01--第一講復(fù)習(xí)集合與簡易邏輯新課程

1、第一章 復(fù)習(xí)集合與簡易邏輯一、 本講進(jìn)度 集合與簡易邏輯復(fù)習(xí)二、 復(fù)習(xí)要求1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；2、 掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法；3、 理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；4、 理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系； 5、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。三、 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1、集合的概念：（1） 集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；（2） 集合的分類： 按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無限集； 按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集y|y=x2，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集(x，y)|y

2、=x2表示開口向上，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線；（3） 集合的表示法： 列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+=0，1，2，3，；描述法。2、兩類關(guān)系：（1） 元素與集合的關(guān)系，用或表示； （2）集合與集合的關(guān)系，用，=表示，當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的子集；當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的真子集。3、集合運(yùn)算 （1）交，并，補(bǔ)，定義：AB=x|xA且xB，AB=x|xA，或xB，CUA=x|xU，且xA，集合U表示全集；（2） 運(yùn)算律，如A（BC）=（AB）（AC），CU（AB）=（CUA）（CUB），CU（AB）=（CUA）（CUB）等。 4、命題：（1） 命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復(fù)合命

3、題；（2） 復(fù)合命題的形式：p且q，p或q，非p； （3）復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)p為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。 （3）四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”，逆命題為“若q則p“，逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。5、 充分條件與必要條件 （1）定義：對(duì)命題“若p則q”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是p的充

4、分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱p是q的充要條件； （2）在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p的所有對(duì)象組成集合A，滿足條件q的所有對(duì)象組成集合q，則當(dāng)AB時(shí)，p是q的充分條件。BA時(shí)，p是q的充分條件。A=B時(shí)，p是q的充要條件；（3） 當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。6、 反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。 7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會(huì)用集合的思想處理數(shù)學(xué)

5、問題。 四、典型例題 例1、已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。解題思路分析：在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。M=y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1說明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合y|y=f(x)，xA應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合（x，y）|y=x2+1，xR是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x

6、2+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān)，例y|y1=x|x1。例2、已知集合A=x|x2-3x+2=0，B+x|x2-mx+2=0，且AB=B，求實(shí)數(shù)m范圍。解題思路分析：化簡條件得A=1，2，AB=BBA根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)集合B分類討論，B=，B=1或2，B=1，2當(dāng)B=時(shí)，=m2-8<0 當(dāng)B=1或2時(shí)，m無解當(dāng)B=1，2時(shí)， m=3綜上所述，m=3或說明：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質(zhì)的一個(gè)重要方面，如本題當(dāng)B=1或2時(shí)，不能遺漏=0。例3、用反證法證明：已知x、yR，x+y2，求 證x、y中至少有一個(gè)大于1。解題思路分析

7、：假設(shè)x<1且y<1，由不等式同向相加的性質(zhì)x+y<2與已知x+y2矛盾 假設(shè)不成立 x、y中至少有一個(gè)大于1說明；反證法的理論依據(jù)是：欲證“若p則q”為真，先證“若p則非q”為假，因在條件p下，q與非q是對(duì)立事件（不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)成立），所以當(dāng)“若p則非q”為假時(shí)，“若p則q”一定為真。例4、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的什么條件。解題思路分析：利用“”、“”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系 DCBA DA，D是A的充分不必要條件說明：符號(hào)“”、“”具有傳遞性，不過前者是單方向的，后者是雙方向的。例5、求直線l：ax-y

8、+b=0經(jīng)過兩直線l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交點(diǎn)的充要條件。解題思路分析：從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。由 得l1，l2交點(diǎn)P（） l過點(diǎn)P 17a+4b=11充分性：設(shè)a，b滿足17a+4b=11 代入l方程：整理得：此方程表明，直線l恒過兩直線的交點(diǎn)（）而此點(diǎn)為l1與l2的交點(diǎn) 充分性得證 綜上所述，命題為真說明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“”，雙向傳輸，同時(shí)證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必要性著手，再檢驗(yàn)充分性。五、同步練習(xí)（一） 選擇題1、 設(shè)M=x|x2+x+2=0，a=lg(lg10)，則a與M的關(guān)系是

9、A、a=M B、Ma C、aM D、Ma2、 已知全集U=R，A=x|x-a|<2，B=x|x-1|3，且AB=，則a的取值范圍是A、 0，2 B、（-2，2） C、（0，2 D、（0，2）3、 已知集合M=x|x=a2-3a+2，aR，N、x|x=b2-b，bR，則M，N的關(guān)系是A、 MN B、MN C、M=N D、不確定 4、設(shè)集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，則AB中的元素個(gè)數(shù)是A、11 B、10 C、16 D、155、集合M=1，2，3，4，5的子集是A、15 B、16 C、31 D、326、對(duì)于命題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等”，下面判斷正確的是 A、所給命題

10、為假 B、它的逆否命題為真C、它的逆命題為真 D、它的否命題為真7、“”是coscos”的A、充分不必要條件 B、必要不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 8、集合A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3l+1，lZ，S=y|y=6m+1，mZ之間的關(guān)系是A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是A、0<m1或m<0 B、0<m1C、m<1 D、m110、已知p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a，b是整數(shù)，則p是q的A、充分不必要條件 B、必要不充分條件C.充要條件 D、既不充分又

11、不必要條件（二） 填空題11、 已知M=，N=x|，則MN=_。 12、在100個(gè)學(xué)生中，有乒乓球愛好者60人，排球愛好者65人，則兩者都愛好的人數(shù)最少是_人。13、 關(guān)于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是_。14、 命題“若ab=0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為_。 15、非空集合p滿足下列兩個(gè)條件：（1）p1，2，3，4，5，（2）若元素ap，則6-ap，則集合p個(gè)數(shù)是_。（三） 解答題 16、設(shè)集合A=(x，y)|y=ax+1，B=(x，y)|y=|x|，若AB是單元素集合，求a取值范圍。17、已知拋物線C：y=-x2+mx-1，點(diǎn)M（0，3），N（3，0），求拋物線C與線段MN有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件。18、設(shè)A=x|x2+px+q=0，M=1，3，5，7，9，N=1，4，7，10，若AM=，AN=A，求p、q的值。19、已