第5章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算

1、MATLAB程序設(shè)計(jì)教程（第二版）程序設(shè)計(jì)教程（第二版）劉衛(wèi)國(guó) 主編 中國(guó)水利水電出版社第5章 MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算u MATLAB數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理u MATLAB數(shù)據(jù)插值與曲線擬合u MATLAB離散傅立葉變換u MATLAB多項(xiàng)式計(jì)算5.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理5.1.1 最大值和最小值MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式和操作過(guò)程類似。1求向量的最大值和最小值求一個(gè)向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：(1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。(2) y,I=max(X)：返回向量

2、X的最大值存入y，最大值的序號(hào)存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。例5-1 求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量x中的最大值y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其該元素的位置2求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：(1) max(A)：返回一個(gè)行向量，向量的第i個(gè)元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號(hào)。(3) max(A,dim)

3、：dim取1或2。dim取1時(shí)，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時(shí)，該函數(shù)返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A矩陣的第i行上的最大值。求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。例5-2 分別求34矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個(gè)矩陣的最大值和最小值。3兩個(gè)向量或矩陣對(duì)應(yīng)元素的比較函數(shù)max和min還能對(duì)兩個(gè)同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：(1) U=max(A,B)：A,B是兩個(gè)同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A,B對(duì)應(yīng)元素的較大者。(2) U=max(A,n)：n是一個(gè)標(biāo)量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A對(duì)應(yīng)元素

4、和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。例5-3 求兩個(gè)23矩陣x, y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。5.1.2 求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個(gè)向量，A是一個(gè)矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之和。pro

5、d(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素乘積。例5-4 求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。5.1.3 平均值和中值求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的算術(shù)平均值。median(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于mean(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，

6、返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的算術(shù)平均值。median(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于median(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的中值。例5-5 分別求向量x與y的平均值和中值。5.1.4 累加和與累乘積在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的調(diào)用格式為：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。cumsum(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積

7、向量。cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumprod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)向量，其第i行是A的第i行的累乘積向量。例5-6 求s的值。5.1.5 標(biāo)準(zhǔn)方差與相關(guān)系數(shù)1求標(biāo)準(zhǔn)方差在MATLAB中，提供了計(jì)算數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)方差的函數(shù)std。對(duì)于向量X，std(X)返回一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方差。對(duì)于矩陣A，std(A)返回一個(gè)行向量，它的各個(gè)元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：Y=std(A,flag,dim)

8、其中dim取1或2。當(dāng)dim=1時(shí)，求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)方差；當(dāng)dim=2時(shí)，則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)方差。flag取0或1，當(dāng)flag=0時(shí)，按1所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差，當(dāng)flag=1時(shí)，按2所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差。缺省flag=0，dim=1。例5-7 對(duì)二維矩陣x，從不同維方向求出其標(biāo)準(zhǔn)方差。2相關(guān)系數(shù)MATLAB提供了corrcoef函數(shù)，可以求出數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。corrcoef函數(shù)的調(diào)用格式為：corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣。此相關(guān)系數(shù)矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個(gè)變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。corrcoef(X,Y)：在這里，X,Y是向量，它們與

9、corrcoef(X,Y)的作用一樣。例5-8 生成滿足正態(tài)分布的100005隨機(jī)矩陣，然后求各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，再求這5列隨機(jī)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)5.1.6 排序MATLAB中對(duì)向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個(gè)對(duì)X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對(duì)矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明對(duì)A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。例5-

10、9 對(duì)二維矩陣做各種排序。5.2 數(shù)據(jù)插值5.2.1 一維數(shù)據(jù)插值在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)這些插值的函數(shù)是interp1，其調(diào)用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函數(shù)根據(jù)X,Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，X1是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)，Y1是一個(gè)與X1等長(zhǎng)的插值結(jié)果。method是插值方法，允許的取值有l(wèi)inear、nearest、cubic、spline。注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會(huì)給出“NaN”錯(cuò)誤。例5-10 用不同的插值方法計(jì)算在/2點(diǎn)的值。MATLAB中有一個(gè)專門的3次樣條插值函數(shù)Y

11、1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。例5-11 某觀測(cè)站測(cè)得某日6:00時(shí)至18:00時(shí)之間每隔2小時(shí)的室內(nèi)外溫度()，用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時(shí)之間每隔2小時(shí)各點(diǎn)的近似溫度()。設(shè)時(shí)間變量h為一行向量，溫度變量t為一個(gè)兩列矩陣，其中第一列存放室內(nèi)溫度，第二列儲(chǔ)存室外溫度。命令如下：h =6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI =6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline) %用3次樣條插值計(jì)算

12、5.2.2 二維數(shù)據(jù)插值在MATLAB中，提供了解決二維插值問(wèn)題的函數(shù)interp2，其調(diào)用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X,Y是兩個(gè)向量，分別描述兩個(gè)參數(shù)的采樣點(diǎn)，Z是與參數(shù)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，X1,Y1是兩個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)。Z1是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。 method的取值與一維插值函數(shù)相同。X,Y,Z也可以是矩陣形式。同樣，X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍，否則，會(huì)給出“NaN”錯(cuò)誤。例5-12 設(shè)z=x2+y2，對(duì)z函數(shù)在0,10,2區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。例5-13 某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長(zhǎng)10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。

13、用x表示測(cè)量點(diǎn)0:2.5:10(米)，用h表示測(cè)量時(shí)間0:30:60(秒)，用T表示測(cè)試所得各點(diǎn)的溫度()。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi)5.3 曲線擬合在MATLAB中，用polyfit函數(shù)來(lái)求得最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得的多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。polyfit函數(shù)的調(diào)用格式為：P,S=polyfit

