第二章：插值法

1、 描述事物之間的數(shù)量關(guān)系：函數(shù)。 有兩種情況： 一是表格表格形式一組離散的數(shù)據(jù)離散的數(shù)據(jù)來(lái)表示函數(shù)關(guān)系；另一種是函數(shù)雖然有明顯的有明顯的表達(dá)式表達(dá)式，但很復(fù)雜，但很復(fù)雜，不便于研究和使用。 從實(shí)際需要出發(fā)：對(duì)于計(jì)算結(jié)果允許有一定的誤差，可以把函數(shù)關(guān)系用一個(gè)簡(jiǎn)單的便于計(jì)算和處理的近似表達(dá)式近似表達(dá)式來(lái)代替，從而使問題得到簡(jiǎn)化。一般地，構(gòu)造某種簡(jiǎn)單函數(shù)代替原來(lái)函數(shù)。插值法就是一種基本方法0 引言引言第二章第二章 插值插值（Interpolation）法法(1)(2)(2) 在在 x 為特殊時(shí)為特殊時(shí), 是好計(jì)算的是好計(jì)算的, 則則 (2)可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為(1)當(dāng)精確函數(shù)當(dāng)精確函數(shù) y = f(x)

2、 非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn)系列節(jié)點(diǎn) x0 xn 處測(cè)得函數(shù)值處測(cè)得函數(shù)值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)數(shù) g(x) f(x)，滿足條件，滿足條件g(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 g(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。x0 x1x2x3x4xg(x) f(x) 根據(jù)實(shí)際需要，可以用各種不同的函數(shù)來(lái)近似原來(lái)的函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是最常用的插值函數(shù)是 ?多項(xiàng)式：多項(xiàng)式： 代數(shù)多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單，計(jì)算其值只需用到加、減乘運(yùn)算，且積分和微分都很方便； 所以常用

3、它來(lái)近似表示表格函數(shù)(或復(fù)雜函數(shù)),這樣的插值方法叫做代數(shù)插值法代數(shù)插值法，簡(jiǎn)稱插值法。1 拉格朗日多項(xiàng)式拉格朗日多項(xiàng)式 niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 使得使得nnnxaxaaxP = =10)(條件：條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即jixx ji n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求，求xaaxP101)( = =使得使得111001)(,)(yxPyxP= = =可見可見 P1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點(diǎn)的直線。兩點(diǎn)的直線。)(1xP101xxxx- - -010 xxxx- -

4、 -= y0 + y11.1 線性插值線性插值兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式)()(0010101xxxxyyyxP- - - - = =點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式)(001010 xxxxxxy- - - - = =()ff1.2 二次插值二次插值n = 2已知已知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 ,y2 , 求求22102)(xaxaaxP = =使得使得002,)(yxP112)(yxP= = =222)(yxP= =, 為求為求P2(x),將三點(diǎn)代入其表達(dá)式將三點(diǎn)代入其表達(dá)式,即可得到三個(gè)方程式即可得到三個(gè)方程式,從而聯(lián)立方程組解出系數(shù)從而聯(lián)立方程組解出系數(shù)a0, a1, a2即可即可:2020100 x

5、axaay = =2121101xaxaay = =2222102xaxaay = =方程組的方程組的解是否存在解是否存在? 若存在解若存在解,是否是否唯一唯一?!當(dāng)當(dāng) x0 , x1 , x2互異時(shí)互異時(shí),方程組的解存在且唯一方程組的解存在且唯一.注：注：顯然有顯然有, 求求n 次插值時(shí)次插值時(shí), 由由n +1個(gè)點(diǎn)可有個(gè)點(diǎn)可有n +1個(gè)方程個(gè)方程, 聯(lián)立方程組即可求出插值多項(xiàng)式的聯(lián)立方程組即可求出插值多項(xiàng)式的n +1個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù). 然而然而,方程組的求解也并不是一件容易的事方程組的求解也并不是一件容易的事。1.2.1 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 對(duì)于線性插值的對(duì)于線性插值的兩種形式兩種形式解解進(jìn)行

6、適當(dāng)?shù)姆治鲞M(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治? , 從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā)從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā), ,就有了所謂的就有了所謂的拉格朗日拉格朗日插值法插值法( (公式公式) )和和牛頓插值牛頓插值( (公式公式).). 我們先來(lái)看看如何得到二次二次拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式（和和牛頓插值公式牛頓插值公式（為討論方便，留待后述）（為討論方便，留待后述）. . 首先, 線性插值的兩點(diǎn)式可看作是兩個(gè)特殊的一次式可看作是兩個(gè)特殊的一次式的一種線性組合的一種線性組合.101xxxx- - -010 xxxx- - -)(1xP= y0 + y1 = = =10)(iiiyxl兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式l0(x)l1(x)實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上

