數(shù)學(xué)必修五簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)必修五簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)必修五簡(jiǎn)單(jindn)線性規(guī)劃問(wèn)題線性規(guī)劃問(wèn)題第一頁(yè)，共29頁(yè)。一一.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)回顧回顧1.在同一在同一(tngy)坐標(biāo)系上作出下列直線坐標(biāo)系上作出下列直線:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行平行的直線與的直線與形如形如結(jié)論結(jié)論 yxttyxxYo第1頁(yè)/共29頁(yè)第二頁(yè)，共29頁(yè)。55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy問(wèn)題問(wèn)題(wnt)1(wnt)1：x x 有無(wú)最大（?。┲涤袩o(wú)最大（?。┲?？問(wèn)

2、題問(wèn)題(wnt)2(wnt)2：y y 有無(wú)最大（小有無(wú)最大（?。┲?？）值？問(wèn)題問(wèn)題(wnt)3(wnt)3：2x+y 2x+y 有無(wú)最大（有無(wú)最大（?。┲?？小）值？1255334xyxyx2.作出下列不作出下列不等式組的所表等式組的所表示的平面區(qū)域示的平面區(qū)域第2頁(yè)/共29頁(yè)第三頁(yè)，共29頁(yè)。數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析表表：日日生生產(chǎn)產(chǎn)滿滿足足4 4 0 0 2 2乙乙產(chǎn)產(chǎn)品品0 0 4 4 1 1甲甲產(chǎn)產(chǎn)品品B B配配件件（個(gè)個(gè)）A A配配件件（個(gè)個(gè)）每每件件耗耗時(shí)時(shí)（h h）如果若干年如果若干年后的你成為后的你成為某工廠的廠某工廠的廠長(zhǎng)，你將會(huì)長(zhǎng)，你將會(huì)面對(duì)生產(chǎn)安面對(duì)生產(chǎn)安排排(npi)(npi)

3、、資源利用、資源利用、人力調(diào)配的人力調(diào)配的問(wèn)題問(wèn)題【引例引例】：某工廠用某工廠用A A、B B兩種兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用件甲產(chǎn)品使用4 4個(gè)個(gè)A A配件并耗時(shí)配件并耗時(shí)1h1h，每，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用用4 4個(gè)個(gè)B B配件并耗時(shí)配件并耗時(shí)2h2h，該廠每天最多，該廠每天最多可從配件廠獲得可從配件廠獲得1616個(gè)個(gè)A A配件和配件和1212個(gè)個(gè)B B配配件，按每天工作件，按每天工作8h8h計(jì)算，該廠所有可計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是能的日生產(chǎn)安排是什么？什么？ 第3頁(yè)/共29頁(yè)第四頁(yè)，共29頁(yè)。248642【引例引例

4、】：某工廠用某工廠用A A、B B兩種配件兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4 4個(gè)個(gè)A A配件并耗時(shí)配件并耗時(shí)1h1h，每生，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4 4個(gè)個(gè)B B配件并耗時(shí)配件并耗時(shí)2h2h，該廠每，該廠每天最多可從配件廠獲得天最多可從配件廠獲得1616個(gè)個(gè)A A配件和配件和1212個(gè)個(gè)B B配件配件，按每天工作，按每天工作8h8h計(jì)算，計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？安排是什么？ 將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域，圖中的陰影部分中的整點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）就代表所有可能(knng)的日生產(chǎn)安排，即

5、當(dāng)點(diǎn)P（x,y)在上述平面區(qū)域中時(shí)，所安排的生產(chǎn)任務(wù)x,y才有意義。第4頁(yè)/共29頁(yè)第五頁(yè)，共29頁(yè)。248642【進(jìn)一步進(jìn)一步】：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利品獲利2 2萬(wàn)元，萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利獲利3 3萬(wàn)元，采萬(wàn)元，采用哪種生產(chǎn)安排用哪種生產(chǎn)安排獲得利潤(rùn)最大？獲得利潤(rùn)最大？ M M ( ( 4 4 , , 2 2 ) )233zyx 23zxy第5頁(yè)/共29頁(yè)第六頁(yè)，共29頁(yè)。若設(shè)利潤(rùn)為若設(shè)利潤(rùn)為z,則則z=2x+3y,這樣這樣(zhyng)上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)當(dāng)x,y在滿足上述二元一次不等式組且為非負(fù)在滿足上述二元一次不等式組且為非負(fù)整數(shù)整數(shù)(zhn

