低速空氣動力學理論及計算：第四章

1、低速空氣動力學理論與計算第四章：低速平面位勢流1本章主要內(nèi)容一平面不可壓縮位勢流的基本方程 流函數(shù)二簡單的二維位勢流l基本的二維位勢流l基本位勢流的迭加三鏡像法概述l直壁的干擾l地面效應(yīng)l圓壁的干擾l洞壁干擾四鱗片布源法五保角變換法2引言本章開始低速空氣動力學的核心內(nèi)容研究對象是低速不可壓縮理想流體假定來流有勢求解求解速度位勢滿足的方程線性疊加原理 保角變換研究對象的選擇研究方法數(shù)學工具基本結(jié)論3平面不可壓縮位勢流的基本方程位勢流是無旋流，在無旋條件下存在速度勢。按照Kalvin定理，流動原來無旋，后來必然無旋。這個假設(shè)在流場大部分區(qū)域內(nèi)滿足，只是物面附近不成立，用此假設(shè)可以建立流場的初步解。

2、平面流是二維流動，是真實情況的一個極大簡化。4平面不可壓縮位勢流的基本方程流動的基本方程已經(jīng)推導過了，對于平面流動只要令z方向?qū)?shù)全部為0即可考慮無旋條件存在位勢函數(shù)5流函數(shù)平面不可壓縮的連續(xù)方程這是微分式 是全微分的必要和充分條件存在一個函數(shù)流函數(shù)：6流函數(shù)=Const.的曲線是流線（極容易證明）一系列常數(shù)Const.對應(yīng)一系列流線流線不能穿越（與位勢函數(shù)一樣，其絕對值沒有意義，差值有意義）流函數(shù)可以代表流量7流函數(shù)是點的函數(shù)在同一流線上的值都相同等流量差的作一系列曲線，可以看出流速大小流線一般不相交，可以分叉8位勢函數(shù)與流函數(shù)無旋條件，就有位勢函數(shù)。對于平面流動 總是成立的。將位勢函數(shù) 帶

3、入上式，有必然遵守的方程：9位勢函數(shù)與流函數(shù)流函數(shù)是根據(jù)不可壓縮平面流的連續(xù)性方程導出的，而連續(xù)性方程總是成立，所以凡是平面流動必然存在流函數(shù)平面流動必然存在流函數(shù)如果附加無旋條件：將前式帶入無旋條件，得到滿足的方程10位勢函數(shù)與流函數(shù)不可壓縮的平面無旋流必然同時存在位勢函數(shù)和流函數(shù)，且這兩個函數(shù)滿足相同的微分方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程是線性方程，比起流動的基本方程（非線性）簡單很多線性方程線性迭加原理要描述一個不可壓縮平面流場，找到其中一個函數(shù)即可（找到一個，另一個自然得出），等位線和流線都可以畫出來11位勢函數(shù)與流函數(shù)等位線和流線正交沿流線有 流線的斜率是沿等位線有 或由此比較兩式 12

4、位勢函數(shù)與流函數(shù)說明：另外一種證明方法不論哪種證明方法，在速度為零處都不成立13例子求流場上的速度分布、壓力分布；畫流線和等位線14幾種簡單的基本二維流動將幾種簡單函數(shù)表示的位勢流動，它們是最基本的流動，許多的流動可以用它們組合而成 思想：線性迭加原理的應(yīng)用線性迭加原理的應(yīng)用15幾種簡單的基本二維流動：直勻流速度不變，彼此相等的平行流動位勢函數(shù)：流速：流線考慮平行于x軸的直勻流16幾種簡單的基本二維流動：點源描述：從流場某一點有一定流量向四面八方的流動（有正負匯）把源放在坐標原點，使用極坐標，只有徑向速度，沒有角速度設(shè)半徑為r處的流速是vr，源的總流量流速與半徑成反比流函數(shù)：位勢函數(shù)：積分速度

