Laplace小波學(xué)習(xí)整理

1、Laplace小波特征波混合基分解的精髓：使用與信號(hào)波形最匹配的基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解、提取隱含故障特征。Laplace小波定義：該小波為單邊衰減的復(fù)指數(shù)小波，定義如下圖所示：畑""=沖=嚴(yán)警ST£6二+肥式中參數(shù)矢量胡衛(wèi)“決定了小波的特性，它的成員變量孫和模蕊動(dòng)力學(xué)相關(guān)，其中心倉(cāng)表示頻率$表示粘滯阻尼比,tER為時(shí)IM參數(shù)、系數(shù)人用來(lái)歸一化小波函數(shù)辛評(píng)表示小波顒支區(qū)間的寬度，它一般不需要顯式表示*由于址=2皿而f更宜觀地表示了信號(hào)的頻率.本節(jié)一律用7=f,表麗Laplace小波參數(shù).于的單位為He、它抉定Laplace小波的振蕩頻率。校大的阻尼比使Laplace小

2、波迅速衰減*在MATLAB中程序：Fs=1e4;t=1/Fs:1/Fs:0.1;f=500;w=2*pi*f;A=0.08;%歸一化小波函數(shù)ep=0.03;%粘滯阻尼比tal=0.1;%時(shí)間參數(shù)y=A.*exp(-ep/(sqrt(1-epA2).*w.*(t-tal).*exp(-j.*w.*(t-tal)其中，y為復(fù)指數(shù)小波，歐拉公式知y包含實(shí)部和虛部?jī)刹糠?。Laplace小波特性：小波的波形：對(duì)應(yīng)的實(shí)部波形圖及頻譜圖：實(shí)部Re(y)實(shí)際上是一個(gè)高通濾波器。Laplace小波基函數(shù)庫(kù)設(shè)離散網(wǎng)格空間r=FXZXTf則lplace小波基歯數(shù)庫(kù)可以定文為一組怙的集合少*它滿足貯=備'/&

3、#163;D0(fGrt*fEF、Z»rE巧在此我們把瓠稱作Laplace小波基函數(shù)庫(kù)®的小波原氏濾波方法(小波檢測(cè)方法)：思想：信號(hào)x(t)是某個(gè)系統(tǒng)S的輸出，信號(hào)x(t)與x(t啲Lapice小波原子旳的內(nèi)積，可以估計(jì)出它們之間的相似性，從而得到系統(tǒng)S的模態(tài)參數(shù)，與Cr的頻率、阻尼特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系。內(nèi)積.申心、莊=I1II2IIXII!COS()若x(t)與心完全相關(guān)，那么它們之間的夾角卩°?？梢远x一個(gè)相關(guān)系數(shù)kr來(lái)量化x(t)與S之間的夾角。其中屮比)為L(zhǎng)aplace小波基函數(shù)庫(kù)中的一個(gè)，一個(gè)屮比)對(duì)應(yīng)一個(gè)k(t)。YYr補(bǔ)充知識(shí).內(nèi)積定義.:A,B=ab+

4、ab+ab=|A|B|cos9'/1122nn其中|A|二a2+a2+a2,|B、12n二范數(shù)定義.|A=a2+a2+a2212n，冋=v'b2+b2+b2V12n那么:A，B：=|A|cos922考慮到rer.則略實(shí)際上是一個(gè)去維矩陣，它的維數(shù)由空間f=fxzxt決定匚為了尋找在毎個(gè)時(shí)刻t與工“相關(guān)性垠強(qiáng)的申嚴(yán)需要在T時(shí)刻的矩陣乃中尋找其最大值K（T）k（t）=maxzr=用打和討式中i表嚇r時(shí)刻陷的了集汀,?分別為曲最大值世O）對(duì)應(yīng)的Lapbg小波原子妬的頻率和聊尼參數(shù)“在時(shí)間范圍W,內(nèi)，式（6.2.7）R子雄的柞用是當(dāng)信號(hào)応仃）和嗚完全線性相關(guān)時(shí)使得M力=】*所以有拓（&

5、quot;GllQJh諷力的確定過(guò)程實(shí)際上是在丁時(shí)刻的空閭曲面pr一MSf）/ef,fezi中找出峰值點(diǎn)，應(yīng)用例子：設(shè)工為單自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)信號(hào)，其表達(dá)式為匸；心油(亦九"亠昂”+Aj®,t>ta(62J00.Oln(0f式中；旅門(mén)為白噪聲*佻=山01為噪聲幅值“系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)已知，它們分別為九弓心Hz；&=6Q4S=0館柱時(shí)間范圍一55內(nèi)用曲0Hh的釆樣牘率對(duì)麗鳶散化，其適形如圖&2.乳1所示*Lapl沁小波特征波形庫(kù)爐的參數(shù)玉FTxZXTfflMatiab語(yǔ)言描述，它們分別彼描定為:F=5t0.5i20tZ=0.005i0.DOS*0.20.3

