有限差分法的基本知識

1、8.1 預(yù)備知識預(yù)備知識三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 一根緊拉著的一根緊拉著的均勻均勻柔軟柔軟弦，長為弦，長為l，兩端固定在，兩端固定在X軸上軸上O、L兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近做垂直于兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近做垂直于OL方向的方向的微小微小橫向橫向振動時，求這根弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。振動時，求這根弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。OLxy8.1.1 波動方程波動方程 一維波動方程一維波動方程 最典型的一維波動問題是均勻弦的橫向振動問題。最典型的一維波動問題是均勻弦的橫向振動問題。 討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。要確定弦的運(yùn)動方程，需要明

2、確：要確定弦的運(yùn)動方程，需要明確：確定確定弦的弦的運(yùn)動運(yùn)動方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪些）被研究的物理量遵循哪些物理定理？物理定理？牛頓第二定律牛頓第二定律. （3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立理方程（即建立泛定方程泛定方程） (1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ( , )u x t條件條件：均勻均勻柔軟柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小振幅極小的的 橫振動。橫振動。不受外力不受外力影響。影響。研究對象研究對象：線上某點(diǎn)在線上某點(diǎn)在 t 時刻沿垂直方向的位移。時刻沿垂直方向的位

3、移。( , )u x t簡化假設(shè)：簡化假設(shè)： 由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向張力沿弦的切線方向。21 ( )xxuxxsdx 在弦上任取一小段在弦上任取一小段 它的弧長為：它的弧長為：( ,)x xx由于假定弦在平衡位置附近做由于假定弦在平衡位置附近做微小振動微小振動， 很小，從而很小，從而ux1xxxsdxx 可以認(rèn)為這段弦在振動中沒有伸長，由胡克定律可可以認(rèn)為這段弦在振動中沒有伸長，由胡克定律可知，弦上每一點(diǎn)所受張力在運(yùn)動過程中知，弦上每一點(diǎn)所受張力在運(yùn)動過程中保持不變保持不變，與時，與時間無關(guān)。即間無關(guān)。即 點(diǎn)處的張力記為點(diǎn)處的張力記為

4、 。x( )T x 由于振幅極小，由于振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小張力與水平方向的夾角很小。 g s M M s x T y xx x T cos1cos1 g s M M s x T y xx x T 橫向：橫向：( )cos()cosT xT xx其中：其中： 作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)牛頓牛頓運(yùn)動定律運(yùn)動定律，寫出它們的表達(dá)式和平衡條件。，寫出它們的表達(dá)式和平衡條件。( )()0T xT xx 也就是說，張力也就是說，張力 是一個常數(shù)。是一個常數(shù)。T橫向：橫向：22(, )( , )( , )0u xx tu x tu x

5、 tTxgxxxt 22(, )( , )(, ) 01u xx tu x tu xx txxxx 由由中值定理中值定理：0 xxxx 令，此時2222( , )( , )0u x tu x tTxxgxxt ( )sin()sin T xT xxsgsa 縱向：縱向：( , )(, )sintan, sintanu x tu xx txx a 為小弦段在縱向的加速度 g s M M s x T y xx x T 22222uuagtx一維波動方程一維波動方程2Ta 令：令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)自由項(xiàng)22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：忽略重力作用：2222( , )(

6、 , )u x tTux tgtxa 就是弦的振動傳播速度就是弦的振動傳播速度假設(shè)外力在假設(shè)外力在 處外力密度為：處外力密度為： 方向垂直于方向垂直于 軸。軸。x( , )F x tx22(, )( , )( , )( , )xxxu xx tu x tu x tTxgxFt dxxxt 等號兩邊用中值定理：并令等號兩邊用中值定理：并令0 x 2222( , )( , )( , )u x tu x tTgF x txt 22222( , )uuagf x ttx( , )( , )F x tf x t為單位質(zhì)量在為單位質(zhì)量在 點(diǎn)處所受外力。點(diǎn)處所受外力。x當(dāng)存在外力作用時：當(dāng)存在外力作用時：等

