第十三章 非正弦周期電流電路

1、第十三章第十三章 非正弦周期電流電路和非正弦周期電流電路和信號的頻譜信號的頻譜13-1非正弦周期信號非正弦周期信號13-2周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)13-3有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13-4非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算13-5對稱三相電路中的高次諧波對稱三相電路中的高次諧波13-1非正弦周期信號非正弦周期信號 電路的分析計算，一般是先從理想情況入手，再逐漸推廣到電路的分析計算，一般是先從理想情況入手，再逐漸推廣到更廣泛的實際情況的。因為理想情況具有很強(qiáng)的規(guī)律性和代表性，更廣泛的實際情況的。因為理想情況具有很強(qiáng)的規(guī)律性和代表性，分析

2、起來比較容易、準(zhǔn)確。分析起來比較容易、準(zhǔn)確。 比如：比如： 直流電路：直流電路：可用可用KCL、KVL；疊加、戴維寧、特勒根等定理；疊加、戴維寧、特勒根等定理； 結(jié)點法、回路法、網(wǎng)孔法、戴維寧定理等方法。結(jié)點法、回路法、網(wǎng)孔法、戴維寧定理等方法。 正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦穩(wěn)態(tài)電路:可用相量法化為相量模型，然后用適用于直可用相量法化為相量模型，然后用適用于直 流穩(wěn)態(tài)電路的所有定律、定理和方法去求解。流穩(wěn)態(tài)電路的所有定律、定理和方法去求解。 然而，實際生活中所遇到的電路并不是或不全是理想的電路，然而，實際生活中所遇到的電路并不是或不全是理想的電路，比如比如給定的電源激勵信號給定的電源激勵信號既不是直流信號

3、，也不是標(biāo)準(zhǔn)正弦信號既不是直流信號，也不是標(biāo)準(zhǔn)正弦信號，如何分析電路的響應(yīng)如何分析電路的響應(yīng)？比如給定？比如給定方波信號方波信號或或半波整流信號半波整流信號。 這就是本章要講的非正弦周期電流電路。這就是本章要講的非正弦周期電流電路。 處理辦法是：處理辦法是：利用傅立葉級數(shù)，將非正弦周期信號利用傅立葉級數(shù)，將非正弦周期信號分解為無分解為無窮多個不同頻率的正弦信號的和窮多個不同頻率的正弦信號的和，然后一一按正弦電路來分析計，然后一一按正弦電路來分析計算，最后疊加得到非正弦周期信號的響應(yīng)。算，最后疊加得到非正弦周期信號的響應(yīng)。有人會問：有人會問：分解成分解成無窮多個無窮多個不同頻率的正弦量，如何求解

4、？不同頻率的正弦量，如何求解？ 在工程上，總有一定的精度要求。一個非正弦周期函數(shù)分解在工程上，總有一定的精度要求。一個非正弦周期函數(shù)分解為為傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)的和時，的和時，有一個特點有一個特點：每個正弦量的幅值大小隨著每個正弦量的幅值大小隨著頻率的增加總是減小的。頻率的增加總是減小的。因此，當(dāng)計算前若干項達(dá)到了精度要求因此，當(dāng)計算前若干項達(dá)到了精度要求時，后邊的就不必計算了，將其忽略掉即可。時，后邊的就不必計算了，將其忽略掉即可。 由傅立葉級數(shù)演變出一種由傅立葉級數(shù)演變出一種從時間域從時間域到到頻率域頻率域的變換的變換傅立傅立葉變換，葉變換，是信號分析與處理的極其重要的數(shù)學(xué)工具。通過傅立葉

