波利亞及其解題理論

1、主講人:李 忠 如西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 美國著名數(shù)學(xué)家、教育家。出生于匈牙利的布達(dá)佩斯。早在中學(xué)時(shí)代，就顯示出卓越的數(shù)學(xué)才能，曾先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)。1912年在布達(dá)佩斯獲約特沃斯洛倫得大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。1914年，在蘇黎世瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教,1928年任教授，1938年任數(shù)理學(xué)院院長。1940年移居美國，先在布朗大學(xué)任教。1942年后一直在斯坦福大學(xué)任教。1953年起，任該校退休教授。 波利亞在眾多的數(shù)學(xué)分支：函數(shù)論、變分學(xué)、概率論、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)以及計(jì)算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都頗有建樹，共發(fā)表200多篇著名論文，以他的名字命名的波利亞計(jì)數(shù)定理則是

2、近代組合數(shù)學(xué)的重要工具。波利亞還是杰出的數(shù)學(xué)教育家，他對數(shù)學(xué)思維一般規(guī)律的研究，堪稱是對人類思想寶庫的特殊貢獻(xiàn)。為了表彰波利亞對數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，1963年美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)授予他以功勛獎(jiǎng)(Distinguished Services Award),1968年美國教育電影圖書協(xié)會(huì)授予他以數(shù)學(xué)物理最高榮譽(yù)獎(jiǎng)(Top Honor of Mathematics and Physics)。他并先后當(dāng)選為美國國家科學(xué)院院士和法國科學(xué)院通訊院士等。 波利亞的重要數(shù)學(xué)著作有怎樣解題、不等式(與哈代、李特伍德合著)、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)多卷、數(shù)學(xué)與猜想多卷、數(shù)學(xué)分析中的問題和定理(與塞格合著)、數(shù)學(xué)物理中的等周不等式(與塞格合

3、著)等。 弄清題意弄清題意擬定計(jì)劃擬定計(jì)劃執(zhí)行計(jì)劃執(zhí)行計(jì)劃檢驗(yàn)回顧檢驗(yàn)回顧變換變換, ,推廣推廣, ,類類比比, ,作出新的作出新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn). .概括方法論因概括方法論因素素, ,建立數(shù)學(xué)建立數(shù)學(xué)模型模型. .1) 已知是什么? 2) 未知是什么? 3) 題目要求你干什么? 4) 可否畫一個(gè)圖形? 5) 可否數(shù)學(xué)化?6)你能否一眼看出結(jié)果?7)是否見過形式上稍有不同的題目?8) 你是否知道與此有關(guān)的題目,是否知道用得上的定義,定理公式?9) 有一個(gè)與你現(xiàn)在的題目有關(guān)且你已解過的題目,你能利用它嗎?10) 已知條件A,B,C可否轉(zhuǎn)化?可否建立一個(gè)等式或不等式?11) 你能否引入輔助元素?

4、12) 如果你不能解這個(gè)題,可先解一個(gè)有關(guān)的題,你能否想出一個(gè)較易下手的,較一般的,特殊的,類似的題?13)把你想好的解題過程具體地用術(shù)語,符號,圖形,式子表述出來.14)修正解題方向以及原來擬定的不恰當(dāng)?shù)姆桨?15)解題要求是:嚴(yán)密具有邏輯性.16)你能擬定其它解題方案嗎?17)你能利用它嗎?你能用它的結(jié)果嗎?你能用它的方法嗎?18)你能找到什么方法檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎? “問題是數(shù)學(xué)的心臟.” PRHalmos “最有吸引力的題材莫過于展望數(shù)學(xué)的未來，列出在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的問題.” Minkowski 某類問題對于一般數(shù)學(xué)進(jìn)展的深遠(yuǎn)意義以及它們在研究者個(gè)人的工作中所起的重要作用是不容

