開平方，得：x+3=±V2即x+3=V2,x+3=-V2所以，方程的兩根“=3+JI,=-3-V23妒一5x=252解：方程兩邊同時(shí)除以3,得宀產(chǎn)亍配方，得宀產(chǎn)3(5丫49x=I6丿36=HI5 7x

2、-=±-,6 65 7所以，方程的兩根a;=-+-=2,6 6復(fù)習(xí)(a+b)1=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2cib+b2根據(jù)公式完成卞面的練習(xí)：(l)x2-Sx+T(x-)2(2)9x2+12x+t(3x+)2(3)x2+px+/x2+6x+T(X+)2(5)x2-5x+f(x-)'(6)x"9.x+>(x)2努力就能成功，堅(jiān)持確保勝利。4進(jìn)步熱線：3177117像這種求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。練一練：(2)x2+12x-15=0(l)x2+Sx=9(6)(x+2)'=8x(4)3x2+Sx-3=0(5)2x2-9.r+8=0練

3、一練一. 選擇題1. 方程x（x-l）=2的兩根為（）.CXy=1,=2AX=0,Xr=1EX=0,=1).2. 方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是(A. b=b,x2=aB.兀=応=+3.已知兀=一1是方程ax2+bx+c=0的根，則-0hO)=(bb).A1B一1C0D2Dp=-4、q=-2).4.若-4x+=（x+g）S那么p、q的值分別是（Ap=4、q=2Ep=4、q=25.方程3亍+9=0的根為（).B一3C±326.用配方法解方程x2-x+l=0正確的解法是（3A3D.無實(shí)數(shù)根).A.2土空933B.1X-3Q原方程無解92、X3丿二、填空題C.52V52-V5節(jié)人

4、=亍1兀=P"D.2、x3丿=i,為=1，旺=_£1.如果妒一81=0,那么x2-81=0的兩個(gè)根分別是“=2. 已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3,則m的值為.3. 方程（x+1尸+1）=0,那么方程的根耳=:x2=4. 若8x2-16=0,則x的值是.5. 如果方程2（x-3）'=72,那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是.6. 如果b為實(shí)數(shù)，滿足她+4+夕-12/?+36=0,那么ab的值是.三、綜合提高題如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和等于一次項(xiàng)系數(shù)，求證:-1必是該方程的一個(gè)根.一元二次方程公式法一元二次方

5、程做'+加+。=0工0）的根由方程的系數(shù)b、C而定，因此：（1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0（a0）,當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，將b、c代入式子士2-4（«就得到方程的根。（公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六種運(yùn)算,2a力減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。）（2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式。（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。例1.用公式法解下列方程.2x2-x-1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可。解：g

6、=2、b=1>c=1b2-4ac=（-1）2-4x2x（-1）=1+8=9_-（-l）±V9_1±3X =2x24_1XI =1，兀2=2練一練：用公式法解下列方程)o(4)4x2-3x+2=0（1）（x-2）（3x-5）=0（2）x2+l5=_3x一. 選擇題1.用公式法解方程4亍-12x=3,得到（AX=-3±V62CxD2.方程耘+4羽x+6近=0的根是（)oAX=2*,X->=yfiBX=6,天=CX=2*/2",DX=X、=3. (nf-n2iir-n2-2)-8=0,則m2-n2的值是()。A4B-2C4或2D-4或2鍥而不舍，膽

7、大心細(xì)讓我們陪伴著你的成長!二、填空題1. 一元二次方程ax2+bx+c=O（aO）的求根公式是,條件是.2. 當(dāng)兀=時(shí)，代數(shù)式x2-8x+12的值是4.3. 若關(guān)于X的一元二次方程（HI-l）x2+X+HJ2+2/11-3=0有一根為0,則加的值是三、拓展題某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（/n+l>H,=+2+（/w-2）Lr-l=0提出了下列問題。若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出加并解此方程.根據(jù)求根公式判別一元二次方程根的情況方程b-4ac的值b2-4ac的符號呂,"的關(guān)系（填相等、不等或不存在）2亍-3x=03宀2屆+1=04x2+x+l=0七申八*-b&

