高等光學(xué)課件cxr__第11講

1、第十一講2012.12.03光學(xué)工程碩士研究生課程三、布喇格聲光衍射的耦合模理論分析三、布喇格聲光衍射的耦合模理論分析四、拉曼四、拉曼納斯（納斯（Raman-Nath）聲光衍射）聲光衍射 5-3 介質(zhì)的聲光效應(yīng)介質(zhì)的聲光效應(yīng)目的由波動(dòng)方程出發(fā)求解電磁場問題，以確定衍射光的能量分配三、布喇格聲光衍射的耦合模理論分析三、布喇格聲光衍射的耦合模理論分析1、兩波耦合方程)2/(,)cos(),(1)(1)(1tzkjtzkjssseezkttz頻率為 ，波矢為ks 的聲波沿z方向通過晶體時(shí),晶體介電張量的變化為：介質(zhì)存在微擾時(shí)亥姆霍茲方程形式為：0)(22EE介質(zhì)中的總電場為入射光波電矢量和衍射光波電

2、矢量之和，即： )(22)(112211)()()()(),(trkjtrkjerErAerErAtrEs入射光i衍射光i+s2小角度布喇格衍射聲波Lzx設(shè)入射平面為xz平面，動(dòng)量守恒要求衍射平面亦為xz平面，則令：kikkik222111則介質(zhì)中的總電場為：)2 , 1( ,)2(),(),(21)(22)(11222111ieEeEzxAeEzxAEiiiitzxjtzxj其中：代入亥姆霍茲方程中，得：)(2, 12)(2, 12222),(),()22(tzxjllltzxjmmmmmlllmmmeEzxAeEzxAxjzjxzie：模式偏振方向上的單位矢量2、小角度布喇格衍射條件下耦合

3、波方程的近似解 前提條件： 角度小，介質(zhì)和聲波在x方向上的線度足夠大，振幅 A 只是x的慢變函數(shù)，即： 計(jì)且其二階導(dǎo)數(shù)可忽略不)(),(xAzxAmm)(22)(11)(1)(12)(222)(111222111222111)()(22tzxjtzxjtzkjtzkjtzxjtzxjeExAeExAeEeEeExAjeExAjss。得到耦合方程組：121211222121sxjxjkeAjxAeAjxA且：耦合常數(shù)211212122ee耦合方程方向上的動(dòng)量失配x21討論：（1）各向同性介質(zhì)中吸收/產(chǎn)生一個(gè)聲子分別對應(yīng)于：)2arcsin()2arcsin(21sin21kkkksBsB（2）夾

4、角的角平分線、軸為即21, 0kkxxAjxAxAxAjxAxAAjxAAjxA121121212221221212121111222121sin)0(cos)0()(sin)0(cos)0()(設(shè)在輸入端只有入射波，即：0)0(, 0)0(21AA212221121121221211)0()()(sin)0()(cos)0()(AxAxAxAjxAxAxA總功率守恒，when L=/2，入射光的全部功率轉(zhuǎn)換到衍射光中。3、聲光衍射的衍射效率 入射光束在傳播過距離L后，轉(zhuǎn)換到衍射光束中的比例為：LAxAIIid1222122sin| )0(| )(|)(|cos4|)(|cos4)(|,|co

5、s442213212121212211212122eSPecneSPenwheneenceeeeBnrrBBr 介質(zhì)中聲波強(qiáng)度衍射品質(zhì)因數(shù)；:)2(sin2aaidIMMILII對于小的衍射效率，衍射光強(qiáng)正比于聲波強(qiáng)度4、大角度布喇格衍射條件下耦合波方程的近似解 入射光i衍射光i+s大角度布喇格衍射聲波zxL前提條件： 角度大，介質(zhì)和聲波在x方向上的線度足夠大，振幅 A 只是z的慢變函數(shù)。則亥姆霍茲方程的解為：xjtzjtzjeeEzAeEzAE)()()(22)(112211由電磁場邊界條件可得：2211xxkk同法可得耦合方程組：21121212211122222121112|eekeAj

