備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)專(zhuān)題53圓錐曲線中必考的雙曲線問(wèn)題

1、專(zhuān)題53圓錐曲線中必考的雙曲線問(wèn)題考綱要求：1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)漸近線）.2.了解雙曲線的實(shí)際背景及雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.基礎(chǔ)知識(shí)回顧：、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)怕住方Iyfitex方江i二線宓心率實(shí)虛軸頂點(diǎn)坐標(biāo):頂點(diǎn)：小桁3八】北中八線段一:線段I6_叫作雙曲線的實(shí)軸它的長(zhǎng)I八】、叫作雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)；叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng).叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng)過(guò)焦點(diǎn)垂宜于實(shí)軸的弦叫通徑其長(zhǎng)為（范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.cc一(1,二).aba二、雙曲線的定義：兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距集合P=M|MF|MF|=2a,|F

2、iF2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a0,c0.（1）當(dāng)ac時(shí)，P點(diǎn)不存在.應(yīng)用舉例：類(lèi)型一、利用定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例1】過(guò)雙曲線x2y2=8的左焦點(diǎn)F FI I有一條弦PQ在左支上，若|PQ=7,F2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則4PEQ的周長(zhǎng)是（）A.28B.14-8察C.14+82D,8/2解析：由雙曲線定義知，|P同|PF|=4/，|QF|QF|=4/，.|PE|+|QE|（|PF|+|QF|）=8.2.又|PF|+|QF|=|PQ=7,.|PE|+|QF|=7+8m.PEQ的周長(zhǎng)為14+82.22【例2】【2018屆廣西河池市高級(jí)中學(xué)高三上第三次月考】雙曲線勺-L=1（abA0）的左、右焦

3、點(diǎn)分a2b別為F FI I,F2,F2,過(guò)F FI I作傾斜角為30的直線與y軸和雙曲線右支分別交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A平分FB,則該雙曲線的離心率是（丫w一2或丫之2?三坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸原點(diǎn)原點(diǎn)（士a,0）（0,士a）2A1A22aB1B2平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi,F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于IF1F2I)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這A.3B.2C.2D.3【答案】A【解析】因?yàn)锳O分別是耳氏耳瑪?shù)闹悬c(diǎn)，所以4。#%故4瑪_L號(hào)瑪，在犬必耳三聲中，2耳招=30）設(shè)方用=/,則宙月=2，又dcr=2a*即工=3,由由支）。=工得工=瑾，所2【例3】【2018屆重慶市巴蜀中學(xué)高三9月】已知雙曲線

4、 0L0L 一二二 1 1 的左、右焦點(diǎn)分別為 f ff1169251L點(diǎn) M MjN N 為異于 Fi?F?Fi?F?的兩點(diǎn)，且 M,NM,N 的中點(diǎn)在雙曲線 C C 的左支上，點(diǎn) M M 關(guān)于 FiFi 和 F?F?的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為 4/4/B,B,則|NA|-|NB|NA|-|NB|的值為（）A.26B.一C.52D.一；.【答案】D【解析】設(shè)MN與雙曲線的交點(diǎn)為點(diǎn)P,由幾何關(guān)系結(jié)合三角形中位線可得：|N4|=2|PflL|NW=2|PF2L則:UMITNBI=2（|PFJ-啊瓦點(diǎn)P位于雙曲線的左支，則:W4|-IfiFFl=2ap&I-P/D=2X（-2a）二一如二一4xI與二一

5、52.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)評(píng)：在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.同時(shí)要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：（1）已知雙曲線方程，求它的漸近線；（2）求已知漸近線的雙曲線的方程；（3）漸近線的為當(dāng),則G的漸近線方程為(小xy=0C.x2y=0D.2xy=0一一a-b一，a+b解析：由題息，知橢圓Ci 的離心率ei=,雙曲線Q的離心率為e2=aaJ3Ja2-b2a2+b2#a2-b2a2+b23因?yàn)閑i2、,所以a2茂即a=0整理可得a=2b.又雙曲線G的漸近線方程為bx土ay=0,所以bx2by=0,即x42y=0.2、利用幾何性質(zhì)求漸近線方程p pa【例5】【2018屆陜西省

