第10章組合變形哈工程

1、第十章 組合變形組合變形組合變形是兩種或兩種以上基本變形（拉、壓、剪、扭、彎）的組合。分析組合變形強(qiáng)度問題的關(guān)鍵在于對任意作用的外力進(jìn)行分解或簡化.10.1 概述概述10.2 斜彎曲斜彎曲10.3 拉伸拉伸(壓縮壓縮)與彎曲的組合與彎曲的組合10.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合10.1 概述概述一、工程實(shí)例一、工程實(shí)例壓彎組合變形壓彎組合變形拉彎組合變形拉彎組合變形彎扭組合變形壓彎組合變形壓彎組合變形 工程實(shí)際中的桿件，承受的載荷一般比較復(fù)雜，它所產(chǎn)生的變形往往包含有兩種或兩種以上基本變形，這類問題稱為組合變形組合變形。例如斜放在屋架上的檁條，在垂直向下的載荷作用下，由于加力線不在縱向?qū)?/p>

2、稱面內(nèi)，桿件將在兩個相互垂直的主慣性平面內(nèi)同時發(fā)生平面彎曲（這類變形稱為斜彎曲斜彎曲）。pyzq二、組合變形時強(qiáng)度計(jì)算的方法組合變形時強(qiáng)度計(jì)算的方法根據(jù)力的獨(dú)立作用原理，在小變形和應(yīng)力應(yīng)變滿足線性關(guān)系的條件下，組合變形時桿件的應(yīng)力狀態(tài)可以看成是幾種簡單受力形式下應(yīng)力狀態(tài)的疊加。組合變形時強(qiáng)度計(jì)算的步驟大致為：（1） 將外力簡化或分解成幾個簡單受力形式。（2） 根據(jù)所繪各基本變形的內(nèi)力圖，判斷可能的危險(xiǎn)界面的位置（有時不必畫出內(nèi)力圖），并確定危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力分布。（3） 根據(jù)危險(xiǎn)截面上與各內(nèi)力相對應(yīng)的應(yīng)力分布，判斷危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，利用疊加原理確定危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（4） 根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立

3、相應(yīng)的強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。10.2 斜彎曲斜彎曲斜放在屋架上的檁條載荷雖過形心，但與兩個形心主軸都不重合變形后，梁的撓曲線將不再在外力作用面內(nèi)。zpjyyjzpommyypzjz(a)lxxyp(b)yzxo(c)oyzxzp以矩形截面懸臂梁為例一、內(nèi)力與應(yīng)力計(jì)算一、內(nèi)力與應(yīng)力計(jì)算P沿主軸分解sinyPPjcosZPPj彎距sinsinZyMP lxP lxMjjcoscosyzMP lxP lxMjj式中 是力P對mm截面的總彎矩。()MP lx、 的方向如圖a所示。(b)yzszM引起(a)xmyDyMzMm(c)yzsyM引起yMZM 、 所產(chǎn)生的正應(yīng)力分布如圖b 、c所示。yMZM

4、 截面上任意一點(diǎn)D（x，y）的正應(yīng)力，由疊加原理有sss由 引起的彎曲正應(yīng)力ZMsinzzzM yMyIIjs 引起的彎曲正應(yīng)力為(a)(b)(c)xmyDyMzMymzyzsszM引起yM引起yMcosyyzM zMzIIjs兩者為共線向量，因此sincos()zyMyzIIjjs（10-1）在每一具體問題當(dāng)中， 和 是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，可根據(jù)桿件的變形來確定。ss例例 圖示懸臂梁在兩個不同截面上分別受有水平力 和鉛錘力 作用。若 ，試求以下兩種情況下梁內(nèi)的最大正應(yīng)力及其作用位置。（1）梁的截面為矩形，其寬和高分別為 。（2）梁為圓截面，其直徑 。1P2P1800,PN21650,PN2lm

5、9,18bcm hcm13dcm2P1m1md1Pzy2P1m1m1PxObh解解 (1)矩形截面 引起 引起 兩者疊加zy2P1m1m1PxObh353510.09 0.184.374 101210.18 0.091.0935 1012yzII2P51650 0.093.3954.374 10yMzMPaIs1P5800 0.045 26.581.0935 10zMyMPaIsmax9.98MPas(2)圓形截面：設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為(y , z) 引起 ; 引起 2P1m1md1P464dI2P1650zIs1P800 2yIs 220.065zy450.131.4019 1064兩者疊加由得故有

