機電控制理論(張永湘主編)第三章2N氏判據

1、Page: 1jik 091復習復習：1.穩(wěn)定的必要條件穩(wěn)定的必要條件:閉環(huán)特征方程系數閉環(huán)特征方程系數ai0；2.穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定的充要條件 勞斯表的第一列各元大于零。勞斯表的第一列各元大于零。 勞斯表的列法。勞斯表的列法。3.三階系統(tǒng)：三階系統(tǒng)： a2a1a3a04.特殊情況的處理特殊情況的處理：第一列某元為零；某一行全為零第一列某元為零；某一行全為零3.4 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據穩(wěn)定判據 特點特點 1.幾何判據，通過開環(huán)系統(tǒng)幾何判據，通過開環(huán)系統(tǒng)Gk(j)的奈氏圖，的奈氏圖， 利用圖解法分析利用圖解法分析 閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)GB(j)的穩(wěn)定性；的穩(wěn)定性； 2.不需要求

2、取閉環(huán)系統(tǒng)的特征根；不需要求取閉環(huán)系統(tǒng)的特征根； 3.能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性， 指出進一步改善系統(tǒng)指出進一步改善系統(tǒng) 動態(tài)性能的途徑。動態(tài)性能的途徑。Page: 2jik 092一一.開環(huán)極點與閉環(huán)極點間的關系開環(huán)極點與閉環(huán)極點間的關系+Xi( ) sXo( ) sB(s)G(s)(s)H)(sE開環(huán)傳函開環(huán)傳函 )()()()()(sHsGsEsBsGk)()()()(sRsMsRsMhh閉環(huán)傳函閉環(huán)傳函 )()(1)()(sHsGsGsGB)()()()()()(sMsMsRsRsRsMhhh令令 )()(1)(sHsGsF(特征函數特征函數)()

3、()()()()(sRsRsMsMsRsRhhh開環(huán)傳函的分母開環(huán)傳函的分母閉環(huán)傳函的分母閉環(huán)傳函的分母多項式多項式多項式多項式Page: 3jik 093 特征函數特征函數F(s)=閉環(huán)特征多項式閉環(huán)特征多項式開環(huán)特征多項式開環(huán)特征多項式特征函數特征函數 F(s)的極點的極點 開環(huán)開環(huán) Gk(s)的極點的極點；特征函數特征函數 F(s)的零點的零點 閉環(huán)閉環(huán) GB(s)的極點。的極點。通過通過F(s)可以用可以用Gk(s)來判明來判明GB(s)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。二二.幅角原理幅角原理 1.復數的矢量表示復數的矢量表示 OM=j, PM=（j-OP）, ZM=（j-OZ） OP、OZ分別表示

4、位于分別表示位于S左、右半平面的左、右半平面的零點或極點的矢量零點或極點的矢量. jReImoMPZOM=OP+PMOM=OZ+ZM SPage: 4jik 0942.相角變化相角變化 : PM:(S左半平面), ZM: (S右半平面),3. 特征函數的相角變化特征函數的相角變化 復分式的相角復分式的相角=分子相角分母相角分子相角分母相角 特征函數F(j)的零極點形式： )()()()()(2121nnpjpjpjzjzjzjKjF開環(huán)極點開環(huán)極點閉環(huán)極點閉環(huán)極點zkpq j1p3pRe1z2z2pIm: 當從變化時： S左半平面左半平面上的零、極點矢量均變化(掃過)+弧度；S右半平面右半平面

5、上的零、極點矢量均變化(掃過)-弧度. jReImoMPZOM=OP+PMOM=OZ+ZM S；Page: 5jik 095設系統(tǒng)有p個開環(huán)極點在S右半平面，則有(n-P) 個開環(huán)極點在S左半平面，特征函數分母的相角分母的相角為為 nq 1)(qpj=)(PnP=)2(pn 若系統(tǒng)有Z個閉環(huán)極點在S右半平面，則有(n-Z) 個極點在S左半平面，特征函數分子的相角分子的相角為為 nk 1)(kzj=)(ZnZ=)2(Zn 特征函數的相角變化特征函數的相角變化)(jF= =nk 1-nq 1)(kzj)(qpj=)2(Zn)2(pn=2)(ZP .=Page: 6jik 0964.幅角原理幅角原理