5、是信號分析與處理的極其重要的數(shù)學(xué)工具。通過傅立葉變換，可以將隨時間變化的函數(shù)（信號）變換為幅值隨頻率變化變換，可以將隨時間變化的函數(shù)（信號）變換為幅值隨頻率變化的信號，可以方便地分析不同頻率下信號的特點和貢獻(xiàn)幅值大小。的信號，可以方便地分析不同頻率下信號的特點和貢獻(xiàn)幅值大小。 前邊已經(jīng)講到過一種變換前邊已經(jīng)講到過一種變換相量相量，是將正弦函數(shù)變換到復(fù)，是將正弦函數(shù)變換到復(fù)頻域的相量的一種數(shù)學(xué)變換。再后邊還要講到頻域的相量的一種數(shù)學(xué)變換。再后邊還要講到拉普拉斯變換拉普拉斯變換，也是一種數(shù)學(xué)上的變換，是專門解決動態(tài)電路問題的，拉普拉也是一種數(shù)學(xué)上的變換，是專門解決動態(tài)電路問題的，拉普拉斯變換可以將

6、一個高階微分方程變換為一個代數(shù)方程，可以避斯變換可以將一個高階微分方程變換為一個代數(shù)方程，可以避免求解微分方程的困難。免求解微分方程的困難。下面來看什么是下面來看什么是非正弦周期信號非正弦周期信號定義：定義： 隨時間按非正弦規(guī)律周期變化的信號隨時間按非正弦規(guī)律周期變化的信號(電流或電壓電流或電壓)，稱為，稱為非正弦周期信號。非正弦周期信號。鋸齒波鋸齒波 三角波三角波方波（矩形波）方波（矩形波）半波整流波形半波整流波形共同特點：共同特點： 均為周期函數(shù)，周期為均為周期函數(shù)，周期為T，f (t)= f (T+t)；非正弦。非正弦。 如何分析其加在線性電路中產(chǎn)生的電壓電流和功率呢？如何分析其加在線性

7、電路中產(chǎn)生的電壓電流和功率呢？可將可將其分解為傅立葉級數(shù)，即分解為若干不同頻率的正弦函數(shù)的和。其分解為傅立葉級數(shù)，即分解為若干不同頻率的正弦函數(shù)的和。分類：分類：1 1）偶函數(shù)）偶函數(shù): :f(t)=f(-t)f(t)=f(-t) 4 4）偶諧波函數(shù)）偶諧波函數(shù)2 2）奇函數(shù)）奇函數(shù): : f(t)=-f(-t)f(t)=-f(-t) 有原點對稱性質(zhì)。有原點對稱性質(zhì)。3 3）奇諧波函數(shù)，）奇諧波函數(shù)，有鏡像對稱性有鏡像對稱性質(zhì)質(zhì) 移動半周期后與橫軸對稱：移動半周期后與橫軸對稱：)2Tt (f) t (f)2Tt (f) t (f有縱軸對稱的性質(zhì)。有縱軸對稱的性質(zhì)。13-2周期函數(shù)分解為傅立葉級

8、數(shù)周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)一、傅立葉級數(shù)（高等數(shù)學(xué)內(nèi)容）一、傅立葉級數(shù)（高等數(shù)學(xué)內(nèi)容）1、傅立葉級數(shù)表達(dá)式：、傅立葉級數(shù)表達(dá)式： 1.1 sincos21000nnnTtnbtnaatf 通常，一個周期為通常，一個周期為T的周期函數(shù)的周期函數(shù)fT(t)，在在-T/2，T/2上滿足上滿足狄里赫利條件狄里赫利條件，總可以分解為如下的正弦函數(shù)的和：，總可以分解為如下的正弦函數(shù)的和：其中：其中：T 為周期函數(shù)為周期函數(shù)fT(t)的周期；的周期； 為為基波角頻率基波角頻率 ；T20 sin2cos22022022220tdtntfTbtdtntfTadttfTaTTTnTTTnTTT 可見：可見：周期函

