萬有引力定律及其應用教學設計說明

1、萬有引力定律及其應用高三物理翠云4月18日知識網(wǎng)絡:教學目標：1掌握萬有引力定律的容并能夠應用萬有引力定律解決天體、衛(wèi)星的運動問題2掌握宇宙速度的概念3掌握用萬有引力定律和牛頓運動定律解決衛(wèi)星運動問題的基本方法和基本技能教學重點：萬有引力定律的應用教學難點：宇宙速度、人造衛(wèi)星的運動教學方法：講練結(jié)合，計算機輔助教學教學過程：一、萬有引力定律：（1687年）適用于兩個質(zhì)點或均勻球體；r為兩質(zhì)點或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出）G=6.67x10-11N-m2/kg2二、萬有引力定律的應用1解題的相關(guān)知識：（1）在高考試題中，應用萬有引力定律解題的

2、知識常集中于兩點：一是天體運動的向心Mmv24n2力來源于天體之間的萬有引力，即G二m=mr=m®2r；二是地球?qū)ξ矬w的r2r2T2mM萬有引力近似等于物體的重力，即G=mg從而得出GM=R2goR22n（2）圓周運動的有關(guān)公式：®=,v=®r。討論：Mmv2由G二m可得:r2r2，GMr越大,rv越小。Mm由G=mo2r可得:r2r越大，3越小。Mm由G=mr22r可得：r越大，T越大。Mm由G=ma可得：a=r2向向r2GMr越大，a向越小。點評:需要說明的是，萬有引力定律中兩個物體的距離，對于相距很遠因而可以看作質(zhì)點的物體就是指兩質(zhì)點的距離；對于未特別說明的

3、天體，都可認為是均勻球體，則指的是兩個球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運動都近似為勻速圓周運動。2常見題型萬有引力定律的應用主要涉及幾個方面:（1）測天體的質(zhì)量及密度:（萬有引力全部提供向心力）Mmr2/2兀)2=mrIT丿4兀2r3GT243兀r3又M=3欣3p得PGT2R3它的自轉(zhuǎn)周期為T=3os。例1】中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。（引力常數(shù)G=6.67x10-iim3/kg.s2）解析:設想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的

4、向心力時，中子星才不會瓦解。設中子星的密度為P，質(zhì)量為M，半徑為自轉(zhuǎn)角速度為o,位于赤道處的小物塊質(zhì)GMm廠2兀4c量為m則有=mo2Ro=M二一兀R3pR2T33兀由以上各式得P二，代入數(shù)據(jù)解得：P二1.27x1014kg/m3。GT2點評：在應用萬有引力定律解題時，經(jīng)常需要像本題一樣先假設某處存在一個物體再分析求解是應用萬有引力定律解題慣用的一種方法。2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：軌道重力加速度：GMMm/G=mgR20GMmGM（R+h'）2叫&h=（R+h）2【例2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加

5、速度為g°,行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比M/m=81,行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑R之比R0/R=3.6,行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R=60。設衛(wèi)星表面的重力加速度為g,則在衛(wèi)星表面有GMm=mg.r2經(jīng)過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結(jié)果是否正確？若正確,列式證明；若有錯誤,求出正確結(jié)果。解析：題中所列關(guān)于g的表達式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動的向心加速度。正確的解法是GmGMRmg衛(wèi)星表面=g行星表面=g0即（士）2=-R2R20RMg00即g=0.16g0。（3）人造衛(wèi)星、宇宙速度：人造衛(wèi)

6、星分類（略）：其中重點了解同步衛(wèi)星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與發(fā)衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例3】我國自行研制的“風云一號”、“風云二號”氣象衛(wèi)星運行的軌道是不同的?！耙惶枴笔菢O地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比號離地面較高；號觀察圍較大；號運行速度較大。若某天上午8點“風云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將是。解析：根據(jù)周期公式T=2兀r3知，高度越大，周期越大，則“風云二號”氣象衛(wèi)星離專GM地面較高；根據(jù)運行軌道的特點知，“風云一號”觀察圍較大；根據(jù)運行速度公式v=GM知，%r高度越小，速度越大，則“風云一號

7、”運行速度較大，由于“風云一號”衛(wèi)星的周期是12h，每天能對同一地區(qū)進行兩次觀測，在這種軌道上運動的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時時間保持不變。則下一次它通過該城市上空的時刻將是第二天上午8點?！纠?】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿足下列條件()A、與地球表面上某一緯度線(非赤道)是共面的同心圓B、與地球表面上某一經(jīng)度線是共面的同心圓C、與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是運動的D、與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是靜止的解析：衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供,且萬有引力始終指向地心，因此衛(wèi)星的軌道不可能與地球表面上某一緯度線(非赤道)是共面的同心圓，故A是錯誤的

8、。由于地球在不停的自轉(zhuǎn)，即使是極地衛(wèi)星的軌道也不可能與任一條經(jīng)度線是共面的同心圓，故B是錯誤的。赤道上的衛(wèi)星除通信衛(wèi)星采用地球靜止軌道外，其它衛(wèi)星相對地球表面都是運動的，故C、D是正確的?！纠?】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時間將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)的周期為To解析：如果周期是12小時，每天能對同一地區(qū)進行兩次觀測。如果周期是6小時，每天能對同一緯度的地方進行四次觀測。如果周期是24小時，每天

