D6-3非齊次方程及齊次邊界條件的定解問題

1、例 1 求解一端自由的半無限長桿的自由縱振動 20(0,0)( ,0)(0)( ,0)(0)(0, )0ttxxtxua uxtu xxxu xxxut (1)(2)(4)(3)行波法例題行波法例題12( , )()()u x tf xatfxat12( )( )( )f xfxx(5)12( )( )( )a fxa fxx1201( )( )( )xf xfxx dCa(6)其中：C = f1 (0) f2 (0)解：(1) 式的通解為故由 (2) 式有由 (3) 式有即解 (5)、(6) 式得1011( )( )( )(0)222xCf xxdxa (7)(8)以上二式均是在 0 x 的

2、前提下推得的。因為 x + at總是大于、等于零的，故由 (7) 式有1011()()( )222x atCf xatxatda (9)至于 x at 就不一定是大于零了。2011( )( )( )(0)222xCfxxdxa (I) 若 x at 0 ，則由 (8) 式，有(II) 若x at 0，則 (8) 式不能用。但將 (4) 式代入通解，得 2011()()( )222x atCfxatxatda (10)12()()0fatfat令 x at 0，并對上式從 0 到 x 積分，得到12( )()f xfxC即21()( )(0)fxf xCx(11)故22()()(0)fxatfa

3、txatx(11)1()f atxC(7)011()( )22at xatxdCa (12)將(9)、(10)、(12) 各式一并代入通解，得 0011(0)22( , )11(0)22x atx atx atat xxatxatdxatau x txatatxddxata (13)例 2 求解定解問題20(0,0)( ,0)( )(0)( ,0)( )(0, )( )ttxxtua uxtu xxxu xxutg t (1)(3)(2)解 (1) 式的通解為12( , )()()u x tf xatfxat(4)故類似于上例解法一，由(2)、(4)式可得102011( )( )( )(0)2

4、2211( )( )( )(0)222xxCf xxdxaCfxxdxa (6)(5)從而有1011()()( )222x atCf xatxatda (7)且當 x at 0 時，有2011()()( )222x atCfxatxatda (8)當 x at 0 時，(6) 式不能用，但由邊界條件(3)、(1)的通解 (4) 有12()()( )(0)f atfatg tat21()( )( )(0)xfxgf xxata(9)所以，此時由 (9) 式可得221()()()()atxfxatfatxgf atxa 011()222at xxCg tatxdaa (5)(10)將 (7)、(8

5、)、(10) 各式一并代入 (4) 式，得 11(0)22( , )11()(0)22x atx atx atat xx atx atdx atau x txx atatxdg tx ataa 6.3 非齊次方程及非齊次邊界條件非齊次方程及非齊次邊界條件前面討論的波動問題：除了在端點以外弦不受外力的作用，振動純粹是由位移和初速度引起的。驅動力：方程非齊次 邊界非齊次如何求解？補充補充 非齊次方程非齊次方程( )ypyqyf x(1)設 y1(x), y2(x) 是與式(1)相應的齊次方程 y + py + qy = 0的線性無關的特解。1 122( )( )C y xC y x(I) 非齊次方

6、程的通解是相應齊次方程的通解與非齊次方程的特解之和。(II) 常系數(shù)變易法。將 C1 變?yōu)?u (x)，C2 變?yōu)?v (x)，即設式 (1) 的解具有下述形式：12( )( ) ( )( )( )y xu x y xv x y x(2)將它代入式(1)，得到確定 u (x) 與 v(x) 的一個條件121212()()()( )uyvyp uyvyq uyvyf x(3)確定兩個函數(shù)需要兩個條件，因此還可以附加一個確定u(x)，v(x) 的條件。為此，對式 (2) 兩邊求導，得為方便起見，第二個條件規(guī)定上式第二項為零，即1212()( )yu yvyu yv y120u yv y(5)(4)

