(完整版)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)各種題型歸納方法總結(jié)(浦仕國(guó))

1、1.(1). 函數(shù) y(2).函數(shù) yf (x)在 x x0處的導(dǎo)數(shù): f '(x0) y' |x x0 lim f (x0f(x)的導(dǎo)數(shù): f '(x) y' lim f (x x) f (x)x0xx) f (x0)x2.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量：y f (x x) f (x) ；求平均變化率：yxf(x x) f(x)；x取極限得導(dǎo)數(shù)：1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：1.已知A.變式 1 ：A變式2：A題型二：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f (x)設(shè)f設(shè)f2f, 則limf (20B. 24,則 lhim0x) f (2) 的值是()1C.4f3 h

2、f3為 ()2hx 在 x0可導(dǎo),則 limD. 2f x00C3x f x0 3 x 等于xD 1x0B fx0C 3f x0D 4f x0f '(x) limylim f(x x) f (x)x0 xx0x1、已知2xsin2、若fxe sinx3. f (x) =ax3+3x2+2 ， f1)4 ，則a=(A. 103B.133C.13619 D.3mm C' 0(C為常數(shù) )；(xn)' nxn 1； ( 1 )' (x n)' nx n 1； (n xm)' (xn)' mxn(x ) nx ( n ) (x ) nx ( x

3、) (x ) xxn1.求瞬時(shí)速度：物體在時(shí)刻t0 時(shí)的瞬時(shí)速度V0 就是物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律Sft 在 tt0 時(shí)的導(dǎo)數(shù)f t0 (sin x)' cosx； (cosx)' sin x (ex)' ex (ax)' axln a(a 0,且 a 1)；11 (ln x)'； (log a x)' (a 0,且 a 1)xxlna法則 1： f (x) g(x)' f '(x) g '(x) ； (口訣：和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差).法則 2： f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g &

4、#39;(x) (口訣：前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘+后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘)gf(x)(x)'f'(x)g(xg)(x)f2(x)g'(x)(g(x) 0)(口訣：分母平方要記牢，上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘，下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘，中間是負(fù)號(hào))2)復(fù)合函數(shù)y f(g(x)的導(dǎo)數(shù)求法：換元，令u g(x)，則 y f (u)分別求導(dǎo)再相乘y' g(x) ' f (u) '回代 u g(x)題型一、導(dǎo)數(shù)定義的理解第 1 頁(yè) 共 22 頁(yè)即有V0f t0 。2.Vs/(t) 表示即時(shí)速度。四導(dǎo)數(shù)的幾何意義：a=v/(t) 表示加速度。(了解)函數(shù) f x 在x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線y f

5、x 在點(diǎn) P x0 , f x0相應(yīng)的切線方程是：yy0f x0 x x0 。題型三用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：1) 曲 線 yyy0fx02) 曲線 y f處切線的斜率是k fx0 。于是x 在 點(diǎn) P x0 , f x0處 切 線 ：性 質(zhì) ：k切線f x0 。 相 應(yīng) 的 切 線 方 程 是 ：x0過點(diǎn) P x0 , y0 處切線： 先設(shè)切點(diǎn)，切點(diǎn)為 Q(a, b),則斜率 k= f '(a) ， 切點(diǎn) Q(a,b) 在y f x 上，切點(diǎn) Q(a,b)在切線 y y0 f a方程組，解方程組來確定切點(diǎn)，最后求斜率 k= f '(a)，確定切線方程。x x0 上，切點(diǎn)

6、Q(a, b)坐標(biāo)代入方程得關(guān)于a,b 的第 2 頁(yè) 共 22 頁(yè)x0 為極大(或極小)值點(diǎn)。例： 在曲線y=x3+3x2+6x-10 的切線中，求斜率最小的切線方程；解析： ( 1 ) k y'|x x0 3x02 6x0 6 3(x0 1)2 3當(dāng) x0=-1 時(shí)，k有最小值3，此時(shí) P 的坐標(biāo)為(-1 ， -14)故所求切線的方程為3x-y-11=0五函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù) y f (x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，( 1) f '(x) 0f (x) 該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；( 2) f '(x) 0f(x) 該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；注意：當(dāng)f '(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零