7、號兩邊除以等號兩邊除以 弦振動方程中只含有兩個自變量：弦振動方程中只含有兩個自變量： 。由于它描寫的是。由于它描寫的是弦的振動，因而它又稱為弦的振動，因而它又稱為一維波動方程一維波動方程。類似可以導(dǎo)出二維波。類似可以導(dǎo)出二維波動方程（如膜振動）和三維波動方程，它們的形式分別為：動方程（如膜振動）和三維波動方程，它們的形式分別為：, x t2222222( , , )uuuaf x y ttxy222222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz二維波動方程：二維波動方程：三維波動方程：三維波動方程： 建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程。建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程

8、。由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對所研究的對象由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對所研究的對象能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化。使問題得到適度的簡化。 均勻桿的縱振動均勻桿的縱振動 考慮一考慮一均勻細(xì)桿均勻細(xì)桿，沿桿長方向作，沿桿長方向作微小微小振動。假設(shè)在垂直振動。假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動情況桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動情況(即偏移平衡位置位即偏移平衡位置位移移)完全相同。試寫出桿的振動方程。完全相同。試寫出桿的振動方程。在任一時刻在任一時刻t，此截面相對于平衡位置的位移為，此截面相對于平衡位置的位移為u(x, t

9、)。在桿中隔離出一小段在桿中隔離出一小段(x, x + dx)，分析受力：，分析受力：通過截面通過截面x，受到彈性力，受到彈性力P(x,t)S的作用的作用通過截面通過截面x + dx受到彈性力受到彈性力P(x + dx, t)S的作用的作用P(x, t)為單位面積所受的彈性力為單位面積所受的彈性力(應(yīng)力應(yīng)力)，沿，沿x方向?yàn)檎较驗(yàn)檎鶕?jù)根據(jù)Newton第二定律，就得到：第二定律，就得到：22(, )( , )uP x dx tP x t SSdxtuPEx根據(jù)胡克定律根據(jù)胡克定律22uPtx22220uEutxEa令：222220uuatx 靜止空氣中一維微小壓力波的傳播靜止空氣中一維微小壓

10、力波的傳播2 01 uutxxuuputxxpa 設(shè)設(shè)為空氣的密度，為空氣的密度，u u為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：動力學(xué)方程動力學(xué)方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程物態(tài)方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，考慮到微小壓力波，u u 是一階小量，是一階小量， 是二階小量是二階小量uuuxx和1 uuptxtx ，utx 21pptptat1uptx 代入代入21upxat 得得對對t t求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得22221upx tat 利用利用22222ppatx得得一維聲波方程。一維聲波方程。222222222ppppatxyz 靜止空氣中三維聲波方程靜止空氣中三維聲波方程 微

11、幅水波動方程微幅水波動方程22222),(),(xtxattx式中：式中： gHa 水面水面波高波高為為 pa為聲波速度為聲波速度 水波水波速度速度為為雙曲型雙曲型方程方程8.1.2 擴(kuò)散方程（拋物型方程）擴(kuò)散方程（拋物型方程） 問題問題：一根長為：一根長為l 的的均勻?qū)峋鶆驅(qū)峒?xì)桿，截面為一個單位細(xì)桿，截面為一個單位面積。面積。側(cè)面絕熱側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱，比熱為為c，線密度為，線密度為。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。 1x2xAB一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時