9、數(shù)周期函數(shù)fT(t)可以可以展開成直流和無窮多個正弦展開成直流和無窮多個正弦電流的代數(shù)和。電流的代數(shù)和。 問題：問題：哪些函數(shù)可以分解哪些函數(shù)可以分解為傅立葉級數(shù)呢？為傅立葉級數(shù)呢？ 電工技術(shù)中所遇到的信號電工技術(shù)中所遇到的信號一般都滿足狄里赫利條件，一般都滿足狄里赫利條件，因此，電工中的信號一般都因此，電工中的信號一般都可以分解為傅立葉級數(shù)?？梢苑纸鉃楦盗⑷~級數(shù)。說明：說明： nnntnaatf010cos若若f(t)為為偶函數(shù)偶函數(shù)，則，則 其傅立葉級數(shù)為余弦級數(shù)，不含正弦項，只含有常數(shù)項和余弦其傅立葉級數(shù)為余弦級數(shù)，不含正弦項，只含有常數(shù)項和余弦(偶函數(shù)項偶函數(shù)項)，即：，即： cos2

10、 cos20 00022ttdntftdtntfTabTTTTnn nnntnbtfsin1若若f(t)為為奇函數(shù)奇函數(shù)，則，則 其傅立葉級數(shù)為正弦級數(shù)其傅立葉級數(shù)為正弦級數(shù),不含余弦項不含余弦項,只含有正弦項只含有正弦項(奇函數(shù)項奇函數(shù)項) ，即：即： sin2 sin20 00022ttdntftdtntfTbaTTTTnn若若f(t)為非周期函數(shù)，則可將其看作是周期為非周期函數(shù)，則可將其看作是周期T的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，因此也可以分解為無窮級數(shù)。理論上必須取無窮多項才能準(zhǔn)確因此也可以分解為無窮級數(shù)。理論上必須取無窮多項才能準(zhǔn)確代替原函數(shù)，但工程上只要達(dá)到要求的精度，取前若干項也就代替原

11、函數(shù)，但工程上只要達(dá)到要求的精度，取前若干項也就可以了?？梢粤?。2、傅氏級數(shù)另一種表達(dá)式：、傅氏級數(shù)另一種表達(dá)式：將將 合并（進(jìn)行和差化積）可得：合并（進(jìn)行和差化積）可得：tnbtnannsincos 33221103cos 2coscostAtAtAAtftfmmmT kkkmtkAAtfcos10其中：kkkkkkmabarctgbaAaA22002/如果如果f(t)為某電壓波形，則為某電壓波形，則f(t)可看作由可看作由直流成分直流成分、和、和不同頻率的正弦成分不同頻率的正弦成分的合的合成，其中成，其中頻率為頻率為的正弦成分稱為的正弦成分稱為基波基波成分成分，頻率為，頻率為2 、3 的正

12、弦成分稱為的正弦成分稱為2次、次、3次諧波成分次諧波成分。A0直流分量（成分）；直流分量（成分）；A1m基波幅值（振幅），最大值；基波幅值（振幅），最大值；1基波初相位，基波初相位， 基波角頻率；基波角頻率；A2m二次諧波幅值（振幅）；二次諧波幅值（振幅）；2二次諧波幅初相位。二次諧波幅初相位。 圖圖中中fT(t)是一個周期函數(shù)，非是一個周期函數(shù)，非正弦，若加在激勵端分析其響應(yīng)正弦，若加在激勵端分析其響應(yīng)是很困難的，可以將非正弦信號是很困難的，可以將非正弦信號分解為傅立葉級數(shù)。將其分解為分解為傅立葉級數(shù)。將其分解為f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和和f2(t) 均為正弦均為正弦信號可