6、榆林市第二中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知雙曲線二-K(tQb0)-K(tQb0)的兩個(gè)焦展點(diǎn)分別為 Fi(-3,0),Fi(-3,0),點(diǎn) p p 是雙曲線上一點(diǎn)，且% %HPF*|HPF*|二Z,Z,則該雙曲線的漸近線方程為()A.?一二，;B.?一二C.-1D.了.總”【答案】C【解析】由雙曲線定義知IPFJ中產(chǎn)”=2=2%所以。=1.兩個(gè)焦點(diǎn)分別為手式一3,尸式3,Q),所以。=3.所以有：勤2=/-7=9-1=&,所以占二2遮.雙曲線的漸近線方程為7=土)=+2V2X.故選C.3、利用雙曲線方程求漸近線方程類(lèi)型二、求漸近線方程1、利用離心率求漸近線方程【例4】已知ab0,橢圓C的方程

7、為孑+=1，雙曲線G的方程為孑一=1，Ci與G的離心率之積A.x士*y=0B.斜率與離心率的關(guān)系，如【例6】【2018屆南寧市高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考】雙曲線匚二的漸近線方程為（）2520A14c15Jc.24A.7二，卜.B.：*，卜芻c.7二，卜*D.二7-J一4F-B【答案】D【解析】由題意可得口=5,b=25所以漸近線方程為v二十*君選D D. .J-B2222點(diǎn)評(píng)：求曲線V=1（a0，b0）的漸近線的方法是令看=0，即得兩漸近線方程a（=0.類(lèi)型三、求離心率的值或范圍.1、利用離心率定義求離心率22【例7】【2017課標(biāo)3,理10已知橢圓C:與十%=1,（ab0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,N,

8、且以ab線段AA為直徑的圓與直線bxay+2ab=0相切，則C的離心率為（）B3B.【答案】A【解析】試題分析：以線段44為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)（Q。），半徑為尸=口，圓的方程為苒直線以-即+Z宓=。與圓相切，所以圖心到直線的距離等于半徑，即：d=-=整理可得M=3t即1=3房一112M=V,從而/=4=3橢圖的離心率4=第=*,a3。3故選2、利用漸近線方程求離心率例8【2017屆云南省紅河州高三畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)】已知A,B兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O恰為AABF2的垂心(三角形三條高的交點(diǎn))，則雙曲線的離心率為(D.2x2ab2=1（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線

9、的兩條漸近線分別相交于F1,F2分別是雙曲線A3A.21B.2C.3D.33【答案】C【解析】F1(-c,0),F2(c,0),則雙曲線的漸近線為y=bxa則當(dāng)x=-c時(shí)，y=R，c=Bcaa、幾八bc-bc設(shè)A-c,B-c,-a.a若坐標(biāo)原點(diǎn)O恰為ABF2的垂心，OALBF2,即OABF2=0,、2即,c,bc|12弓的】=0,則2c2+些1=0,即b2=2a2,a.aab2=2a2=c2-a2.c2=3a2,則c=V3a則離心率e=c=Y3a=J3,故選：C C. .aa點(diǎn)評(píng)：求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍；另一種是建立a,b,c的齊次關(guān)系式，

10、將b用a,e表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式，進(jìn)而求解.類(lèi)型四、求雙曲線的方程1 .利用雙曲線的定義求其方程【例9】已知定點(diǎn)A(0,7)、B(0,7)、Q12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程.解析：設(shè)F(x,y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，:A、B兩點(diǎn)在以CF為焦點(diǎn)的橢圓上，.|FA+|CA=2a,|FB+1CB=2a(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng))，.|FA+1CA=|FB+|CB,.|FATFB=|CB-|CA=:122+92-122+2=2,.|FA-|FB=20,b0)的一條漸a2b2近線過(guò)點(diǎn)(2,J3),且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4j7x的準(zhǔn)線上，則雙