12、，有當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱量從高溫處流向低溫處。所要研究的所要研究的物理量物理量：( , )T x t1x2x( , )T x t分析分析：設(shè)桿長方向?yàn)椋涸O(shè)桿長方向?yàn)?x 軸，考慮桿上從軸，考慮桿上從到到的一段的一段(代表代表)，設(shè)桿中溫度分布為設(shè)桿中溫度分布為2112t tt ttt t 熱量 熱量通過邊界的流入量滿足滿足的物理規(guī)律：的物理規(guī)律：均勻物體均勻物體：物體的物體的密度密度為常數(shù)為常數(shù)各向同性各向同性： 物體的物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)均為常數(shù)假設(shè)假設(shè)條件：條件：利用利用 Fourier 熱力學(xué)定律熱力學(xué)定律和和能量守恒

13、定律能量守恒定律來建立來建立熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)方程。 由由 Fourier 熱力學(xué)定律熱力學(xué)定律，單位時間內(nèi)通過，單位時間內(nèi)通過 A 端端面的熱量為：面的熱量為：22(, )xT x tQk Tkx 單位時間內(nèi)通過單位時間內(nèi)通過 B 端面的熱量為：端面的熱量為：11( , )xT x tQk Tkx 在在 dt 時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量 12211(, )( , )()()xxT x tT x tdQQQdtkdtxx2122( , )xxT x tkdxdtx12 , t t2211212( , )t xt xT x tQkdxdtx1( , )T x t

14、在任意時段在任意時段內(nèi)，內(nèi)，同時在此時段內(nèi)同時在此時段內(nèi), 微元內(nèi)各點(diǎn)的溫度由微元內(nèi)各點(diǎn)的溫度由流入微元的熱量流入微元的熱量 升高為升高為 2( , )T x t21221 ( , )( , )xxQcT x tT x tdx2211( , )t xt xT x tcdxdtt12QQ12 , t t12 ,x x22TTcktx為此所需的熱量為為此所需的熱量為由由能量守恒定律能量守恒定律可得：可得： 由由和和的任意性可得的任意性可得222TTatx2kac即：即：其中其中 內(nèi)部有熱源的情況：內(nèi)部有熱源的情況：22( , )TTckF x ttx( , ),F x tf x tc222,TTa

15、fx ttx其中其中 分析分析：設(shè)熱源強(qiáng)度：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為為F(x,t)，代表段的吸熱為，代表段的吸熱為Fdxdt。 22113( , )t xt xQF x t dxdt根據(jù)熱學(xué)中的根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律傅立葉定律在在dt時間內(nèi)從時間內(nèi)從dS流入流入V的熱量為：的熱量為：從時刻從時刻t1到到t2通過通過S流入流入V的熱量為的熱量為 211ddttSQk TSt高斯公式高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） 2121d dttVQkT V t dd dTQkS t

16、n d dkT nS td dk TS t 熱場熱場MSSVn 三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)2121d dttVQkT V t 1( , , , )T x y z t2( , , , )T x y z t221( , , , )( , , , ) dVQcT x y z tT x y z tV21QQ 流入的熱量導(dǎo)致流入的熱量導(dǎo)致V V 內(nèi)的溫度發(fā)生變化內(nèi)的溫度發(fā)生變化 22112d dd dttttVVTkT V tcV tt 2TkTct2TkTtc22TaTft流入的熱量：流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：21d dttVTct Vt21d dt

17、tVTcV tt 22aT三維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程熱場熱場MSSVn有熱源三維熱傳導(dǎo)方程有熱源三維熱傳導(dǎo)方程213d dttVQF V t 22,CCF x ttx 一維濃度擴(kuò)散方程一維濃度擴(kuò)散方程 動量輸運(yùn)方程動量輸運(yùn)方程22uufxtxC為物質(zhì)濃度，為物質(zhì)濃度，為擴(kuò)散系數(shù)。為擴(kuò)散系數(shù)。 u為速度，為速度，fx為流體體積力，為流體體積力， 為流體粘性系數(shù)。為流體粘性系數(shù)。 顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴(kuò)散、動量輸運(yùn)這些過程屬于同顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴(kuò)散、動量輸運(yùn)這些過程屬于同一類物理現(xiàn)象，可用一類物理現(xiàn)象，可用同一類型方程同一類型方程來描述。來描述。 拋物型拋物型方程方程8.1.3 穩(wěn)態(tài)方程穩(wěn)態(tài)方程