7、0l（x）和）和1l（x）即是滿足函數(shù)表）即是滿足函數(shù)表 的一次插值多項(xiàng)式的一次插值多項(xiàng)式 ,稱稱l0(x)和和l1(x)為以為以x0,x1為節(jié)點(diǎn)的基本插為節(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式，也稱為值多項(xiàng)式，也稱為線性插值的線性插值的插值基函數(shù)插值基函數(shù) 。 于是，線性插值即是用于是，線性插值即是用基函數(shù)的線性組合基函數(shù)的線性組合來(lái)構(gòu)造的來(lái)構(gòu)造的. 1.2.2 基函數(shù)法基函數(shù)法稱為稱為拉氏基函數(shù)拉氏基函數(shù) ，滿足，滿足 li(xj)= ij 顯然有顯然有l(wèi)0(x)+ l0(x)1.這里，這里， l0(x)和和l1(x)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l

8、1(x1)=1, 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基函數(shù)來(lái)線性組合函數(shù)來(lái)線性組合:這時(shí)，這時(shí)，l0(x), l1(x), l2(x)都是二次多項(xiàng)式，且應(yīng)滿足都是二次多項(xiàng)式，且應(yīng)滿足滿足滿足(2.1)式的式的 l i(x) 是否存在是否存在?若存在，具有什么形式呢若存在，具有什么形式呢?（2.1）同理可得同理可得 l1(x) 1(x x0)(x x2), l2(x) 2(x x0)(x x1),1(x1x0)(x1x2)12(x2x0)(x2x1)1此即此即二次二次拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式, 其中其中, l0(x), l1(x),

9、 l2(x)是滿足是滿足(2.1)的特殊的特殊(基本基本)二次插值多項(xiàng)式二次插值多項(xiàng)式;稱為稱為二次插值基函數(shù)二次插值基函數(shù).P2(x)= y0+ y1+ y2(x - -x0)(x - -x2)(x1- -x0)(x1- -x2)(x - -x1)(x - -x2)(x0- -x1)(x0- -x2)(x - -x0)(x - -x1)(x2- -x0)(x2- -x1) 先考慮先考慮 l0(x)。因。因 l0(x)是以是以 x1, x2 為零點(diǎn)的二次多項(xiàng)式為零點(diǎn)的二次多項(xiàng)式,所以它可寫成所以它可寫成 l0(x) 0(x x1)(x x2), 其中其中 0 是待定系是待定系數(shù)。數(shù)。 又因?yàn)橛?/p>

10、因?yàn)?l0( x0)=1，所以，所以 0(x0 x1)(x0 x2)1，則可有，則可有0(x0 x1)(x0 x2)1 l0(x) 0(x x1)(x x2), n 1希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ；然后令；然后令 = = =niiinyxlxP0)()(，則顯然有，則顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個(gè)每個(gè) li 有有 n 個(gè)根個(gè)根 x0 xi xn = =- -= =- - - -= =njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()( - -= = =j i jiiiixxCxl)(11)(= = - -

11、 -= =njijjijixxxxxl0)()()( = = =niiinyxlxL0)()( 拉格朗日拉格朗日 多項(xiàng)式多項(xiàng)式與與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)f1.3 n 次插值次插值定理定理 (唯一性唯一性) 滿足滿足 的的 n 階插值多階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。項(xiàng)式是唯一存在的。niyxPii,., 0,)(= = =證明：證明： ( 存在性存在性可利用可利用Vandermonde 行列式行列式論證論證)反證：若不唯一，則除了反證：若不唯一，則除了Ln(x) 外還有另一外還有另一 n 階多項(xiàng)階多項(xiàng)式式 Pn(x) 滿足滿足 Pn(xi) = yi ?？疾炜疾?則則 Qn 的階數(shù)

12、的階數(shù), )()()(xLxPxQnnn- -= = n而而 Qn 有有 個(gè)不同的根個(gè)不同的根n + 1x0 xn注：注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，則插值多項(xiàng)式，則插值多項(xiàng)式不唯一不唯一。例如例如 也是一個(gè)插值也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中多項(xiàng)式，其中 可以是任意多項(xiàng)式?？梢允侨我舛囗?xiàng)式。= =- - = =niinxxxpxLxP0)()()()()(xp = = =niiinyxlxL0)()(設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn))1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截?cái)嗾`差考察截?cái)嗾`差)()()(xLxfxRnn- -= =, baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿足條件滿足

13、條件 ,Rolles Theorem: 若若 充分光滑，充分光滑， ，則，則存在存在 使得使得 。)(x 0)()(10= = =xx ),(10 xx 0)(= = 推廣：推廣：若若0)()()(210= = = =xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10= = = = ),(10 使得使得0)(= = 0)()(0= = = =nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()(= = nRn(x) 至少有至少有 個(gè)根個(gè)根n+1 = =- -= =niinxxxKxR0)()()(任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察 = =- - -= =n