6、zAeAjzAszjzj且：為使入射光通過聲光耦合將能量有效地轉(zhuǎn)移到衍射場中，必須使=0，即： sk12兩模之間的耦合特性取決于它們相對于z軸的傳播方向。(a) 同向光耦合021k1k2k聲波zx耦合方程組：21|sinsin|4)(2121211211222121nnceSPeeAjzAeAjzArrzjzj且：解為：2212122/122/1121|,sin)0()()sin2(cos)0()(）（szssejAxAzssjzseAzAzjzj在兩波相互作用的長度L內(nèi)，功率轉(zhuǎn)換的效率為：LsALAIIid222122122122sin21| )0(| )(|）（大時(shí)，兩模間轉(zhuǎn)換效率最，即：

7、顯然，sk120利用功率轉(zhuǎn)換效率與相位失配的關(guān)系可以制作濾波器，這類濾波器中使用的聲頻率是可調(diào)諧的。 (b) 逆向光耦合 021k1k2k聲波zx耦合方程組：21|sinsin|4)(2121211211222121nnceSPeeAjzAeAjzArrzjzj且：解為：221221122/1221212/1121|,)sinh()cosh()sinh()0()()sinh()cosh()sinh()cosh()0()(）（ssLjsLsszLjeAxAsLjsLsszLjszLseAzAzjzj則在相互作用長度L內(nèi)所轉(zhuǎn)換的功率比例為 ：)sinh()()(coshsinh| )0(| )(|

8、2212222122122sLsLsLsALAIIid大時(shí)，兩模間轉(zhuǎn)換效率最，即：skwhen210四、拉曼四、拉曼納斯（納斯（Raman-Nath）聲光衍射）聲光衍射 由于聲速比光速小很多，因此聲光介質(zhì)可視為一個(gè)靜止的平面相位光柵。而且聲波長s比光波長大得多，當(dāng)光波平行通過介質(zhì)時(shí)，幾乎不通過聲波面，因此只受到相位調(diào)制，即通過光學(xué)稠密(折射率大)部分的光波波陣面將推遲，而通過光學(xué)疏松(折射率小)部分的光波波陣面將超前，于是通過聲光介質(zhì)的平面波波陣面出現(xiàn)凸凹現(xiàn)象，變成一個(gè)折皺曲面。 s L入射光入射光xy聲波陣面聲波陣面聲波聲波光波陣面光波陣面拉曼拉曼-納斯衍射納斯衍射衍衍射射光光 設(shè)聲光介質(zhì)中

9、的聲波是一個(gè)寬度為L沿著x方向傳播的平面縱波(聲柱)，波長為s(角頻率s)，波矢量ks 指向x軸，入射光波矢量 ki 指向y軸方向。+q/2-q/2ki-L/2+L/2xd=xl ksy垂直入射情況注：l=sinx 聲波在介質(zhì)引起的折射率變化為: 將聲行波近似視為不隨時(shí)間變化的超聲場，略去對時(shí)間的依賴關(guān)系，則沿x方向的折射率分布簡化： n (x, t) = no + n sinks xno為平均折射率； n為聲致折射率變化PSxkttxrss20),cos(),(則在 yL2處出射的光波不再是單色平面波，而是一個(gè)被調(diào)制了的光波，其等相面是由函數(shù)n(x)決定的折皺曲面，其出射光的光場可寫成: 由

10、于介質(zhì)折射率發(fā)生周期性變化，將會(huì)對入射光波的相位進(jìn)行調(diào)制?？疾煲黄矫婀獠ù怪比肷涞那闆r，在介質(zhì)的前表面y-L2處入射，入射光波為: 該出射波陣面可分成若干個(gè)子波源，則在很遠(yuǎn)的P點(diǎn)處，總的衍射光場強(qiáng)是所有子波源貢獻(xiàn)的求和，即由下列積分決定：)/)(expcLxntiAEout)exp(tiAEin其中，lsin (因觀察角度不同引起的附加相位延遲)表示衍射方向的正弦； q為入射光束寬度。將 (n)k iL 2(n)L代入上式(是因折射率不同引起的附加相位延遲) ，并利用歐拉公式展開成下面形式：利用關(guān)系式：22)sin(expqqdxxknLxlikEsip式中，Jr( )是r階貝塞爾函數(shù)，經(jīng)積分

11、得到實(shí)部的表示式為:由上式可以看出，衍射光場強(qiáng)各項(xiàng)取極大值的條件為： 式中，m表示衍射光的級次。012022/) 12(2/) 12(sin2/) 12(2/) 12(sin)(2/)2(2/)2sin(2/)2(2/)2sin()(rsisisisirrsisisisirpqkrlkqkrlkqkrlkqkrlkvJqqrklkqrklkqrklkqrklkvJqE當(dāng)角和聲波波矢ks 確定后，其中某一項(xiàng)為極大時(shí)，其他項(xiàng)的貢獻(xiàn)幾乎為零，因而，當(dāng)m取不同值時(shí)，不同角方向的衍射光取極大值。上式確定了各級衍射的方位角為：)0(0sin整數(shù)mmkksi), 2, 1, 0(sinmmkkmsism綜上