6、gsh)時(shí)時(shí),z的最大值為多少的最大值為多少?,2z22z2把把z=2x+3yz=2x+3y變變形形為為y=-x+,y=-x+,這這是是斜斜率率為為- -333333z z在在y y軸軸上上的的截截距距為為的的直直線線, ,3 3當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在可允許的取值范圍在可允許的取值范圍(fnwi)變變化時(shí)化時(shí),z z求求截截距距的的最最大大值值, ,即即可可得得z z的的最最大大值值. .3 3第6頁(yè)/共29頁(yè)第七頁(yè)，共29頁(yè)。2841641200 xyxyxy 0 xy4348233zyx M（4，2）142yx 問(wèn)題問(wèn)題(wnt)：求利潤(rùn)：求利潤(rùn)z=2x+3y的最大值的最大值.143224max Z

7、變式：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利變式：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利1萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利品獲利3萬(wàn)元，采用哪種生產(chǎn)安排萬(wàn)元，采用哪種生產(chǎn)安排(npi)利潤(rùn)最大？利潤(rùn)最大？第7頁(yè)/共29頁(yè)第八頁(yè)，共29頁(yè)。2841641200 xyxyxy 0 xy4348133zyx N N（2 2，3 3）142yx 變式：求利潤(rùn)變式：求利潤(rùn)(lrn)z=x+3y的最大值的最大值.max23 311z 第8頁(yè)/共29頁(yè)第九頁(yè)，共29頁(yè)。 二、基本概念二、基本概念yx4843o 把求最大值或求最小值的函數(shù)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)?yn wi)它是關(guān)于變量x、y的一次解析式，又稱(chēng)線性目標(biāo)函數(shù)。 滿足線性約束的

8、解（x，y）叫做(jiozu)可行解。 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)(tngchng)為線性規(guī)劃問(wèn)題。 一組關(guān)于變量一組關(guān)于變量x、y的一次不等式，稱(chēng)為的一次不等式，稱(chēng)為線性約束條件線性約束條件。 由所有可行解組成由所有可行解組成的集合叫做的集合叫做可行域可行域。 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問(wèn)題的個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解最優(yōu)解?？尚杏蚩尚杏蚩尚薪饪尚薪庾顑?yōu)解最優(yōu)解第9頁(yè)/共29頁(yè)第十頁(yè)，共29頁(yè)。實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題線性規(guī)劃線性規(guī)劃(xin xn u hu)問(wèn)題問(wèn)題尋找尋找(xnzho)約束條件約束條件建立目標(biāo)函數(shù)建立目

9、標(biāo)函數(shù)列表列表設(shè)立變量設(shè)立變量轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化1.約束條件要寫(xiě)全約束條件要寫(xiě)全; 3.解題格式解題格式(g shi)要規(guī)范要規(guī)范. 2.作圖要準(zhǔn)確作圖要準(zhǔn)確,計(jì)算也要準(zhǔn)確計(jì)算也要準(zhǔn)確;注意注意: :結(jié)論結(jié)論1: 1:探究第10頁(yè)/共29頁(yè)第十一頁(yè)，共29頁(yè)。轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化四個(gè)步驟四個(gè)步驟(bzhu)：1。畫(huà)（畫(huà)可行。畫(huà)（畫(huà)可行(kxng)域）域）三個(gè)轉(zhuǎn)化三個(gè)轉(zhuǎn)化(zhunhu)4。答答（求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解）（求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解）3。移移（平移直線（平移直線L 。尋找使縱截距取得最值時(shí)的點(diǎn)）。尋找使縱截距取得最值時(shí)的點(diǎn)）2。作作（作（作z=Ax+By=0時(shí)的直線時(shí)的直線L

10、。）。）圖解法圖解法線性約束條件線性約束條件可行域可行域線性目標(biāo)函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)Z=Ax+By一組平行線一組平行線BZxy最優(yōu)解最優(yōu)解尋找平行線組的尋找平行線組的 最大（?。┛v截距最大（小）縱截距第11頁(yè)/共29頁(yè)第十二頁(yè)，共29頁(yè)。食物kg碳水化合物kg蛋白質(zhì)/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07三、例題三、例題(lt)第12頁(yè)/共29頁(yè)第十三頁(yè)，共29頁(yè)。00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目標(biāo)目標(biāo)(mbio)函數(shù)為：函數(shù)為：z28x21y作出二元一次不等式