14、iixtxKtRnt0)()()()( (t)有有 n+2 個(gè)不同的根個(gè)不同的根 x0 xn x),(, 0)()1(baxxn = = !)1()()()1(-nxKRxnn 注意這里是對(duì)注意這里是對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)= = - - - !)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1( = = nfxKxn = = - - = =niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( 1.4 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) (Remainder) 注：注： 通常不能確定通常不能確定 x , 而是估計(jì)而是估計(jì) , x (a,b) 將將 作為誤差估計(jì)上限。作為誤差估計(jì)上限。1)1()(

15、 nnMxf= = - - niinxxnM01|)!1(當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù)為任一個(gè)次數(shù) n 的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式時(shí)，時(shí)， , 可知可知 ，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) n 的的多項(xiàng)多項(xiàng)式是式是精確精確的。的。0)()1( xfn0)( xRn.)(應(yīng)應(yīng)用用的的高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在時(shí)時(shí)才才能能余余項(xiàng)項(xiàng)表表達(dá)達(dá)式式只只有有在在xf,)()( )(61)(2,)( )(21)()(21)(1202102101021xxxxxxxxfxRnxxxxxxfxfxRn - - - - = = = - - - = = = = = ，時(shí)時(shí)，拋拋物物插插值值的的余余項(xiàng)項(xiàng)為為當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)，

16、線線性性插插值值余余項(xiàng)項(xiàng)為為當(dāng)當(dāng)例例1 求經(jīng)過求經(jīng)過A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三個(gè)插值點(diǎn)的插值多項(xiàng)式三個(gè)插值點(diǎn)的插值多項(xiàng)式.解：解：三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為.322110221100= = = = = = =yxyxyx，；，；，13)12)(02()1)(0(2)21)(01()2)(0(1)20)(10()2)(1()()()()()()()(2120210121012002010212 = = - - - - - - - - - - - - - - -= =- - - - - - - - - - - - - - -= =xxxxxxxyxxx

17、xxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL由拋物插值公式得由拋物插值公式得例例2：已知已知233sin,214sin,216sin= = = = 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計(jì)算插值計(jì)算 sin 50 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。 解：解：0 x1x2x185500 =n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計(jì)算計(jì)算4,610 =xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 - - - - - -= = xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( - -= = =xxxfxxf而而)4)(6(!2)(

18、)(,23sin21)2(1 - - -= = xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01- - - - Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 (extrapolation ) 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 - -0.010010.010013,421 = = =xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 (interpolation ) 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.005960.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點(diǎn)

19、，插值效果較好。端點(diǎn)，插值效果較好。n = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 - - - - - - - - - - - - - - -= = xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 - - - - -= =xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實(shí)際誤差次插值的實(shí)際誤差 0.000610.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值但絕對(duì)不是次數(shù)越但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿高就越好，嘿嘿嘿 例例

20、3 考慮下述的插值法問題：求二次多項(xiàng)式考慮下述的插值法問題：求二次多項(xiàng)式P(x)，滿足，滿足P(x0) = y0, 其中其中 是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問題的解存在且唯一的條件是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問題的解存在且唯一的條件.，2211)()(yxPyxP=21020yyyxx、，解解：設(shè)：設(shè) 則則 由已知條件有由已知條件有，cbxaxxP=2)(.2)(baxxP=11222200202ybaxycbxaxycbxax0012111222020 xxxxx0)()(22220201-xxxxx)0(220201-xxxxx即即 所以所以故原問題的唯一可解性就歸結(jié)為上述方程組的唯一可解性而后故原

21、問題的唯一可解性就歸結(jié)為上述方程組的唯一可解性而后者唯一可解的充要條件為者唯一可解的充要條件為這就是這就是P（x）存在且唯一的條件。）存在且唯一的條件。 LagrangeLagrange插值插值公式公式( (利用利用插值基函數(shù)插值基函數(shù)很容易得到很容易得到):): 含義直觀含義直觀, ,結(jié)構(gòu)緊湊結(jié)構(gòu)緊湊, ,在理論分析中非常方便在理論分析中非常方便; ; 計(jì)算機(jī)上計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)也很也很容易容易. . 也有一些也有一些缺點(diǎn)缺點(diǎn)： 一是一是計(jì)算量大計(jì)算量大，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，全部插值基函數(shù)全部插值

22、基函數(shù)均要隨之均要隨之變變化化，整個(gè)計(jì)算工作必須從頭開始：不僅原來(lái)的每一項(xiàng)都要改，整個(gè)計(jì)算工作必須從頭開始：不僅原來(lái)的每一項(xiàng)都要改變，還要變，還要增加一項(xiàng)增加一項(xiàng)計(jì)算。計(jì)算。 為克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)為克服上述兩個(gè)缺點(diǎn), , 努力：把插值多項(xiàng)式變形為努力：把插值多項(xiàng)式變形為便于計(jì)算便于計(jì)算的形式。的形式。 希望：希望：計(jì)算改變的過程中計(jì)算改變的過程中, ,盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)果果. . 下面我們將看到下面我們將看到, ,這是可能的。我們可以有具有這是可能的。我們可以有具有“承襲承襲性性”的所謂牛頓公式。的所謂牛頓公式。)()(0010101xxxxyyyxP- - - -

