計(jì)算方法 第二章 數(shù)值積分

1、3.1第 2 章 數(shù)值積分1 機(jī)械求積2 牛頓-柯特斯公式3 龍貝格算法4 高斯求積公式5 數(shù)值微分3.2引言 依據(jù)微積分基本定理, 只要找到被積函數(shù) 的原函數(shù) ， ， 便有牛頓-萊伯尼茲公式 由于大量的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)， 而實(shí)驗(yàn)測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出的通常是一張函數(shù)表，所以牛頓-萊伯尼茲公式往往不能直接運(yùn)用。因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。 f x F x Fxf x baf x dxF bF a牛頓(Newton, 1643年-1727) 萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年）3.3數(shù)值求積的基本思想1 依據(jù)積分中值定理， 就

2、是說(shuō)，底為 而高為 的矩形面積恰恰等于所求曲邊梯形的面積。 ()baf x dxba fba)()2(4)(61)()(:)2()()(:2)()()()(:,bfbafafabdxxfSimpsonbafabdxxfbfafabdxxfbababa公式中矩形公式梯形公式作為該思路的推廣求平均高度積分中值定理的思路是3.4數(shù)值求積的基本思想2 依據(jù)積分中值定理， 就是說(shuō)，底為 而高為 的矩形面積恰恰等于所求曲邊梯形的面積。 取 內(nèi)若干個(gè)節(jié)點(diǎn) 處的高度 ，通過(guò)加權(quán)平均的方法生成平均高度 ，這類求積公式稱機(jī)械求積公式機(jī)械求積公式： 式中 稱為求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)， 稱為求積系數(shù)求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)的

3、權(quán)權(quán)。 ()baf x dxba fba f,a bkxkf x 0nbkkakf x dxA f xkAkx重要3.5代數(shù)精度的概念1 數(shù)值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望所提供求積公式對(duì)于“盡可能多”的函數(shù)是準(zhǔn)確的。 如果機(jī)械求積公式對(duì) 均能準(zhǔn)確成立，但對(duì) 不準(zhǔn)確，則稱機(jī)械求積公式具有 次代數(shù)次代數(shù)精度精度。 0,1,kf xxkm 1mf xxm.2,)(21,)(, 1)()()()(:1022101010即為梯形公式所以即準(zhǔn)確成立對(duì)設(shè)兩點(diǎn)公式abAAabbAaAabAAxxfxfbfAafAdxxfba重要3.6代數(shù)精度的概念2.)(. 0)()(3)(2)(3)(2 .),

4、(2)(31)(2)()(2)(31)()31(,)(222222223322332233322式的兩點(diǎn)公式必為梯形公所以具有一次代數(shù)精度不準(zhǔn)確成立即梯形公式關(guān)于區(qū)間長(zhǎng)度為零沒(méi)有意義即若的原函數(shù)為則設(shè)xxfbabaaabbbaababbaababbaabbfafababdxxfxxxxfba3.7代數(shù)精度的概念3.,.)(. 0)()(3)(4 .,)2)()(31)2)()2()(),(31)(,)(.),(21)2()(),(21)(,)(.,)2()( ,)(, 1)()2()()(:2222223323322222但也具有一次代數(shù)精度有一個(gè)節(jié)點(diǎn)所以中矩形公式雖然只不準(zhǔn)確成立即中矩形公式

5、關(guān)于即假設(shè)設(shè)即成立設(shè)即成立設(shè)中矩形公式xxfbabaaabbbaababbaabbafababdxxfxxfabbafababdxxfxxfabbafababdxxfxfbafabdxxfbabababa3.8代數(shù)精度的概念4 數(shù)值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望所提供求積公式對(duì)于“盡可能多”的函數(shù)是準(zhǔn)確的。 如果機(jī)械求積公式對(duì) 均能準(zhǔn)確成立，但對(duì) 不準(zhǔn)確，則稱機(jī)械求積公式具有 次代數(shù)精度次代數(shù)精度。 事實(shí)上，令求積公式對(duì) 準(zhǔn)確成立，即得 可見(jiàn)，在求積公式節(jié)點(diǎn)給定的情況下，求積公式的構(gòu)造問(wèn)題本質(zhì)上是個(gè)解線性方程組的代數(shù)問(wèn)題。m=n時(shí),存在唯一解. 0,1,kf xxkm 1mf xxm