7、將式 (5) 代入式 (3)，并利用 y1(x) 及 y2(x) 是齊次方程的解，即有12( )u yv yf x將式 (5) 和式 (6) 聯(lián)立，即可求出：(6)211212( )( )( )( )( ,)( ,)y f xy f xu xxy yy y (7)式中(y1, y2) = y2 y1 y2 y1 為朗斯基行列式。用表示式(7) 中的 x，再對由 0 到 x 積分，得到2112001212( )( )( )( )( ,)( ,)xxy fy fu xdCxdCy yy y (8)將式 (8) 代入式 (2) 即得式 (1) 的通解為21121 122001212( )( )( )

8、( )( ,)( ,)xxy fy fyydydC y xC y xy yy y(9)例1 求解常微分方程的初值問題2( )( )( )(0)(0)nnnnnnnn aTtT tf tlTT () (11)(10)解：與式 (10) 相應的齊次方程 T n (t) +2 T (t) = 0 的線性無關的特解為 cost 和 sint ，朗斯基行列式為 cos(sin)(cos) sintttt代入式 (9) 便有0012120sin( )cos( )( )cossin1cossin( )sin ()cossinttnnntnffT ttdtdCtCtftdCtCt (12)將式(12)代入式(

9、11)，可得 C1 =n , C2 =n /。再將 C1 及 C2 代入式 (12) 即得解。現(xiàn)在研究：一、有外力作用的情況 為了把外力作用引起的振動和初值引起的振動區(qū)別開，考慮純強迫振動，即初值為零的情況。這樣方程是非齊次的，邊界條件和初始條件是齊次的。例：求兩端固定弦的受迫振動的規(guī)律(6-3-1)2( , )(0,0)ttxxua uf x txl t(0, )0,( , )0utu l t( ,0)0,( ,0)0tu xu x(6-3-2)(6-3-3)解：對于非齊次方程(1),如果直接用分離變量的方法,設特解 u(x,t) = X(x)T(t),不能把方程 (1) 化為兩個常微分方程

10、。但其對應的齊次方程在分離變量后得到本征函數(shù)系 ，可將u(x,t)及非齊次項f(x,t)對 展開，有sinlxnsinlxn1)sin()(),(nnlxntTtxu1)sin()(),(nnlxntftxf02( )( , )sin()lnn xf tf x tdxll(6-3-4)(6-3-5)(6-3-6)其中：把(4)和(5)代入(1)，得(0)0,(0)0nnTT0()( )( )sintnnln a tT tfdn al求 u (x,t) 的問題變?yōu)樵诔跏紬l件 (8) 下解非齊次常微分方程。由常數(shù)變易法可求得由(6-3-3),(6-3-4)可得到初始條件2( )()( )( )(1

11、,2)nnnn aTtT tf tnl再由 的正交性可得sin()n xl把(6-3-9)代入(6-3-4)式，即為所求。 (6-3-9)22111( )sin()()( )sin()( )sin()nnnnnnnnnnTtxa T txf txllll(6-3-7)(6-3-8)例：求解下列定解問題222224()0r auCxyxyaU 解 方法一：用相應齊次方程的本征函數(shù)展開的方法設解為0( , )( )sin( )cosnnnu rA rnB rn將非齊次項展開，這時只有一項，即22412sin2CxyCr 將它們代入原方程及邊界條件，即得222222( )1( )12(1,2,3,)

12、( )1( )0(0,1,2,)( )0,( )0nnnnnnndA rdnrA rCrnr drdrrdB rdnrB rnr drdrrA aB a 易解得2222( )()( )0(1,3,4,)( )0(0,1,2,)nnA rCrarA rnB rn因此，得解為222( , )()sin2u rCrar方法二：猜特解的方法，不難猜到，方程222224uuCxyxy 有特解334( , )( , )2sin2ssu ru x yC x yxyCr 設解為( , )( , )( , )su ru rv rv(r,) 應該滿足如下定解問題240()sin2r avravCa其一般解為0(