5、特例：源不在坐標原點的情況17幾種簡單的基本二維流動：點源受擾點P（x，y）至源的距離為r，有18幾種簡單的基本二維流動：偶極子描述：等強度的一個源和一個匯，放在x軸上，源放在（-h，0），匯放在（0，0）處，從源出來的流量都進入?yún)R應(yīng)用迭加原理，按照上頁公式，位勢函數(shù)為：流函數(shù)：上述兩個角度分別是流場點P與源和匯連線與正x軸的夾角19幾種簡單的基本二維流動：偶極子考慮當h0但Q增大，使Qh/2Qh/2=M=M保持不變的極限情況，此時的位勢函數(shù)：這種極限情況并不是把有限強度的源和匯放在一起，彼此對消，什么也沒有，而是h0，Q的一種極限情況偶極子流等位線是圓心在x軸上的圓，且過原點20幾種簡單的基

6、本二維流動：偶極子流函數(shù)可以從位勢函數(shù)推導，也可以對非極限情況的流函數(shù)求極限，有流線也是一些圓，圓心都在y軸上，且過原點速度公式：21幾種簡單的基本二維流動：偶極子說明：偶極子是極限情況，它是有軸線方向的，原來的源和匯放在哪條直線上，那條直線就是軸線偶極子軸與x軸成角偶極子位于其他點，軸線與x軸平行22幾種簡單的基本二維流動：點渦位于原點的一個點渦流動，圖案很想點源，只是流線和等位線對調(diào)，流線是同心圓，等位線是過圓心的射線；流動只有角速度，沒有徑向速度位勢函數(shù)和流函數(shù)是23幾種簡單的基本二維流動：點渦上述公式中的0是個常數(shù)，稱為點渦強度速度：這個速度與離中心的距離r成反比。對此速度繞封閉圓圈做

7、環(huán)量計算，有這個點渦強度就是環(huán)量的值，不論沿哪個回路積分其結(jié)果都一樣24幾種簡單的基本二維流動：點渦如圖，沿圖中路徑積分沿BC，DE等徑向線段的環(huán)量都是零，沿AB，CD，EF等弧線的速度積分等于各段弧對的圓心角乘以0/2所以25幾種簡單的基本二維流動：點渦再繼續(xù)推廣，沿任何形狀的圍線積分計算環(huán)量都一樣（只要點渦在圍線內(nèi)如圖沿ABCDEFA仍等于0，沿HIGH積分環(huán)量為026幾種簡單的基本二維流動：點渦如果點渦在（，），不在原點，流函數(shù)和位勢函數(shù)的表達式27幾種簡單的基本二維流動：點渦這種點渦其實應(yīng)該看作是一根在z方向無限長的直渦線，除渦心，其余地方無旋點渦的速度分布不可能一直用到核心上去，當r

8、0時v，壓強28幾種簡單的基本二維流動：點渦上述的情況是不真實的，按照點渦的速度分別規(guī)律，速度在半徑方面的變化率是當r很小時，這個變化率極大，這時黏性必然起作用（黏性力與時代的法向變化率的關(guān)系參考前幾次課的內(nèi)容），結(jié)果導致渦有一個核，核內(nèi)的流體v不是與r成反比，而是與r成正比；核外流速與r成反比，如圖29幾種簡單的基本二維流動：點渦結(jié)論：點渦有渦核核內(nèi)是有旋流，核外是無旋流渦核的尺寸？做外部計算可以忽略，看作很微小即可渦對外部流場是產(chǎn)生誘導（擾動、感生）速度的，其值與至中心的距離成反比，但對它自己的核心并無誘導速度。30基本位勢流的迭加對于平面位勢流動，方程變?yōu)橐运俣任粍莼蛄骱瘮?shù)為變量的線性方