12、分析，拉曼納斯聲光衍射的結(jié)果是使光波在遠(yuǎn)場分成一組衍射光，它們分別對應(yīng)于確定的衍射角m(即傳播方向)和衍射強(qiáng)度，這一組衍射光是離散型的。由于Bessel函數(shù)的對稱性，即 ，各級衍射光亦將對稱地分布在零級衍射光兩側(cè)，且同級次衍射光的強(qiáng)度相等。這是拉曼納斯衍射的主要持征之一。另外，由于3210-1-2-3各級衍射光的強(qiáng)度為：表明無吸收時(shí)衍射光各級極值光強(qiáng)之和應(yīng)等于入射光強(qiáng)，即光功率守恒。 nLLknJIimm2)()(2，)()(22mmJJ12201)(2)(mJJ3210-1-2-3由于光波與聲波場的相互作用，各級衍射光波將產(chǎn)生多普勒頻移，根據(jù)能量守恒原理，應(yīng)有 i土m s 而且各級衍射光強(qiáng)將

13、受到角頻率為2 s的調(diào)制。但由于超聲波頻率為109Hz，而光波頻率高達(dá)1014Hz量級， 故頻移的影響可忽略不計(jì)。 以上推導(dǎo)是在理想的面光柵條件下進(jìn)行的，考慮到聲束的寬度，則當(dāng)光波傳播方向上聲束的寬度L滿足條件 ，才會(huì)產(chǎn)生多級衍射，否則從多級衍射過渡到單級衍射。0204snLL 產(chǎn)生條件上的區(qū)別產(chǎn)生條件上的區(qū)別拉曼-納斯衍射 布拉格衍射聲光作用長度較短 聲光作用長度較長超聲波的頻率較低超聲波的頻率較高光波垂直于聲場傳播的方向光束與聲波波面間以一定的角度斜入射聲光晶體相當(dāng)于一個(gè)“平面光柵” 聲光晶體相當(dāng)于一個(gè)“立體光柵”拉曼納斯(RamanNath)衍射和布拉格(Bragg)衍射的區(qū)別依據(jù)聲光相

14、互作用特征長度L0來表示：20sL 拉曼納斯衍射22120sLL布拉格衍射2022sLL區(qū)分拉曼-納斯衍射和布拉格衍射的定量標(biāo)準(zhǔn)拉曼-納斯衍射和布拉格衍射的結(jié)果不同拉曼納斯衍射：光波在遠(yuǎn)場分成一組衍射光；由于光波與聲波場的相互作用，各級衍射光波將產(chǎn)生多普勒頻移超聲行波：第m級衍射光頻率為 d +m s 超聲駐波： 第m級衍射光頻率為 d +（m+2L）s ，L0，1，2 超聲波頻率（109Hz）遠(yuǎn)小于光波頻率（1014Hz）， 故頻移的影響可忽略不計(jì)布喇格衍射:衍射光譜只出現(xiàn)0級和+1級（或1級）(視入射光的方向而定)的衍射光 如果參數(shù)選擇合適，超聲功率足夠強(qiáng)，入射光幾乎可以全部轉(zhuǎn)移到+1級或

15、-1級上，光束能量可以得到充分利用，比拉曼奈斯衍射應(yīng)用更為廣泛。5-3 晶體的旋光效應(yīng)的旋光效應(yīng)一、自然旋光現(xiàn)象一、自然旋光現(xiàn)象二、自然旋光現(xiàn)象的理論解釋二、自然旋光現(xiàn)象的理論解釋三、自然旋光現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證三、自然旋光現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1811 年, 阿喇果(Arago)在研究石英晶體的雙折射特性時(shí)發(fā)現(xiàn)：一束線偏振光沿石英晶體的光軸方向傳播時(shí)，其振動(dòng)平面會(huì)相對原方向轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，如圖 所示。由于石英晶體是單軸晶體，光沿著光軸方向傳播不會(huì)發(fā)生雙折射，因而阿喇果發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象應(yīng)屬另外一種新現(xiàn)象，這就是旋光現(xiàn)象。稍后，比奧(Biot)在一些蒸汽和液態(tài)物質(zhì)中也觀察到了同樣的旋光現(xiàn)象。一、自然旋光現(xiàn)象一、自然旋

