第8章有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計

1、第第7章章 有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計 2022-5-112本章將介紹數(shù)字濾波器的一種主要類型：有限脈沖響應(yīng)濾波器，或稱FIR濾波器。 本章內(nèi)容包括： 在回顧非遞歸濾波器的差分方程、脈沖響應(yīng)、傳輸函數(shù)及頻率響應(yīng)的基礎(chǔ)上，說明FIR濾波器的特點、設(shè)計方法和線性相位條件。 定義FIR窗，并給出選擇窗類型和濾波器階數(shù)的方法。 列出窗函數(shù)法低通濾波器設(shè)計步驟，以及如何設(shè)計帶通、帶阻和高通FIR濾波器。 給出頻率采樣法設(shè)計濾波器的基本原理，選擇過渡點數(shù)和濾波器階數(shù)的方法。 最后討論等波紋FIR濾波器的設(shè)計，并對FIR和IIR濾波器作全面比較。2022-5-113目 錄 7.1 有限

2、脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ) 7.2 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點數(shù)字濾波器的條件和特點 7.3 利用窗函數(shù)法設(shè)計利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器濾波器 7.4 用頻率采樣法設(shè)計用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器 7.5 用等波紋逼近法設(shè)計用等波紋逼近法設(shè)計FIR濾波器設(shè)計濾波器設(shè)計 7.6 IIR和和FIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較2022-5-1147.1 有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ) 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的優(yōu)點是可以利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單。 但是它也有明顯的缺點，就是相位的非線性；若需

3、線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正。 因為圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性。而有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器就可以做成具有嚴格的線性相位，同時又可以具有任意的幅度特性。2022-5-115FIR濾波器的特點FIR濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的(0nN-1)，其z變換為 10)()(NnnznhzH是z-1的(N-1)階多項式，在有限z平面(0n1) 7-417-42結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同為8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣峰值小41dB，用哈明窗設(shè)計的低通濾波器，阻帶中最大旁瓣比通帶增益低55dB。如圖7-19所示

4、。2022-5-11465.布萊克曼窗(Blackman Window)(二階升余弦窗)為了更進一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到布萊克曼窗)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nwNnNnnwR其頻譜的幅度函數(shù)為)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRR7-437-44其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WR()函數(shù)，使旁瓣再進一步抵消。 2022-5-1147圖7-18給出了當N=51時五種窗函數(shù)的幅度譜。可以看出，隨著旁瓣的減小，主瓣寬度相應(yīng)增加了。圖7-19則是利用這五

5、種窗函數(shù)對同一技術(shù)指標(N=51，截止頻率c=0.5)設(shè)計的FIR濾波器的幅度響應(yīng)。 (a)矩形窗 (a)矩形窗圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)2022-5-1148圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)(b)巴特列特窗 (b) 巴特列特窗(c)漢寧窗 (c)漢寧窗 2022-5-1149圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)(d)哈明窗 (d)哈明窗(e)布萊克曼窗 (e)布萊克曼窗 2022-5-1150用窗函數(shù)法設(shè)計低通FIR濾波器現(xiàn)在把用窗函數(shù)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟歸納如下給出希望設(shè)計的濾波器

6、的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)；若所給指標為邊界頻率和通帶、阻帶衰減，可選理想濾波器作逼近函數(shù)。計算以下積分，求出hd(n) 7-47 )()sin()(21nndeeHnhcnjjddcc為保證線性相位，取=(N-1)/2根據(jù)阻帶衰減指標，選擇窗函數(shù)的形狀，可查表7-42022-5-1151根據(jù)允許的過渡帶寬度，選定N值。由=A/N可得AN 7-48式中，A取決于所選定的窗函數(shù)，也可查表7-4得到。將hd(n)與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)h(n) h(n)= hd(n)w(n) 7-49計算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗證是否達到所要求的指標10)()(NnnjjenheH由H(e

