理論力學(xué)——第八章 剛體平面運動

1、第八章第八章剛體的平面運動剛體的平面運動 8-1 8-1 剛體平面運動的概述和運動分解剛體平面運動的概述和運動分解剛體平面運動：行星齒輪剛體平面運動：行星齒輪1.1.平面運動平面運動剛體平面運動：車輪運動情況剛體平面運動：車輪運動情況 平面圖形的運動平面圖形的運動 在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運動稱為等的距離，這種運動稱為平面運動平面運動。平面運動平面運動剛體平面運動的簡化2.2.運動方程運動方程 123OOxftyftft基點基點O轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角3.3.運動分析運動分析=+平面運動平面運動 = = 隨隨 的平移的

2、平移+ +繞繞 點的轉(zhuǎn)動點的轉(zhuǎn)動 O x y OO x y 平移坐標(biāo)系平移坐標(biāo)系 平面運動可取任意基點而分解為平移和轉(zhuǎn)動，其中平移的平面運動可取任意基點而分解為平移和轉(zhuǎn)動，其中平移的速度和加速度與基點的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和加速度與基點的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度與基點的選擇無關(guān)。速度和角加速度與基點的選擇無關(guān)。一般剛體平面運動的分解8-2 8-2 求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法1.1.基點法基點法動點：動點：M絕對運動絕對運動 ：待求：待求牽連運動牽連運動 ：平移：平移erMOvvvvO M動系：動系： ( (平移坐標(biāo)系平移坐

3、標(biāo)系) )O x y 相對運動相對運動 ：繞：繞 點的圓周運動點的圓周運動 O任意任意A，B兩點兩點BABAvvv 平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。其中其中BAv ABvBA大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同AB已知：橢圓規(guī)尺的已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 軸的負(fù)向運動，軸的負(fù)向運動，如圖所示，如圖所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。例例8-18-11.1. AB作平面運動作平面運動 基點：基點： AsinABAv

4、vsinlvlvABAAB2?BABAAvvvv.大小 ？方向cotABvv 解：解：已知：如圖所示平面機構(gòu)中，已知：如圖所示平面機構(gòu)中，AB=BD= DE= l=300mm。在圖示位置時，在圖示位置時，BDAE，桿桿AB的角速度為的角速度為=5rad/s。求：此瞬時桿求：此瞬時桿DE的角速度和桿的角速度和桿BD中點中點C的速度。的速度。例例8-28-21.1.BD作平面運動作平面運動 基點：基點：BlvvvBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl.大小 ？方向32?CBCBBDvvvll.大小 ？方向221.299m sCBCBvvvBD方向

5、沿桿向右解：解：已知：曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，已知：曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，OA =r, AB= 。如曲如曲柄柄OA以勻角速度以勻角速度轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。r3求：當(dāng)求：當(dāng) 時點時點 的速度。的速度。90,60,0B例例8-38-31.1. AB作平面運動作平面運動 基點：基點：A900,BAABvrvv0Bv06033230cosrvvAB2?BABAvvvr.大小 ？方向解：解：已知：如圖所示的行星輪系中，大齒輪已知：如圖所示的行星輪系中，大齒輪固定，半固定，半徑為徑為r1 ，行星齒輪，行星齒輪沿輪沿輪只滾而不滑動，半徑為只滾而不滑動，半徑為r2。系桿系桿OA角速度為角速度為。O求：輪求：輪的角速度的

6、角速度及其上及其上B，C 兩點的速度。兩點的速度。例例8-48-4 1. 1.輪輪作平面運動作平面運動 基點基點：A12DAAOvvrr1221DAAOvvrDArr20DADAvvv.122BABAOvvvrrr大小方向？.21222rrvvvOBAAB212rrvvvOCAAC4CACAvvv.解解: :2.2.速度投影定理速度投影定理 同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。的投影相等。沿沿AB連線方向上投影連線方向上投影BAABABvvBABAvvv由由如圖所示的平面機構(gòu)中，曲柄如圖所示的平面機構(gòu)中，曲柄OA長長100mm，以角速

7、以角速度度=2rad/s轉(zhuǎn)動。連桿轉(zhuǎn)動。連桿AB帶動搖桿帶動搖桿CD，并拖動輪，并拖動輪E沿水平面純滾動。已知：沿水平面純滾動。已知：CD=3CB，圖示位置時圖示位置時A，B，E三三點恰在一水平線上，且點恰在一水平線上，且CDED。求：此瞬時點求：此瞬時點E的速度。的速度。例例8-58-5 1. 1. AB作平面運動作平面運動BA ABABvv（ ）OAvB30cossm2309. 030cosOAvB2.2.CD作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸：作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸：C30.6928m sBDBvvCDvCB3.3.DE作平面運動作平面運動cos300.8m scos30ED DEDEEDDEvvvvvv（