6、 0,1,kf xxkm)(11)(2111110022110010mmmnnmmnnnabmxAxAxAabxAxAxAabAAA3.9插值型的求積公式 設(shè)已給 在節(jié)點(diǎn) 的函數(shù)值，作插值多項(xiàng)式 其中 由于多項(xiàng)式的求積是容易的，令 這樣得到的求積公式稱為插值型插值型的求積公式，其求積系數(shù)為 定理定理 機(jī)械求積公式至少有 次代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的。 f x 0nnkkkpxf xlx 0njkjkjj kxxlxxx bbnaaf x dxpx dx bkkaAlx dxn), 1 , 0(nkxk)(0kknkxfA重要3.10定理的證明.,)(0, 1)()()(,)()()(

7、:.),()()()()(,),()(,)(,)()()(:000, 00故為插值型的其余情況為時(shí)為只有當(dāng)次多項(xiàng)式為次代數(shù)精度具有至少若求積公式必要性次代數(shù)精度具有至少次插值是其自身其的多項(xiàng)式因?yàn)閷?duì)于次數(shù)其中即是插值型的若求積公式充分性kkbajkjkjnjkbakkknkbakknknbabanjkjnkjjkkbakkknknbabaAdxxlkjxlxlAdxxlnxlnxfAdxxfnxfAdxxpdxxfxpxfnxfnxxxxxldxxlAxfAdxxpdxxf3.113.123.133.2 牛頓柯特斯公式 設(shè)分 為 等份，步長(zhǎng) ，取等分點(diǎn) 構(gòu)造出的插值型求積公式（其中 ）稱作 階

8、牛頓柯特斯牛頓柯特斯 公式公式(Newton-Cotes) 。 Cotes系數(shù)與a,b無(wú)關(guān)., a bnbahn,0,1,kxakh kn0nnkkkIbaC f xnkx. 1,)(1)(1,. 111)(1)(1)(11)()()(00000000knkknkknkbanbankkbakbankknkkbakkkknkkknknCCabCabdxnIdxabdxxlabdxxlabCdxxlabAabCxfAxfCabI次代數(shù)精度具有為插值型或者3.14牛頓柯特斯公式2 設(shè)分 為 等份，步長(zhǎng) ，取等分點(diǎn) 構(gòu)造出的插值型求積公式（其中 ）稱作 階牛頓柯特斯牛頓柯特斯 公式公式。一階和二階牛頓

9、柯特斯公式分別是 梯形公式梯形公式, 柯特斯系數(shù)見(jiàn)P.61, 8階柯特斯系數(shù)中有負(fù)數(shù).和辛甫生公式辛甫生公式四階牛頓柯特斯公式，也稱為柯特斯公式柯特斯公式：, a bnbahn,0,1,kxakh kn0nnkkkIbaC f xn 4,62baabSf af cf bc012347321232790baCf xf xf xf xf xkx)()(2bfafabT重要3.153.16幾種低階求積公式的代數(shù)精度 階的牛頓柯特斯公式至少有 次代數(shù)精度，事實(shí)上，二階的辛甫生公式與四階的柯特斯公式在精度方面會(huì)獲得 “額外” 的好處，它們分別有3 次和 5 次代數(shù)精度。 因此，在幾種低階的牛頓柯特斯公式

10、中，人們更感興趣的是梯形公式（它最簡(jiǎn)單、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。nn.3,)(,)().(41)(41)2(461)()(41)(,)(.2,)()2(4)(61)(:4443223333443次代數(shù)精度公式為故不成立時(shí)易證時(shí)次代數(shù)精度故有公式為插值型公式SimpsonSdxxfxxfabbabbaaabbbaaabSabdxxfxxfSimpsonbfbafafabSSimpsonbaba3.17幾種低階求積公式的余項(xiàng)1,)(12)(6)(322262)()()(232)()(2)(,),(,)()(2)()()()(,)(,:32222233111baabfabbaaabbabf

11、abababbaabfdxbxaxfRbabxaxdxbxaxfdxxpxfTIRxpdxxpTbaTbabaTba由廣義積分中值定理非正上保號(hào)在區(qū)間為線性插值故有梯形公式為插值型梯形公式的余項(xiàng)3.18幾種低階求積公式的余項(xiàng)2,),()2(180)()2)(! 4)()()()2)(! 4)()()()()()2(4)(6)(,3)15(,2),( )( ),()(),()(),()(:)(:)4(42)4(2)4(bafababdxbxbaxaxfdxbxbaxaxfdxxHxfSIRSbHbaHaHabdxxHSimpsonbaccfcHcfcHbfbHafaHxHSimpsonbabab