7、j)計算幅度響應(yīng)H()和相位響應(yīng)()。7-502022-5-1152在實際設(shè)計中，有許多具體問題要處理。盡管窗函數(shù)法由于有明顯的優(yōu)點而受到重視，但是，以下兩個原因使它的應(yīng)用受到限制。其一，很難準確控制濾波器的通帶邊緣；其二，若Hd(ej)不能用簡單函數(shù)表示，則計算式(7-47)的積分非常困難。第一個問題只有通過多次設(shè)計來解決。理想低通濾波器的截止頻率c，由于窗函數(shù)主瓣的作用而產(chǎn)生過濾帶。出現(xiàn)了通帶截止頻率1和阻帶截止頻率2。在1和2處的衰減是否滿足通帶和阻帶的要求，也就是1和2是否就是所需要的通帶和阻帶的截止頻率，這是不一定的。為了得到滿意的結(jié)果，不得不假設(shè)不同的c進行多次設(shè)計。 2022-5

8、-1153第二個問題的解決辦法是用求和來代替積分。由式(7-47)知20)(21)(deeHnhnjjdd若以Hd(ej)ejn在 的M個點上的值之和代替上式中的積分，則有 kMk210222)(1)(MKknMjkMjkMjddeeeHMnh上式表明 實際上等效于 序列的M點IDFT。根據(jù)頻率取樣的討論可知，與hd(n)有如下的關(guān)系 7-51)(nhd)()(2kMjddeHkHrddrMnhnh)()(7-52因此，當MN時， 在窗口范圍內(nèi)能很好地逼近hd(n)。 )(nhd2022-5-1154例7-3 設(shè)計一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為s=21.5104(rad/sec)

9、，模擬低通通帶截止頻率為p=21.5103(rad/sec)，阻帶起始頻率為st=23103(rad/sec)，阻帶衰減不小于-50dB。幅度特性如圖7-20所示。 圖7-20 要求的模擬低通濾波器的特性2022-5-1155解：本題要求設(shè)計一個數(shù)字的FIR低通濾波器, 來模仿模擬濾波器，達到模擬濾波器的指標。所以在設(shè)計前要先將模擬的邊界頻率轉(zhuǎn)為數(shù)字邊界頻率，轉(zhuǎn)換公式為 sT2計算對應(yīng)的數(shù)字頻率 通帶截止頻率為 阻帶起始頻率為 阻帶衰減相當于2=50dB設(shè)Hd(ej)為理想線性相位低通濾波器 ，其他，0)(cjjdeeH2 . 02spsppf4 . 02sstsststf2022-5-115

10、6首先由所需低通濾波器的過渡帶求理想低通濾波器的截止頻率c sec)/(1025. 22)(213radstpc其對應(yīng)的數(shù)字頻率為3 . 02scsccf由此可得)()sin(21)()(nndenhcnjdcc其中，為線性相位所必須的移位，根據(jù)7-1節(jié)的討論知道應(yīng)滿足=(N-1)/2。2022-5-1157由阻帶衰減2來確定窗形狀，由過渡帶寬確定N 由于2=50dB，查表7-3可選哈明窗，其阻帶最小衰減-50dB滿足要求。所要求的過渡帶寬(數(shù)字頻域)=st-p=0.2,因哈明窗過渡帶寬滿足=6.6/N，所以332 . 06 . 66 . 6N1621N取N=41，則由哈明窗表達式w(n)確定

11、FIR濾波器的h(n)。哈明窗為2022-5-1158)()12cos(46. 054. 0)(nwNnnwR)21()21sin()(NnNnnhcd所以)()16cos46. 054. 0()16()16( 3 . 0sin)()()(nwnnnnwnhnhRd由h(n)求H(ej)檢驗各項指標是否滿足要求，如不滿足要求要改變N，或改變窗形狀(或兩者都改變)來重新計算 njnjenheH)()(320H(ej)的圖形已畫在圖7-21上，滿足設(shè)計要求。 2022-5-1159圖7-21 例7-3設(shè)計出的線性相位FIR低通濾波器幅頻特性2022-5-1160線性相位FIR高通、帶通和帶阻濾波器