8、 ）解：解： 8-3 8-3 求平面圖形內(nèi)各點的瞬心法求平面圖形內(nèi)各點的瞬心法 一般情況下一般情況下, ,在每一瞬時在每一瞬時, ,平面圖形上都唯一地存在一平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點，稱為瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。個速度為零的點，稱為瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。1.1.定理定理基點基點：AMAMAvvvMAvvAM0ACvvAC 平面圖形內(nèi)任意點的速度等于該點隨圖形繞瞬時速平面圖形內(nèi)任意點的速度等于該點隨圖形繞瞬時速度中心轉(zhuǎn)動的速度。度中心轉(zhuǎn)動的速度。基點基點：CMMCvvCM 2.2.平面圖形內(nèi)各點的速度分布平面圖形內(nèi)各點的速度分布3.3.速度瞬心的確定方法速度瞬心的確定方法/

9、,ABAABvvvABvACBCv且已知已知 的方向，的方向，且且 不平行于不平行于 。BAvv,AvBv00BAABBAABBAMvvvvvvv瞬時平移瞬時平移( (瞬心在無窮遠處瞬心在無窮遠處) )/,ABvvAB且不垂直于且不垂直于 純滾動純滾動( (只滾不滑只滾不滑) )約束約束運動方程運動方程sin1 cosxrttyrt1 cossinxyvrtvrt2|0kvC 瞬心已知：橢圓規(guī)尺的已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 軸的負(fù)向運動，軸的負(fù)向運動，如圖所示，如圖所示，AB=l。求：用瞬心法求求：用瞬心法求B端的端的速度以及尺速度以及尺AB的角速的角速度度。例例8-68-6

10、AB作平面運動，速度瞬心為點作平面運動，速度瞬心為點C。sinlvACvAAABcotAABBvBCv解：解：已知：礦石軋碎機的活動夾板長已知：礦石軋碎機的活動夾板長600mm ，由曲柄由曲柄OE借連桿組帶動，使它繞借連桿組帶動，使它繞A軸擺動，如圖所示。曲柄軸擺動，如圖所示。曲柄OE長長100 mm，角速度為角速度為10rad/s。連桿組由桿連桿組由桿BG，GD和和GE組成組成，桿桿BG和和GD各長各長500mm。求：當(dāng)機構(gòu)在圖示位置時，夾板求：當(dāng)機構(gòu)在圖示位置時，夾板AB的角速度。的角速度。例例9-79-7 1.桿桿GE作平面運動，瞬心為作平面運動，瞬心為 C1 。srad2968. 01

11、1ECOEECvEGEsm066. 11GCvGEGmm359115sin01OGGC800mm500mmsin15929.4mmOG 113369mmECOCOE2.桿桿BG作平面運動，瞬心為作平面運動，瞬心為C。GBGvGCcos60BBGGGBCvBCvGCvsrad888. 060cosABvABvGBAB解解: : 8-4 8-4 用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度 平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和

12、?；c基點 ：A平移坐標(biāo)系：平移坐標(biāo)系：Ax ytBAa ABatBA大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同AB大小大小方向由方向由 指向指向nBAan2BAaABBAnrtreaaaaBntBABAABaaaa已知：已知：如圖所示，在外嚙合行星齒輪機構(gòu)中，系桿以如圖所示，在外嚙合行星齒輪機構(gòu)中，系桿以勻角速度勻角速度1繞繞O1轉(zhuǎn)動。大齒輪固定，行星輪半徑為轉(zhuǎn)動。大齒輪固定，行星輪半徑為r，在大輪上只滾不滑。設(shè)在大輪上只滾不滑。設(shè)A和和B是行星輪緣是行星輪緣 上的兩點，上的兩點，點點A在在O1O的延長線上，而點的延長線上，而點B在垂直于在垂直于O1O的半徑上。的半徑上。求：點求：點A和

13、和B的的加速度。加速度。AB例例8-88-8 1. 1.輪輪作平面運動，瞬心為作平面運動，瞬心為 C。12Ovlrr2d0dt2.2.選基點為選基點為tn2212?0?AOAOAOaaaalr大小方向n2221121(1)AOAOaaallrllr解解: :tn22123.?0?BOBOBOaaaalr大小方向22n2211BOBOaaallrnarctanarctanOBOaral已知：如圖所示，在橢圓規(guī)機構(gòu)中，曲柄已知：如圖所示，在橢圓規(guī)機構(gòu)中，曲柄OD以勻角速以勻角速度度繞繞O 軸轉(zhuǎn)動。軸轉(zhuǎn)動。ODADBDl。求：當(dāng)求：當(dāng)時，尺時，尺AB的角加速度和點的角加速度和點A的加速度。的加速度。

14、 60例例8-98-91. AB作平面運動，瞬心為作平面運動，瞬心為 C。llCDvDAB22.DDal選 為基點tn22?ADADADaaaall大小 ？方向分別沿軸和軸投影ncoscos 2ADADaaasincossin0ntADADDaaat2t00ADAADABaalaAD 解得解：解：求：車輪上速度瞬心的加速度。求：車輪上速度瞬心的加速度。已知：車輪沿直線滾動。已知車輪半徑為已知：車輪沿直線滾動。已知車輪半徑為R，中心中心O的速度為的速度為，加速度為加速度為，車輪與地面接觸無相車輪與地面接觸無相對滑動。對滑動。OvOa例例8-108-101. 1. 車輪作平面運動，瞬心為車輪作平面