9、程對于任意物體（二維）的繞流問題如何處理？無法直接求解，而是利用基本位勢流動或奇點的迭加構(gòu)筑物體外形（流場幾何），其速度位勢是各基本位勢流動之和（線性迭加原理），構(gòu)筑出滿足要求的流場，問題即可解出對于壓力場可以使用Bernulli積分獲得31基本位勢流的迭加：直勻流加點源一個平行于x軸由左向右的直勻流里面加入一個強度為Q的點源速度位勢分速度32基本位勢流的迭加：直勻流加點源X軸上存在駐點vxA=0，可以得到駐點坐標： 在駐點流速為0，點源的速度與直勻流的速度抵消流線如圖經(jīng)過駐點的流線BAB是 一條特殊的流線圍墻與直勻流里面放置一個半無限長物體造成的流動等效 （為何是半無限長？）33基本位勢流的

10、迭加：直勻流加點源半無限體在+x無限遠處的寬度D（y方向的尺寸）流線BAB可以根據(jù)流函數(shù)=0畫出，也可以從流量關(guān)系計算出來BAB流線上的其他點的坐標的確定流場上的壓強用速度得到，可以表示為無量綱的壓強系數(shù)Cp，其定義為34基本位勢流的迭加：直勻流加點源按照壓強系數(shù)的定義，沿半無限長體的外表面，壓強系數(shù)的分布是： 代入后，有Cp沿x軸的分布曲線A駐點Cp一定為+1，與物體形狀無關(guān)經(jīng)過駐點Cp迅速下降至Cp=0，該點流速已達到遠前方來流速度，此后氣流沿物面加速，經(jīng)過一段距離達到速度最大值（Cp最?。?，一般物體也有類似規(guī)律，地點或早或遲經(jīng)過速度最大點流動開始減速，減速很慢，到無窮遠恢復到來流速度35

11、基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子直勻流加源得到半無限長體流動，物形不會收口；如需收口需要加負源，當正源和負源的總強度為零時，物形才能收口直勻流加偶極子可以得到封閉的物形直勻流平行于x軸，由左向右，一個軸線指向負x的偶極子放在坐標原點，位勢函數(shù)36基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子流動圖案：直勻流繞圓圓的半徑a由駐點A確定根據(jù)a的表達式，位勢函數(shù)可以寫成流函數(shù)=0是一條特殊的流線，此時=0或，這就是x軸；還有r=a，這是一個半徑為a的圓37基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子速度分量：在r=a的圓上繞圓的流動在圓表面上只有圓周的速度v，而沒有徑向速度vr，38基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子壓強系數(shù)壓

12、強系數(shù)分布如圖：駐點，來流速度點，最大速度點，后駐點流動上下、左右對稱不考慮流體的黏性，任何封閉物體的阻力為零（達朗貝爾佯謬）研究無黏流的意義分析流動的各個因素翼型升阻比的提高39基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子和點渦上述流動中再在圓心處加一個強度為-的點渦（順時針為負）位勢函數(shù)和流函數(shù)：40基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子和點渦在極坐標下的速度分量r=a仍舊是一條流線，在這個圓上駐點位置的確定：0在第三四象限，前后駐點關(guān)于y軸對稱。駐點0離開和0的多少決定于環(huán)量與半徑速度之積的比值，環(huán)量越大，駐點越下移41基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子和點渦流動左右對稱，上下不對稱，y方向合力不為零用Be

13、rnulli積分計算合力：按照速度在圓上的分布，根據(jù)Bernulli方程計算壓力，然后沿圓周積分，最后計算出壓強系數(shù)用動量定理計算合力：控制面S包括圓面和鏈接割線，S上的壓力積分是物體所受的合力，無X，只需計算Y42基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子和點渦Y向力的表達式： 庫塔庫塔茹科夫斯基定理（升力）茹科夫斯基定理（升力）這是作用在單位長度柱體上的升力只要是一個封閉物體，代表這個物體作用的正負源強度總和必須為零正負源放在一起，遠離物體，其作用與偶極子沒有區(qū)別環(huán)量是升力存在的最根本因素43基本位勢流的迭加：直勻流加偶極子和點渦帶環(huán)量的壓力分布有環(huán)量與無環(huán)量壓力分布的對比：升力來自于“吸力”44鏡