18、(調(diào)和方程調(diào)和方程) 穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，表征物理過程達(dá)到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時表征物理過程達(dá)到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。 熱傳導(dǎo)問題，控制方程為：熱傳導(dǎo)問題，控制方程為： 2222222( , , , )TTTTaf x y z ttxyz設(shè)場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為設(shè)場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為 f(x, y, z) 流場溫度不隨時間變化，即流場溫度不隨時間變

19、化，即T=T( x, y, z ) 則有則有222222( , , , )TTTg x y z txyz2( , , , )( , , , )/g x y z tf x y z ta 這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。 如果場內(nèi)無熱源，如果場內(nèi)無熱源，g( x,y,z,t )=0，則有：，則有： 2222220TTTxyz這個方程又稱為拉普拉斯方程。這個方程又稱為拉普拉斯方程。 其中：其中： 又如在理想勢流場中，存在速度勢又如在理想勢流場中，存在速度勢 (x, y, z )，速度與，速度與 (x, y, z )的關(guān)系為：的關(guān)系為： zzyxwyzyxvxzyxu, ,

20、 ,帶入連續(xù)方程中帶入連續(xù)方程中0zuyuxu0222222zyx 由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征穩(wěn)態(tài)問由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征穩(wěn)態(tài)問題的控制方程。題的控制方程。得得橢圓型橢圓型方程方程三類三類典型典型的偏的偏微分微分方程方程振動與波（振動波，電磁波）傳振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足播滿足波動方程（雙曲型）波動方程（雙曲型）熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方熱傳導(dǎo)方程（拋物型）程（拋物型）靜電場和引力勢滿足靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方拉普拉斯方程或泊松方程（橢圓型方程）程或泊松方程（橢圓型方程）22222( , )uuaf x ttx222,TT

21、af x ttx222222( , , , )TTTg x y z txyz8.1.3 有限差分法的基本知識8.1.3 8.1.3 差分方程差分方程 有限差分法和有限元法是解偏微分方程的兩種主要的數(shù)值方法。由于數(shù)字電子計算機(jī)只能存儲有限個數(shù)據(jù)和作有限次運(yùn)算，所以任何一種適用于計算機(jī)解題的方法，都必須把連續(xù)問題離散化，最終化成有限形式的代數(shù)方程組。 有限差分法求解偏微分方程的基本過程是：首先將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，將待求解的變量（如密度、速度等）存儲在各網(wǎng)格點(diǎn)上，并將偏微分方程中的微分項(xiàng)用相應(yīng)的差商代替，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的差分方程，得到含有離散點(diǎn)上

22、的有限個未知變量的差分方程組。求出該差分方程組的解，也就得到了網(wǎng)格點(diǎn)上流動變量的數(shù)值解。差分法概述差分法概述模型方程模型方程 為了抓住問題的實(shí)質(zhì)，同時又不使討論的問題過于復(fù)雜，常用一些簡單的方程來闡明關(guān)于一些離散方法的概念。這些方程就叫做模型方程。常用的模型方程： 對流方程：0 xt 對流擴(kuò)散方程：22xxt 熱傳導(dǎo)方程：22xt Poisson方程：fyx2222 Laplace方程：02222yx模型方程模型方程 )1 . 1()()0 ,(0,0 RxxfxutRxxuctu題題考考慮慮對對流流方方程程的的初初值值問問解解過過程程和和原原理理。解解的的一一些些概概念念，說說明明求求方方法