12、aSba保號(hào)非正項(xiàng)由三次埃爾米特插值余所以下面等式成立次代數(shù)精度公式具有滿足設(shè)三次埃爾米特插值公式的余項(xiàng)3.19幾種低階求積公式的余項(xiàng) 利用線性插值的余項(xiàng)公式以及積分中值定理，我們可以得到梯形公式的余項(xiàng)： 利用埃爾米特插值的余項(xiàng)公式以及積分中值定理我們可以得到辛甫生公式的余項(xiàng)： 另外，我們可以得到如下柯特斯公式的積分余項(xiàng)： 3,12TbaRITfa b 44,1802Sba baRISfa b 662(),9454CbabaRICfa b 3.20復(fù)化求積公式 在使用牛頓柯特斯公式時(shí)，通過(guò)提高階的途徑并不總能取得滿意的效果，為了改善求積公式的精度，一種行之有效的方法是復(fù)化求積。類似于等距離分段

13、插值. 將 分為 等份，步長(zhǎng) ,分點(diǎn) 所謂復(fù)化求積公式，就是先用低階的求積公式求得每個(gè)子段 上的積分值 ，然后用 作為積分 的近似值。 復(fù)化梯形公式有如下形式：其余項(xiàng)為：, a bbahnn,0,1,kxakh kn1,kkxxkI10nkkII 1122nnkkhTf afxf b 212nhITfbfa 3.21復(fù)化求積公式2)()(2)(4)(6)()(4)(6,)()(2)(2)()(21121111211021111110bfxfxfafhxfxfxfhSSimpsonxxxbfxfafhxfxfhTknkknkkkknknkkkknkkknkn公式復(fù)化的中點(diǎn)為記子段復(fù)化梯形公式3.

14、22復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差).()()2(1801,).( )( 12)( )( )()()(12,)()(2)(2)()(2,)(12)()3()3(4210103111103afbfhSIafbfhTIafbfdxxffhfhTIbfxfafhxfxfhTbaabfTIRnnbaknkknknknkkknknT類似可得的余項(xiàng)公式為復(fù)化梯形公式3.233.24梯形法的遞推化 實(shí)際計(jì)算中，由于要事先給出一個(gè)合適的步長(zhǎng)往往很困難，所以我們往往采用變步長(zhǎng)的計(jì)算方案，即在步長(zhǎng)逐步分半的過(guò)程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算，直到所求得的積分值滿足精度要求為止。 設(shè) 表示復(fù)化梯形求得的積分值，其下標(biāo) 是

15、等分?jǐn)?shù)，由此則有遞推公式其中，nTn12102122nnnkkhTTfx121,2kbahxakhn3.25梯形法的遞推化2)(221,10),(221),()(2)(4),()(2,211022112121211211knknnkkkkkkkkkkkkkxfhTTnkxfhTTxfxfxfhTxfxfhTxxx累加求和到從將由梯形公式的中點(diǎn)為記子段3.263.27 梯形法的加速 梯形法的算法簡(jiǎn)單，但精度低，收斂的速度緩慢。如何提高收斂速度以節(jié)省計(jì)算量呢？ 由復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差公式可得，整理得， 這可以作為事后誤差估計(jì).同時(shí)由此可知， 這樣導(dǎo)出的加速公式是辛甫生公式：2213nnnITTT

16、24133nnITT24133nnnSTT13,41),( )( 122222nnnnnnTITTTITIafbfhTI3.28龍貝格算法1)()(2)(4)(63134)()(2)(2)(32313134),(2213134,3134)(31),(311121102112110221102222222bfxfxfafhTTbfxfafhTxfhTTTxfhTTTTSTTTTTITTTIknkknknnknknknknnnknknnnnnnnnnnnnn又事實(shí)上3.29龍貝格算法2 我們可以在步長(zhǎng)逐步分半過(guò)程中將粗糙的積分值 逐步加工為精度較高的積分值 ： 或者說(shuō)將收斂緩慢的梯形值序列 加工成

17、收斂迅速的積分值序列 ，這種加速方法稱為龍貝格算法龍貝格算法。24133nnnSTT2216115156416363nnnnnnCSSRCC,nnnS CRnTnT,nnnS CR3.30龍貝格算法3.,8,0)(,6316364,1511516,3134,222公式系列不是所以公式的系數(shù)有負(fù)數(shù)階而的系數(shù)全大于中關(guān)于九個(gè)節(jié)點(diǎn)公式為八個(gè)區(qū)間五個(gè)節(jié)點(diǎn)公式為四個(gè)區(qū)間三個(gè)節(jié)點(diǎn)公式為兩個(gè)區(qū)間兩個(gè)節(jié)點(diǎn)梯形公式為一個(gè)區(qū)間CotesNewtonRCotesNewtonxfRRombergCCRCotesSSCSimpsonTTSnknnnnnnnnnn3.31作業(yè)nnnnnnSSCTTS1511516,313