13、以分別求其響應(yīng)，而后疊信號可以分別求其響應(yīng)，而后疊加得到加得到 fT(t) 的響應(yīng)。的響應(yīng)。 3、諧波分析、諧波分析 信號分析信號分析是是信號處理信號處理的重要部分，其重要內(nèi)容之一就是諧波的重要部分，其重要內(nèi)容之一就是諧波分析。分析。 諧波分析諧波分析就是將某復(fù)雜的周期函數(shù)就是將某復(fù)雜的周期函數(shù)f(t)信號，分解為信號，分解為直流直流分量分量、基波基波、和、和各次諧波分量各次諧波分量之和的過程。之和的過程。 目的：目的： 分析分析諧波信號的成分諧波信號的成分和在總信號中和在總信號中所占的比例所占的比例，以及這，以及這些諧波的存在使得些諧波的存在使得基波信號發(fā)生畸變的程度基波信號發(fā)生畸變的程度。

14、諧波分析在電力系。諧波分析在電力系統(tǒng)中極其重要。統(tǒng)中極其重要。)3sin(2)sin(2)(31tUtUtu)7sin(2)5sin(275tUtU 33221103cos 2coscostAtAtAAtftfmmmT設(shè)某函數(shù)信號可分解為下式：則諧波的分類為：奇次諧波奇次諧波直流分量直流分量)cos(11tAmA0=a0基波分量，角頻率基波分量，角頻率)2cos(22tAm)3cos(33tAm)cos(kkmtkA二次諧波，角頻率二次諧波，角頻率2三次諧波，角頻率三次諧波，角頻率3k次諧波，角頻率次諧波，角頻率k高高次次諧諧波波偶次諧波偶次諧波4、傅立葉級數(shù)的特點、傅立葉級數(shù)的特點 k由小到

15、大，最終會由小到大，最終會。所以傅立葉級數(shù)是無窮三角級數(shù)；。所以傅立葉級數(shù)是無窮三角級數(shù)；隨著隨著 k，Akm 。當(dāng)。當(dāng)k 時，時， Akm 0； kkkmtkAAtfcos10工程上為了簡化計算、降低成本，在數(shù)據(jù)處理和諧波分析時工程上為了簡化計算、降低成本，在數(shù)據(jù)處理和諧波分析時通常只取前若干項。具體取多少項，取決于兩點：通常只取前若干項。具體取多少項，取決于兩點：* 傅立葉級數(shù)的收斂速度；傅立葉級數(shù)的收斂速度；* 工程上允許的誤差或精度要求。如工程上只分析到工程上允許的誤差或精度要求。如工程上只分析到79次諧波。次諧波。二、求傅立葉級數(shù)二、求傅立葉級數(shù)方法：方法：1、用傅立葉積分公式運算；

16、、用傅立葉積分公式運算； 2、查表法（工程上常用方法）。、查表法（工程上常用方法）。例題例題1、page319例例13-1：求圖示周期性矩形波的傅立葉級數(shù)展求圖示周期性矩形波的傅立葉級數(shù)展開式及其頻譜。開式及其頻譜。解：先分析波形特點：解：先分析波形特點：奇函數(shù)0ka只需求出bn即可。kkEtkkEtdtkEmmmcos12)cos(12)()sin(201101當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，cos(k)=1，bk=0；當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，cos(k)=1， 。所以可得：。所以可得：kEbmk4 tttEtfm1115sin513sin31sin4若只取前若只取前3項，合成的波形如下圖項，合

17、成的波形如下圖(a) ：（a）若取到若取到5次諧波，次諧波，合成的波形如下合成的波形如下圖圖(b)： 顯然，取的諧顯然，取的諧波次數(shù)越多，合波次數(shù)越多，合成的波形越接近成的波形越接近原來的矩形波。原來的矩形波。求頻譜求頻譜頻譜不同頻率的諧波成分振幅不同頻率的諧波成分振幅(幅值幅值) 大小與頻率的關(guān)系譜線。大小與頻率的關(guān)系譜線。 tttEtfm1115sin513sin31sin4由上式可見：頻率為由上式可見：頻率為0的直流成分幅值為的直流成分幅值為0；頻率為頻率為1的基波成分幅值為：的基波成分幅值為：mE4頻率為頻率為31的的3次諧波成分幅值為：次諧波成分幅值為：34mE54mE頻率為頻率為5