11、組所表示作出二元一次不等式組所表示(biosh)的平面區(qū)域的平面區(qū)域，即可行域，即可行域第13頁(yè)/共29頁(yè)第十四頁(yè)，共29頁(yè)。xyo5/75/76/73/73/76/72834zxy 它表示斜率為它表示斜率為隨隨z變化的一組平行變化的一組平行(pngxng)直線系直線系34 是直線(zhxin)在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時(shí)，z的值最小。28zM 如圖可見(jiàn)，當(dāng)直線如圖可見(jiàn)，當(dāng)直線z28x21y 經(jīng)過(guò)可行域經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)上的點(diǎn)M時(shí)，截距最小，時(shí)，截距最小，即即z最小。最小。第14頁(yè)/共29頁(yè)第十五頁(yè)，共29頁(yè)。6714577yxyx得得M點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)(zubio)為：為：7471yx所以所以

12、(suy)zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B約約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為成本為16元。元。第15頁(yè)/共29頁(yè)第十六頁(yè)，共29頁(yè)。例例2 要將兩種大小不同要將兩種大小不同(b tn)規(guī)格的鋼板截成規(guī)格的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示鋼板的塊數(shù)如下表所示 ： 解：設(shè)需截第一種鋼板解：設(shè)需截第一種鋼板(gngbn)x張，第一張，第一種鋼板種鋼板(gngbn)y張，則張，則 規(guī)格類(lèi)型

13、規(guī)格類(lèi)型鋼板類(lèi)型鋼板類(lèi)型第一種鋼板第一種鋼板第二種鋼板第二種鋼板A規(guī)格規(guī)格B規(guī)格規(guī)格C規(guī)格規(guī)格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 作出可行作出可行(kxng)域（域（如圖）如圖）目標(biāo)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)為 z=x+y今需要今需要A,B,C三種規(guī)格的成品分別為三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問(wèn)各截這塊，問(wèn)各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻盟枞N規(guī)格成品，且使所用鋼板張兩種鋼板多少?gòu)埧傻盟枞N規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少。數(shù)最少。X張張y張張第16頁(yè)/共29頁(yè)第十七頁(yè)，共29頁(yè)。x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x + y =02x+y15,x+2y18,x

14、+3y27,x0, xNy0 yN直線直線x+y=12經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)(zhn din)是是B(3,9)和和C(4,8)，它們是最優(yōu)解，它們是最優(yōu)解. 作出一組平行作出一組平行(pngxng)直直線線z=x+y，目標(biāo)目標(biāo)(mbio)函數(shù)函數(shù)z= x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)時(shí)z=x+y=11.4,x+y=12解得交點(diǎn)解得交點(diǎn)B,C的坐標(biāo)的坐標(biāo)B(3,9)和和C(4,8)調(diào)整優(yōu)值法調(diào)整優(yōu)值法246181282724681015但它不是最優(yōu)整數(shù)解但它不是最優(yōu)整數(shù)解.作直線作直線x+y=12答（略）答（略）第17頁(yè)/共29頁(yè)第十八頁(yè)，共29頁(yè)

15、。x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*經(jīng)過(guò)可行經(jīng)過(guò)可行(kxng)域內(nèi)的整點(diǎn)域內(nèi)的整點(diǎn)B(3,9)和和C(4,8)時(shí)，時(shí)，t=x+y=12是最是最優(yōu)解優(yōu)解.答答:(略略)作出一組平行作出一組平行(pngxng)直線直線t = x+y，目標(biāo)目標(biāo)(mbio)函數(shù)函數(shù)t = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打網(wǎng)格線法打網(wǎng)格線法在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)時(shí)t=x+y=11.4,但它不是最優(yōu)整數(shù)解但它不是最優(yōu)整數(shù)解，將直線將直線x+y=11.4繼

16、續(xù)向上平移繼續(xù)向上平移，1212182715978第18頁(yè)/共29頁(yè)第十九頁(yè)，共29頁(yè)。例例3 3、一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料、一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料(filio)(filio)，生，生產(chǎn)產(chǎn)1 1車(chē)皮甲種肥料車(chē)皮甲種肥料(filio)(filio)的主要原料是磷酸鹽的主要原料是磷酸鹽4t4t、硝酸、硝酸鹽鹽18t18t；生產(chǎn)；生產(chǎn)1 1車(chē)皮乙種肥料車(chē)皮乙種肥料(filio)(filio)需要的主要原料是磷需要的主要原料是磷酸鹽酸鹽1t1t、硝酸鹽、硝酸鹽15t15t?，F(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽?，F(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10t10t、硝酸鹽、硝酸鹽66t66t，在此，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料基礎(chǔ)上生產(chǎn)