23、 = =)(001010 xxxxxxy- - - - = =()fffx0,x1 二次牛頓插值多項(xiàng)式二次牛頓插值多項(xiàng)式 我們?cè)倏淳€性插值線性插值的點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式: )(00 xxy- - = =fx0,x1常數(shù)常數(shù)(差商差商) 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的組合表達(dá)式組合表達(dá)式:P2(x)= 0 + 1(x- -x0) + 2(x- -x0)(x- -x1)利用利用P2(x0)=y0有有: 0 = y0 ,利用利用P2(x1)=y1有有: 1 = 0101xxxx- - -()ff= fx0,x1 ,利用利用P2(x2)=y2有有:

24、 2 = fx0,x1 (x2- -x0)(x2- -x1) (x2- -x0)(x2- -x1)0 xx2- -()ff (x2- -x0)-fx0,x2fx0,x1 x2 - - x1 =-= fx0,x1,x2 ;P2(x)=f(x0) + (x- -x0) + (x- -x0)(x- -x1) fx0,x1 fx0,x1,x2 fx0,x2 x=x0時(shí)0注注: 1. 事實(shí)上事實(shí)上,從上述可看出二次牛頓插值公式是用從上述可看出二次牛頓插值公式是用待待定系數(shù)法定系數(shù)法求得的求得的; 2. 它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線性組合它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線性組合:P2(x)=f(x0)

25、+ (x- -x0) + (x- -x0)(x- -x1) fx0,x1 fx0,x1,x2 fx0,x1 , fx0,x1,x2 f(x0), 1 , (x- -x0) , (x- -x0)(x- -x1)即函數(shù) 的線性組合,組合系數(shù)為 本質(zhì)上還是本質(zhì)上還是基函數(shù)法基函數(shù)法. 更一般地，更一般地，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，我們希望由上個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，我們希望由上述類似的一組特殊函數(shù)：述類似的一組特殊函數(shù)：來(lái)線性組合為：來(lái)線性組合為： 1 , (x- -x0) , (x- -x0)(x- -x1)，(x- -x0)(x- -x1)(x- -xn).(.)()()(10102010- - -

26、 - - - - - - = =nnnxxxxaxxxxaxxaaxN那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？我們同樣可用待定系數(shù)法我們同樣可用待定系數(shù)法. 容易發(fā)現(xiàn)容易發(fā)現(xiàn),計(jì)算計(jì)算a0, a1, a2 , an 是很有規(guī)律的是很有規(guī)律的.一、均差及其性質(zhì)一、均差及其性質(zhì)2 牛頓插值牛頓插值當(dāng)當(dāng)x=x0時(shí)，時(shí)，Pn(x0)=a0=f0.當(dāng)當(dāng)x=x1時(shí)，時(shí)，Pn(x1)=a0+a1(x1- -x0)=f1, 推得推得a1=f1- -f0 x1- -x0當(dāng)當(dāng)x=x2時(shí)，時(shí)，Pn(x2)=a0+a1(x2- -x0)+a2(x2- -x0)(x2- -x1)=

27、f2,推得推得f1- -f0 x1- -x0- -f1- -f0 x1- -x0a2=x2- -x1 依次遞推可得到依次遞推可得到a3, , an. 為寫出系數(shù)為寫出系數(shù) ak的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式,先引進(jìn)如下均差定義先引進(jìn)如下均差定義. 定義定義2 稱稱 為函數(shù)為函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)x0,xk的的一階均差一階均差.稱稱 為為f(x) 的的二階均差二階均差.一般地一般地, 稱稱 為為 f(x) 的的k 階均差階均差(差商差商). fx0,xk =f(xk)- -f(x0)xk- -x0 fx0,x1,xk=fx0,xk- - fx0,x1xk- -x1 fx0,x1,xk=fx0, xk

28、-2,xk- - fx0,x1, ,xk-1xk- -xk-1均差有如下的基本性質(zhì)均差有如下的基本性質(zhì): 1 k 階均差可表示為函數(shù)值階均差可表示為函數(shù)值f(x0), f(x1), f(xk)的線性組合的線性組合,即即 fx0,x1,xk=f(xj)(xj- -xj+1)(xj- -xk)(xj- -xj+1)(xj- -x0) kj=0這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明. 這個(gè)性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列這個(gè)性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)次序無(wú)關(guān),稱為均差的對(duì)稱性稱為均差的對(duì)稱性,即即 fx0,x1,xk= fx1,x0,x2,xk= = fx1, , xk ,x0 fx0,x1