12、的設(shè)計 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的定義參看第六章圖6-2。利用奇對稱單位脈沖響應(yīng)的特點(見表7-2)還可以設(shè)計90移相位(或稱離散希爾伯特變換器)以及幅度響應(yīng)與成線性關(guān)系的線性差分器。1.線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計按指標要求的理想線性相位高通濾波器的頻率響應(yīng)為，其他，0)(cjjdeeH7-53其中=(N-1)/2，它的單位脈沖響應(yīng)為2022-5-116121)(21)()()(ccdededeeHnhnjnjnjjddnnnnnccc，1)(1)sin()sin()(17-54選定窗w(n)即可得所需線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)選用哪一種窗函數(shù)和阻帶衰減有關(guān)，而時域窗的點數(shù)N

13、則和過渡帶寬有關(guān) h(n)= hd(n) w(n)2022-5-1162但是由表7-2看出，無固定相移時只能采用偶對稱單位脈沖響應(yīng)，另外，對高通濾波器來說N只能取奇數(shù)，因為N為偶數(shù)H()在=處為0，不能做為高通濾波器。求出h(n)后，可求H(ej)，以此檢驗是否滿足指標要求，否則要重新設(shè)計，這和低通濾波器的討論一樣。 2線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計理想線性相位帶通濾波器的頻率響應(yīng)為其他, 00 ,)(21jjdeeH7-55其中=(N-1)/2。此濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)為2022-5-116321)(21)(211)(2)(dededeeHnhnjnjnjjddnnnnn，)(1)s

14、in()sin()(112127-56這里，當1=0，2=c時，即為理想線性相位低通濾波器。當2=，1=c時，即為理想線性相位高通濾波器。后續(xù)設(shè)計步驟與FIR低通濾波器相同。3.線性相位FIR數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計2022-5-1164帶阻濾波器的設(shè)計與帶通濾波器的設(shè)計步驟完全相同，只是理想頻率特性有所不同。，其它，0|,|0)(21jjdeeH7-57其中=(N-1)/2。同樣可得deeHnhnjjdd)(21)(212112)()(deddenjnjnnnnnn),(1,)sin()sin()sin()(121217-582022-5-1165線性相位FIR帶阻濾波器只能采用偶對稱單位脈沖響

15、應(yīng)，N等于奇數(shù)來設(shè)計，道理與討論高通濾波器是一樣的。由理想濾波器的低通公式、高通公式、帶通公式以及帶阻公式可以看出 一個高通濾波器相當于一個全通濾波器減去一個低通濾波器 一個帶通濾波器相當于兩個低通濾波器相減，其中一個截止頻率為2，另一個截止頻率為1，即 )()()(12nhnhnhLLBP7-592022-5-1166一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波器(截止頻率為1)加上一個高通濾波器(截止頻率為2)，即)()()(nhnhnhHLBS7-60上述關(guān)系也可作為高通、帶通和阻帶濾波器的設(shè)計方法窗函數(shù)法的特點 采用窗函數(shù)法，設(shè)計簡單，方便，也實用，但要求用計算機；且邊界頻率不易控制。窗函數(shù)設(shè)計法

16、是從時域出發(fā)的一種設(shè)計法。但一般技術(shù)指標是在頻域給出的。因此，下面介紹的頻率采樣法更為直接，尤其對于Hd(ej)公式比較復雜，或Hd(ej)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率采樣設(shè)計法更為方便、有效。2022-5-11677.4 利用頻率采樣法設(shè)計利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器用頻率采樣法設(shè)計濾波器的基本原理 待設(shè)計的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ej)表示，可按下列思路進行設(shè)計：對它在=0到2之間等間隔采樣N點，得到Hd(k) 1, 2 , 1 , 0| )()(2NkeHkHkNjdd，對N點Hd(k)進行IDFT，得到h(n) 1, 2 , 1 , 0,)(1)(102Nnek