7、，在其余點(diǎn)處為正(或負(fù))時(shí)，f (x) 在這個(gè)區(qū)間上仍是遞增(或遞減)的。( 3) f (x) 在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增f '(x) 0在該區(qū)間內(nèi)恒成立；( 4) f (x) 在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減f '(x) 0在該區(qū)間內(nèi)恒成立；題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明(或判斷)函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上單調(diào)性：解題模板：( 1)求導(dǎo)數(shù)y f (x)(2)判斷導(dǎo)函數(shù)y f (x)在區(qū)間上的符號(hào)(3)下結(jié)論 f '(x) 0f (x) 該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； f '(x) 0f (x) 該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù) y f (x) 單調(diào)區(qū)間的步驟為：( 1 )分析 y f (

8、x) 的定義域；( 2)求導(dǎo)數(shù)y f (x)( 3)解不等式f (x) 0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間( 4)解不等式f (x) 0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間題型三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(轉(zhuǎn)化為恒成立問題)思路一：( 1 ) f (x) 在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增f '(x)0在該區(qū)間內(nèi)恒成立；( 2) f (x) 在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減f '(x)0在該區(qū)間內(nèi)恒成立；思路二：先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意：若函數(shù)f( x)在(a， c)上為減函數(shù)，在(c， b)上為增函數(shù)， 則 x=c 兩側(cè)使函數(shù)f ( x

9、)變號(hào)，即x=c 為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f '(c) 0ln x例題若函數(shù)f (x) n x，若 a f(3), b f(4),cf(5) 則 ()xA. a< b < cB. c < b < aC. c < a < bD. b < a < c六、函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：1 .極值的定義：設(shè)函數(shù)f (x) 在點(diǎn)x0 附近有定義，且若對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f (x)f (x0) (或f (x)f (x0 ) ，則稱f (x0 ) 為函數(shù)的一個(gè)極大(或小)值，可導(dǎo)數(shù)f(x) 在極值點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)為0(即f '(x0) 0) ，

10、但函數(shù)f (x) 在某點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為0，并不一定函數(shù) f (x) 在該處取得極值(如f (x) x3在 x0 0處的導(dǎo)數(shù)為0，但f (x) 沒有極值)。求極值的步驟：第一步：求導(dǎo)數(shù)f '(x) ；第二步：求方程f '(x) 0 的所有實(shí)根；第三步：列表考察在每個(gè)根x0 附近，從左到右，導(dǎo)數(shù)f '(x) 的符號(hào)如何變化，若f '(x) 的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0) 是極大值；若f '(x) 的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0) 是極小值；若 f '(x) 的符號(hào)不變，則f (x0)不是極值，x0不是極值點(diǎn)。2、函數(shù)的最值：最值的定義：若函數(shù)在定義域D 內(nèi)

11、存x0，使得對(duì)任意的x D ，都有 f (x)f(x0) ， (或 f (x)f(x0) )則稱 f (x0) 為函數(shù)的最大(小)值，記作ymaxf (x0) (或yminf (x0) )如果函數(shù)y f (x)在閉區(qū)間a,b 上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在閉區(qū)間a,b 上必有最大值和最小值。求可導(dǎo)函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間a,b 上的最值方法：第一步；求f(x) 在區(qū)間a,b 內(nèi)的極值；第二步：比較f (x) 的極值與f (a) 、 f(b) 的大?。旱谌剑合陆Y(jié)論:最大的為最大值，最小的為最小值。注意： 1 、極值與最值關(guān)系：函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大

12、值和最小值點(diǎn)可以在極值點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間的端點(diǎn)處取得。極值 最值。函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a,b上的最大值為極大值和 f(a) 、 f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a) 、 f(b)中最小的一個(gè)。第 3 頁(yè) 共 22 頁(yè)第 4 頁(yè) 共 22 頁(yè)2函數(shù)在定義域上只有一個(gè)極值，則它對(duì)應(yīng)一個(gè)最值(極大值對(duì)應(yīng)最大值;極小值對(duì)應(yīng)最小值)13、注意：極大值不一定比極小值大。如f (x) x 的極大值為2，極小值為2。x注意：當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值f/(x0) 0。但是，f/(x0) 0 不能得到當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值；判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。題型一、求極值與最值題型二、導(dǎo)數(shù)的極值與