6、: 當當從從變化時變化時，特征函數F(j)的軌跡將繞原點O轉N=P-Z圈. GK(j)=F(j)-1，GK(j)的Nyquist曲線圍繞(-1，j0)點的圈數為 N= P -Z Im 1 0 Re 與的關系 )(Fj)(FjK)( jGK)( jGs5.討論討論 (1)P:開環(huán)正極點數；開環(huán)正極點數；Z:閉環(huán)正極點數閉環(huán)正極點數;(2)N0:逆時針包圍；逆時針包圍；N0: 順時針包圍；順時針包圍；N=0:逆時針和順時針包圍圈數相等、逆時針和順時針包圍圈數相等、或表示不包圍或表示不包圍(-1，j0)點、點、或表示通過或表示通過(-1，j0)點。點。 N= 2N=0Page: 7jik 097當當

7、從從到到變化時，變化時，GK(j)的的Nyquist軌跡軌跡逆時針逆時針包圍包圍(-1，j0)點的圈數點的圈數N等于等于GK(j)的正極的正極點數點數P（N=P）時，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定）時，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.說明：說明：由幅角原理由幅角原理 ZPN NPZ 當當N=P時，時，Z=0, 閉環(huán)系統(tǒng)在閉環(huán)系統(tǒng)在S右半平面上無極點。右半平面上無極點。 2.討論討論(1)當當P=0，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖 不圍繞不圍繞(1，j0)點，點， 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定; (2)當開環(huán)系統(tǒng)有當開環(huán)系統(tǒng)有P個極點在個極點在s右半平面，若右半平面，若GK(s) 逆時針包圍逆時

8、針包圍 (1，j0)點點P圈，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圈，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 三三.Nyquist 穩(wěn)定性判據穩(wěn)定性判據 1.表述表述Page: 8jik 0983.應用應用 (1)若若P=0，僅考察，僅考察GK(j)是否圍繞是否圍繞(1，j0)點；點； (2)若若P0，應先求出，應先求出P，再查，再查GK(j)逆時針圍繞逆時針圍繞 (1，j0)點的圈數，若少于點的圈數，若少于P則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (3)開環(huán)奈氏軌跡，相對于實軸對稱，開環(huán)奈氏軌跡，相對于實軸對稱， 故通常只畫故通常只畫 從從00段段。 關鍵：關鍵：作作GK(j)的的Nyquist圖圖四應用舉例四應用舉例 研究開環(huán)研究開環(huán)0

9、型、型、型、型、型系統(tǒng)。已知型系統(tǒng)。已知GK(s)， 求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Page: 9jik 099例例1：0型系統(tǒng)，開環(huán)傳函型系統(tǒng)，開環(huán)傳函 ) 1)(1()()(21sTsTKsHsG 1.作奈氏圖作奈氏圖 =0，0)0()0(jHjG)0()0( KjHjG(K，j0) =，018)()(jHjG0)()(jHjG原點。 j=0GH(1j0)K2. P=0，且且GK(j)不包圍不包圍(1，j0)點點無論無論K取何值，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。取何值，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 3.觀察奈氏圖的大致走向觀察奈氏圖的大致走向 推廣：推廣：若開環(huán)為最小相位系統(tǒng)，只有在三階或若開環(huán)為最小相位系統(tǒng)，

10、只有在三階或 三階以上其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。三階以上其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。 Page: 10jik 0910例例2 存在導前環(huán)節(jié)的存在導前環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)型系統(tǒng)) 1)(1)(1() 1)(1()(32154sTsTsTsTsTKsGK1.奈氏圖奈氏圖(0型型)=0，)0()0( KjHjG0)0()0(jHjG(K，j0)點=，09)()(jHjG原點。()(0jHjG)由第三象限平行于虛軸進入原點。由第三象限平行于虛軸進入原點。 2.由于有導前環(huán)節(jié)，曲線發(fā)生彎曲。由于有導前環(huán)節(jié)，曲線發(fā)生彎曲。 G)(j=K (1tg4T +1tg5T )(1tg1T +1tg2T +1tg3T )

11、(1)當當T1，T2，T3很大，而很大，而T4，T5很小，有可能使很小，有可能使 )()(jHjG180(比比180更更負負) =0ReIm(K,j0)21曲線曲線: 圍繞(1，j0)點，閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)不不穩(wěn)穩(wěn)定定 ; (2)若減小若減小K，或增大，或增大T4，T5：曲線：曲線： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 Page: 11jik 0911系統(tǒng)有條件穩(wěn)定系統(tǒng)有條件穩(wěn)定:穩(wěn)定條件與開環(huán)增益穩(wěn)定條件與開環(huán)增益K及各環(huán)節(jié)時間常數有關，及各環(huán)節(jié)時間常數有關，導前環(huán)節(jié)作用強，有利于穩(wěn)定。導前環(huán)節(jié)作用強，有利于穩(wěn)定。 例例3 型系統(tǒng)型系統(tǒng) ) 1()()(TssKsHsG1.奈氏圖奈氏圖 =0，09)