6、K）.1t0,9tT5»Gr15人其中阻尼比參數(shù)集合E劃分不均勻，其目的是保證在低阻尼時(shí)具有較離的分辨辜。特征波形庫(kù)W的每個(gè)小波壓子支搏寬度W=4和它的采樣頻率也星200Hz.通過(guò)相關(guān)濾波法寫(xiě)出MATLAB程序%模擬信號(hào)檢驗(yàn)，用Laplace小波檢驗(yàn)自由度響應(yīng)的脈沖響應(yīng)信號(hào)%Laplace小波濾波例子%clear;clc;%An=0.01;%噪聲幅度z0=0.05;%阻尼比t0=0.5;%固有時(shí)間參數(shù)f0=10;%固定頻率Fs=200;%采樣率t=-5:1/Fs:5;%時(shí)間范圍L=length(t);%采樣點(diǎn)數(shù)s=zeros(1,L);%構(gòu)造信號(hào)lap=zeros(1,L);%構(gòu)造小

7、波原子函數(shù)noise=zeros(1,L);%隨機(jī)噪聲%構(gòu)造脈沖響應(yīng)信號(hào),噪聲noise=An*random('Normal',0,1,1,L);%自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)信號(hào)fori=1:Lift(i)>=t0s(i)=exp(-zO/(sqrt(1-zOA2)*2*pi*fO.*(t(i)-tO)*(sin(2*pi*f0.*(t(i)-t0)+noise(i);elses(i)=noise(i);endend%構(gòu)造Laplace小波特征波庫(kù)F=5:0.5:20;%頻率組Z=0.005:0.005:0.2,0.3:0.1:0.9;%阻尼比組T=-5:0.1:5;%時(shí)間參數(shù)

8、組form=1:length(F)forn=1:length(Z)forp=1:length(T)fori=1:Lift(i)>=T(p)lap(i)=exp(-Z(n)/(sqrt(1-Z(nF2)*2*pi*F(m)*(t(i)-T(p).*(sin(2*pi*F(m)*(t(i)-T(p);elselap(i)=1e-5;endendnorm_lap(m,n,p)=norm(lap,2);norm_s(n,m,p)=norm(s,2);kr(m,n,p)=sqrt(2)*sum(lap.*s)/(norm(s,2)*norm(lap,2);%plot3(F(m),Z(n),kr(m

9、,n,p);holdon;endendend%norm求歐幾里得范數(shù)%求信號(hào)s的二范數(shù)，小波原子的二范數(shù)%求kr最大值并找出最大值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)size_kr=size(kr);max_kr=max(kr(:);i_max=find(kr=max_kr);c,k,g=ind2sub(size_kr,i_max);gy_f=F(c);gy_z=Z(k);gy_t=T(g);gy_s=zeros(1,L);%固有參數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果%根據(jù)得到的固有參數(shù)得到的結(jié)果fori=1:Lift(i)>=gy_tgy_s(i)=exp(-gy_z/(sqrt(1-gy_zA2)*2*pi*fO*(t(i)-gy_

10、t)*(sin(2*pi*gy_f*(t(i)-gy_t);elsegy_s(i)=0;endendfigure(1)subplot(1,2,1)plot(t,s,'-r');gridon;subplot(1,2,2)plot(t,gy_s,'-k');gridon;%每個(gè)T時(shí)刻對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)峰值kr(T)forp=1:length(T)-1krT(p)=max(max(kr(:,:,p);row,clum=find(kr(:,:,p)=krT(p);f_lap(p)=F(row);z_lap(p)=Z(clum);endfigure(2)subplot(3,1

11、,1)plot(T(1,1:100),krT);%每個(gè)時(shí)刻T的相關(guān)系數(shù)kr的峰值，對(duì)應(yīng)的圖像title('每個(gè)時(shí)刻T的相關(guān)系數(shù)kr峰值');gridon;xlabel('T，時(shí)間');ylabel('kr峰值');subplot(3,1,2)plot(T(1,1:100),f_lap);title('每個(gè)時(shí)刻T的相關(guān)系數(shù)頻率值');gridon;xlabel('T，時(shí)間');ylabel('固有頻率');subplot(3,1,3)plot(T(1,1:100),z_lap);title('每個(gè)時(shí)刻T的相關(guān)系數(shù)阻尼系數(shù)值');gridon;xlabel('T，時(shí)間');ylabel('固有阻尼系數(shù)');-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345