第二講抽樣分布與分位數(shù)

1、第二講第二講 抽樣分布與分位數(shù)抽樣分布與分位數(shù) P135一一 c c2 2 分布分布(卡方分布卡方分布)二二 t 分布分布(student分布分布)三三 F 分布分布四四 抽樣分布抽樣分布五大定理五大定理五五 單側(cè)分位數(shù)單側(cè)分位數(shù) 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,Xn)既然是依賴于樣既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做分布叫做統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布抽樣分布” . 海爾墨特海爾墨特(Hermert)和和皮爾遜皮爾遜(K.Person)分別于分別于1875和和1900年

2、導(dǎo)出的年導(dǎo)出的 一一 c c2 2 分布分布(卡方分布卡方分布) P135 (k.Pearson,1857-1933)英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家學(xué)家 1879年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，1901年，他年，他與高爾頓、韋爾登創(chuàng)辦的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)雜志與高爾頓、韋爾登創(chuàng)辦的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)雜志biometrika, 使數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了自己的陣使數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了自己的陣地。他發(fā)展了一系列頻率曲線，將復(fù)相關(guān)地。他發(fā)展了一系列頻率曲線，將復(fù)相關(guān)和回歸理論擴(kuò)展到許多領(lǐng)域，并為大樣本和回歸理論擴(kuò)展到許多領(lǐng)域，并為大樣本理論奠定了基礎(chǔ)。皮爾遜的最大貢獻(xiàn)是在理論奠定了基礎(chǔ)。皮爾遜的最大貢獻(xiàn)是在1900年發(fā)表的一篇文章中引

3、進(jìn)的擬合優(yōu)度年發(fā)表的一篇文章中引進(jìn)的擬合優(yōu)度的卡方檢驗(yàn)。不少人把這視為的卡方檢驗(yàn)。不少人把這視為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的開端的開端。 設(shè)設(shè)) 1 , 0(1NX22221.nXXXY令令) 1 , 0(2NX.) 1 , 0( NXnnXXX,.,21相互獨(dú)立相互獨(dú)立則則 Y的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為000221)(2122xxexnxxnn稱稱Y服從自由度為服從自由度為n的的記為記為: Y2 不同自由度的不同自由度的c c2-分布密度曲線分布密度曲線)( x二二 t 分布分布(student分布分布) P137 t 分布是高塞特 于1908年在一篇以“學(xué)生”（student為筆名的論文中

4、首先提到的 高塞特（W、S、Cosset，1876-1937）美國(guó)人，t分布的發(fā)現(xiàn)者，年輕時(shí)在美國(guó)牛津大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與化學(xué)，1899年在一家釀酒廠任釀酒技師，從事實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析工作。 這項(xiàng)工作中進(jìn)行的小樣本實(shí)驗(yàn)的結(jié)果使他懷疑存在一個(gè)不屬于正態(tài)分布曲線的其它分布,經(jīng)過(guò)研究，終于得到新的密度曲線,并與1908年以筆名“student”發(fā)表此次結(jié)果。故后人稱次分布為“學(xué)生氏分布”或“t分布”。 Cosset的t分布打開了人們的思路,開創(chuàng)了小樣本方法的研究。1 t 分布分布的定義分布分布的定義nYXT/ 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立，且且X N(0,1)0,1) Y c c2 2(n)，令

5、令稱稱T服從有服從有n個(gè)自由度的個(gè)自由度的 t 分布分布 記為記為: Tt(n)212)21(221)(nxnnnx則則 T 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為:)(x2 不同自由度的不同自由度的t 分布密度曲線分布密度曲線三三 F 分布分布 P138 F分布是以統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇（分布是以統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇（R.A.Fisher）姓氏的第一）姓氏的第一個(gè)字母命名的個(gè)字母命名的 費(fèi)歇費(fèi)歇(R.A.Fisher,1890-1962),英國(guó)英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家統(tǒng)計(jì)學(xué)家,遺傳學(xué)家遺傳學(xué)家,現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要奠基人之一要奠基人之一。他是使統(tǒng)計(jì)成為一門有。他是使統(tǒng)計(jì)成為一門有堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)并獲得廣泛應(yīng)用的主要統(tǒng)