13、最值的應(yīng)用(不等式恒成立問題，討論方程的根的個(gè)數(shù)問題)題型四、導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系導(dǎo)函數(shù)(看正負(fù))原函數(shù)(看升降增減)f '(x) 的符號(hào)f (x) 單調(diào)性f '(x)與 x 軸的交點(diǎn)且交點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)f (x) 極值f '(x)的增減性f (x)的每一點(diǎn)的切線斜率的變化趨勢(shì)( f(x) 的圖象的增減幅度)f '(x) 增f (x)的每一點(diǎn)的切線斜率增大(f(x) 的圖象的變化幅度快)f '(x) 減f (x)的每一點(diǎn)的切線斜率減小( f (x) 的圖象的變化幅度慢)【 題型針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知f(x)=e x-ax-1.( 1)求 f(x) 的單調(diào)增區(qū)

14、間；(2)若f(x)在定義域R 內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)是否存在a,使f(x)在( -， 0上單調(diào)遞減，在0，+)上單調(diào)遞增？若存在，求出a 的值；若不存在，說明理由.證明： f (x)0時(shí)。又gln(13.當(dāng) x 0，證明不等式1 xx(x) 1 xln(1x) x .ln(x 1)x) x 0，因此，當(dāng)f (x) 在x， g(x) ln(x 1x0, 內(nèi)是增函數(shù)，0時(shí)，g (x) 0，1)x ，則f (x)g(x) 在0,f (x)f (0) ，即x 0時(shí)，不等式x1xln(1點(diǎn)評(píng)： 由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)f (x) ln(x 1) x ，1xg(x)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最

15、值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵解：由題知：x， 2 (1 x)2ln(1 x)x) x 成立 .ln(x 1) x.4、已知函數(shù) f(x) ax3 bx 2 (c 3a 2b)x d (a )求c、d 的值； )若函數(shù)求函數(shù) )若 x 0 )由圖可知0， xg(x) g(0)，即f(x) 的圖象在點(diǎn)(2,f(2) 處的切線方程為f ( x )的解析式；5, 方程 f(x) 8a 有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)2(x) 3ax 2bx+c-3a-2b函數(shù) f ( x )的圖像過點(diǎn)( 0 , 3 )，且f 10) 的圖象如圖所示。d得3ad3 )依題意f12a8a2b c2= 34b 3a4b 6a3a 2

16、b 02b 3 解得4b 3 5c02. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c, 曲線y=f(x)在點(diǎn) x=1 處的切線為l:3x-y+1=0，若 x= 2 時(shí)， y=f(x)有極值.3( 1)求 a,b,c的值；( 2)求y=f(x)在-3， 1上的最大值和最小值.【導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)及各種題型歸納方法總結(jié)】第 5 頁(yè) 共 22 頁(yè)所以f ( x ) = x36x2 + 9x + 3 )依題意f 5= 0f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a> 0 ) f x = 3ax2 + 2bx 3a 2bb = 9a 若方程 f ( x ) = 8a 有

17、三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足 f ( 5 ) < 8a< f ( 1 ) 得 25a + 3< 8a< 7a + 31 < a< 3 所以 當(dāng) 1 < a< 3 時(shí)，方程f ( x ) = 8a 有三個(gè)不同的根。1111第 6 頁(yè) 共 22 頁(yè)【導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)】請(qǐng)同學(xué)們高度重視(溫馨提示)：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2 變更主元；3 根分布；4 判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：( 1)對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系( 2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成

18、立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。最后，同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)題型一、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；(基礎(chǔ)題型)1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令f '(x) 0得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中 不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種： 分離變量求最值用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種： 變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))(已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元) ；解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于上 ，

19、 g(x)4 f(x) 121)若 y1： 設(shè)函數(shù) y0恒 成 立 ，32mx 3x62f (x) 在區(qū)間2)若對(duì)滿足mf (x)在區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為f (x)， f (x)在區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為g(x) ， 若在區(qū)間D則 稱 函 數(shù) y f (x) 在 區(qū) 間 D 上 為 “凸 函 數(shù)”， 已 知 實(shí) 數(shù) m 是 常 數(shù) ，0,3 上為 “凸函數(shù) ”，求 m 的取值范圍；2 的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m ，函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上都為 “凸函數(shù) ”，求 b a的最大值.43232xmx3xxmx解 :由函數(shù)f (x)得 f (x)3x126232第 7 頁(yè) 共 22 頁(yè)2g(x) x mx