14、像法直壁的干擾固體表面是流線，不可逾越（特殊的流線可以視為壁面，反之流場中的壁面可以設(shè)法產(chǎn)生與固壁一樣的流線） 45如何用流函數(shù)表達直壁？鏡像法對于直壁，在直壁的另一側(cè)對稱的點上放置一個同一強度的源，這兩個源在直壁位置上產(chǎn)生的速度必然大小相等，一個上斜，一個下斜，斜角相等，結(jié)果合速度必然恰好與直壁一致直壁上一半為真實流動，下一半是認為配的，這種方法稱為鏡像法鏡像法的流函數(shù)：46鏡像法y=0時，=0，x軸是流線之一。沿y軸只有vy鏡像源的作用分析0ya：鏡像產(chǎn)生的速度與實有點源的速度同一方向，增大速度（設(shè)想點源自由移動）在直壁上：坐標原點O左右|x|a，流速逐漸增大，壓強逐漸下降在原點附近：高壓

15、區(qū)（氣墊船）47鏡像法一個強度為的點渦放在一個直壁旁邊，直壁的作用也用鏡像法分析：在直壁另一側(cè)布置等強度反向鏡像點渦流函數(shù)：48鏡像法直壁上任何一點P受到兩個渦的作用，合速度vx，和沒有直壁的情況對比，直壁的存在把實有點渦原來的下一半的流動擠到一起，流速增大單個渦的存在，自己對自己無誘導速度，所有渦不會移動。直壁的作用等于鏡像，鏡像渦會對實有渦產(chǎn)生誘導速度，使實有渦以4a的速度向右移動49鏡像法一對實有渦在彼此的作用下會平行向前，同時直壁的作用又使二者向x方向運動（二者分開向外移動）兩個鏡像渦對每一個實有渦都起作用，而且二者所產(chǎn)生的x方向的誘導速度方向恰好相反，但并不恰好對消一個渦在互相垂直的

16、兩直壁間情況與圖類似50地面效應(yīng)飛機的地面效應(yīng)地面效應(yīng)的計算方法地面效應(yīng)對飛機飛行的影響地面效應(yīng)的利用51地面效應(yīng)飛行器52圓壁的干擾點源強度Q，坐標（a,0）；半徑R的圓，Ra，圓心在原點如何布置鏡像點源，得到有圓壁存在時的點源流動？（圓是一條流線）53例子位于(a,0)、(-a,0)強度為+Q的兩個點源和位于(0,a)、(0,-a)強度為-Q的兩個點源構(gòu)成的流場中有一條流線是半徑為a的圓54洞壁干擾風洞有限的尺度與飛機在大氣中飛行存在較大差別，風洞實驗的數(shù)據(jù)必須經(jīng)過修正才能使用，這種修正稱為洞壁干擾修正低速風洞的洞壁干擾又兩種效應(yīng)模型對氣流的堵塞效應(yīng)（通道變窄，流速提高，相當于改變了來流速

17、度）洞壁的限制改變氣流的下洗角（三維機翼的迎角有所改變）第一種效應(yīng)在低速風洞中往往修正不大，主要考慮第二種問題的修正55洞壁干擾圓形洞壁的修正一個有限機翼的渦系可以用兩個翼尖渦代替，則在圓外反演點上放兩個同強度反向點渦就行圓心不必放，未增加環(huán)量計算這兩個鏡像渦在翼展的中點（圓心）所產(chǎn)生的下洗速度（負值，實為上洗速度）模型吹風角等于安裝角加上這個上洗角56洞壁修正矩形洞壁的修正鏡像渦非常復雜：鏡像的鏡像，無窮無盡平壁和豎壁分開考慮，結(jié)合后如右圖需要計算兩個無窮多渦系對機翼翼展中心的上洗速度，并雙重求和如果風洞是開敞的，情況簡單很多57鱗片布源法前面講的基本位勢流迭加太簡單，沒有實際應(yīng)用的價值，需