9、能對同一緯度的地方進行n次n觀測。Mm4兀2(h+R)設上星運行周期為X，則有G=m1(h+R)2T21GMm”2兀i'(h+R)3物體處在地面上時有0=mg解得：T=R201Rg在一天衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為T，即在日照條件下有T次經(jīng)過赤道上空，所以每次攝11、門2兀R2兀Rrc4兀2i'(h+R)3像機拍攝的赤道弧長為S=T，將T結(jié)果代入得S=TT11TgT1【例6】在地球(看作質(zhì)量均勻分布的球體)上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是A. 它們的質(zhì)量可能不同B.它們的速度可能不同C.它們的向心加速度可能不同D.它們離地心的距離可能不同解析：同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運動所

10、需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力提供。設地球的質(zhì)量為M,同步衛(wèi)星的質(zhì)量為地球半徑為同步衛(wèi)星距離地面的高度為力，由F=F，G=m(R+h)得：h=3字-R,可見同步衛(wèi)星離地心的距引向(R+h)2T24n2離是一定的。mM由G(R+h)2=mR+h得:GM氣RZh，所以同步衛(wèi)星的速度相同。由G-=ma得：a=G-即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。(R+h)2(R+h)2由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應是固定的。所以正確選項為Ao點評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關(guān)知識必須引起高度重視，因為在高考試題中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且和地球有相同

11、周期、角速度的衛(wèi)星。其運行軌道與赤道平面重合。a2b2c【例7】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3=求出，已知式中a的單位是m，b4n2的單位是s,c的單位是m/s2,貝A. a是地球半徑，b是地球自轉(zhuǎn)的周期，C是地球表面處的重力加速度；B. a是地球半徑。b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，C是同步衛(wèi)星的加速度；C. a是赤道周長，b是地球自轉(zhuǎn)周期，C是同步衛(wèi)星的加速度D. a是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，C是地球表面處的重力加速度。解析：由萬有引力定律導出人造地球衛(wèi)星運轉(zhuǎn)半徑的表達式，再將其與題給表達式中各項對比，以明確式中各項的物理意義。AD正確?！纠?】我國自制新型“長征”運載火

12、箭，將模擬載人航天試驗飛船“神舟三號”送入預定軌道，飛船繞地球遨游太空t=7天后又順利返回地面。飛船在運動過程中進行了預定的空間科學實驗，獲得圓滿成功。設飛船軌道離地高度為h,地球半徑為R,地面重力加速度為g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運轉(zhuǎn)多少圈?(用給定字母表示)o若h=600km,R=6400km,則圈數(shù)為多少?解析：（1）在軌道上GmM(R+h)22兀（R+h）戶TGmM在地球表面：=mg聯(lián)立式得：T=竿丁-匕Rg故n=£二tRi'gT_2k(R+h)：R+h代人數(shù)據(jù)得：n=105圈（4）雙星問題：【例9】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點

13、做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為R,其運動周期為T,求兩星的總質(zhì)量。解析：設兩星質(zhì)量分別為M和M2,都繞連線上0點作周期為T的圓周運動，星球1和星球2到0的距離分別為1和/2。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得MgG沁=Mi(莘)2li:.M=4k2R211GT2對m2：2k212AM1=4k2R2l2GT2兩式相加得M+M2=4k2R2GT2(/1+/2)4k2R3GT2（5）有關(guān)航天問題的分析：【例10】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H=3.4xi05m的圓軌道上運行了47小時。求在這段時間它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37xi06m，重力加速度g=9.8m

14、/s2）解析：用r表示飛船圓軌道半徑r=H+R=6.71xi°6m。M表示地球質(zhì)量，m表示飛船質(zhì)量，®表示飛船繞地球運行的角速度，G表示萬有引力常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得一=m®2rr2MgR22n一利用&=g得=®2由于®=,T表示周期。解得R2r3T2兀r：rtT=，又n=代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=31。R'gT(6) 天體問題為背景的信息給予題近兩年，以天體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現(xiàn)，不僅考查學生對知識的掌握，而且考查考生從材料、信息中獲取有用信息以及綜合能力。這類題目一般由兩部分組成：信息給

15、予部分和問題部分。信息給予部分是向?qū)W生提供解題信息，包括文字敘述、數(shù)據(jù)等，容是物理學研究的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是圍繞信息給予部分來展開，考查學生能否從信息給予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關(guān)鍵所在?！纠?1】地球質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為®。萬有引力恒量為G,如果規(guī)定物體在離地球無窮遠處勢能為0,則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可Mm表示為E=-G。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞pr地球飛行的一個巨大人造天體,可供宇航員在其上居住和科學實驗。設空間站離地面高度為h,如

16、果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運行,由該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的動能？Mmmv21Mm解析：由G=得，衛(wèi)星在空間站上動能為E=mv2=Gr2rk22(R+h)衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為EpMm(R+h)機械能為Ei=Ek+EpMm2(R+h)MmMG同步衛(wèi)星在軌道上正常運行時有G=mo2r故其軌道半徑r=31r2Vo2廠Mm1由上式可得同步衛(wèi)星的機械能E=-G=-三m3：G2M20222r2衛(wèi)星運動過程中機械能守恒，故離開航天飛機的衛(wèi)星的機械能應為E2設離開航天飛機時廠廠廠廠1小Mm衛(wèi)星的動能為E則E=E-E=一一m3<G2M2®2+G一kxkx2p2R+h