18、422直接驗(yàn)證公式nnnCCR631636423.323.33高精度的求積公式 不失一般性，設(shè) ，考慮下列求積公式, 有n個(gè)系數(shù)和n個(gè)節(jié)點(diǎn). 我們將會(huì)看到，適當(dāng)選取系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn) 可以使上述求積公式具有 次代數(shù)精度，這種高精度的求積公式稱為高斯（高斯（Gauss）公式）公式，高斯公式的求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)。Gauss(1777-1855)是德國(guó)數(shù)學(xué)家 ，也是科學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來(lái)的三大數(shù)學(xué)家,有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯最出名的故事就是他十歲時(shí)，計(jì)算算術(shù)題：123100？。Gauss在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文

19、學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。1,1ab 111nkkkf x dxA f x1,2,kxkn21n3.34物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡爾弗里德里希高斯高斯高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日1855年2月23日），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。高斯被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)家之一，有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，并被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名。高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個(gè)工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)學(xué)校受教育

20、。17951798年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)1798年轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)直至逝世。3.35高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。1792年，15歲的高斯進(jìn)入Braunschweig學(xué)院。在那里，高斯開(kāi)始對(duì)高等數(shù)學(xué)作研究。獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、“質(zhì)數(shù)分布定理”

21、(prime numer theorem)、及“算術(shù)幾何平均”(arithmetic-geometric mean)。1795年高斯進(jìn)入哥廷根大學(xué)。1796年，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果，就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法。5年以后，高斯又證明了形如Fermat素?cái)?shù)邊數(shù)的正多邊形可以由尺規(guī)作出。1855年2月23日清晨，高斯于睡夢(mèng)中去世。3.36高斯的肖像已經(jīng)被印在從1989年至2001年流通的10德國(guó)馬克的紙幣上 日本 元 福澤諭吉，近代啟蒙思想家和教育家。明治維新時(shí)期的日本重要大臣。 日本 元 新渡戶稻造，大教育家，農(nóng)學(xué)家。名著武士道 ,”東京大學(xué)預(yù)備?！耙桓摺钡男ｉL(zhǎng)、東京

22、女大的首任校長(zhǎng)。 3.37Gauss公式1dxxxAxAxAxAxdxxAxAAAxxxxfxfAxfAdxxfabfabdxxffdxxfxxdxxfAxxfdxAxfxfAdxxfba31132231122221111221121322211111111111111111103202, 1)(),()()()2()()(),0(2)(. 0, 0)(,)(. 21, 1)(),()(即準(zhǔn)確成立對(duì)于設(shè)兩點(diǎn)公式即中矩形公式對(duì)于對(duì)于設(shè)一點(diǎn)公式3.38Gauss公式2)232()232(2)()22(2)(22,)31()31()(, 1,2 , 131,31,32)( ,3 , 1, 0)(,4

23、 , 20,32)(,3),(21111211221212122212122222212222211ababfababfabdxxfdtabtabfabdxxfabtabxbaffdxxfAAxxxxAAxxxxxAxAxxxAxAxAbaba通過(guò)變換對(duì)于任意區(qū)間兩式知再由兩式知再由兩式知由兩式知由3.39高斯點(diǎn)的基本特性 盡管高斯點(diǎn)的確定原則上可以化為代數(shù)問(wèn)題，但是由于所歸結(jié)的方程組是非線性的，而它的求解存在實(shí)質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高斯點(diǎn)的基本特性著手解決高斯公式的構(gòu)造問(wèn)題。 設(shè) 是求積公式中的高斯點(diǎn)，令 則有如下結(jié)論： 定理定理 節(jié)點(diǎn) 是高斯點(diǎn)的充分必要條件是多項(xiàng)式 與一切次數(shù) 的多

24、項(xiàng)式 正交，即成立(1,2, )kx kn 12nxxxxxxx(1,2, )kx kn x1n P x. 0)()(dxxwxpba3.40定理證明nkGaussxxfAxqAdxxqdxxfndxxqdxxqdxxwxpdxxfxqxwxpxfxqxpnnxfdxxwxpxpnxwxpAdxxwxpnxwxpnxpxxxxxxxwGaussxkkknkkknkbababababababakkknkbank, 2 , 1,)()()()(1)()()()()().()()()(),()(1, 12)(. 0)()(),(1:. 0)()()()(, 12)()(, 1)()()()(,:11121點(diǎn)是次代數(shù)精度插值型積分公式具有和的則存在次數(shù)