29、,xk=fx1, xk-1,xk- - fx0,x1, ,xk-1xk- -x02 由性質(zhì)由性質(zhì)1可得可得: fx0, x1,xk =f(n)()n!,ba 3 若若f(x)在在a,b上存在上存在n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 且節(jié)點(diǎn)且節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn a,b,則則n階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下: 這個(gè)公式可直接用羅爾定理證明這個(gè)公式可直接用羅爾定理證明.，0!)()(0)()(= =- -= =nnnxxfnfq .!)()(0nfxxfnn = =， 所以所以，使使記記為為個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在理理，可可知知零零點(diǎn)點(diǎn)；反反復(fù)復(fù)應(yīng)應(yīng)用用羅羅爾爾定定個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在個(gè)個(gè)零零

30、點(diǎn)點(diǎn)，故故的的兩兩個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)間間至至少少有有一一在在，個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，根根據(jù)據(jù)羅羅爾爾定定理理上上有有在在處處均均為為零零，所所以以，在在，證證明明：設(shè)設(shè), , 1 ,)(,)()()(1,)()( ),()()( )(0100babaxqnbaxqxqxqnbaxqxxxqxxxxxxxxxfxqnnnn - - - -= = ,)()()(000 xxfxxxfxf- - = =,)(,101100 xxxfxxxxfxxf- - = =,.,)(,.,.,0010nnnnxxxfxxxxfxxxf- - = =- -).(.)()()(10102010- - - - - - - - -

31、= =nnnxxxxaxxxxaxxaaxN12 n- -11+ (x - - x0) 2+ + (x - - x0)(x - - xn- -1) n- -1.)(,)(,)()(102100100 - - - - - = =xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,.,100- - - - nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf- - - - - -Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi 二、牛頓插值公式二、牛頓插值公式)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf- - - -= =- -Rn(x).)(,)(,)(102100100 - - -

32、- - = =xxxxxxxfxxxxfxf).(,.,100- - - - nnxxxxxxfNn(x)n+1(x)10(0nkxxfakk，= = = 多項(xiàng)式多項(xiàng)式Nn(x)顯然滿足插值條件顯然滿足插值條件,即即Nn(xj)=f(xj),(j=1, n),且次數(shù)不超過且次數(shù)不超過n,由唯一性定理它就是前述的由唯一性定理它就是前述的Ln(x),其系數(shù)為其系數(shù)為 Nn(x)稱為牛頓均差插值多項(xiàng)式稱為牛頓均差插值多項(xiàng)式,它比拉格朗日插值多項(xiàng)式它比拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算量省計(jì)算量省,且便于程序設(shè)計(jì)且便于程序設(shè)計(jì).注：注： 由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其只是算

33、法不同，故其余項(xiàng)也相同，即余項(xiàng)也相同，即)(!)1()()(,.,1)1(10 xnfxxxxfkxnkn = = ),(,!)(,.,maxmin)(0 xxkfxxfkk = = 實(shí)際計(jì)算過程為實(shí)際計(jì)算過程為f (x0)f (x1)f (x2)f (xn- -1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn- -1, xnf x0, x1 , x2 f xn- -2, xn- -1, xnf x0, , xn f (xn+1) f xn, xn+1 f xn- -1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1均差計(jì)算可列均差表如下：均差計(jì)算可列均差表如

34、下：, 2, 1 , 1, 0 ,11 = = =- - -= =- - iikixxxxfxxfxxfikkikiki010110 xxxfxfxxf- - -= =)()(,232332xxxfxfxxf- - -= =)()(,021021210 xxxxfxxfxxxf- - -= =,243243432xxxxfxxfxxxf- - -= =,143214324321xxxxxfxxxfxxxxf- - -= =,043210432143210 xxxxxxfxxxxfxxxxxf- - -= =, 例例1 依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過3次的拉格朗日插值多次的

35、拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x),并驗(yàn)證插值多項(xiàng)式的唯一性并驗(yàn)證插值多項(xiàng)式的唯一性. 解解: (1)拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x).插值基函數(shù)插值基函數(shù)xk0124f (xk)19233拉格朗日插值多項(xiàng)式為拉格朗日插值多項(xiàng)式為:121445411 )(3)(23)(9)()()(233210303-=xxxxlxlxlxlyxlxLiii,12181241)24)(14)(04()2)(1)(0()(,4541)42)(12)(02()4)(1)(0()(,38231)41)(21)(01()4)(2)(0()(, 1478781)40)(20)

36、(10()4)(2)(1()(233232231230 xxxxxxxlxxxxxxxlxxxxxxxlxxxxxxxl-=-=-=-=-=-=-=-=xkf (xk) 一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差0119822314343- -10- -8(2) 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x).建立如下差商表建立如下差商表牛頓插值多項(xiàng)式為牛頓插值多項(xiàng)式為:121445411 )2)(1)(0(411) 1)(0(3)0(81)(233-=-=xxxxxxxxxxN411-(3) 唯一性驗(yàn)證唯一性驗(yàn)證.通過比較牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式通過比較牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多