6、16501600zyIs 0ddys0.0452y 0.0466z 51650 0.046671600 0.045210.71.4019 10MPas221650 0.0651600yyI二、最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件二、最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件在斜彎曲中，截面上作用著拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。正應(yīng)力為零的直線稱為截面上的中性軸。如果記中性軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， 利用式（10-1），并令 ，即可得到中性軸的方程為（10-2）00,y z0s00sincos0zyyzIIjjyzjp1D2D(a)中性軸中性軸是通過截面形心的一條直線。根據(jù)中性軸的位置，可以確定距離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力最大。yzjp1D2D(a)中性軸

7、進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時，一般先根據(jù)內(nèi)力判斷危險(xiǎn)截面的位置，再計(jì)算危險(xiǎn)截面上最大正應(yīng)力即危危險(xiǎn)點(diǎn)正應(yīng)力險(xiǎn)點(diǎn)正應(yīng)力。危險(xiǎn)截面上距離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)，對于像矩形一類的具有棱角的截面，危險(xiǎn)點(diǎn)的位置易于確定。對沒有棱角的截面，要首對沒有棱角的截面，要首先確定截面中性軸的位置，然后先確定截面中性軸的位置，然后在截面周邊上作平行于中性軸的在截面周邊上作平行于中性軸的切線，切點(diǎn)就是危切線，切點(diǎn)就是危險(xiǎn)點(diǎn)險(xiǎn)點(diǎn)。 apzy(b)2D1D 危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)。若危險(xiǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 和 ，且設(shè)材料的抗拉和抗壓強(qiáng)度相等，則強(qiáng)度條件為 （10-3）對于像矩形一類截面，強(qiáng)度條件可表示為 （10-4）11,y z22,y

8、z max1,21,2sincos()zyMyzIIjjss maxmaxmaxyzzyMMWWssapzy(b)2D1D注意：材料的抗拉、抗壓強(qiáng)度不同，應(yīng)分別對材料的抗拉、抗壓強(qiáng)度不同，應(yīng)分別對最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力進(jìn)行校核最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力進(jìn)行校核。若進(jìn)行截面選擇，由于強(qiáng)度條件中 、 （或 、 和 、 ）等均未知，不能同時確定 、 兩個值，這時應(yīng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)先設(shè)定一個 的值，再試算求解。yWzWyIzI1y1zyWzW/zyW Wf三、斜彎曲時的撓度三、斜彎曲時的撓度斜彎曲時梁的撓度，同樣可用疊加原理計(jì)算。先求出 引起的撓度 和 引起的撓度 ，再按矢量合成求出總撓度 的大小和方向。yPyf

9、ZPzff例例 求如圖所示懸臂梁自由端的撓度?？刹楸淼?于是，自由端總的撓度為 （10-5）設(shè)總撓度與Z軸的夾角為 ，則 （10-6）33yyzp lfEI33zzyp lfEI22yzffftantanyyzzfIfIjommyypzjxz7.3 拉伸（壓縮）與彎曲的組合拉伸（壓縮）與彎曲的組合 在下述兩種加載方式下，桿件將產(chǎn)生拉彎或壓彎組合變形： （1）軸向載荷與橫向載荷同時作用； （2）偏心拉伸或壓縮。PRP一、強(qiáng)度計(jì)算一、強(qiáng)度計(jì)算 桿件橫截面上只考慮 、 、 引起的正應(yīng)力。（1）根據(jù) 、 、 的大小，可以判斷出桿件危險(xiǎn)截面的位置。（2）根據(jù) 、 、 的實(shí)際作用方向，可以判斷出截面上危險(xiǎn)

10、點(diǎn)的位置。（3）將各個內(nèi)力分量在危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力疊加，就得到危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力值。yMZMNyMZMNyMZMN對于矩形截面桿，有 （10-7）式中的符號由危險(xiǎn)點(diǎn)處軸力和彎矩實(shí)際引起的應(yīng)力是拉還是壓來決定。危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為 （10-8）maxyzyzMMNAWWs maxss例例 圖為小型壓力機(jī)示意圖。其鑄鐵框架材料許用拉應(yīng)力 ，許用壓應(yīng)力 。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的最大許可壓力P。（立柱的截面尺寸如圖b所示。）30MPas120MPasmnpp(a)(b)350yOz501500z1zy50解解 （1） 計(jì)算截面的幾何參數(shù)坐標(biāo)選取如圖，形心O的位置： 由平行移軸公式得立柱橫截面積