16、光現(xiàn)象 實(shí)驗(yàn)證明，一定波長的線偏振光通過旋光介質(zhì)時(shí)，光振動(dòng)方向轉(zhuǎn)過的角度與在該介質(zhì)中通過的距離l成正比： =l 比例系數(shù)表征了該介質(zhì)的旋光本領(lǐng)，稱為旋光率，它與光波長、介質(zhì)的性質(zhì)及溫度有關(guān)。 介質(zhì)的旋光本領(lǐng)因波長而異的現(xiàn)象稱為旋光色散，石英晶體的旋光率隨光波長的變化規(guī)律如圖所示。 例如，石英晶體的在光波長為 0.4m時(shí)，為49/mm；在0.5m時(shí)，為31/mm；在0.65 m時(shí)，為16/mm；而膽甾相液晶的約為18 000/mm。石英晶體的旋光色散 對于具有旋光特性的溶液，光振動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)的角度還與溶液的濃度成正比， 式中,稱為溶液的比旋光率；c為溶液濃度。在實(shí)際應(yīng)用中,可以根據(jù)光振動(dòng)方向轉(zhuǎn)過的

17、角度,確定該溶液的濃度。=cl 實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，不同旋光介質(zhì)光振動(dòng)矢量的旋轉(zhuǎn)方向可能不同，并因此將旋光介質(zhì)分為左旋和右旋。當(dāng)對著光線觀察時(shí)，使光振動(dòng)矢量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的介質(zhì)叫右旋光介質(zhì)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的介質(zhì)叫左旋光介質(zhì)。例如，葡萄糖溶液是右旋光介質(zhì)，果糖是左旋光介質(zhì)。自然界存在的石英晶體既有右旋的，也有左旋的，它們的旋光本領(lǐng)在數(shù)值上相等，但方向相反。之所以有這種左、右旋之分，是由于其結(jié)構(gòu)不同造成的，右旋石英與左旋石英的分子組成相同，都是SiO2，但分子的排列結(jié)構(gòu)是鏡像對稱的，反映在晶體外形上即是圖示的鏡像對稱。 正是由于旋光性的存在，當(dāng)將石英晶片(光軸與表面垂直)置于正交的兩個(gè)偏振器之間觀察其會(huì)聚光照射下

18、的干涉圖樣時(shí)，圖樣的中心不是暗點(diǎn)，而幾乎總是亮的。右旋石英與左旋石英 1825 年，菲涅耳對旋光現(xiàn)象提出了一種唯象的解釋。按照他的假設(shè)，可以把進(jìn)入旋光介質(zhì)的線偏振光看作是右旋圓偏振光和左旋圓偏振光的組合。 菲涅耳認(rèn)為：在各向同性介質(zhì)中，線偏振光的右、左旋圓偏振光分量的傳播速度vR和vL相等，因而其相應(yīng)的折射率nR = c/vR 和nL = c/vL 相等；在旋光介質(zhì)中，右、左旋圓偏振光的傳播速度不同，其相應(yīng)的折射率也不相等。 在右旋晶體中，右旋圓偏振光的傳播速度較快，vR vL (或者nR vR (或者nL nR) 。根據(jù)這一種假設(shè)，可以解釋旋光現(xiàn)象。二、自然旋光現(xiàn)象的理論解釋二、自然旋光現(xiàn)象

19、的理論解釋 假設(shè)入射到旋光介質(zhì)上的光是沿水平方向振動(dòng)的線偏振光，按照歸一化瓊斯矩陣方法, 可以把菲涅耳假設(shè)表示為： 如果右旋和左旋圓偏振光通過厚度為l的旋光介質(zhì)后，相位滯后分別為：i121112101lnlklnlkLLLRRR22則其合成波的瓊斯矢量為： 21)(21)(21)(1121121121121121LRLRLRLRLRkkikkikkililiiieieieeieieieiE引入：合成波的瓊斯矢量可以寫為：2)(2)(lkklkkLRLRsincos)(21)(21iiiiiieeeeeeE 它代表了光振動(dòng)方向與水平方向成角的線偏振光。這說明，入射的線偏振光光矢量通過旋光介質(zhì)后，轉(zhuǎn)過了角