20、 31) Q y f(x) 在區(qū)間 0,3 上為“凸函數(shù)”解法二：分離變量法： 當(dāng) x 0 時(shí) , g(x)當(dāng) 0 x 3時(shí) , g(x)等價(jià)于 m而 h(x)m2g(0)g(3)2 x2 xx2 3xx 3( 0xx 3 的最大值(x解法三：變更主元法mxmx，則 g (x) g max (x) 0309 3m 33 0 恒成立 ,0 恒成立0 x 3 )恒成立，mx 3 0m2x 3 )是增函數(shù)，則hmax (x) h(3)a, b 上都為“凸函數(shù)”2x mx 3 0 恒成立002 x(2)當(dāng) m 2時(shí) f (x) 在區(qū)間則等價(jià)于當(dāng)m 2 時(shí) g (x)例題欣賞2：設(shè)函數(shù) f (x)1 x

21、3 2ax2 3a2x b(0 a31,b R)f( x)的單調(diào)區(qū)間和極值；x a 1,a2, 不等式在區(qū)間 0,3上恒成立3 0 在 m 2 恒成立1x1f (x) a恒成立，求a的取值范圍.f (x)x2 4ax 3a2解： ()x 3axa第 8 頁(yè) 共 22 頁(yè)令 f (x)0, 得 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)令 f (x) 0, 得 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(a)和(3a， + )即定義域在對(duì)稱軸的右邊，點(diǎn)評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系33x=a 時(shí)， f (x) 極小值 = a 34| f (x) | a，得：對(duì)任意的則等價(jià)于g

22、(x) 這個(gè)二次函數(shù)Q0 a 1,a1ab;x=3a 時(shí)，f (x) 極大值 =b.x agmax (x) g min (x)a 2ag(x)這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問題。a5ag(a 1) 2a 1第三種： 構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：f(x) g(x) 恒成立例題欣賞3 已知函數(shù)f (x)解： ()a,b的值；1,a 2,a g(x)g(x) x2g(x)max g(x)min1.又03 g(x) x 1,4 時(shí)，求22x 4ax 3a a 恒成立22x 4ax 3a 的對(duì)稱軸x 2a4ax 3a2在 a 1,a 2 上是增函數(shù).g(a 2)g(a 1)2a 1.4a 4.x

23、a1,a 2 ，不等式恒成立，等價(jià)于t62 x2f (x) 的值域；4a 1, a5h(x) f(x)g(x) 0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型1.2 ax 圖象上一點(diǎn)(t 1)x 3P(1,b) 處的切線斜率為3，(t 0)1,4 時(shí)，不等式f (x)g( x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。f / (x) 3x2 2ax ()， 解得b1ab 2f (x) 在 1,0 上單調(diào)遞增，在0,2 上單調(diào)遞減，在2,4 上單調(diào)遞減第 9 頁(yè) 共 22 頁(yè)又 f ( 1)4, f (0) 0, f (2) f (x) 的值域是 4,16h(x) f (x) g(x)4, f (4) 16t x2 (t

24、 1)x 3 x 1,4 2思路 1：要使 f (x) g(x) 恒成立，只需h(x) 0 ，即 t(x2 2x) 2x 6思路 2：二次函數(shù)區(qū)間最值題型二、已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法 1： 轉(zhuǎn)化為f '(x) 0或 f'(x) 0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型；解法2： 利用子區(qū)間(即子集思想)；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的做題時(shí)一定要看清楚增或減區(qū)間的子集；要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集( 9 分)在( m,n )上是減函數(shù)”與13例題欣賞4： 已知 a R，函數(shù)f (x) x312解： f (x)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b

25、)a12x (4a 1)x2g(x) f (x) 是偶函數(shù)，求f(x) 的極大值和極小值；f(x)是 () 上的單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍2 (a 1)x (4a 1).令 f (x)分離變量)”，13(x) 是偶函數(shù)，a 1 . 此時(shí) f (x) x 3x ， f (x)120 ，解得： x 2 3 .1 x2 3， x4x( , 2 3 )23( 2 3 ,2 3 )23(2 3 ,+ )f (x)+00+f (x)遞增極大值遞減極小值遞增列表如下：f (x) 的極小值為f (2 3)4 3可知： f (x) 的極大值為f ( 2 3)4 3 ，函數(shù) f (x) 是 () 上的單調(diào)函數(shù)，第