23、法求求偏偏微微分分方方程程數(shù)數(shù)值值為為例例，引引入入用用差差分分以以最最簡簡單單一一維維對對流流方方程程模型方程模型方程 稱稱為為時時間間步步長長。稱稱為為空空間間步步長長，間間距距間間距距記記為為節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)為為網(wǎng)網(wǎng)格格結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)（節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)），它它們們的的交交點(diǎn)點(diǎn)稱稱域域的的直直線線形形成成的的網(wǎng)網(wǎng)覆覆蓋蓋區(qū)區(qū)軸軸軸軸和和平平行行于于網(wǎng)網(wǎng)格格剖剖分分可可以以采采用用兩兩組組00).,(),(, 2, 1, 0, 2 , 1 , 0 hnjtxjjhxxnntttxnjjn1 1 區(qū)域的剖分區(qū)域的剖分( (區(qū)域的離散化）區(qū)域的離散化）xt0),(njtx離散網(wǎng)格點(diǎn)離散網(wǎng)格點(diǎn)高等數(shù)學(xué)中，高等數(shù)學(xué)中，我

24、們學(xué)習(xí)過我們學(xué)習(xí)過Taylor公式：公式：有有階的導(dǎo)數(shù)，則階的導(dǎo)數(shù)，則到到內(nèi)具有直內(nèi)具有直的某個鄰域的某個鄰域在在設(shè)設(shè)),(1),()( 000 xUxnxUxxf )()(!)( )()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn )()()(0nnnxxoxRxR 是余項(xiàng)，且是余項(xiàng)，且).(0 xx 2 2 微分方程離散微分方程離散( (差分方程）差分方程） )5 . 1(),(),(2),(),()4 . 1(),(),(),(),()3 . 1(),(),(),(),()2 . 1(),(),(),(),(),()1 . 1(211111中中心心差差商商）向向后后差差商商

25、）向向前前差差商商）向向前前差差商商）與與差差商商之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式的的微微商商，的的解解，對對于于任任何何節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)是是方方程程設(shè)設(shè)hotxuxhtxutxuhotxuxhtxutxuhotxuxhtxutxuotxuttxutxuunjunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj )6 . 1(, 0),(),()1 . 1( njnjtxuxctxutu的的解解，所所以以滿滿足足是是方方程程由由于于)7 . 1(),(0),(),(),(),()3 . 1()2 . 1(11hhtxutxuctxutxunjnjnjnj 得得到到和和因因此此從從的的近近似似值值。表表示示近近似

26、似代代替替，其其中中這這樣樣可可以以用用方方程程于于零零。極極限限過過程程中中它它們們都都趨趨向向特特別別在在進(jìn)進(jìn)行行理理論論分分析析的的是是較較小小的的量量，與與，實(shí)實(shí)際際取取步步長長為為了了保保證證逼逼近近精精度度要要求求),()8 . 1(011njnjnjnjnjnjtxuuhuucuuh 差差分分格格式式）。的的（有有限限）差差分分方方程程）稱稱為為（和和稱稱為為網(wǎng)網(wǎng)格格比比。這這里里改改寫寫成成便便于于計計算算的的形形式式將將(1 . 1)9 . 1()8 . 1(/)9 . 1(, 2 , 1 , 0, 2, 1, 0),()8 . 1(11hnjuucuunjnjnjnj )1

27、0. 1(, 2, 1, 0),()1 . 1(0 jxffujjj式式是是中中的的初初始始條條件件的的離離散散形形問問題題)11. 1(0)1 . 1(011顯顯式式右右偏偏格格式式）的的差差分分格格式式初初值值問問題題 jjnjnjnjnjfuhuucuu )13. 1(02)12. 1(0)1 . 1(0111011（中中心心格格式式）左左偏偏格格式式）差差商商得得采采用用向向后后差差商商和和中中心心對對采采用用向向前前差差商商，對對中中在在格格式式。立立種種種種不不同同形形式式的的差差分分對對同同一一微微分分方方程程可可以以建建 jjnjnjnjnjjjnjnjnjnjfuhuucuu