17、HNnhNkknNjd式中，h(n)作為所設(shè)計的濾波器的單位取樣響應(yīng)。7-627-612022-5-1168由h(n)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)10)()(NnnznhzH7-63以上是用頻率采樣法設(shè)計濾波器的基本原理。 另外在第三章3.4節(jié)學習了頻率域采樣定理，曾得到利用頻率域采樣值恢復原信號的z變換公式(3-6061)式,式中X(k)和X(z)在這里應(yīng)改為Hd(k)和H(z)，將插值公式重寫如下 10121)(1)(NkkNjdNzekHNzzH7-64此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，式(7-63) 和(7-64)都屬于用頻率采樣法設(shè)計的濾波器， (7-63)式適合FIR

18、直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，(7-64)式適合頻率采樣結(jié)構(gòu)。 2022-5-1169實際濾波器的傳輸函數(shù) ，與理想的傳輸函數(shù)Hd(ej)間存在誤差，如圖7-28，需要討論逼近誤差問題及其改進措施。 jezjzHeH| )()(圖7-28 頻率采樣的響應(yīng)2022-5-1170用頻率采樣法設(shè)計線性相位濾波器的條件 這里只討論第一類線性相位問題，第二類線性相位問題可按類似方法處理。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實序列，且滿足h(n)= h(N1n)，參看表7-2中情況1和情況2，已推導出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是 )()()(jgjdeHeH21)(N奇數(shù)NHHgg),2()(偶數(shù)NHHgg),2()

19、(且Hg()=0 7-657-667-677-68對Hd(ej)進行N點等間隔采樣得到Hd(k)，則Hd(k)也必須具有(7-67)或(7-68)式特性，才能使由Hd(k)經(jīng)過IDFT得到的h(n)具有偶對稱性，達到線性相位的要求 2022-5-1171在=02之間等間隔采樣N點1, 2 , 1 , 02NkkNk，將=k代入(7-65)(7-68)式中，并寫成k的函數(shù) )()()(kjgdekHkHkNNkNNk1221)()()(kNHkHggN=奇數(shù) )()(kNHkHggN=奇數(shù)，且 0)2(NHg(7-69)(7-72)就是頻率采樣值滿足線性相位的條件,說明N等于奇數(shù)時Hg(k)對(

20、N1)/2偶對稱，N等于偶數(shù)時, Hg(k)對N/2奇對稱，且Hg(N/2)=0。 7-697-707-717-722022-5-1172設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計的濾波器，截止頻率為c，采樣點數(shù)N，Hg(k)和(k)用下面公式計算 1, 2 , 1 , 0,/) 1()(1, 2, 1, 0)(, 2 , 1 , 0, 1)()(NkNkNkkNkkkkHkkkNHkHcccgcggN=奇數(shù)時 N=偶數(shù)時 1, 2 , 1 , 0,1)(1, 2, 1, 0)(, 2 , 1 , 0, 1)(, 2 , 1 , 0, 1)(NkkNNkkNkkkkHkkkNHkkkHcccgcgcg7-737

21、-742022-5-1173上面公式中的kc是小于等于cN/(2)的最大整數(shù)。另外，對于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。 逼近誤差及其改進措施1.產(chǎn)生誤差的原因從圖7-28可看出，實際的H(ej)與理想的Hd(ej)相比，誤差主要體現(xiàn)在一是通帶和阻帶出現(xiàn)波動，二是過渡帶加寬，與窗函數(shù)設(shè)計法情況類似，產(chǎn)生誤差的原因可從時域和頻域兩方面進行分析。 從時域分析：如果Hd(ej)有間斷點，那么相應(yīng)單位取樣響應(yīng)hd(n)應(yīng)是無限長的。這樣，由于時域混疊，引起所設(shè)計的h(n)和hd(n)有偏差。為此，希望在頻域的采樣點數(shù)N加大。N愈大，設(shè)計出的濾波器愈逼近待設(shè)計的濾波器Hd(ej)。 2022-5-1