11、為 0iiiAzzA3322415 55 1515 5 515 5 553101212yIcm 215 5 15 5150Acm yOz501500z1zy5015 5 2.5 15 557.57.515 5 15 5 （2） 計(jì)算立柱的內(nèi)力和應(yīng)力 在mn截面將立柱切開NP2357.5100.425yMPPpnmyMN軸力N產(chǎn)生均勻分布的拉應(yīng)力 彎矩 產(chǎn)生線性分布的正應(yīng)力 ，內(nèi)側(cè)受拉，外側(cè)受壓。syMsss疊加后，內(nèi)側(cè)邊緣拉應(yīng)力最大，外側(cè)邊緣壓應(yīng)力最大，均為危險(xiǎn)點(diǎn)。 P需分別按抗拉和抗壓強(qiáng)度條件計(jì)算。sspnmyMNs（3）求最大許可壓力P按抗拉強(qiáng)度條件即 解出 0maxyyM zNAIss2

12、6480.4257.5 1030 10150 105310 10PP345.1 10PNpnmyMNsss按抗壓強(qiáng)度條件 即解出 為使立柱安全工作，最大許可壓力P為 45.1KN 。3128.7 10PN1maxyyMzNAIss26480.42512.5 10120 10150 105310 10PPpnmyMNsss例例 圖示短柱受載荷P和H作用，試求固定端截面上角點(diǎn)A、B、C、D的內(nèi)力。解解（1） 固定端截面內(nèi)力 （2） 截面幾何參數(shù)25NkN3325 1025 10625yMNm335 10600 103000zMNm 632150 100 1015 10Am29431150 1001

13、02.5 106yWm29431100 150103.75 106zWmH=5KNP=25KNAyzBCD150100255075（3）應(yīng)力計(jì)算yzAyzMNMAWWs yzByzMNMAWWs H=5KNP=25KNAyzBCD150100255075334425 10625300015 102.5 103.75 10 61.672.5810 628.83 10/N m623.83 10/N m61.672.5810 yzDyzMNMAWWs yzCyzMNMAWWs H=5KNP=25KNAyzBCD1501002550756212.2 10/N m 61.672.5810 627.17

14、10/N m61.672.5810 二、截面核心二、截面核心 圖a表示一受偏心壓縮的短柱 將 向軸線簡化為圖b：PyPMPzzPMPyyxzpopypzA(a)(b)zxoyzMyMPAs zPzzM yPy yIIs yPyyM zPz zIIs yxzpopypzA(a)(b)zxoyzMyM在橫截面上，坐標(biāo)為 的B點(diǎn)，與三種變形相對應(yīng)的應(yīng)力分量分別是：, y z式中負(fù)號表示壓應(yīng)力。由疊加原理，并考慮到 ， ，得B點(diǎn)正應(yīng)力為 （10-9）如果用 代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，因中性軸上正應(yīng)力 為零，可得中性軸方程為 （10-10）2zzIAi2yyIAi221PPzyy yz zPAiis 0

15、0(,)y zs002210PPzyy yz zii PAs yPyyM zPz zIIs zPzzM yPy yIIs 中性軸是一條不通過截面形心的直線中性軸是一條不通過截面形心的直線令 和 ，可得中性軸在截面上的截距分別為 （10-11） 00z 00y 2zyPiay 2yzPiaz 002210PPzyy yz zii 表明（1） 與 ， 與 的符號均相反，所以中性軸與外力P作用點(diǎn)A分別在截面形心的兩側(cè)。 （2）若壓力P作用點(diǎn)逐漸向形心靠近，則截距逐漸增加，即中性軸逐漸遠(yuǎn)離形心。yaPyzaPz2zyPiay 2yzPiaz 在形心的近旁存在這樣一個區(qū)域，當(dāng)壓力作用在此區(qū)域以內(nèi)時，就可

16、以保證中性軸不穿過橫截面，使得截面上只有壓應(yīng)力，這個區(qū)域稱為截面核心截面核心。yz1ya1234515321za43確定任意截面核心的邊界是中性軸，它在y、z兩個形心主慣性軸上的截距分別是 、 。算出與該中性軸對應(yīng)的外力作用點(diǎn)1 ，其坐標(biāo)為yz1ya1234515321za43112zPyiya 112yPziza （*）1ya1za同理，直線、等看作是中性軸，得到與它們對應(yīng)的截面核心邊界上的點(diǎn)2、3等的坐標(biāo)。連接這些點(diǎn)，就得到一條封閉曲線，即所求的截面核心邊界。yz1ya1234515321za43以矩形截面為例，來說明具體方法。以矩形截面為例，來說明具體方法。先將與AB邊相切的直線看作是中