26、 10頁(yè) 共 22頁(yè)12 f (x)x* 2 (a 1)x (4a 1) 0， 在給定區(qū)間R上恒成立(判別式法)4212則 (a 1)2 4(4a 1) a2 2a 0，解得： 0 a 2.4綜上， a 的取值范圍是a0 a 2 .11例題欣賞5、已知函數(shù)f (x) x (2 a)x (1 a)x(a 0).32( I )求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間；( II)若 f (x)在 0， 1上單調(diào)遞增，求a 的取值范圍。( 子集思想)解析： ( I) f (x) x2 (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1、 當(dāng) a 0時(shí) , f (x) (x 1)20恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x 1 時(shí)取 “

27、=號(hào)，”f (x)在 (,) 單調(diào)遞增。2、 當(dāng) a0時(shí) ,由 f (x)0,得 x11,x2 a 1,且 x1 x2 ,第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式(組)0 的關(guān)系；第三步：解不等式(組)即可；例題欣賞6、 已知函數(shù)f (x) 1 x3 (k 1) x2， g(x) 1 kx，且 f (x)在區(qū)間 (2,)上為增函數(shù)323( 1) 求實(shí)數(shù)k 的取值范圍；( 2) 若函數(shù)f (x) 與 g(x) 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍解： ( 1)由題意f (x) x2 (k 1)x f (x) 在區(qū)間 (2,)上為增函數(shù)， f (x) x2 (k 1)x 0在區(qū)間 (

28、2,)上恒成立 (分離變量法)即 k 1 x恒成立，又x 2， k 1 2，故 k 1 k的取值范圍為k 13( 2)設(shè)h(x) f (x) g(x)x2 kx ，3232h (x) x (k 1)x k (x k)(x 1)單調(diào)增區(qū)間：(, 1),(a 1,單調(diào)增區(qū)間：( 1,a 1)II )當(dāng) Q f(x)在 0,1上單調(diào)遞增1 、 a 0 時(shí)，f (x) 在 (x(,k)k(k,1)1(1,)h (x)00h(x)極大值32 kk1623極小值k12令 h (x) 0 得 x k 或 x 1 由( 1 )知 k 1 ，2當(dāng)k1 時(shí)，h (x)(x 1)20， h(x)在 R上遞增，顯然不

29、合題意當(dāng)k1 時(shí)，h(x)，h (x)隨 x的變化情況如下表：0，欲使 f(x) 與 g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程h(x) 0有三個(gè)不同的實(shí)根，k12) 單調(diào)遞增符合題意2、0,1 a 1,， a 1 0a1則 0,1 是上述增區(qū)間的子集：故需 k 36k212k 10，即 (k 1)(k2 2k 2)23綜上，所求k 的取值范圍為k 13k1k2 2k，解得 k 1320綜上， a 的取值范圍是0， 1。題型三：根的個(gè)數(shù)問題類型一：函數(shù) f(x)與g(x)(或與x軸)的交點(diǎn)方程的根函數(shù)的零點(diǎn)解題步驟第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖 ”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和 “趨勢(shì)圖 ”即三次函數(shù)的大致

30、趨勢(shì)“是先增后減再增還是 “先減后增再減”；第 11 頁(yè) 共 22 頁(yè)第 12頁(yè) 共 22頁(yè)f (x) 3x22 (3x 2)(x 1) 0值范圍為(1,3)，求：f極大值 (x) f (1)2f極小值(x) f ( )3222)設(shè)函數(shù) g(x) 的圖像與函數(shù)f (x) 的圖像恒存在含x 1 的三個(gè)不同交點(diǎn)，1) f (x) 的解析式；( 2)若過點(diǎn)P( 1,m) 可作曲線解析： ( 1)由題意得：f '(x) 在 (,1)上 f '(x)y2 3axf (x) 的三條切線，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍2bx c 3a(x 1)(x 3),( a0；在 (1,3)上 f '(x

31、) 0；在 (3,0)上 f '(x) 0等價(jià)于 f (x)g (x) 有含 x1 的三個(gè)根，即：f ( 1) g( 1) d12(b 1)f (x) 在 x0 1 處取得極小值a b c 4 ，f '(1) 3a即：12 x22x 12 bx21(b 1)整理得：2聯(lián)立得：2b0 ， f '(3)27a 6b c 0312x3(b 1)x221x (b 1) 0 恒有含 x21 的三個(gè)不等實(shí)根6，9f(x)32x 6x9xh(x) x3121(b 1)x x (b 1) 0 有含 x221 的根，2)設(shè)切點(diǎn)Q(t, f(t) ，f(t)則 h(x) 必可分解為(x 1