6、堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)并獲得廣泛應(yīng)用的主要統(tǒng)計(jì)學(xué)家。對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)有眾多貢獻(xiàn)計(jì)學(xué)家。對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)有眾多貢獻(xiàn),內(nèi)容涉內(nèi)容涉及估計(jì)理論及估計(jì)理論,假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn),實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和方差實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和方差分析等重要領(lǐng)域，他還是一位舉世聞名分析等重要領(lǐng)域，他還是一位舉世聞名的遺傳學(xué)家，優(yōu)生學(xué)家，他用統(tǒng)計(jì)方法的遺傳學(xué)家，優(yōu)生學(xué)家，他用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)這些領(lǐng)域進(jìn)行研究，作出了許多重要對(duì)這些領(lǐng)域進(jìn)行研究，作出了許多重要貢獻(xiàn)。由于他的成就，他曾多次獲得美貢獻(xiàn)。由于他的成就，他曾多次獲得美國(guó)和許多國(guó)家的榮譽(yù)。國(guó)和許多國(guó)家的榮譽(yù)。1 F 分布的定義分布的定義設(shè)設(shè)X c c2 2(n1) , , Y c c2 2(n2) , ,X與與Y獨(dú)立獨(dú)立2

7、1/nYnXF 稱稱F服從第一自由度為服從第一自由度為n1 ，第二自由度為第二自由度為n2的的F分布分布000)1 (222)(2211222111212111xxxnnxnnnnnnxnnnn則則 F的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為:簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 FF(n1 , n2)2 不同自由度的不同自由度的F 分布密度曲線分布密度曲線定理定理 1 (樣本均值的分布樣本均值的分布) P140四四 抽樣分布抽樣分布五大定理五大定理設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本，則有的樣本，則有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即3 在總體 求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于

8、1的概率中隨機(jī)抽取容量為5的樣本，)2 ,12(2NX解 X131111|12|XPXP)25()25(1)25(1)25(1=0.2628 )521211()521213(1)52,12(2N6設(shè)總體 則容量n應(yīng)取多大,才能使得 )6 , 2 . 3(2NXnXXX,.,21是X的樣本,95. 02 . 52 . 1 XP解 X)62 . 32 . 1()62 . 32 . 5(2 . 52 . 1nnXP)3()3(nn95. 01)3(2)3()3(nnn975. 0)3(n96. 13n5744.34n所以 n最小為35 )6, 2 . 3(2nN定理定理 2 (樣本方差的分布樣本方差

9、的分布) P140) 1() 1() 1 (222nSnc c 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2,SX分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有2SX(2)與與相互獨(dú)立相互獨(dú)立定理定理 3設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2,SX分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有) 1(/ntnSX定理定理 4 (兩總體均值差的分布兩總體均值差的分布)2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，設(shè)),(),(2221 NYNXYX和分別是這兩個(gè)

10、樣本的分別是這兩個(gè)樣本的且且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,X1,X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值均值,2221SS 和則有則有Y1,Y2,2nY是是樣本樣本定理定理 5 (兩總體方差比的分布兩總體方差比的分布) P140) 1, 1(2122222121nnFSS ，設(shè)),(),(222211NYNXYX和分別是這兩個(gè)樣本的分別是這兩個(gè)樣本的且且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,X1, X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值，均值，2221SS 和則

11、有則有Y1,Y2,2nY是是樣本樣本 )(xXP設(shè)設(shè)0 1,對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足稱滿足 1 定義定義：x1的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X關(guān)于關(guān)于 的單側(cè)分位數(shù)的單側(cè)分位數(shù). x五五 單側(cè)分位數(shù)單側(cè)分位數(shù)2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)z的求法問(wèn)題問(wèn)題?)(z1倒查倒查1-z的求法是:例例025. 0z025. 0u倒查倒查 0.975=1.9605. 0z05. 0u倒查倒查 0.95=1.64P301例如例如:)3(23 . 0c)6(295. 0c665. 3635. 1)10(21 . 0c987.15分布的上分分布的上分位數(shù)位數(shù) 2c c3 自由度為自由度為n的的2cP30

12、4)8(2cX18. 2XP09.20XP025. 0XP95. 0XP例例 已知已知，求（，求（1 1）， （2 2）若）若求求（3 3）若）若求求（1） 18. 2XP09.20XP025. 0XP534.17（2） （3） 95. 0XP05. 0XP507.15解975. 009.201XP01. 0199. 0例如例如:)12, 8(05. 0F85. 2),(1),(12121nnFnnF)15,12(9 . 0F1 . 21)12,15(11 . 0F476. 0F分布的上分布的上 分位數(shù)分位數(shù)4 自由度為自由度為n1,n2的的),(21nnFP305例例)10(05. 0t6 t 分布的上分位數(shù)分布的上分位數(shù)812. 1