22、174從頻域分析 在采樣點=2k，k=0,1,2,N-1,(-2k/N)=1，因此，采樣點處H (ejk) (k=2k/N)與H(k)相等，逼近誤差為0。在采樣點之間，H(ej)由有限項的H(k)(-2k/N)之和形成。其誤差和Hd(ej)特性的平滑程度有關(guān)，特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈?。惶匦郧€間斷點處，誤差最大。表現(xiàn)形式為間斷點用傾斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻衰減減小，往往不能滿足技術(shù)要求。 2022-5-11752.減小誤差的方法 最直觀的想法是增加采樣點數(shù)，即加大N值，由于過渡帶就等于采樣間隔(參看圖7-28)，即 N27-76所以加大N，可使過渡帶變窄，但增加要適當，否則會

23、增加濾波器體積與成本。但是，增加N并不會改善濾波器的阻帶衰減特性，因為Hd(ej)是理想矩形, 無論怎樣增多頻率采樣的點數(shù)，在通、阻帶交界處，幅值總是從1突變到0，會引起較大的起伏振蕩。 為使逼近誤差更小，和窗口法的平滑截斷一樣，通過在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點的邊緣上加一些過渡的抽樣點，減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。 2022-5-1176一般過渡帶取一、二、三點抽樣值即可得到滿意結(jié)果。如在低通設(shè)計中，不加過渡點時，阻帶最小衰減為-20dB，加三個過渡點(最優(yōu)設(shè)計)則可達-80dB到-95dB左右。加過渡點的示意如圖7-29所示。 (a) (b) (c)增加過度點，

24、可使阻帶衰減明顯提高，但付出的代價是過渡帶加寬，可通過下式加大N來調(diào)整。 圖7-29 理想低通濾波器增加過渡點) 1(2mNm=0，1，2，3 7-772022-5-1177頻率采樣法設(shè)計線性相位FIR低通濾波器 低通濾波器的設(shè)計步驟可參閱7.4.1的基本原理，此外，設(shè)計關(guān)鍵是 (1)根據(jù)阻帶衰減要求，確定過渡點數(shù)，并優(yōu)化過渡點值; (2)根據(jù)過渡帶要求，確定采樣點數(shù)N，由式(7-77) ) 1(2mN7-78頻率采樣法的特點 頻率采樣法設(shè)計濾波器最大的優(yōu)點是直接從頻率域進行設(shè)計，比較直觀，也適合于設(shè)計具有任意幅度特性的濾波器。但邊界頻率不易控制。如果增加采樣點數(shù)N，對確定邊界頻率有好處，但會

25、增加濾波器的成本。因此，它適合于窄帶濾波器的設(shè)計。2022-5-1178例7-6利用頻率采樣法設(shè)計線性相位低通濾波器， 要求截止頻率 c=/2rad， 采樣點數(shù)N=33，選用 h(n)= h(N1n)情況。 解 用理想低通作為逼近濾波器。因N為奇數(shù)，按照(7-73)式 Hg(k)= Hg(33-k)=1， k=0，1，2，8 Hg(k)=0， k=9，10，23，24 (k)= - 32k/33， k=0，1，2，32 其中 ，取kc=8。 25. 823322Nkcc理想低通幅度特性采樣情況如圖7-31所示 2022-5-1179圖7-31 例7-6對理想低通進行采樣將采樣得到的H(k)=H