32、)(二次式 ) 0 ，故用添項(xiàng)配湊法因式分解，221x x (b 1)x212(b 1)y( m( g(t)2( 3t2 12t9)(x t)f,(t)(x( t3 6t2t)9t)等價(jià)于x2(x2x (x十字相乘法分解：1 (b 1)x2221x (b21)x12(b12(b11)12(b11) 2 (b1)x21)x221x (x 1) (b 1)x (b 221(x 1) x (b 1)x212(b1)1)1)2x (b1) x1)0 恒有含 x 1 的三個(gè)不等實(shí)根0 有兩個(gè)不等于-1 的不等實(shí)根。112 (b 1)12(b 1)2 44211)2(b 1)212(b12(b1)1)b

33、(, 1) ( 1,3) (3,類型三： 切線的條數(shù)問題x0為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例題欣賞8 例 8、已知函數(shù)f (x)32ax3 bx2cx在點(diǎn)x0處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)f '(x) 0 的 x的取第 13頁(yè) 共 22頁(yè)3t23t23t22t312t12t令 g '(t) 6t12t2t229)x9)x 9)( 12tt(3tt(2t1) 2t39m12t 9)6t) 過 (6t2t(t21,m)6t9)求得：需：故：g(2 6t 12 6(t21,t1) 0g(2) 02)0，2 ，方程g(t) 0有三個(gè)根。2 3 129m01616 12 249m01111 m 16

34、 ；因此所求實(shí)數(shù)m 的范圍為：( 11,16)類型四 已知 f(x) 在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例題欣賞9 例 9、17解：函數(shù)的定義域?yàn)镽 ()當(dāng)m 4 時(shí)， f (x)13x3 72x2 10x，f (x) x2 7x 10，令 f (x) 0 ， 解得 x 5,或 x 2.第 14頁(yè) 共 22頁(yè)4(m3)6) 0;m 6 0; ，解得m> 33 個(gè)極值點(diǎn)，求a 的取值范圍R,a 0)x2,000,1f'(x)+0-f (x)極大a 0 ，所以可得下表：令 f (x) 0 ， 解得 2 x 5可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,2)

35、 和(5，)，單調(diào)遞減區(qū)間為2,5f (x) x2、 (根分布與線性規(guī)劃例子)已知函數(shù) f (x)x3 ax2 bx c (m 3)x m 6,要使函數(shù)y f (x)在(1，)有兩個(gè)極值點(diǎn), f (x) x2 (m 3)x m 6=0 的根在(1，)10例10、 已知函數(shù)f (x) ax( ) 若函數(shù) f (x) 在 x 1時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)(0, 1)處的切線與直線3x y 0平行 ,求 f (x) 的解析式；( ) 當(dāng) f (x) 在 x (0, 1) 取得極大值且在x (1, 2) 取得極小值時(shí), 設(shè)點(diǎn) M (b 2, a 1) 所在平面區(qū)域?yàn)?S, 經(jīng)過原點(diǎn)的直線L 將 S 分

36、為面積比為1:3 的兩部分, 求直線 L 的方程 .解 ：( ). 由 f (x) 2x2 2ax b, 函數(shù) f(x) 在 x 1 時(shí)有極值,1 x2， (a321)求f (x) 的單調(diào)區(qū)間；12)令g (x) x 2a b 2 0 f( x) ( x R)有且僅有4解： ( 1)f ' (x) ax2 x x(ax 1)11當(dāng) a 0 時(shí)，令 f (x) 0 解得 x 或 x 0 ，令 f (x) 0 解得x 0 ，aa所以 f (x) 的遞增區(qū)間為(, 1 ) (0,) ，遞減區(qū)間為( 1 ,0) .aa11當(dāng) a0時(shí)，同理可得f (x) 的遞增區(qū)間為(0，1 ) ，遞減區(qū)間為(