5、否認(rèn)的只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止正如人類的每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問題正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵般的意志和力量，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點(diǎn)，達(dá)到更廣闊、更自由的境界. 希爾伯特 (1900) “夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗(yàn)，凡欲明一法，必設(shè)一題” 楊輝 “從來沒有像現(xiàn)在這樣，美國人需要為生存而思考，他們需要進(jìn)行數(shù)學(xué)式的思維” 美國數(shù)學(xué)科學(xué)委員會(huì)(1989) 學(xué)數(shù)學(xué)如同下圍棋，必須實(shí)踐(做習(xí)題)，必須和較高水平的人切磋(做有一定難度的題)，棋力(數(shù)學(xué)水平)才有長進(jìn)此外，還需揣摩成局(學(xué)習(xí)定理的證明或

6、著名問題的解法)，領(lǐng)會(huì)其精髓(深刻的數(shù)學(xué)思想) 單墫 做習(xí)題并不只是在學(xué)完一個(gè)方法或一些知識之后知識、方法應(yīng)當(dāng)盡可能地通過問題的形式引人例1：一大學(xué)教授向中學(xué)生介紹圖論 定義圖定義圖G=(VG=(V，E)E)，由頂點(diǎn)集，由頂點(diǎn)集V V與一些連結(jié)與一些連結(jié)V V中兩中兩個(gè)點(diǎn)的邊的集個(gè)點(diǎn)的邊的集E E組成組成 定義定義 如果如果E E由連結(jié)由連結(jié)V V中每兩個(gè)點(diǎn)的邊組成，那么中每兩個(gè)點(diǎn)的邊組成，那么G G(V(V，E)E)稱為完全圖稱為完全圖 定義如果圖定義如果圖G1G1(V(V，E1)E1)，G2G2(V(V，E2)E2)具有相具有相同的頂點(diǎn)集同的頂點(diǎn)集V V，并且，并且E1E2E1E2 ，(V

7、(V，E1E2)E1E2)是是完全圖，那么稱完全圖，那么稱G1G1為為G2G2的補(bǔ)圖的補(bǔ)圖 定理在定理在|V|6|V|6時(shí)，時(shí)，G=(VG=(V，E)E)或它的補(bǔ)圖中必有或它的補(bǔ)圖中必有三角形三角形 符合中學(xué)生特點(diǎn)的教法： “任意六個(gè)人中必有三個(gè)人互相認(rèn)識或三個(gè)人互任意六個(gè)人中必有三個(gè)人互相認(rèn)識或三個(gè)人互不相識為什么？不相識為什么？” 為了解決這個(gè)問題，為了敘述的方便，我們用六為了解決這個(gè)問題，為了敘述的方便，我們用六個(gè)點(diǎn)表示六個(gè)人如果兩個(gè)人互相認(rèn)識，就將相個(gè)點(diǎn)表示六個(gè)人如果兩個(gè)人互相認(rèn)識，就將相應(yīng)的兩點(diǎn)用線連結(jié)起來這種由點(diǎn)及一些連結(jié)點(diǎn)應(yīng)的兩點(diǎn)用線連結(jié)起來這種由點(diǎn)及一些連結(jié)點(diǎn)的線組成的圖形，就

8、稱為圖問題就成為：的線組成的圖形，就稱為圖問題就成為： “六個(gè)點(diǎn)的圖中，一定有三個(gè)點(diǎn)兩兩相連六個(gè)點(diǎn)的圖中，一定有三個(gè)點(diǎn)兩兩相連(即構(gòu)即構(gòu)成三角形成三角形)，或者有三個(gè)點(diǎn)互不相連，或者有三個(gè)點(diǎn)互不相連.” 數(shù)學(xué)技能就是解題能力不僅能解決一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨(dú)立思考、判斷力、獨(dú)創(chuàng)性和想像力的問題所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練” 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)第一卷序 開設(shè)數(shù)學(xué)課程的主要目的是教會(huì)學(xué)生如何思考。 “教會(huì)思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該傳授知識，而且也應(yīng)當(dāng)去發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所傳授的知識的能力 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)第二卷 波利亞將學(xué)生依照未來的職業(yè)分為三類：數(shù)學(xué)家(包括理論物理學(xué)家、天