11、曲線的方程為【解析】由題意，鴻,.J拋物線yM幣y的準(zhǔn)線方程為k-小，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y5=4幣x的準(zhǔn)線上,J.c=布,/.a3+ba=ca=7,雙曲線的方程為22x-y=1432X故答案為：x2y=1點(diǎn)評(píng)：1.求雙曲線方程時(shí)一是標(biāo)準(zhǔn)形式判斷；二是注意a,b,c的關(guān)系易錯(cuò)易混.2.雙曲線的定義理解到位是解題的關(guān)鍵.應(yīng)注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是雙曲線的兩支，還是雙曲線的一支.若是一支，是哪一支，以確保解答的正確性.方法、規(guī)律歸納：1.求雙曲線離心率的值(1)直接求出a,c,求解e：已知標(biāo)準(zhǔn)方程或a,c易求時(shí)，可利用離心率公式e=c求解;a(2)變用公式，整體求e：如利

12、用e=a2+b22a1+2，e=ac2-b2=2.雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,二者之間可以互求.已知漸近線方程時(shí),的值，于/c2a2+b2.1e=2=2=1+aaf,因此可求出離心率e的值；而已知離心率的值，也可求出漸近線的22則a的值為（【解析】因?yàn)? 1=撲=孝，所以1=5=2,1=5=2,解得“乎，故選上222.12017天津，理5】已知雙曲線與%=1（a0,b0）的左焦點(diǎn)為F,離心率為 J2J2.若經(jīng)過(guò) F F 和abP（0,4）兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為22xy/-V=1(C)8822xy/-=1(D)48【解析】由題意得G G= =- -

13、1 1=匕=4,4,Q Q= =6 6= =2 2夜=1 1, ,選B.B.c88883.【2018屆安徽省屯溪第一中學(xué)高三第二次月考】設(shè)點(diǎn) P P 是雙曲線二 1010 小00）上的一點(diǎn)，fl2產(chǎn)八/?分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知/改二 900900, ,且 F F；|=2|=2 儼 4|,4|,則雙曲線的離心率為（）A.史B.$3C.;D.橐【答案】D1解析】在RTWP%啊中，設(shè)尸丘=町則由勾股定理得；47+M=4/，所以需二學(xué)，而由雙曲線定義知，2a=2x-x=xia=-離心率6=：=意=鈣，古嬤D,22一y7=1(a0,b0),若存在過(guò)右ab實(shí)戰(zhàn)演練：1.12017屆寧夏銀川市第二中

14、學(xué)高三下學(xué)期模擬】22已知雙曲線勺_L=1（a0）的離心率為J2,a1-aA.12B.C.D.(B)22人-L=1844.12018屆黑龍江省海林市朝鮮中學(xué)高考綜合卷一】已知雙曲線22n.6.12017課標(biāo)3,理5】已知雙曲線C:3一一=1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢ab222xy，、一焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，且好=分，則雙曲線離心率的最小值為(A.2B.、3C.2D.【解析】因?yàn)檫^(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且町=3BF,故直線與雙曲線相交只能交于左右兩只，即A在左支，B在右支,設(shè)A(x,y1),B(x2,y2),右焦點(diǎn)F(c,0)，因?yàn)锳F所以cx

15、1=3(cx2),3x2-Xi=2c,由于Xia,所以x1a,3x2之3a,故3x2x1之4a,即2c之4a,c之2,即e至2，選C.ax5.12017課標(biāo)II,理9若雙曲線C：-2ay2彳=1(a0,b0)的一條漸近線被圓(x2)+yb2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為(A.2【答案】A【解析】試題分析:由幾何關(guān)系可得，雙曲線三一4=1(口03的漸近線為：癡4=5ab圖心(Z0)到漸近線距離為：d=二產(chǎn)=收,不妨考查點(diǎn)(20)到直線以+金=0的距離：d=絲佇?=竺=出G+5c即：農(nóng)=)=3,整理可得：/=而上雙曲線的離心率1二74=c故選兒圓一十匚=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()123【