14、(X,Y,m)函數(shù)根據(jù)采樣點(diǎn)X和采樣點(diǎn)函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個(gè)m次多項(xiàng)式P及其在采樣點(diǎn)的誤差向量S。其中X,Y是兩個(gè)等長(zhǎng)的向量，P是一個(gè)長(zhǎng)度為m+1的向量，P的元素為多項(xiàng)式系數(shù)。polyval函數(shù)的功能是按多項(xiàng)式的系數(shù)計(jì)算x點(diǎn)多項(xiàng)式的值，將在5.5.3節(jié)中詳細(xì)介紹。例5-14 已知數(shù)據(jù)表t,y，試求2次擬合多項(xiàng)式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各點(diǎn)的函數(shù)近似值。5.4 離散傅立葉變換5.4.1 離散傅立葉變換算法簡(jiǎn)要5.4.2 離散傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)一維離散傅立葉變換函數(shù)，其調(diào)用格式與功能為：(1) fft(X)：返回向量X的離散傅立葉變換。設(shè)X的長(zhǎng)度(即元素個(gè)數(shù))為N，若N

15、為2的冪次，則為以2為基數(shù)的快速傅立葉變換，否則為運(yùn)算速度很慢的非2冪次的算法。對(duì)于矩陣X，fft(X)應(yīng)用于矩陣的每一列。(2) fft(X,N)：計(jì)算N點(diǎn)離散傅立葉變換。它限定向量的長(zhǎng)度為N，若X的長(zhǎng)度小于N，則不足部分補(bǔ)上零；若大于N，則刪去超出N的那些元素。對(duì)于矩陣X，它同樣應(yīng)用于矩陣的每一列，只是限定了向量的長(zhǎng)度為N。(3) fft(X,dim)或fft(X,N,dim)：這是對(duì)于矩陣而言的函數(shù)調(diào)用格式，前者的功能與FFT(X)基本相同，而后者則與FFT(X,N)基本相同。只是當(dāng)參數(shù)dim=1時(shí)，該函數(shù)作用于X的每一列；當(dāng)dim=2時(shí)，則作用于X的每一行。值得一提的是，當(dāng)已知給出的樣

16、本數(shù)N0不是2的冪次時(shí)，可以取一個(gè)N使它大于N0且是2的冪次，然后利用函數(shù)格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可進(jìn)行快速傅立葉變換。這樣，計(jì)算速度將大大加快。相應(yīng)地，一維離散傅立葉逆變換函數(shù)是ifft。ifft(F)返回F的一維離散傅立葉逆變換；ifft(F,N)為N點(diǎn)逆變換；ifft(F,dim)或ifft(F,N,dim)則由N或dim確定逆變換的點(diǎn)數(shù)或操作方向。例5-15 給定數(shù)學(xué)函數(shù)x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取N=128，試對(duì)t從01秒采樣，用fft作快速傅立葉變換，繪制相應(yīng)的振幅-頻率圖。在01秒時(shí)間范圍內(nèi)采樣128點(diǎn)，從而可以確定采樣周

17、期和采樣頻率。由于離散傅立葉變換時(shí)的下標(biāo)應(yīng)是從0到N-1，故在實(shí)際應(yīng)用時(shí)下標(biāo)應(yīng)該前移1。又考慮到對(duì)離散傅立葉變換來(lái)說(shuō)，其振幅| F(k)|是關(guān)于N/2對(duì)稱的，故只須使k從0到N/2即可。程序如下：N=128; % 采樣點(diǎn)數(shù)T=1; % 采樣時(shí)間終點(diǎn)t=linspace(0,T,N); % 給出N個(gè)采樣時(shí)間ti(I=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采樣點(diǎn)樣本值xdt=t(2)-t(1); % 采樣周期f=1/dt; % 采樣頻率(Hz)X=fft(x); % 計(jì)算x的快速傅立葉變換XF=X(1:N/2+1); % F(k)=X

18、(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N; % 使頻率軸f從零開(kāi)始plot(f,abs(F),-*) % 繪制振幅-頻率圖xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)|)5.5 多項(xiàng)式計(jì)算5.5.1 多項(xiàng)式的四則運(yùn)算1多項(xiàng)式的加減運(yùn)算2多項(xiàng)式乘法運(yùn)算函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項(xiàng)式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。例5-16 求多項(xiàng)式x4+8x3-10與多項(xiàng)式2x2-x+3的乘積。3多項(xiàng)式除法函數(shù)Q,r=deconv(P1,P2)用于對(duì)多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中Q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r

19、仍是多項(xiàng)式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。例5-17 求多項(xiàng)式x4+8x3-10除以多項(xiàng)式2x2-x+3的結(jié)果。5.5.2 多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P)：求多項(xiàng)式P的導(dǎo)函數(shù)p=polyder(P,Q)：求PQ的導(dǎo)函數(shù)p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項(xiàng)式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項(xiàng)式的向量表示。例5-18 求有理分式的導(dǎo)數(shù)。命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)5.5.3 多項(xiàng)式的求值MATLAB提供了兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項(xiàng)式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，而后者是矩陣多項(xiàng)式求值。1代數(shù)多項(xiàng)式求值polyval函數(shù)用來(lái)求代數(shù)多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的值；若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。例5-19 已知多項(xiàng)式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個(gè)23矩陣為自變量計(jì)算該多項(xiàng)式的值。2矩陣多項(xiàng)式求值polyvalm函