37、項(xiàng)式,知知: Nn(x) = Ln(x)這一事實(shí)與插值多項(xiàng)式的唯一性一致這一事實(shí)與插值多項(xiàng)式的唯一性一致. 2已知等距節(jié)點(diǎn)已知等距節(jié)點(diǎn)nxxhnkkhxxnk00210- -= = = = =,三、三、NewtonNewton等距插值等距插值1 1、差分、差分定義定義)()()(kkkxfxfxf- -= = 1簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為kkkfff- -= = 11- - -= = kkkfff)()()(1- - -= = kkkxfxfxf簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 - - - = =22hxfhxfxfkkk)( 22hkhkkfff- - - -= = 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為向前差分向前差分 向后差分向后差分 中心差分中

38、心差分 前差算子前差算子后差算子后差算子kmkmkmfff111- - - - - - = = 高階向前差分高階向前差分 111- - - - - - = = kmkmkmfff高階向后差分高階向后差分 如如)()(kkkkkkkfffffff- - - -= = - - = = 11212kkkfff - -= = 122)()(21112- - - - - - - -= = - - = = kkkkkkkfffffff212- - - - -= =kkkfff2、高階差分、高階差分 )()()()(kkkkkkkkffffffff- - - - - - - -= = 1121223kkkk

39、ffff- - - -= = 12333)()(kkkkkkkfffffff - - - - - - = = - - = = 1122123又如又如 3、前差與后差的關(guān)系、前差與后差的關(guān)系 11 = =- -= = kkkkffff)()(kkkkkkkfffffff- - - -= = - - = = 112122212 = = - - = =kkkfffmkmkmff = = 一般有一般有再定義再定義1 = =kkfEf前移算子前移算子kkffI= =不變算子不變算子11- - -= =kkffE后移算子后移算子則有則有kkkkkkfIEIfEffff)(- -= =- -= =- -=

40、= 1因此因此knknfIEf)(- -= = inkniinikniiininifCfIEC- - = = =- - - -= =- -= =0011)()(knknknfIEfEIf)()( - -= =- -= = - - -11nikniininkniniininfCfEC- - = =- -= =- - - - -= =- -= =0011)()( knnniniininnnfICIECEC0011)()(- - - - - -= =- - - - knnnniinininnnnfICIECIECEC)()(11110- - - - - -= =- - -4 差商與差分的關(guān)系差商與差

41、分的關(guān)系hfxxxfxfxxfkkkkkkk = =- - -= = 111)()(,hhfhfxxxxfxxfxxxfkkkkkkkkkkk21211221 - - = =- - -= = ,kfh2221 = =kmmmkkkfhmxxxf = = 111!,m階向前差商與階向前差商與m階向前差分的關(guān)系階向前差分的關(guān)系查看全部 m階向后差商與階向后差商與m階向后差分的關(guān)系階向后差分的關(guān)系kmmmkkkfhmxxxf = =- - -111!,又又!)(,)(mfxxxfmmkkk = = 1所以所以)(,!)( mmmkkkmkmfhxxxfmhf= = = 15、差分的計(jì)算、差分的計(jì)算6

42、、等距節(jié)點(diǎn)的、等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值插值已知等距節(jié)點(diǎn)已知等距節(jié)點(diǎn)nxxhnkkhxxnk00210- -= = = = =,)(,)()(0100 xxxxfxfxNn- - = =)()(,1010- - - - nnxxxxxxxf)(,10210 xxxxxxxf- - - 得得)()(000001xthxfhfthxNn- - = = )(!hxthxxthxfh- - - - - 000002221)()(!hnxthxxthxfhnnn1100000- - - - - - 令令 由由Newton插值公式插值公式thxx = =0其中其中)(00 xff = =kmmmkkkfh

43、mxxxf = = 111!,參參照照)()(000001xthxfhfthxNn- - = = )(!hxthxxthxfh- - - - - 000002221)()(!hnxthxxthxfhnnn1100000- - - - - - 即即htthfhthfhfthxNn)(!)(1211022000- - = = hntthfhnnn)(! - - 110002001121fnntttfttftfn - - - - - = =!)()(!)(前插公式前插公式同理可得后插公式同理可得后插公式（P27)P27)(thxNnn 0021121fnntttfttftfnnn - - = =!)

44、()(!)(3 厄爾米特插值厄爾米特插值 不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也重合。也重合。即：要求插值函數(shù)即：要求插值函數(shù) (x) 滿足滿足 (xi) = f (xi), (xi) = f (xi), (mi) (xi) = f (mi) (xi).注：注： N 個(gè)條件可以確定個(gè)條件可以確定 階多項(xiàng)式。階多項(xiàng)式。N - - 1要求在要求在1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) x0 處直到處直到m0 階導(dǎo)數(shù)都重合的插階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為值多項(xiàng)式即為Taylor多項(xiàng)式多項(xiàng)式00)(!)(.)()()(000)(000mmxxmxfxxxfxfx- - - - = =