18、要理解的重點是：直勻流繞流的基本特點和研究方法理解源、渦這些基本解能起的作用：源源把來把來流撐開；渦流撐開；渦產(chǎn)生升力產(chǎn)生升力鱗片布源法是一種實用的求解繞流問題的方法，其應(yīng)用不限于二維無升力問題，可以求解三維問題，也可以有升力問題。 本章先用無升力問題介紹此法，掌握要領(lǐng)58鱗片布源法問題的提出：點源可以起到撐開流體的作用，那么如何布置點源可以得到我們需要如何布置點源可以得到我們需要的物體的形狀的物體的形狀？例如，若想使駐點成為一條豎壁，如何布置點源？答案：在半無限長體駐點的基礎(chǔ)上，在上下位置多布置幾個同強度源逐步增加點源數(shù)目，看看能達到什么效果。59鱗片布源法60鱗片布源法表面分布的一系列源產(chǎn)

19、生的擾動速度把源分得極碎，均勻分布在一條直線上，分布強度是是單位線長的流量如果布置的合適，可以得到任意外形的繞流的流場61鱗片布源法擾動速度公式： 如果=1，則擾動速度為62鱗片布源法根據(jù)擾動速度公式畫出速度的分布曲線根據(jù)這些結(jié)果可以模擬 豎壁豎壁 需要布置什么樣的源了63鱗片布源法根據(jù)上述結(jié)果可以確定布源的原則：在物面上布置分布源，源引起物面上在物面上布置分布源，源引起物面上的擾動速度要保證沒有法向分量，只的擾動速度要保證沒有法向分量，只有切向分量，從而物線恰好成為流線有切向分量，從而物線恰好成為流線對于豎線段應(yīng)該布j =2v，從而擾動速度對消來流速度，沿該線沒有法向速度，只有切向速度。64

20、鱗片布源法上述辦法可以用來計算任意形狀物體的無升力流動：確定離散外形“鱗片”上的點源強度，所有問題就有答案了65鱗片布源法：求解思路把物體的周線分成m段，0,1,2m-1,m各分點稱為“邊界點”，第m個邊界點和出發(fā)點0重合。各分段長度不一定相等（曲率半徑小分段可長；反之分段短）。在每個分段上各布一種等強度j。布置了源的分段就是“鱗片”，每一片的中點稱為“控制點”。在控制點上滿足邊界條件，即在該點上的合速度的法向分量為零，此處的合速度包括來流速度，本片的源分布在控制點產(chǎn)生的法向速度（0.5 j ）以及其他m-1個片在此控制點產(chǎn)生的法向速度。在每個控制點上按照邊界條件建立了一個代數(shù)方程，其中在每個

21、控制點上按照邊界條件建立了一個代數(shù)方程，其中包括包括m m個待定的源強個待定的源強j j，一共，一共m m塊，建立了塊，建立了m m個線性方程，個線性方程，求解該方程得到各片上的點源強度，問題就求解出來了。求解該方程得到各片上的點源強度，問題就求解出來了。66鱗片布源法：求解步驟1.在整個流場上先確定一個坐標系x,y；2.計算某一個鱗片的源對另一個鱗片的作用時，規(guī)定起作用的片為第j片，受到擾動的片是第i片；3.給第j片設(shè)置一個局部坐標系x，y；這個坐標系的原點O放在第j片的中點，其x軸與第j片一致4.最原始的數(shù)據(jù)是圍線各分點在總坐標系上的坐標值(x1,y1),(x2,y2)(xm,ym)，分點

22、號碼順時針排列5.各控制點坐標取中點6.確定各片的法線方向余弦7.確定第i片的控制點在第j片局部坐標上的坐標值8.列代數(shù)方程組，并求解67例子使用鱗片布源法計算直勻流繞二維圓柱：68保角變換法復變函數(shù)可以用來描述平面流動，但只能描述平面流動（這是它的缺點），但使用復變函數(shù)方法描述平面流動非常簡潔基本思路：使用變換關(guān)系，將一個平面上的圖形變?yōu)榱硪粋€平面上的圖形，將一個復雜的、位勢函數(shù)寫不出來的繞流問題變?yōu)橐粋€簡單的、已知位勢函數(shù)的流動，間接解決二維復雜繞流。69保角變換法復變函數(shù)的相關(guān)知識復習解析函數(shù)復位勢函數(shù)保角變換70解析函數(shù)解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的導數(shù)（微分）解析函數(shù)的的性質(zhì)