18、1的的5次諧波成分幅值為：次諧波成分幅值為：13-3有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率一、有效值一、有效值定義：非正弦周期電流非正弦周期電流 i(t)的有效值定義為：的有效值定義為： TdttiTI021如果將如果將i(t)的傅立葉級數(shù)展開為如下表達(dá)式：的傅立葉級數(shù)展開為如下表達(dá)式： 33221103cos 2coscostItItIItfmmm則代入有效值的定義積分式可得：則代入有效值的定義積分式可得： 23222120IIIII證明過程見書上page326。 其中，其中，I0、 I1 、 I2 、 I3 分別為電流分別為電流i(t)的直流分量電流和基的直流分量電流和基波、波、

19、2次諧波、次諧波、3次諧波電流的次諧波電流的有效值有效值。同理，非正弦周期電壓的有效值為同理，非正弦周期電壓的有效值為：23222120UUUUU二、平均值二、平均值定義：定義：電流的平均值為：電流的平均值為： dttiTITav01例2：求正弦電流求正弦電流i(t)的平均值的平均值Iav，已知電流的有效值為，已知電流的有效值為I。解：解：tdtITdttITITTavsin22 sin21200m200.637I 0.9I 2224cos22ITItTIT平均值是曲線下面積的平均。平均值是曲線下面積的平均。即：正弦電流有效值和平均即：正弦電流有效值和平均值的關(guān)系為：值的關(guān)系為：avII11.

20、 1三、功率三、功率1 1） 瞬時功率：瞬時功率：若單口網(wǎng)絡(luò)端口電流和電壓為：若單口網(wǎng)絡(luò)端口電流和電壓為：則則瞬時功率為：瞬時功率為：)cos(2)(10innntnIIti)cos(2)(10unnntnUUtu)()()(titutp2 2）平均功率：）平均功率：TdttpTP0)(1222111002222111100coscos )cos()cos(IUIUIUIUIUIUPiuiu看一個例子：看一個例子：例例3：圖示非正弦電路中，計算電路中電阻圖示非正弦電路中，計算電路中電阻R消耗的功率消耗的功率P。已知：已知： 2221110cos2cos2tUtUUtu解：解： , , 2211

21、00RUIRUIRUI所以： 22211100210coscos IUIUIUPPPP由于是純電阻電路，功率還可以用下式：由于是純電阻電路，功率還可以用下式： 222120222120 IIIRRIRIRIP2IR13-4非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算步驟：步驟：1、將非正弦周期電源分解為傅立葉級數(shù)，取幾項依允許、將非正弦周期電源分解為傅立葉級數(shù)，取幾項依允許的誤差來決定；的誤差來決定；2、分別求直流分量、基波和各次諧波分量的響應(yīng)；需注意幾點：、分別求直流分量、基波和各次諧波分量的響應(yīng)；需注意幾點：直流分量作用時，直流分量作用時，L、C的處理；的處理；各次諧波分量用各次諧波分量用相量法相量法求解，且求解，且XL、XC均與均與有關(guān)有關(guān)。3、進(jìn)行疊加。也要注意：進(jìn)行疊加。也要注意：疊加應(yīng)該是疊加應(yīng)該是響應(yīng)的瞬時值相加；響應(yīng)的瞬時值相加；特別注意：特別注意：不同頻率的正弦相量不能相加。不同頻率的正弦相量不能相加。負(fù)載功率：為直流分量、基波和各次諧波分量在負(fù)載上消負(fù)載功率：為直流分量、基波和各次諧波分量在負(fù)載上消耗功率的總和。耗功率的總和。例題例題4、 V 303cos7 .70cos1 .14110 11otttu已知： 10 ,5 , 151 , 2211111RRCXLXCL求各支路電流求各支路電流i(t)、 i1(t) 、 i2(t) ，并求，并求R1