9、文學(xué)家及某些專門研究領(lǐng)域里的工程師)約占1%，用到數(shù)學(xué)的人(工程師、科學(xué)家及一些社會(huì)科學(xué)家、數(shù)學(xué)教師?？茖W(xué)教師等)約占29%，不用數(shù)學(xué)的人(實(shí)業(yè)家、律師、牧師等)約占70%，他指出數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)符合于兩個(gè)原則： 第一，每一個(gè)學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠從他的學(xué)習(xí)中得到某些收獲而不管他以后的職業(yè)是什么 第二，那些在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)出有一些資質(zhì)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)和吸引，而不要由于拙劣的教育使他們嫌棄數(shù)學(xué) 解題是一種實(shí)踐性的技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實(shí)踐學(xué)到它你想學(xué)會(huì)游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題波利亞 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要做到熟練化熟能生巧，進(jìn)而出神入化而要這樣，就必須練。華羅庚 按數(shù)

10、學(xué)內(nèi)容來分，可以分成幾何、代數(shù)、數(shù)論(算術(shù))、組合數(shù)學(xué)等 按問題的結(jié)論來分，可以分為計(jì)算題、求解題、證明題 從形式上分，有選擇題、填充題、綜合題 從與已有經(jīng)驗(yàn)關(guān)系分，有固定模式、沒有或較少固定模式 弄清題意 擬定計(jì)劃 實(shí)施計(jì)劃 檢驗(yàn)與回顧 問題應(yīng)當(dāng)用自己的語言重新敘述通過復(fù)述，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生是否理解了題意，有沒有忽略重要的部分凡有學(xué)生來問問題，首先讓他復(fù)述，切不可急急忙忙地把解答告訴他因?yàn)楸冉獯鸶匾氖墙夥?，即如何從已知走向未知，而將題目中的“信息”重新編排，適當(dāng)整理，正是走向未知的第一步 例2 某市有n所中學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名學(xué)生(1Ci39，1in)到體育館觀看球賽，總?cè)藬?shù) =1990

11、看臺(tái)上每一橫排有199個(gè)座位同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排，問至少要安排多少個(gè)橫排才能保證學(xué)生全部坐下？1niiC 例2重述為： 一些學(xué)校派出學(xué)生看球賽，看臺(tái)上每一排有199個(gè)座位，同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一排每個(gè)學(xué)校派出的學(xué)生不超過39人，學(xué)生總數(shù)為 1990人，問至少要安排多少排才能保證學(xué)生全部坐下？ 例例1 1還可以用填充與提問的方式來加深理解：還可以用填充與提問的方式來加深理解： 學(xué)生總數(shù)是學(xué)生總數(shù)是1 9901 990人人 每個(gè)學(xué)校派出人數(shù)每個(gè)學(xué)校派出人數(shù)3939 每排可坐每排可坐199199人人 還有什么要求？還有什么要求？( (答：同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一排答：同一學(xué)校的學(xué)生必

12、須坐在同一排) ) 本題還有一個(gè)至關(guān)重要的詞本題還有一個(gè)至關(guān)重要的詞“至少至少”，必須弄清楚，必須弄清楚 “ “至少要安排多少排才能保證學(xué)生全部坐下至少要安排多少排才能保證學(xué)生全部坐下”，這句話是，這句話是什么意思？什么意思？ 答：答：( (略略) ) 這兩層含義，需要我們怎樣去做？怎樣才是完整的解答？這兩層含義，需要我們怎樣去做？怎樣才是完整的解答？ 答：答：( (略略) ) 例3 攝制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯由于道路堵塞，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息司機(jī)說再走從C市到這里的二分之一，就