17、性軸，它在y、z兩軸上的截距分別為yzADCBh12344312b6b6h6h612yha1za 該矩形截面慣性半徑的平方為 中性軸對應(yīng)的界面核心邊界上點(diǎn)1的坐標(biāo)為2212yyIbiA2212zzIhiA16Phy 10Pz yzADCBh12344312b6b6h6h6同理，將、看作是中性軸，可求得與他們對應(yīng)的截面核心邊界上的點(diǎn)2、3、4的坐標(biāo)依次為yzADCBh12344312b6b6h6h620Py26Phz36Phy30Pz40Py46Phz 這樣就得到了截面核心邊界上的四個點(diǎn)。為了用這四個點(diǎn)確定截面核心的外形，這里還要解決這樣一個問題，即中性軸從位中性軸從位置置繞截面頂點(diǎn)繞截面頂點(diǎn)B

18、旋轉(zhuǎn)到位置旋轉(zhuǎn)到位置時，相應(yīng)的外時，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動的軌跡是怎樣的一條曲線？力作用點(diǎn)移動的軌跡是怎樣的一條曲線？中性軸繞B旋轉(zhuǎn)的過程中，將得到一系列通過B點(diǎn)但斜率不同的中性軸，B點(diǎn)為這一系列中性軸所共有。將B點(diǎn)坐標(biāo) 代入中性軸方程(10-10)可得(,)BByz2210PBPBzyy yz zii 由于這里 、 為常數(shù)，因此該式即為外力作用點(diǎn)坐標(biāo) 、 的直線方程式。這也就是中性軸繞B旋轉(zhuǎn)時，相應(yīng)外力作用點(diǎn)移動的軌跡?，F(xiàn)已知旋轉(zhuǎn)的起始位置、所對應(yīng)的點(diǎn)、在該直線上，所以、兩點(diǎn)的核心邊界應(yīng)該就是連接該兩點(diǎn)的直線。以此類推，可得矩形截面的截面核心即為圖b中的菱形。ByBzPyPz2210PBPBz

19、yy yz zii 10.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合工程中常見的軸大多數(shù)在承受扭轉(zhuǎn)的同時，還伴隨有彎曲變形，我們稱之為彎扭組合變彎扭組合變形形。P2zyxP1一、圓軸的彎扭組合變形一、圓軸的彎扭組合變形1.強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件畫出扭矩圖 和彎矩圖 、 。求出合成彎矩 (10-12)合成彎矩圖 和扭矩 圖確定圓軸危險(xiǎn)截面nMyMzM22WM =yzMMzy1D2DozMyMwM(a)作用平面WMnM在危險(xiǎn)截面上，與扭矩 對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力在橫截面周邊的各點(diǎn)為最大，其值為 （a）與合彎矩 對應(yīng)的彎曲正應(yīng)力在 和 點(diǎn)達(dá)到最大值，其值為 （b）nMnnnMW1D2Donnwsws(b)wsws1D

20、nn1D(c)wswszy1D2DozMyMwMwM(a)作用平面WMWWsWM1D2D沿截面的直徑 ，剪應(yīng)力與正應(yīng)力分布如圖b所示。 和 兩點(diǎn)這兩點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)兩點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)。 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖c所示。wswswsws1Dnn1D(c)1D2Donnwsws(b)12D D1D2D1Dzy1D2DozMyMwMwM(a)作用平面因?yàn)槲ｋU(xiǎn)點(diǎn)處于二向應(yīng)力狀態(tài)，所以應(yīng)按強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。 點(diǎn)的主應(yīng)力為 （c）按第三強(qiáng)度理論，強(qiáng)度條件為用式（c）中主應(yīng)力代入后，得 （10-13）1D12231422WWnssss20s313 xdssss2234 xdWnsss若按第四強(qiáng)度理論，強(qiáng)度條件為用式（c

21、）中主應(yīng)力代入后，得 （10-14）2241223311()()() 2xdssssssss2243 xdWnsss2.2.強(qiáng)度條件用強(qiáng)度條件用“計(jì)算彎矩計(jì)算彎矩”表示的形式表示的形式對于圓截面有 ，可得到圓軸在扭轉(zhuǎn)組合變形時強(qiáng)度條件的另一種形式 對于第三強(qiáng)度條件： （10-15）對于第四強(qiáng)度條件： （10-16）2nWW222223 yznWnxdMMMMMWWss2222240.750.75 yznWnxdMMMMMWWss2234 xdWnsss2243 xdWnsssnnnMWWMWWs22WM =yzMM 、 分別稱為與第三、第四強(qiáng)度理論對應(yīng)的“計(jì)算彎矩”。引進(jìn)“計(jì)算彎矩”的概念以后