8、#177;y/b2-4ac求根公式：x=o2a（1）當(dāng)4心>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，ylb，-4ac等于一個(gè)具體數(shù),所以一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的小=一"十"慶一九。工心=一"一"慶一縱匕,即有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即2a2a-b+yjb2一4ac一b-yjb2一4acX.=,兀>=o12a-2a（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，根據(jù)平方根的意義J，一4皿=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的b.bX=9即有兩個(gè)相等的實(shí)根，即耳=o2d2a（3）當(dāng)4gcy0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒有平方根，所以一元二次方程ax2+bx

9、+c=0（a0）沒有實(shí)數(shù)解。例1.不解方程，判定方程根的情況(1)16x2+8x=-3(2)9x'+6x+l=0(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情況進(jìn)行分析即可鞏固練習(xí)一、不解方程判定下列方程根的情況：3(1)x2+10x+26=0(2)x2-x-=04(3)3宀65=0(4)(5)X2-yf3x-丄=0(6)4x2-6x=04(7)心4)=58x(8)(x2)(3x5)=0二、選擇題1. 以下是方程3x2-2x=一1的解的情況，其中正確的有().A.，一4。0=-8,方程有解B.V/?2-

10、4«c=-8,方程無解C.VZ?2-4«c=8,方程有解D.Vb-4ac=8,方程無解2. 一元二次方程x2-ax+l=0的兩實(shí)數(shù)根相等，則d的值為().A.a=0B.。=2助=一2C.a=2D.。=2或。=03. 已知RhI,元二次方程U-l)x2+kx+l=0有根，則k的取值范圍是().A.Rh2B.Ra2C.Ry2皿HlD.£為一切實(shí)數(shù)三、填空題1. 已知方程x2+px+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則與q的關(guān)系是2. 不解方程，判定2x2-3=4x的根的情況是(填“二個(gè)不等實(shí)根”或“二個(gè)相等實(shí)根或沒有實(shí)根”).3. 已知幾0,不解方程，試判定關(guān)于x的一元二次方程

11、x2-(2a+b)x+(ci+ab-2b2)=0的根的情況是四、綜合提高題1.不解方程，判別關(guān)于x的方程疋2也+(21)=0的根的情況.2、若關(guān)于x的一元二次方程(a-2>)x2-2a.x+a+l=0沒有實(shí)數(shù)解，求ot+3a0的解集(用含d的式子表示).一元二次方程因式分解法解下列方程。2x2+x=0方程中沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解:可以寫成：x(2x+l)=0兩個(gè)因式乘積要等于0,至少其中一個(gè)因式要等于0,也就是x=0或2x+l=o所以x1=0,A=-丄亠2因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)

12、一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.用因式分解法解方程(l)10x-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)(x-1)2=(3-2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個(gè)一次因式乘積。)1下面一元二次方程解法中，正確的是().A. (x-3X-5)=10x2,Ax-3=10,x-5=2,A=13,x2=7B. (2_5x)+(5x_2)，=0,(5x_2)(5x_3)=0,召=彳,兀=彳C. (x+2)2+4x=0,AxL=2,x2=-2D. x2=X兩邊同除以X,得X=1一、填空題1. x2-5x因式分解結(jié)果為:2x(%-3)-5(%-3)因式分解的結(jié)果是.2. 方程(2x-1)2=2x-1的根是.3. 二次三項(xiàng)式F+20/+96分解因式的結(jié)果為_：如果令亍+20x+96=0,那么它的兩個(gè)根是.二、綜合提高題1.用因式分解法解下列方程.(l)3y2-6y=0(2)25y2-16=0(3)x2-12x-28=0(4)x2一12x+35=02.已知(x+yXx+yl)=0,