45、其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為)1(00)1(00)()!1()()()()(-=-=mmxxmfxxfxR 一般只考慮一般只考慮 f 與與f 的值。的值。 當(dāng)當(dāng) 較大時(shí)用待定系數(shù)法求較大時(shí)用待定系數(shù)法求 是困難的是困難的 = = = =12012niiinxaxH)(n令令),()(),(njxxjj210= = 為為 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式12 n = = =0)( )(kjjkkjxx nkjxxjkkjkj,)( )(100= = = = = 且滿足且滿足 = = = =kjkjjk,10 其中其中且滿足且滿足),()( ,)(nkmxHyxHkkkk10= = = =令令 = = = =njjjjjmx

46、yxxH0)()()( 為為 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式12 n所以所以 為為HermiteHermite插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。)(xHKronecker（克羅內(nèi)克）符號(hào)（克羅內(nèi)克）符號(hào)柏林科學(xué)院院士，巴黎科學(xué)院通訊院柏林科學(xué)院院士，巴黎科學(xué)院通訊院士，倫敦皇家學(xué)會(huì)外籍會(huì)員。士，倫敦皇家學(xué)會(huì)外籍會(huì)員。 主張分析學(xué)應(yīng)奠基于算術(shù)，而算術(shù)的主張分析學(xué)應(yīng)奠基于算術(shù)，而算術(shù)的基礎(chǔ)是整數(shù)?？肆_內(nèi)克名言：基礎(chǔ)是整數(shù)?？肆_內(nèi)克名言：“上帝上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作”令令)()()(xlbaxxjj2 = = 則則)()()()(112= = = =baxxlbaxxjjjjjj

47、其中其中)()()()()()()(110110njjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxl-=-jkkjxl = =)(2又又)( )()()()( xlxlbaxxalxjjjj = =22 則則)( )()()()( jjjjjjjjjxlxlbaxxalx = =22 )()( )(202= = jjjxlbaxa由（由（1）（）（2）)( )( jjjjjxlxbxla212 = =- -= =得得所以所以 )()( )()(xlxlxxxjjjjj221- - -= = 其中其中)ln()ln()ln()(ln110 - - - - - - -= =jjjxxxxxx

48、xl則則 = = = =- -= = - -= =njkkkjjjjnjkkkjxxxlxlxxxl0011)( )()( )()()ln()ln(njjjjjjnxxxxxxxxxx- - - - - - - - -110所以所以)()()(xlxxxxxjnjkkkjjj20121 - - - -= = = = 令令)()()(xldcxxjj2 = = 則則)()()()(102= = = =dcxxldcxxjjjjjj 又又)( )()()()( xlxldcxxclxjjjj = =22 由由122= = = =)( )()()()( jjjjjjjjjxlxldcxxclx 得得

49、jxdc- -= = =1所以所以)()()(xlxxxjjj2- -= = 例例 已知已知,)(,)(,112211010= = = = =xfxfxx,)( ,)( 14510= = =xfxf求三次多項(xiàng)式求三次多項(xiàng)式 滿足滿足)(xH32133,)( )( )()(= = = = =kxfxHxfxHkkkk)()()(xlxxxxxjnjkkkjjj20121 - - - -= = = = 解解2101100021 - - - - - - -= =xxxxxxxxx)()( 412922121232- - - -= =- - - = =xxxxx)(2010011121 - - - -

50、 - - -= =xxxxxxxxx)()( 512921221232 - - - -= =- - - -= =xxxxx)(210100 - - - -= =xxxxxxx)()( )()()(xlxxxjjj2- -= = 48521232- - - -= =- - -= =xxxxx)(201011 - - - -= =xxxxxxx)()( 25412232- - - -= =- - -= =xxxxx)(12145112310103- - = = = =xxxxxxxH)()()()()( 所以所以驗(yàn)證：驗(yàn)證：14251112213333= = = = =)( ,)( ,)(,)(H

51、HHH練習(xí)練習(xí)：（：（ P43（19）求四次多項(xiàng)式求四次多項(xiàng)式 滿足滿足,)(,)( )(,)( )(12111000= = = = = =PPPPPxxxxxxxL23212021021012022 - -= =- - - - - - - - - -= =)()()()()()(xP令令)()()(212322- - - - -= =xxxbaxxxxP解：解：在點(diǎn)在點(diǎn)0，1，2上做上做Lagrange插值函數(shù)插值函數(shù))()()()( 212123- - - - - - - -= =xxbaxxxaxxxP)()()()(12- - - - xxbaxxxbax則則41112311= = =

52、- - - -= =abaP)()( 因此因此43021230- -= = =- - - = =bbP)()( )()(2143412322- - - - - - -= =xxxxxxxP)96(41234xxx-=所以所以4 分段低次插值分段低次插值 Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在- -5, 5上考察

53、上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf=),., 0(105niinxi= = - -= = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值 分段線性插值分段線性插值 在每個(gè)區(qū)間在每個(gè)區(qū)間 上，用上，用1階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( - - - - - -= = iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,for 1 iixxx記記 ，易證：當(dāng)，易