12、0()0()0()0(jHjGjHjG(j)，KT=，018)()(0)()(jHjGjHjG原點。ReImGH(-1,j0)(,KT)j(2)P=0，且不包圍，且不包圍(1，j0)點點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 (3) ( (，+)+)時的奈氏圖時的奈氏圖 有積分環(huán)節(jié)時有積分環(huán)節(jié)時sGH的映射。的映射。 若存在積分環(huán)節(jié)，在若存在積分環(huán)節(jié)，在s原點附近以無窮小原點附近以無窮小半圓半圓ABC繞過原點。繞過原點。jABC=0=0=0rPage: 12jik 0912jABC=0=0=0r在無窮小半圓 ABC 內設復變量 jres (s0 時 r 0) 則映射值映射值 )()(jHjG ) 1(T

13、ssKjreKjerK =( cosjsin )注意：注意：當動點在圓弧當動點在圓弧ABC上移動時，上移動時，s總是趨于零的。總是趨于零的。 總是取零值的總是取零值的。設A點點:=0=0- -，B點點:=0=0， C點點:=0=0+ +。點點 A B C 0- 0 0+ 90o 0o 90o 映射值映射值 +j j 映射點映射點 A B C () 正虛軸正虛軸 正實軸正實軸 負虛軸負虛軸 jABC=0=0=0rs =0=0=0ReImCABGH增補段映射映射Page: 13jik 0913jABC=0=0=0rs =0=0=0ReImCABGH增補段映射映射說明：說明：(1)當當型系統(tǒng)型系統(tǒng)逆

14、時針以無窮小半圓逆時針以無窮小半圓繞過繞過s平面原點時，平面原點時， 其在其在GH上的映射點上的映射點以以半徑順時針半徑順時針繞過半圓弧。繞過半圓弧。 (從從90o轉到轉到90o)。 (2)對于對于型系統(tǒng)，則型系統(tǒng)，則s平面上的平面上的無窮小圓弧在無窮小圓弧在GH面上映射出面上映射出 一個一個順時針繞向順時針繞向的無窮大圓的無窮大圓。ReIm=0=0Page: 14jik 0914小結：小結：奈氏穩(wěn)定性判據奈氏穩(wěn)定性判據(1)當當從從到到變化時，變化時，GK(j)的的Nyquist軌跡軌跡逆時針逆時針包圍包圍(-1，j0)點的圈數點的圈數N等于等于GK(j)的的正極點數正極點數P（N=P）時，

15、則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定）時，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. (2)N= P-Z, Z=P-NN 當當 從從+時，時，GK(j)圍繞圍繞( (1 1，j j0)0)點的圈數。點的圈數。 N0逆時針圍繞；逆時針圍繞；N=0不圍繞。不圍繞。P GK(j)（開環(huán)）在（開環(huán)）在s右半平面內的極點數。右半平面內的極點數。 Z 閉環(huán)傳函在閉環(huán)傳函在s右半平面內的極點數。右半平面內的極點數。Page: 15jik 0915（3）增補段增補段：當：當 從從0 0- -00+ +，GK(j)在在GHGH平面上平面上 的軌跡為一半徑無窮大，的軌跡為一半徑無窮大，順時針繞向順時針繞向的圓弧。的圓弧。 型系統(tǒng)為半圓，型系統(tǒng)為半圓，型系統(tǒng)為整圓；型系統(tǒng)為整圓； (4)應用：應用：若若P=0，當，當N=0，GK(j)不圍繞不圍繞(1，j0) 點時系統(tǒng)穩(wěn)定；點時系統(tǒng)穩(wěn)定；若若P0，當，當GK(j)逆時針圍繞逆時針圍繞(1，j0)點的圈數點的圈數等于等于P圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定；圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定；作業(yè)作業(yè) 復習復習P85P91，預習：，預習：P91P93 習題習題:3.2 (1,2)Page: 16jik 0916提綱提綱 3.4 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據穩(wěn)定判據 特點特點一一.開環(huán)極點與閉環(huán)極點間的關系：開環(huán)極點與閉環(huán)極