13、, )sincosnnnnv rrAnBn由邊界條件定出系數(shù)22,0,(2),0nnACaAnB解得22( , )sin2v rCa r于是，求得222( , )sin2u rCrar二、非齊次邊界條件的處理定解問題：2( , )(0,0)ttxxua uf x txl t(6-3-10)12(0, )( )( , )( )utu tu l tu t( ,0)( )( ,0)( )tu xxu xx(6-3-11)(6-3-12)思路：把非齊次邊界條件齊次化(1) 設： u (x,t) = v (x,t) + w (x,t) w (x,t) 滿足u (x,t) 的邊界條件，即 w (0, t)

14、 = u1(t) w (l, t) = u2(t) 于是 v (0, t) = 0 v (l, t) = 0 (6-3-13)(6-3-14)(6-3-15)()()(),(112tututulxtxw(6-3-16)(2) 求解 v (x,t) 的定解問題滿足條件 (6-3-14) 的 w (x, t) 很多,最簡單的是設 w (x, t) 為 x 的線性函數(shù)：w (x, t) = A(t) x + B(t),由條件(6-3-14)可得22( , )(0, )0( , )0( ,0)( )( ,0)( ,0)( )( ,0)ttxxttxxttva vf x twa wvtv l tv xx

15、w xv xxw x此類問題屬于非齊次方程、齊次邊界條件問題，已解決。由于 w (x,t) 的選取有一定的任意性，故用以上方法得到的解將隨 w(x,t) 的不同而不同。但可證明對定解問題(6-3-10) (6-3-13) 的解是唯一的；(2) 這里涉及的實際上是第一類邊值問題。對第二類、 第三類邊值問題也可齊次化。說明：例 長為 l、側面絕熱的均勻細桿的導熱問題，它的 x = 0端保持恒溫 0，另一端 x = l 有面積熱流量為 q0 的定常 熱流進入。設桿的初始溫度分布也是0 ，求桿上的溫度變化。解： 它的定解問題是200000( , )( , )(0)txxxxx ltu x ta ux

16、txlquuukuu(2)(1)(3) 按照解的疊加原理，我們設法將這個 u (x,t) 的定解問題分解為 v 的定解問題與 w (x,t) 的定解問題之和，即( , )( , )u x tvw x t并使得 v 滿足與 u (x,t) 相同的方程和邊界條件。于是， 函 數(shù) w (x,t) 也滿足與 u (x,t) 相同的方程，而所滿足的邊界條件就是齊次的了。為使 v 的形式盡可能地簡單，取它為 x 的線性函數(shù) (這必定滿足原來的方程) v = Ax + B， 其中常數(shù) A, B 由邊界條件 和 定出，即00qvxuk00 xvu00qABuk0 xx lqvk所以(4)2000000( ,

17、)(0)()txxxxx ltv x ta vxlvuvqkvqk xu那么 w (x,t) = u (x,t) v 的定解問題則是2000( , )( , )(0)00()txxxxx ltw x ta wx txlwwwqk x 既然 v 的定解問題是2(21)1022208( 1)(21)( , )sin(21)2nantlnq lnxw x teknl因而2(21)100202208( 1)(21)( , )sin(21)2nantlnqq lnxu x txekknl用分離變量法直接求解，得到但是，現(xiàn)在如取 v 為 x 的線性函數(shù)，則是無法滿足邊界條件(2)的?？紤]到本問題的直接擾動

18、源 u|x = l = A sin t， 而且這是頻率為 的振動，我們試取例 求解長為 l 的均勻桿的縱振動問題解： 為將邊界條件齊次化，設20000( , )( , )(0)sin00ttxxxx ltttux ta ux txluuuAtuu(2)(1)(3)( , )( , )( , )u x tv x tw x t20(0)0sinttxxxx lva vxlvvAt2( )()( )0(0)0( )A xA xaAA lA( )sinsinAxA xlaa( , )( )sinv x tA xt適當?shù)剡x取函數(shù) A (x) 使 v (x,t) 滿足方程(1)和邊界條件(2)：于是得到 A(x) 的定解問題解之得到于是，w (x,t) 的定解問題是( , )sinsinsinAxv x ttlaa2000(0)000,(/sin)sinttxxxx ltttwa wx