17、這兩種混合肥料(filio)(filio)。若生產(chǎn)。若生產(chǎn)1 1車(chē)皮甲種車(chē)皮甲種肥料肥料(filio)(filio)利潤(rùn)為利潤(rùn)為1000010000元；生產(chǎn)元；生產(chǎn)1 1車(chē)皮乙種肥料車(chē)皮乙種肥料(filio)(filio)利潤(rùn)為利潤(rùn)為50005000元。分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料元。分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料(filio)(filio)各多少車(chē)皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？各多少車(chē)皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？解：設(shè)解：設(shè)x、y分別分別(fnbi)為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車(chē)皮數(shù)，于是滿足以下條件：合肥料的車(chē)皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo0y0 x6615y18x10y4x第19頁(yè)/共2

18、9頁(yè)第二十頁(yè)，共29頁(yè)。解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x(chóng)車(chē)皮、乙種肥料車(chē)皮、乙種肥料y車(chē)皮，能夠車(chē)皮，能夠(nnggu)產(chǎn)生利潤(rùn)產(chǎn)生利潤(rùn)Z萬(wàn)元。目標(biāo)函數(shù)為萬(wàn)元。目標(biāo)函數(shù)為Zx0.5y，可行域如圖：可行域如圖：把把Zx0.5y變形為變形為y2x2z，它表示，它表示(biosh)斜率為斜率為2，在，在y軸上的截距為軸上的截距為2z的一組直線系。的一組直線系。 xyo由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)(jnggu)可行域上的點(diǎn)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，時(shí)，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。 故生產(chǎn)甲種、乙種肥料各故生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車(chē)皮，能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)，車(chē)皮，能夠產(chǎn)生最大利

19、潤(rùn)，最大利潤(rùn)為最大利潤(rùn)為3萬(wàn)元。萬(wàn)元。M 容易求得容易求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），則），則Zmin3第20頁(yè)/共29頁(yè)第二十一頁(yè)，共29頁(yè)。0ABCxy(2 , 4)( 1, 2)(1, 0) zxy在在_處有最大值處有最大值_，在在_處有最小值處有最小值_； zxy在在_處有最大值處有最大值_，在在_處有最小值處有最小值_； (2 , 4) ,( 1, 2) ,AB 1.如圖所示，已知如圖所示，已知中的三頂點(diǎn)中的三頂點(diǎn)(dngdin)點(diǎn)點(diǎn)在在請(qǐng)你探究并討論以下請(qǐng)你探究并討論以下(yxi)問(wèn)題：?jiǎn)栴}： (1, 0),C內(nèi)部及邊界內(nèi)部及邊界(binji)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，練習(xí)：練習(xí)： A 6

20、BC 1 B -3 C 1ABCABCy)P(x,第21頁(yè)/共29頁(yè)第二十二頁(yè)，共29頁(yè)。11yyxxy3 3、求、求z z3x3x5y5y的最大值，使的最大值，使x x、y y滿足滿足(mnz)(mnz)約束條約束條件：件：35yxxy153y5x1第22頁(yè)/共29頁(yè)第二十三頁(yè)，共29頁(yè)。xyABCo11yyxxyz2xy 作出直線作出直線y=y=2x2xz z的圖像的圖像，可知，可知(k zh)z(k zh)z要求最大值要求最大值，即直線經(jīng)過(guò)，即直線經(jīng)過(guò)C C點(diǎn)時(shí)。點(diǎn)時(shí)。 求得求得C C點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(zubio)(zubio)為（為（2 2，1 1），則），則Zmax=2xZmax=2xy y3 3第23頁(yè)/共29頁(yè)第二十四頁(yè)，共29頁(yè)。xyoABC3511535yxxyyxz3x5y 作出直線作出直線3x5y z 的圖的圖像像(t xin)，可知直線經(jīng)，可知直線經(jīng)過(guò)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)，Z取最大值；直線取最大值；直線經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)，Z取最小值。取最小值。 求得求得A（1.5，2.5），），B（