【瀚海導(dǎo)航】2012高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一單元 第二節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件精品課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件件與必要條件四種命題關(guān)系及真假的判定四種命題關(guān)系及真假的判定 若a、b、cR，寫出命題“若ac0，則ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個(gè)命題的真假 分析認(rèn)清命題的條件p：ac0和結(jié)論q：b24ac0，然后按定義寫出逆命題、否命題、逆否命題根據(jù)方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件，得b24ac0，根據(jù)不等式ac0和不等式b24ac0的關(guān)系，判斷三個(gè)命題的真假解逆命題：若ax2bxc0(a、b、cR)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac0，是假命題如當(dāng)a1，b3，c2時(shí)，方程x23x20有兩個(gè)

2、不等實(shí)根x11，x22，但ac20.否命題：若ac0，則方程ax2bxc0(a、b、cR)沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，是假命題因?yàn)樗湍婷}互為逆否命題，而逆命題是假命題逆否命題：若ax2bxc0(a、b、cR)沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac0，是真命題因?yàn)樵}是真命題，它與原命題等價(jià)規(guī)律總結(jié)由一個(gè)命題可以寫出其他三種形式的命題，其關(guān)鍵是認(rèn)清原命題的條件和結(jié)論，嚴(yán)格按照逆命題、否命題、逆否命題的形式定義依次寫出判斷命題的真假，需要依據(jù)相關(guān)的定義、公式、定理和結(jié)論等知識(shí)當(dāng)然，有些命題間有“同真假關(guān)聯(lián)性”，也可以作為判斷的依據(jù) 變式訓(xùn)練1 寫出下述命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷命題的真假(1

3、)若x2y20，則x、y全為0；(2)若ab是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)；(3)若x3或x7，則(x3)(x7)0.【解析】因?yàn)樵}是“若p，則q”的形式，根據(jù)其他三種命題的構(gòu)造方法，分別寫出逆命題、否命題、逆否命題(1)逆命題：若x、y全為0，則x2y20，命題為真；否命題：若x2y20，則x、y不全為0，命題為真；逆否命題：若x、y不全為0，則x2y20，命題為真(2)逆命題：若a、b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)，命題為真；否命題：若ab不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)，命題為真；逆否命題：若a、b不都是偶數(shù)，則ab不是偶數(shù)，命題為假(3)逆命題：若(x3)(x7)0，則x3或x7，命題為真；否命題：

4、若x3且x7，則(x3)(x7)0，命題為真；逆否命題：若(x3)(x7)0，則x3且x7，命題為真充分條件與必要條件的判定充分條件與必要條件的判定 指出下列各組命題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一種作答)(1)在ABC中，p：AB，q：sinAsinB；(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，p：xy8，q：x2或y6；(3)在ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(4)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0. 分析在上述題目中，給出了四個(gè)小題各小題內(nèi)容涉及三角函數(shù)、不等式和方程的許多知識(shí)首先認(rèn)定條

5、件和結(jié)論，再利用相關(guān)知識(shí)判斷命題的真假，進(jìn)一步判斷p和q的關(guān)系解(1)在ABC中，由正弦定理 = ，故sinAsinBab，又由abAB，所以sinAsinBAB，即p是q的充要條件(2)因?yàn)槊}“若x2且y6，則xy8”是真命題，故pq；命題“若xy8，則x2且y6”是假命題，故q不能推出p.所以p是q的充分不必要條件(3)取A120，B30，p不能推出q；取A30，B120，q不能推出p 所以p是q的既不充分也不必要條件(4)因?yàn)镻(1,2)，Q(x，y)|x1或y2，PQ.所以p是q的充分不必要條件AasinBsinb規(guī)律總結(jié)在充要條件的判斷中，首先搞清哪個(gè)是命題的條件，哪個(gè)是命題的結(jié)論

6、，準(zhǔn)確理解充分性和必要性的含義常用的判斷方法有：定義法直接判斷；利用逆否命題的等價(jià)性轉(zhuǎn)化然后判斷，特別是條件和結(jié)論都是從否定形式給出時(shí)，更有必要；利用集合間的包含關(guān)系，轉(zhuǎn)化后再判斷總之，要注意恰當(dāng)利用兩個(gè)條件的特點(diǎn)，采取適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嘧兪接?xùn)練 (1)是否存在實(shí)數(shù)m，使得2xm0是x22x30的充分條件；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得2xm0是x22x30的必要條件 【解析】(1)欲使2xm0是x22x30的充分條件，只要 x|x1或x3，則只要 1，即m2.故存在實(shí)數(shù)m2，使2xm0是x22x30的充分條件(2)欲使2xm0是x22x30的必要條件， 則只要 x|x1或x3 故不存在實(shí)數(shù)m，使2x