26、g(k)ej(k)進行IDFT，得到h(n)，計算其頻響，其幅度特性如圖7-32(a)所示。 為加大阻帶衰減，可增加一個過渡點，在k=9處，令Hg(9) = 0.5，結(jié)果得到的濾波器幅度特性如圖7-32(b)所示 如果改變Hg(9)=0.3904,其幅度特性如圖7-32(c)所示，阻帶最小衰減可達40dB。因此，這種用加寬過渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。 2022-5-1180圖7-32 例7-6的幅度特性 (c) (b)(a)2022-5-11817.5 用等波紋逼近法設(shè)計用等波紋逼近法設(shè)計FIR濾波器設(shè)計濾波器設(shè)計 加權(quán)切比雪夫等波紋逼近 1.切比雪夫最佳一致逼近準則 設(shè)所要求的濾波器

27、的幅度函數(shù)為Hd()，用線性相位四種FIR濾波器之一的幅度函數(shù)Hg()做逼近函數(shù)，設(shè)逼近誤差的加權(quán)函數(shù)為W()，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)定義為 E()= W() Hd()- Hg() 7-79由于不同頻帶中誤差函數(shù)Hd()-Hg()的最大值不一樣，故不同頻帶中W()值可以不同，使得在各頻帶上的加權(quán)誤差E()要求一致(即最大值一樣)。設(shè)計過程中W()為已知函數(shù)。 2022-5-1182為設(shè)計具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設(shè)設(shè)計的是h(n)= h(N1n)，N=奇數(shù)情況，由表7-2情況1可知 2/ ) 1(0cos)()(NngnnaH將Hg()代入(7

28、-79)式，則 cos)()()()(0MndnnaHWE7-80式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇M+1個系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差E()的最大值為最小，即 |)(|maxminEA式中A表示所研究的頻帶，這里指通帶或阻帶。 2022-5-1183式(7-80)，是一個由M次多項式，根據(jù)上面提出的準則逼近一連續(xù)函數(shù)的問題。切比雪夫理論指出這個多項式存在且唯一，并指出構(gòu)造該多項式的方法是“交錯點組定理”。該定理提出最佳一致逼近的充要條件是E()在A上至少呈現(xiàn)M+2個“交錯”，使得 )()(1iiEE)(max)(EEAiAM,1210按照該準則設(shè)計的濾波器通帶或組帶具有等波動性質(zhì)

29、2.利用最佳一致逼近準則設(shè)計線性相位FIR濾波器 2022-5-1184設(shè)希望設(shè)計的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為 spdH, 00 , 1)(圖7-36低通濾波器的最佳逼近 式中p為通帶截止頻率，s為阻帶截止頻率，如圖7-36所示，1為通帶波紋峰值，2為阻帶波紋峰值。設(shè)單位脈沖響應(yīng)長度為N。如果知道了A上的M+2個交錯點頻率：0，1，,M+1，按照(7-80)式，并根據(jù)交錯點組準則，可寫出 2022-5-11851210|,)(|max) 1(cos)()()(0MkEnnaHWAkMnkkdk，將式(7-81)寫成矩陣形式 7-81)()()()()()2() 1 ()0()()

30、 1(cos2coscos1)(1cos2coscos1)(1cos2coscos1)(1cos2coscos11210111222211110000MdMddddMMMMMMHHHHHaaaaWMWMWMWM7-822022-5-1186解上式，可以惟一地求出a(n)，n=0，1，2，M，以及加權(quán)誤差最大絕對值。由a(n)可以求出濾波器的h(n)。但實際上這些交錯點組的頻率0,1,M是不知道的，且直接求解(7-82)式也是比較困難的。數(shù)值分析中的雷米茲(Remez)算法靠一次次迭代求得一組交錯點組頻率，而且每一次迭代的過程中避免直接求解(7-82)式。 (1)在頻域等間隔取M+2個頻率0，1，M+1作為交錯點組的初始值。按下式計算值 1010)(/) 1()(MkkkkMkkdkWaHa7-832022-5-1187式中 1, 0coscos1)