16、答案】B22卜【解析】雙曲線C：與一4=1(a0,b0)的漸近線方程為y=-x,aba橢圓中：a2=12,b2=3,二c2=a2-b2=9,c=3,橢圓，即雙曲線的焦點(diǎn)為(3,0),a2據(jù)此可得雙曲線中的方程組：(c2=a2b2，解得：a2=4,b2=5,c=3I、2則雙曲線C的方程為工匕=1.45故選B.227.12018屆湖南省衡陽(yáng)市第八中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】已知雙曲線C1:二1(m0)與雙m3m22xy曲線C2:=1有相同的漸近線，則兩條雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為()416A.10B.20C.10.5D.40A.2y10二1B.2y5二1D.2y_3二1=b.設(shè)F2關(guān)于

17、漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為MF2M與漸近線交于A,|MF2|=2b,A為F2M的中點(diǎn)【解析】雙曲線G二-=1（JMO）的漸近線為=土mm+3/y1雙曲線G二三匕=1的漸近線為y=必，416二兩個(gè)雙曲線有相同的漸近線,畢=2,即皿=4,得出1,Vmm則雙曲線垢匕一則對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為E0,后），F(xiàn)8,-君）,雙曲線口：W-g=l的焦點(diǎn)坐標(biāo)為G（2出,0,H（-2右，0）,416則兩個(gè)雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為S=2S3=2乂；乂事出乂出=2（h故選：B.F2關(guān)于【解析】由題意，F(xiàn)i(-c,0),bF2（c,0）,一條漸近線萬(wàn)程為y=-x,則F2到漸近線的距離為abcb2c232C.2D.A.3B.,

18、則雙曲線的離心率為（8.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期半期】已知F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)又0是F1F2 的中點(diǎn)，ONF1MZF1MF為直角,.MFF2 為直角三角形，由勾股定理得4c2=c2+4b23c2=4(c2-a2),c2=4a2,c=2a,e=2.故選C.2J J9.【2018屆陜西省榆林市第二中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知雙曲線一血)。心的左、右焦點(diǎn)分別為F FI I(-(-G GO),FO),FG GO),O),力是雙曲線的左頂點(diǎn)，工,yjyj 在雙曲線的一條漸近線上，M M 為線段 F1PF1P的中點(diǎn)，且 F1P14M,F1P14M,則該雙曲線的漸近線為()A

19、.V=E 而；B.-C.D.-f,【答案】A【解析】取漸近線為尸上則當(dāng)一手時(shí)，即點(diǎn)F F坐標(biāo)為(一三一小，點(diǎn)時(shí)坐標(biāo)為即(一誓出.AM=（一+皿一勺=一號(hào)（小+/-2過(guò)匕一疑）,尸1=（_：+匕_?=：（瓦_(dá)嘰-FtPLAM,、1fc尸【AM-0,0,艮|1（也一口）（ L L“+c22 2acacabab）= =bQa24-c2ZurZur）+ +rr2 22?=0,2?=0,整理得c c= =2i,20,b0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，b為半徑作22ab的離心率為J3,則實(shí)數(shù)m=圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于MN兩點(diǎn).若/MAN=60,則C的離心率為【解析】試題分如圖所示，作因?yàn)閳A為與雙曲恚。的一條湖近線交于廿&N兩點(diǎn)，則MV為雙曲線的漸近線尸=2,上的點(diǎn)，且/(g。)，AM=AN=ba而找_LM,所以/產(chǎn)3=3(八點(diǎn)460)到直線7二的距離AP二.樣在KrAP/N中，cosPAV=NA代人計(jì)算得/=3戶，即口=/由，=口上+必得clb所以:二=窄二速一a32212.12017山東，理14】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線之一4=1(a0,b0)的右支與焦點(diǎn)為F的ab拋物線x2=2px(p0)交于A,B兩點(diǎn)，若AF+BF=4OF,則該雙曲線的漸近線方程為.22xOy中，若方程J=12mm4【答