28、fuhuucuuxutu 高等數(shù)學(xué)中，高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過我們學(xué)習(xí)過Green公式：公式：向向量量的的方方向向角角。處處的的切切線線上上為為有有向向曲曲線線弧弧、其其中中的的取取正正向向的的邊邊界界曲曲線線。是是其其中中有有有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則在在上上及及函函數(shù)數(shù)圍圍成成，由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè))y,x(L)y,x()y,x(DLds)cosQcosP(QdyPdxdxdy)yPxQ()y,x(Q)y,x(PLD LLD 2 2 積分插值法積分插值法 DdxdtxuctuDDLLLLL0)1 .1(4321）（上上積積分分，得得到到在在的的邊邊界界

29、。將將方方程程是是積積分分區(qū)區(qū)域域，在在平平面面上上，取取矩矩形形域域?yàn)闉閛HxtEFGL1L2L3L4 方方向向的的兩兩個個分分量量。與與沿沿方方向向沿沿的的外外法法向向單單位位向向量量分分別別是是與與其其中中（）（公公式式，得得利利用用txnLnndscunundxdtxuctuGreentxDLxt)14. 1(0) 上上的的近近似似函函數(shù)數(shù)值值。在在是是可可按按不不同同方方式式確確定定的的的的長長度度，與與是是的的長長度度，與與是是這這里里既既得得近近似似方方程程上上的的四四個個積積分分，左左端端分分成成在在把把，iiLuuLLLLhuuhcuucuhucuhuLLLL42314213

30、43214321)15. 1()(0)14. 1( ),21,21(),21,21(),21,21(),21,21(, jnjnjnjnHGFE依依次次為為在在網(wǎng)網(wǎng)格格中中，點(diǎn)點(diǎn)oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH 式式，稱稱為為蛙蛙跳跳格格式式。這這是是一一個個常常用用的的差差分分格格得得到到從從，于于是是并并取取)16. 1()()15. 1(,),(21),(21),(21),(21111114131211njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuhcuuhhuuuuuuuuuuuu oxtj-1jj+1nn+1EFGH),1, 1(),1, 1(),1,(),1,(,

31、jnjnjnjnHGFE依次為依次為，在網(wǎng)格中，點(diǎn)，在網(wǎng)格中，點(diǎn)現(xiàn)在換一種方式，如圖現(xiàn)在換一種方式，如圖 格格式式。這這個個格格式式稱稱為為也也可可寫寫成成得得到到從從，于于是是并并取取FriedrichsLaxhuucuuuuuhcuuuhhuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj )17. 1(02)(21)()(21)15. 1(,2,),(211111111111141312111 差分方程的建立過程差分方程的建立過程 以對流方程說明差分方程的建立過程。以對流方程說明差分方程的建立過程。)()0 ,(0 xxxt 1.劃分網(wǎng)格 選定步長 和 ，然后

32、在坐標(biāo)平面用平行于坐標(biāo)軸的兩族直線劃分網(wǎng)格：xt., 2, 1, 0., 2, 1, 0,0ntntixixxni 2.針對某一點(diǎn)，用差商近似代替導(dǎo)數(shù) 對流方程在 點(diǎn)為),(nitx0ninixt差分方程的建立過程差分方程的建立過程ttxxix1ix1ixnt1nt1nto 時間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：ttninini1 空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替：xxninini21102111xtnininini則對流方程在 點(diǎn)對應(yīng)的差分方程為),(nitx 差分方程和其定解條件一起，稱為相應(yīng)微分方程問題的差分格式。上述初值問題的差分格式可改寫為：)()(20111iininininixxt 觀察