54、證：當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|max1iixxh- -= = 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。 分段分段Hermite插值插值 /* Hermite piecewise polynomials */給定給定nnnyyyyxx ,.,;,.,;,.,000在在 上利用兩點(diǎn)的上利用兩點(diǎn)的 y 及及 y 構(gòu)造構(gòu)造3次次Hermite函數(shù)函數(shù),1 iixx導(dǎo)數(shù)一般不易得到。導(dǎo)數(shù)一般不易得到。How can we make a smooth interpolation without asking too much from f ?Headache 2 2、分段線性插值、

55、分段線性插值設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在節(jié)點(diǎn)：在節(jié)點(diǎn)：)(xfy = =bxxxan 10)(,),(),(nxfxfxf10上的函數(shù)值為：上的函數(shù)值為：kkkkhhxxhmax,= =- -= = 1記步長(zhǎng)記步長(zhǎng)（1）,)(baCxIh 如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足滿足)(xIhkkhfxI= =)(（2）1111 - - - - - -= =kkkkkkkkhfxxxxfxxxxxI)(在區(qū)間在區(qū)間 上上（3）,1 kkxx則稱則稱 為為分段線性插值分段線性插值)(xIh2= =h步長(zhǎng)步長(zhǎng)50.= =h步長(zhǎng)步長(zhǎng)50.= =h步長(zhǎng)步長(zhǎng)1= =h步長(zhǎng)步長(zhǎng)x0=-5:0.1:5;x0=-5:0.1:5;y0=1.

56、/(1+x0.2); y0=1./(1+x0.2); x=-5:1:5; x=-5:1:5; y=1./(1+x.2);y=1./(1+x.2);y1=interp1(x,y,x0);y1=interp1(x,y,x0);plot(x0,y0,r);plot(x0,y0,r);hold on; hold on; plot(x0,y1,b); plot(x0,y1,b); 1= =h步長(zhǎng)步長(zhǎng)x0=-5:0.1:5;x0=-5:0.1:5;y0=1./(1+x0.2); y0=1./(1+x0.2); x=-5:1:5; x=-5:1:5; y=1./(1+x.2);y=1./(1+x.2);pl

57、ot(x0,y0,r);plot(x0,y0,r);hold on; hold on; plot(x,y,b); plot(x,y,b); 3 3、分段、分段HermiteHermite插值插值（1）,)(baCxIh1 如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足滿足)(xIh)( ,)(kkhkkhfxIfxI= = =（2）已知數(shù)表已知數(shù)表)( )( )( )()()(nnnnnxfmxfmxfmxfyxfyxfyxxx= = = = = = =1100110010kkkkkkkhfxxxxxxxxxI - - - - - -= = 121121)()(在區(qū)間在區(qū)間 上上（3）,1 kkxx1112121 -

58、 - - - - - kkkkkkkfxxxxxxxx)()(kkkkkfxxxxxx- - - - - 211)(1121 - - - - - kkkkkfxxxxxx)(xIh為分段為分段HermiteHermite插值插值5 5 三次樣條三次樣條定義定義設(shè)設(shè) 。三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù) , 且在每個(gè)且在每個(gè) 上為上為三次多項(xiàng)式三次多項(xiàng)式 。若它同時(shí)還滿足。若它同時(shí)還滿足 則稱為則稱為 f 的的三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)bxxxan= = = =.10,)(2baCxS ,1 iixx),., 0(),()(nixfxSii= = =注：注：三次樣條與分段埃爾米特插值的根本區(qū)別在于三

59、次樣條與分段埃爾米特插值的根本區(qū)別在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而埃爾米特插值依賴于要）；而埃爾米特插值依賴于f 在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)2 2、樣條函數(shù)的求解、樣條函數(shù)的求解分析：分析：1、區(qū)間、區(qū)間 上的三次多項(xiàng)式，共需待定系數(shù)上的三次多項(xiàng)式，共需待定系數(shù) 個(gè)。個(gè)。n4,1 kkxx,),()(njxfxSjj210= = = 2、已知條件有、已知條件有,),()(12100- -= = = =- -njxSxSjj,),( )( 12100- -= =

60、= =- -njxSxSjj,),( )( 12100- -= = = =- -njxSxSjj 個(gè)個(gè)1 n 個(gè)個(gè)1- -n 個(gè)個(gè)1- -n 個(gè)個(gè)1- -n共計(jì)共計(jì) 個(gè)個(gè)24 - -n（1）補(bǔ)充條件）補(bǔ)充條件)( )( ),( )( nnxfxSxfxS= = =001、邊界條件邊界條件)( )( ),( )( nnxfxSxfxS= = =002、特別特別00= = =)( )( nxSxS稱自然邊界條件稱自然邊界條件3、 周期性條件（略）周期性條件（略）（2）三轉(zhuǎn)角方程）三轉(zhuǎn)角方程),()( njmxSjj10= = =假定假定在區(qū)間在區(qū)間 上的上的HermiteHermite插值函數(shù)為：