量子力學(xué)-無限深勢井

1、第二章第二章1第二章第二章 波函數(shù)和薛定諤方程波函數(shù)和薛定諤方程1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 2 2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理 3 Schr3 Schrdinger dinger 方程方程 4 4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 5 5 定態(tài)定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程方程6 6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱 7 7 線性諧振子線性諧振子 8 8 勢壘貫穿勢壘貫穿( (一維勢散射問題一維勢散射問題) )第二章第二章2一維定態(tài)問題一維定態(tài)問題l 在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用 SchrSchrdinger

2、 dinger 方程來處理一類簡單的問題方程來處理一類簡單的問題一維一維定態(tài)問題。其意義：定態(tài)問題。其意義： l（1 1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理；）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； l（2 2）有助于進一步闡明其他基本原理；）有助于進一步闡明其他基本原理； l（3 3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進行細）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；中展現(xiàn)出來； l（4 4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。6 6 一維無限深勢阱一維無限深

3、勢阱 7 7 一維線性諧振子一維線性諧振子8 8 一維勢散射問題一維勢散射問題第二章第二章36 6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱l（一）一維運動（一）一維運動 l（二）一維無限深勢阱（二）一維無限深勢阱 l（三）宇稱（三）宇稱 l（四）討論（四）討論第二章第二章4（一）（一） 一維運動一維運動一維運動就是指在某一維運動就是指在某一方向上的運動。一方向上的運動。此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成：此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成： U(x,y,z) = UU(x,y,z) = U1 1(x) + U(x) + U2 2(y) + U(y) + U3 3(z) (z) ),(),(),(

4、222zyxEzyxzyxUH)()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzUdzdyYEyYyUdydxXExXxUdxdzyx 當(dāng)粒子在勢場當(dāng)粒子在勢場U(x,y,z) U(x,y,z) 中運動時，其定態(tài)中運動時，其定態(tài)SchrSchrdinger dinger 方程為：方程為：令令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez于是于是S-方程化為三個常微分方程：方程化為三個常微分方程：則則 S-S-方程可在直角坐標(biāo)系中分離變量。方程可在直角坐標(biāo)系中分離變量。第二章第二章5（二）一維無限深勢阱（二）一維無限深勢阱l求解求

5、解 Schrdinger 方程方程 分四步：分四步： l（1）列出各勢域的一維）列出各勢域的一維Schrdinger方程方程 l（2）解方程）解方程 l（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 l（4）定歸一化系數(shù)）定歸一化系數(shù)axaxxU|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII第二章第二章6（1 1）列出各勢域的）列出各勢域的 S S 方程方程方程可簡化為：方程可簡化為： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExUxdxdxExxUxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEUxdxdax

6、axExdxdaxxEUxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 2 2勢能勢能U(x)分為三個區(qū)域，分為三個區(qū)域， 用用 I 、II 和和 III 表示，表示， 其上的波函數(shù)其上的波函數(shù)分別為分別為 I(x),II(x) 和和 III (x)。則方程為：則方程為：第二章第二章7 xxIIIIIxxIeBeBxBxAeCeC 2121cossin 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd xIeC 1 .0cossin,0IIIIIIxBxA 則則解解為為：)(222EU 00lim)(1 IaIeCa 所所以以

7、0 III 同同理理：1.1.單值，成立；單值，成立； 2.2.有限：當(dāng)有限：當(dāng)x x - - ， 有限條件要求有限條件要求 C C2 2=0=0。(2) (2) 解方程解方程從物理考慮，粒子不能透過無窮高的從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是外波函數(shù)為零，特別是 (-a) = I(-a)=0； (a) = III(a) = 0。第二章第二章8這三段的解必須在這三段的解必須在 x=x=a a 處銜接起來。在勢能有無限大跳躍處銜接起來。在勢能有無限大跳躍的地方，銜接條件只有的地方，銜接

8、條件只有 本身的連續(xù)性。現(xiàn)在本身的連續(xù)性?，F(xiàn)在 )(at, 0sincos)(at, 0sincosaxaBaAaxaBaA 因而，因而， . 0sin, 0cosaBaA 有兩種情形的解：有兩種情形的解： , 0cos, 0 aB 所以，（1）（3 3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件第二章第二章9), 2 , 1 , 0(,)21(nan,1282122222222nanaE.21cos)(axnAx (偶宇稱) (2) 所以，0sin, 0aA), 3 , 2 , 1(,nan,28222222222nanaE.sin)(axnBx（奇宇稱）E222第二章第二章10奇數(shù)。的偶數(shù)nx

9、anAnxanAanEIIIIIIIIIIIInn2cos002sin082222綜合綜合 I I 、II II 結(jié)果，最后得：結(jié)果，最后得：對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠處，遠處， = 0 = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)束縛態(tài)。一維有限運動。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。能量本征值是分立能級，組成分立譜。( (粒子能量取值是分粒子能量取值是分立的立的,能級組成分立譜，即能量是量子化的。能級組成分立譜，即能量是量子化的。)第二章第二章11二者合起來可寫為：), 3 , 2 , 1(,

10、2nannEann22228,).(2sin)(axanAxn（4）由歸一化條件定系數(shù)）由歸一化條件定系數(shù)1|)(|2dxxaa所以，,1aA最后，波函數(shù)是： nxanaxa( )sin().12能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。推。第二章第二章12（三）宇稱（三）宇稱),(),(trtrrr （1 1）空間反射：空間矢量反向的操作。）空間反射：空間矢量反向的操作。（2 2）此時如果有：）此時如果有： ),(),(trtr 稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）；稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）；),(),(trtr 稱波

11、函數(shù)具有負宇稱（或奇宇稱）；稱波函數(shù)具有負宇稱（或奇宇稱）；),(),(trtr （3 3）如果在空間反射下，）如果在空間反射下，),(),(trtr 則波函數(shù)沒有確定的宇稱。則波函數(shù)沒有確定的宇稱。第二章第二章13（四）討論（四）討論,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn其能量本征值為：aE8221（1）n = 1, 基態(tài)，基態(tài)， 與經(jīng)典粒子不同，粒子的最低能量不為零，這個最低能與經(jīng)典粒子不同，粒子的最低能量不為零，這個最低能量稱為量稱為 “零點能零點能”，這是量子效應(yīng)，微觀粒子具有波動，這是量子效應(yīng)，微觀粒子具有波動性的表現(xiàn)。從波的角度是可以理解的，因為性的表現(xiàn)。從波的角度是可以理解的，因為“靜止的波靜止的波”沒有意