7、m0是x22x30的必要條件2mxx2mxx2m充分必要條件的證明充分必要條件的證明 求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一根為1的充分必要條件是abc0.分析分兩個(gè)步驟完成，即必要性和充分性分別證明充分性、條件：abc0，結(jié)論：ax2bxc0有一根為1；必要性、條件：ax2bxc0有一根為1，結(jié)論：abc0.證明必要性，即“若x1是方程ax2bxc0的根，則abc0”x1是方程的根，將x1代入方程，得a12b1c0，即abc0.結(jié)論成立充分性，即“若abc0，則x1是方程ax2bxc0的根”abca12b1c0，x1是方程ax2bxc0的根綜合知命題成立規(guī)律總結(jié)充要條件證明的關(guān)鍵是：根據(jù)定義確

8、定哪個(gè)是已知條件，哪個(gè)是結(jié)論；再去確定充分性是證明哪一個(gè)命題，必要性是證明哪一個(gè)命題證明的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)互逆的推理過(guò)程證明的方式有時(shí)可以直接證明，有時(shí)轉(zhuǎn)化后再證明變式訓(xùn)練3 求證：關(guān)于x的方程x2mx10有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m2. 【證明】充分性：m2，m240，方程x2mx10有實(shí)根設(shè)x2mx10的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x210，x1、x2同號(hào)又x1x2m2，x1、x2同為負(fù)根必要性：x2mx10的兩個(gè)實(shí)根x1、x2均為負(fù)，且x1x21，m2(x1x2)2 2 0，m2.綜合知命題得證111xx112112xxx1211xx 反證法的應(yīng)用反證法的應(yīng)用 用反證法證明

9、：設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件 2，求證：a、b、c中至少有兩個(gè)不小于1. a1b1c1分析用反證法證題時(shí)，首先對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，即“a，b，c中至多有一個(gè)不小于1”共有兩種情況：“a、b、c三數(shù)均小于1”和“a、b、c中有兩數(shù)小于1”由此作為基礎(chǔ)，推出矛盾證明假設(shè)a，b，c中至多有一個(gè)不小于1，這包含下面兩種情況：a、b、c三數(shù)均小于1，即0a1,0b1,0c3，與已知條件矛盾a、b、c中有兩數(shù)小于1，設(shè)0a1,0b2 2，也與已知條件矛盾假設(shè)不成立，a、b、c中至少有兩個(gè)不小于1.a1a1a1a1b1b1b1b1c1c1c1c1規(guī)律總結(jié)反證法有兩種情形：其一，利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假

10、的關(guān)系，將不易判斷真假的命題，轉(zhuǎn)化為易判斷真假的逆否命題(尤其是對(duì)否定語(yǔ)句的命題)，充分利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，此時(shí)證明的命題為原命題的逆否命題其二，假設(shè)結(jié)論不成立，利用已知條件，推出與已知或已知定理相矛盾的結(jié)論，此時(shí)證明的命題不再是原命題的否命題總之，不論哪種情形的反證法，正確的反設(shè)，是正確運(yùn)用反證法的前提變式訓(xùn)練4 已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù)求證：三個(gè)方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根【證明】(反證法)假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.上述三個(gè)不等式兩邊分別相加有a22abb2

11、b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.由題意a、b、c互不相等，式不能成立假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根1否命題是將原命題的條件否定后作條件，將原命題的結(jié)論否定后作結(jié)論得到的命題寫否命題最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)中要注意掌握以下常見(jiàn)詞語(yǔ)和其否定詞語(yǔ).原詞語(yǔ)等于大于小于是都是至多有一個(gè)至多有n個(gè)至少有一個(gè)任意的任意兩個(gè)p或q能否定詞語(yǔ)不等于不大于不小于不是不都是至少有兩個(gè)至少有n1個(gè)一個(gè)也沒(méi)有某個(gè)某兩個(gè)綈q且綈p不能注：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，“不大于”就是“”，“不小于”就是“”2對(duì)于不是“若p，則q”型的命題，先將命題改寫為“若p，則q”的形式，才能寫出命

12、題的逆命題、否命題和逆否命題，凡是不能寫成“若p，則q”形式的命題，是沒(méi)有所謂的逆命題、否命題和逆否命題的3互為逆否命題的真假性是一致的(這是反證法的理論基礎(chǔ))，互逆命題和互否命題的真假性沒(méi)有關(guān)系4充分、必要條件的判斷方法(1)定義法p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件(2)集合法若AB，則“xA”是“xB”的充分條件,;/qpqp,/;qpqp,;qpqp,/./qpqp5用反證法證明問(wèn)題的一般步驟(1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；(3)結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確6適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題(1)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的命題；(2)關(guān)于唯一性、存在性的命題；(3)結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題若p：x22x30，q： 0，則 的什么條件？ 612 xxqp 是錯(cuò)解 ：x22x301x3， ： 02x3， 的