22、，只需算出危險(xiǎn)截面上的彎矩和扭矩值，就可以用公式進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算; 222yznMMM2220.75yznMMMwswswsws1Dnn1D強(qiáng)度條件（10-15）、（10-16）只是對圓截面軸在彎扭組合變形時才適用。強(qiáng)度條件（10-13）、（10-14）適用范圍要廣的多，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處于圖所示應(yīng)力狀態(tài)，都可以用。3.帶軸力的圓軸彎扭組合變形船舶推進(jìn)軸對這類桿件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時，仍可用公式(10-13)或(10-14),但其中的 應(yīng)該用軸向壓縮(拉伸)時的正應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力之和來代替。注意，在帶軸力的圓軸彎扭組合變形時，不能用式（10-15）或（10-16）進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。WsTeMAB1p2peMT例例

23、: :一鋼制圓軸，裝有膠帶輪A和B，兩輪有相同的直徑D=1m及重量P=5kN.A論上膠帶的張力是水平方向的，B輪上膠帶的張力是垂直方向的它們的大小如圖a所示.設(shè)圓軸的許用應(yīng)力 試按第三強(qiáng)度理論求軸所需的直徑。 80MPaszyxABCD5KN2KN2KN5KN300500500(a)解：(1)外力向軸線簡化 (2)作扭矩 圖彎矩 、 圖。C、B截面合成彎矩分別為nMzMyM22CM = yzMM22BM = yzMMzyxABCD5KN2KN2KN5KN3005005005KN1.5KNm7KN1.5KNm12KN1.5KNmnMx2.1KNmxzMy2.25KNmxzyM1.5KNm22=

24、1.52.12.58kN m22= 2.252.12.48kN m合成彎矩 圖如圖所示，可以證明 圖曲線上凹，最大值在端點(diǎn)。顯然C截面是危險(xiǎn)截面。（3）按第三強(qiáng)度理論， 代入相應(yīng)數(shù)據(jù)，有 由此得所需直徑為WMWM22 WnMMWs3 23 26332(2.58 10 )(1.5 10 )80 10d372 10dmmABCD5KN2KN2KN5KNxwM2.58KNm2.48KNm 例例 圖為某貨輪的推進(jìn)軸。已知主機(jī)的功率N=7277kw,轉(zhuǎn)速n=119r/min,有效推力T=767KN,槳葉重 ，軸的外伸段總重 ， ， 軸的直徑d=51.5cm，材料為優(yōu)質(zhì)碳素鋼，其屈服強(qiáng)度極限 ，許用安全系

25、數(shù) 。試按第四強(qiáng)度理論校核推進(jìn)軸A截面的強(qiáng)度。1180PkN245PkN11.9am21.2am250sMPas 4n TeMAB1p2p2a1aeMT(a)d（2）A截面內(nèi)力 N=T=767KN372779549584 10119eMN myzMnMaNA截面TeMAB1p2p2a1aeMT(a)d解解: （1）扭轉(zhuǎn)力偶矩584neMMkN m1 122180 1.94.5 1.2396MPaPakN m（3）危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力由軸力和彎矩產(chǎn)生的正應(yīng)力如圖所示。在截面下緣a點(diǎn)壓應(yīng)力最大，其值為最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力在圓截面的邊緣，a點(diǎn)的值為按第四強(qiáng)度理論NMAWs3623584 101621.8 10/0

26、.515nnMN mWWsNsNWssss點(diǎn)zMnMyaNA截面2243xdss336223767 104396 103233.2 10/0.5150.515N m2233.23 21.850.3MPa (4)計(jì)算軸的工作安全系數(shù)軸的工作安全系數(shù)表示軸工作時的安全儲備，其定義為破壞應(yīng)力除以工作應(yīng)力。 故軸是安全的。4sxdnss同學(xué)們思考同學(xué)們思考一下本例如采用第三強(qiáng)度理論，其強(qiáng)度條件能否寫成 請說明理由說明理由。2223 yznxdMMMNWAss2504.9750.34二、矩形截面桿的彎扭組合變形二、矩形截面桿的彎扭組合變形矩形截面桿的彎扭組合變形時，其強(qiáng)度計(jì)算步驟與圓軸大致相同，但有以下幾點(diǎn)重要差別:1.當(dāng)矩形截面上同時有彎矩 、 作用時，不能像圓軸那樣將它們組合成總彎矩 ，因?yàn)榻M合成彎矩 的作用面并不是主慣性面，因而合成后不是平面彎曲。這時，應(yīng)分別計(jì)算 、 所引起的應(yīng)力，然后將同一點(diǎn)的正應(yīng)力疊加。2.在扭矩 作用下，矩形截