37、,0) ( 1 ,).aa( 2) g(x) 1 x4a x3 1 x2有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)4323222g (x) x ax x x(x ax 1) =0 有 3 個(gè)根，則x 0 或 x ax 1 0 ， a 2方程x2 ax 1 0 有兩個(gè)非零實(shí)根，所以a2 4 0,a 2或 a 2而當(dāng) a 2或 a 2時(shí)可證函數(shù)y g(x) 有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)請(qǐng)你欣賞典型題解析1 、 (最值問題與主元變更法的典例)已知定義在R 上的函數(shù)f (x) ax3 2ax2 b( a 0) 在區(qū)間2,1 上的最大值是5，最小值是11.()求函數(shù)f (x) 的解析式；()若t 1,1時(shí)， f (x)tx 0 恒成立，

38、求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解： () Q f (x) ax3 2ax2 b, f ' (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)'4令 f (x)=0,得 x1 0,x22,1123因此 f (0) 必為最大值, f( 0) 5因此b 5，Qf( 2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2)，即 f ( 2)16a 511 ， a 1 ，f (x)x3 2x2 5.()f (x) 3x2 4x， f (x)tx 0 等價(jià)于3x2 4x tx 0，令 g(t) xt 3x2 4x，則問題就是g(t) 0在 t 1,1上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，g( 1) 03x2 5

39、x 0為此只需，即，g( 1) 0 x2 x 0解得 0 x 1 ，所以所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是0， 1.f(0) 1c1又 f(x)在 (0, 1)處的切線與直線3xy 0 平行 ,( ) 解法二f (x)2x22ax b 及f(x) 在 x (0, 1)取得極大值且在(1,2) 取得極小值,( ) 解法一 : 由易得A(DE另一種情況設(shè)不垂直于AC,BCf (0) b23f(x) 3x(0)(1)(2)2,(x)0),3故2x22y4yB( 2,(0)(1)(2)2a4a令 M (x,y) , 則12x2 3x2ax b2a4a1),故點(diǎn). 7分C(2,為 ABC 的中位線, S DEC所求

40、一條直線L 的方程為: x 0分別交于F、y2ykxx2G,f(x) 在 x(0, 1)取得極大值且在x令 M (x, y) , 則M 所在平面區(qū)域S 為如圖 ABC,2) , D(0,1 S四邊形ABED3x 軸的直線L 也將 S 分為面積比為則 k 0 , S四邊形DEGF 1得點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)為xF2k 1(1,1),1:32) 取得極小值,2y4y故點(diǎn) M 所在平面區(qū)域S 為如圖 ABC,S四邊形易得A( 2,0) ,B( 2,1),C(2,2) , D(0,1),E(0,32),S ABC 2DE 為 ABC 的中位線,S DEC13另一種情況由于直線BO 方程為3 E(0,32)S

41、 ABCy2yS ABC, 設(shè)直線L 方程為 y kx ,它與所求直線方程為y4ykxx6DEGF得點(diǎn) G 的橫坐標(biāo)為S OGES OFD解得 : kk58綜上 ,所求直線方程為:0或 yxG(舍去)64k 14k 1 21x2x22,得直線SDECx0或y2k 11故這時(shí)直線方程為: y x2第 17頁(yè) 共 22頁(yè)LyL12: x 0S四邊形ABED 所求一條直線3 ax2bx (c3a 2b)x d (a 0) 的圖象如圖所示。3、 (根的個(gè)數(shù)問題)已知函數(shù) f(x)f ( x )的解析式；)由圖可知f1 即 16k2 2k 5 0.分12d3得3a 2b c3ac、d 的值；若函數(shù) f(

42、x) 的圖象在點(diǎn)(2,f(2) 處的切線方程為3x y 11 0， 求 )若x 05, 方程 f(x) 8a 有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。2(x) 3ax 2bx+c-3a-2b函數(shù) f ( x )的圖像過點(diǎn)( 0 , 3 )，且 f 1 = 0d32b 0c0第 18 頁(yè) 共 22頁(yè) )依題意f 2= 3 且 f ( 2 ) = 513121令 (x) x (a )x 2ax ( 2 x 1)32612a 4b 3a 2b 3解得 a = 1 , b = 68a 4b 6a 4b 3 5(x) x2(2a 1)x 2a (x 2a)( x 1)所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3令 (x) 0 得 x 2a或 x 1 )依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a> 0 )f x = 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 f 5 = 0 b = 9a滿足 f ( 5 )< 8a< f ( 1 ) 得 25a + 3< 8a&l