33、上述差分格式可看出：若知道第 層的 ，可由一個差分式子直接算出第 層的 ，故稱這類格式為顯示格式。n1n 顯式有限差分模板： 時間推進(jìn)： 例 考慮長度為1的均勻直桿，其表面是絕熱的，而且桿截面足夠細(xì)，可 以把斷面上的所有點(diǎn)的溫度看成是相同的。 軸取為沿 桿軸方向， 對應(yīng)桿的端點(diǎn)，則桿內(nèi)溫度分布 隨時間變化由下面的擴(kuò)散方程來描述：x1, 0 xx),(txT22xTtT100), 1 (100),0(0)0 ,(tTtTxT 時間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：tTTtTninini1 空間導(dǎo)數(shù)用二階中心差商近似代替：211222xTTTxTnininini)2(1121nininininiTTTx

34、tTT 取 ，則最終的差分方程：5 .0, 1 .0,102tx)(21111nininiTTT 顯式有限差分模板：xtT0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.512.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.90252537.537.545.350

35、5062.562.568.868.8 如仍取 而為縮短計算時間，時間步長 取 ，則最終的差分方程：, 1 .0,102xninininiTTTT1110 .1txtT0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.510010000000000010010010010010010010002000100-10000100000000000001000100-10010002008.1.4 8.1.4 截斷誤差截斷誤差是是相相應(yīng)應(yīng)的的差差分分算算子子其其中中是是微微分分算算子子其其中中差差分分方方程程記記為為微微分分方方程程和和對對于于齊齊次次問問題題，可

36、可以以將將hnjhLuLLLu, 00 huucuuuLLxuctuLuLnjnjnjnjnjhh 11)8 . 1()1 . 1( 為為相相應(yīng)應(yīng)差差分分算算子子格格式式為為微微分分算算子子方方程程的的估估計計。指指對對差差分分格格式式的的截截斷斷誤誤差差是是，即即為為處處的的差差，記記兩兩者者在在任任意意的的結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)分分別別作作用用于于和和充充分分光光滑滑的的解解，將將算算子子是是所所討討論論的的微微分分方方程程的的設(shè)設(shè)EtxLutxuLEEtxuLLunjnjhnjh)1 . 2(),(),(),( )(),(),(),(),(),(),(),(),()8 . 1(11hoxtxucttx

37、utxutxuctxutxutxLutxuLEnjnjnjnjnjnjnjnjh 的的截截斷斷誤誤差差即即討討論論格格式式.pqppxqt)h(oEpq是是階階精精度度的的時時，說說差差分分格格式式特特別別，當(dāng)當(dāng)階階精精度度的的。是是階階精精度度的的，對對空空間間是是間間，就就說說差差分分格格式式對對時時式式的的截截斷斷誤誤差差一一般般，如如果果一一個個差差分分格格說說明明截截斷斷誤誤差差。我我們們也也用用“精精度度”一一詞詞 上例中，令 表示差分方程的精確解利用Taylor級數(shù)將上式中鄰近節(jié)點(diǎn)的解在(i，n)點(diǎn)展開，整理并略去上標(biāo)后可得上式就是與差分方程等價的微分方程式。一般地說，任何一個微

38、分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 級數(shù)表示，這樣都可以得到一個與差分方程對應(yīng)的新的微分方程，該微分方程稱為差分方程的修正方程式。8.1.5 相容性相容性)2(1121nininininiTTTxtTT),(122424422222xtOxTxtTtEExTtTniniTT),(niT),(122224422222xtOxTxtTtEExTtTniniTT 上式中的 就是差分方程與微分方程的差別，稱之為截斷誤截斷誤差差。顯然 與 、 成正比，一般情況下，當(dāng)步長趨向零時,有限差分方程的截斷誤差是趨向于零的，則稱有限差分方程與相應(yīng)的偏微分方程是相容相容的。 一個可用的偏微分方程的差分表達(dá)式必須是相容的。否則在 、 趨近零時，差分方程不能趨于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意義!TETEtxtx8.1.6 8.1.6 收斂性收斂性 一個差分格式能否在實(shí)際中使用，最終要看能否任意地逼近微分方程的解。這樣對于每一個差分