13、到達(dá)目的地了問A、B兩市相距多少千米？ 圖中D是小鎮(zhèn)，E是傍晚休息處D、E之間的距離是 400千米EB是CE的二分之一，AD是AC的三分之一，AC比CB多100千米求AB的長A D C E B 實(shí)際上，改變問題的提法已不僅是弄清題意，可以說是向問題的解決進(jìn)了一大步 波利亞主張“不斷地變換你的問題”，“我們必須一再地變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止” 例4 已知kabc0，求證： k2(a+b+c)k + ab +bc+ ca 0 讀題，讀題，反復(fù)讀題，這是解題時(shí)首先要認(rèn)真做的事，切莫忽視 問題明確后，便是通常所說的真正的解題階段 熟悉的問題，有一定套路的問題，不

14、需太多思考 稍進(jìn)一步的問題，需要一點(diǎn)變化，波利亞的表中“你是否見過相同的或形式稍有不同的問題？”可用，以喚醒你的記憶，從大腦的信息庫中找到一個(gè)可以利用的模式 真正的問題是不能照套的，需要解題者發(fā)揮某種程度的主動(dòng)性與創(chuàng)造性主動(dòng)性與創(chuàng)造性程度越大，問題的難度越大，質(zhì)量越高對這類問題來說，波利亞所說的“你以前見過它嗎？”等等，就不用再考慮了，沒有多大用處這類問題往往是競賽性的. 例4 已知kabc0，求證： k2(a+b+c)k + ab +bc+ ca 0 拋物線y=x2(abc) xabbcca開口向上如果二次多項(xiàng)式 x2(abc) xabbcca 的判別式 =(abc) 24(abbcca)

15、滿足0 那么拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，從而在x軸上方，恒有 x2 (abc)xabbcca0 于是成立 故，原問題化為證明成立 這一計(jì)劃也很清楚，但是無法證明一定成立 在解題中，這一步是最容易的，如果計(jì)劃是完善的，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃往往是“例行公事”，作一些機(jī)械性的計(jì)算，但計(jì)劃往往是不完善的，所以又往往需要回到上一步，出現(xiàn)一些反復(fù)此外，計(jì)算或操作中也許有困難存在，甚至?xí)龅诫y以逾越的困難，這時(shí)原來計(jì)劃必須推倒重來 解題，如同在黑暗中走進(jìn)一間陌生的房間回顧，則好像打開了電燈這時(shí)一切都清楚了：在以前的探索中，哪幾步走錯(cuò)了，哪幾步不必要，應(yīng)當(dāng)怎樣走，等等朦朧變成了自覺 正如波利亞所說，這是“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)”，

16、“當(dāng)讀者完成了任務(wù)，而且他的體驗(yàn)在頭腦中還是新鮮的時(shí)候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實(shí)質(zhì)，他可以對自己提出許多有用的問題：關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有覺察到這一點(diǎn)？要看出這一點(diǎn)我必須具備哪些知識？應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問題時(shí)應(yīng)用？ 1 1要享受到解題的樂趣對解題有濃厚的興趣，要享受到解題的樂趣對解題有濃厚的興趣，能有幾分癡迷更好能有幾分癡迷更好 2 2要有充足的信心要有充足的信心 3 3要有百折不回的決心與堅(jiān)韌不拔的毅力要有百折不回的決心與堅(jiān)韌不拔的毅力 4 4要做要做100100道有質(zhì)量的題目道有質(zhì)量的題目 5 5反復(fù)探索，大膽地跟著感覺走反復(fù)探索，大膽地跟著感覺走 6 6從簡單的做起從簡單的做起 7 7從不同的角度看問題從不同的角度看問題 8 8學(xué)、思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生學(xué)、思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生“好想好想法法” 9 9設(shè)法創(chuàng)造條件，不斷變更問題設(shè)法創(chuàng)造條件，不斷變更問題1010引入適當(dāng)字母，向基本量靠攏引入適當(dāng)字母，向基本量靠攏1111力求簡單自然，直剖核心力求簡單自然，直剖核心1212注意總結(jié)