23、：CauchyRiemann條件解析函數(shù)的積分：Cauchy積分定理Cauchy殘值定理71復位勢函數(shù)解析函數(shù)的實部和虛部可以構(gòu)成位勢函數(shù)和流函數(shù)，組成復位勢函數(shù)代表平面不可壓縮無旋流，速度分量和模復速度并不是速度向量本身，而是在x軸另一邊的鏡像，它是速度向量的共軛復數(shù)72復位勢函數(shù)復位勢函數(shù)的性質(zhì)繞角的流動在基本解中并未提及，真實意義不大，局部特性具有普遍意義凹角凸角73復位勢函數(shù)其它幾個簡單流動的復位勢函數(shù)74布勞休斯定理計算物體上所受力和力矩有布勞休斯定理可用。這個定理是根據(jù)動量定理和動量矩定理用復位勢函數(shù)導出的兩個公式75布勞休斯定理布勞休斯定理：如果流動存在位勢函數(shù)，其導數(shù)平方的一次

24、極點系數(shù)滿足 實部為物體x方向受力，虛部位y方向受力； 其導數(shù)平方與z乘積的一次極點系數(shù)滿足 實部是力對原點的力矩例：帶環(huán)量的繞圓流動76保角變換z平面和平面， 也是復變數(shù)二者之間規(guī)定一個關(guān)系z平面圖形與平面圖形的對應(yīng)關(guān)系：除了個別點之外，相應(yīng)的圖形上兩線段之間的夾角和原圖形上兩對應(yīng)線段之間的夾角相等 -保角變換77保角變換如果z平面上的兩個點對應(yīng)平面上的同一個點，如z=0點變換不保角，角度增大一倍|d/dz|=0或無窮，奇點，變換不保角不保角點上的角度變換規(guī)律78保角變換利用邊界上的奇點進行變換：把圓變成機翼79流型的變換在z平面上的一個位勢流動（比如繞某封閉曲線C的流動），等位線與流線正交

25、。經(jīng)過變換，在平面上，C變成C，等位線和流線變成另外兩族曲線，仍舊正交。變換變換后的兩族曲線仍舊可以看作等位線和流線后的兩族曲線仍舊可以看作等位線和流線。經(jīng)過一個給定的變換，z平面上繞C的位勢流變成平面上繞C的另一個位勢流。80流型的變換在平面上，流動的復位勢函數(shù)導自為W(z)W=W(z), =f(z)，可有W=W()平面上的復速度一般的地方，|d/dz|是有限值，但在奇點處此值可以是零或無限大的速度。 在在z z平面上本來是有限的速度，到了平面上本來是有限的速度，到了平面上可能變成無限大的平面上可能變成無限大的速度速度 通過保角變換圓可以變成翼型通過保角變換圓可以變成翼型81流型的變換直勻流

26、繞圓周變成流過平板（與來流平行）的流動82流型的變換繞圓的流動的復位勢函數(shù)是給定變換關(guān)系此式稱為茹科夫斯基變換，其特點為：將z平面上半徑為a的圓以外的域變成整個平面不改變來流83流型的變換在平面上的復速度：在遠前方Z平面上繞圓的流動經(jīng)過變換變成：這是流速為v平行于軸的直勻流物體變成和來流平行的無厚度的平板 不考慮黏性，平板自然是一條流線，對流動無擾動 84流型的變換這個變換的導數(shù)是 因而存在z=a兩個奇點，將在z0=a展開 85流型的變換直勻流從負i軸繞過一塊總長4a的橫板在平板兩頭 z=a的地方速度無限大實際情況不同，不存在無限大速度，但z=a是速度最大點黏性的效應(yīng)，以后會介紹86流型的變換與圖中平板相應(yīng)的物形在z平面上