15、運動，瞬心為 C。2OvR.dd1ddOOvatRtR3.3.選選為基點為基點tn2COCOCOOaaaaaRR大小 ？方向 ？n2CCOaaR解：解：8-5 8-5 運動學(xué)綜合應(yīng)用舉例運動學(xué)綜合應(yīng)用舉例1.1.運動學(xué)綜合應(yīng)用運動學(xué)綜合應(yīng)用 ： 機構(gòu)運動學(xué)分析。機構(gòu)運動學(xué)分析。2.2.已知運動機構(gòu)已知運動機構(gòu) 未知運動機構(gòu)未知運動機構(gòu) 連接點運動學(xué)分析3.3.連接點運動學(xué)分析連接點運動學(xué)分析接觸滑動接觸滑動合成運動合成運動鉸鏈連接鉸鏈連接平面運動平面運動求：該瞬時桿求：該瞬時桿OA的角速度的角速度與角加速度。與角加速度。已知：已知：圖示平面機構(gòu)，滑塊圖示平面機構(gòu)，滑塊B可沿桿可沿桿OA滑動。桿

16、滑動。桿BE與與BD分別與滑塊分別與滑塊B鉸接，鉸接，BD桿可沿水平軌道運動。滑塊桿可沿水平軌道運動?；瑝KE以勻速以勻速v沿鉛直導(dǎo)軌向上運動，桿沿鉛直導(dǎo)軌向上運動，桿BE長為長為。圖示。圖示瞬時桿瞬時桿OA鉛直，且與桿鉛直，且與桿BE夾角為夾角為l 245例例9-119-111.桿桿BE作平面運動，瞬心在作平面運動，瞬心在O點點。lvOEvBEvOBvBEB取取E為基點為基點tn2?0?BEBEBEEaaaaBE大小方向沿沿BE方向投影方向投影2nn22cos452cos45BBEBEBvaalaval 解：解：絕對運動絕對運動 ：直線運動：直線運動(BD)相對運動相對運動 ：直線運動：直線運

17、動(OA)牽連運動牽連運動 ：定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動(軸軸O)2.動點動點 ：滑塊：滑塊B 動系動系 ：OA桿桿aer?vvvv大 小方 向沿沿BD方向投影方向投影l(fā)vOBvvvvvOAerae0tnaeerC222?0OAaaaaavll大小方向沿沿BD方向投影方向投影22te2ate22lvOBalvaaOA求：此瞬時桿求：此瞬時桿AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。已知：已知：在圖所示平面機構(gòu)中，桿在圖所示平面機構(gòu)中，桿AC在導(dǎo)軌中以勻速在導(dǎo)軌中以勻速v平移，通過鉸鏈平移，通過鉸鏈A帶動桿帶動桿AB沿導(dǎo)套沿導(dǎo)套O運動，導(dǎo)套運動，導(dǎo)套O與桿與桿AC距離為距離為l。圖示瞬時桿圖示瞬時桿A

18、B與桿與桿AC夾角為夾角為。60例例9-129-121. 1. 動點動點 ： 鉸鏈鉸鏈A 動系動系 ： 套筒套筒O aer2?vvvv.大小方向260cos2360sinaraevvvvvvlvAOvAB43etnaeer2er0? 2CABaaaaaAOv大小方向tea沿 方向投影22te833lvAOaABlvaaaa4302CteCte解：解：另解：另解： 1.1.取坐標(biāo)系取坐標(biāo)系Oxy2. A點的運動方程點的運動方程cotlxA3.3.速度、加速度速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 03604ABvl當(dāng)時有223 38ABvl求：此瞬時求：此瞬時AB桿的桿的角速度及角加速度。角速度及角加速度。已知已知：如圖所示平面機構(gòu)，如圖所示平面機構(gòu)，AB長為長為l，滑塊滑塊A可沿?fù)u桿可沿?fù)u桿OC的長槽滑動。搖桿的長槽滑動。搖桿OC以勻角速度以勻角速度繞軸繞軸O轉(zhuǎn)動，滑轉(zhuǎn)動，滑塊塊B以勻速沿水平導(dǎo)軌滑動。圖示瞬時以勻速沿水平導(dǎo)軌滑動。圖示瞬時OC鉛直，鉛直，AB與水平線與水平線OB夾角為夾角為。lv 30例例9-139-13 2.2.動點動點 ：滑塊：滑塊 A，動系動系 ：OC 桿桿1.1.桿桿AB作平面運動，基點為作平面運動，基點為B。ABABvvv?AerBABvvvvvOAl大小方向Bv沿方向投影esin302BABlvvve2ABB