高中數(shù)學選修(1)ppt課件

1、選修2-22.2.2教學目的教學目的 結(jié)合曾經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種根本方法反證法；了解反證法的思索過程、特點. 教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思索過程. 教學難點：根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法.methodlsynthetica,這這種種證證明明方方法法叫叫做做要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論成成立立最最后后推推導導出出所所經(jīng)經(jīng)過過一一系系列列的的推推理理論論證證定定理理等等學學定定義義、公公理理、利利用用已已知知條條件件和和某某些些數(shù)數(shù)一一般般地地綜綜合合法法.,果法果法又叫順推證法或由因?qū)в纸许樛谱C法或由因?qū)ЬC合法綜合法:,Q,P表表示示為為則則綜綜合合法法可可用用

2、框框圖圖表表示示所所要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論等等定定義義、公公理理、定定理理表表示示已已知知條條件件、已已有有的的用用1QP 21QQ 32QQ QQn ).methodanalytical(.)(,這這種種證證方方法法叫叫做做為為止止公公理理等等、已已知知條條件件、定定理理、定定義義定定一一個個明明顯顯成成立立的的條條件件判判把把要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論歸歸結(jié)結(jié)為為直直到到最最后后的的充充分分條條件件逐逐步步尋尋求求使使它它成成立立從從要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論出出發(fā)發(fā)一一般般地地分析法分析法.,因法因法又叫逆推證法或執(zhí)果索又叫逆推證法或執(zhí)果索分析法分析法:,Q為為則則分分析析法法可可用用框框

3、圖圖表表示示表表示示要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論用用1PQ 21PP 32PP 成成立立的的條條件件得得到到一一個個明明顯顯 課前自主學案課前自主學案1_是一種執(zhí)因推果的證明方法是一種執(zhí)因推果的證明方法_是一種執(zhí)果索因的證明方法是一種執(zhí)果索因的證明方法2命題命題“ABC中，假設中，假設AB，那么，那么ab的的結(jié)論的否認是結(jié)論的否認是_.溫固夯基溫固夯基綜合法綜合法分析法分析法ab1間接證明間接證明不是直接從原命題的條件逐漸推得命題成立，這種不是直接從原命題的條件逐漸推得命題成立，這種_的方法通常稱為間接證明的方法通常稱為間接證明_就是一種常用的間接證明方法，間接就是一種常用的間接證明方法，間接證明

4、還有證明還有 _、_等等知新益能知新益能不是直接證明不是直接證明反證法反證法同一法同一法枚舉法枚舉法2反證法反證法(1)反證法證明過程反證法證明過程反證法證明時，要從反證法證明時，要從_開場，經(jīng)過開場，經(jīng)過_導致導致_，從而到達，從而到達_ (即一定原命題即一定原命題)，用反證法證明命題，用反證法證明命題“假設假設p那么那么q的過程可以用下面的框圖表示：的過程可以用下面的框圖表示：否認結(jié)論否認結(jié)論正確的推理正確的推理邏輯矛盾邏輯矛盾新的否認新的否認(2)反證法證明命題反證法證明命題“假設假設p那么那么q的步驟的步驟_假設假設_不成立，即不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；假定原結(jié)論的反面為真；歸謬

5、歸謬從從_和和_出發(fā)，經(jīng)過一出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；存真存真由由_，斷定反設不真，從而，斷定反設不真，從而一定原結(jié)論成立一定原結(jié)論成立反設反設命題的結(jié)論命題的結(jié)論反設反設知條件知條件矛盾結(jié)果矛盾結(jié)果1反證法解題的本質(zhì)是什么？反證法解題的本質(zhì)是什么？提示：用反證法解題的本質(zhì)就能否認結(jié)論導出矛盾，提示：用反證法解題的本質(zhì)就能否認結(jié)論導出矛盾，從而證明原結(jié)論正確從而證明原結(jié)論正確2用反證法證明命題用反證法證明命題“假設假設p那么那么q時，為什么綈時，為什么綈q假假q就真？就真？提示：在證明數(shù)學命題時，要證明的結(jié)論要么正確，提示：在證明數(shù)學命題時

6、，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯誤，二者必居其一，所以命題結(jié)論要么錯誤，二者必居其一，所以命題結(jié)論q的反面的反面綈綈q錯誤時，錯誤時，q就一定正確就一定正確問題探求問題探求思索？思索？ A A、B B、C C三個人，三個人，A A說說B B扯謊，扯謊，B B說說C C扯謊，扯謊，C C說說A A、B B都扯謊。那么都扯謊。那么C C必必定是在扯謊，為什么？定是在扯謊，為什么？分析分析:假設假設C沒有扯謊沒有扯謊, 那么那么C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這與這與B B假矛盾假矛盾. .那么假設那么假設C C沒有扯謊不成立沒有扯謊不成立

7、; ;那么那么C C必定是在扯必定是在扯謊謊. .,.證法證法有時會不自覺地使用反有時會不自覺地使用反決某些數(shù)學問題時決某些數(shù)學問題時在日常生活或解在日常生活或解生生于這種方法其實并不陌于這種方法其實并不陌我們對我們對種基本方法種基本方法反證法是間接證明的一反證法是間接證明的一 反證法：反證法： 假設命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的假設命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的推理推理, ,引出矛盾，因此闡明假設錯誤引出矛盾，因此闡明假設錯誤, ,從而從而證明原命題成立證明原命題成立, ,這樣的的證明方法叫反這樣的的證明方法叫反證法。證法。反證法的思想方法：反證法的思想方法：正難那么反正難那么反反證法的根本

8、步驟：反證法的根本步驟：1 1假設命題結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成假設命題結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成-立；立；2 2從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推實際證，得出矛盾；從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推實際證，得出矛盾； 3 3從矛盾斷定假設不正確，從而一定命題的結(jié)從矛盾斷定假設不正確，從而一定命題的結(jié) - -論正確論正確歸繆矛盾：歸繆矛盾：1 1與知條件矛盾；與知條件矛盾；2 2與已有公理、定理、定義矛盾；與已有公理、定理、定義矛盾； 3 3自相矛盾。自相矛盾。運用反證法的情形：運用反證法的情形： (1) (1)直接證明困難直接證明困難; ; (2) (2)需分成很多類進展討論需分成很多類進展討論3)3)結(jié)論

9、為結(jié)論為“至少、至少、“至多、至多、“有無有無窮多個窮多個 - -類命題；類命題； 4 4結(jié)論為結(jié)論為 “獨一類命題；獨一類命題；例例1 1：用反證法證明：用反證法證明：假設假設ab0ab0，那么，那么a a b b證證：假假設設 a a b b不不成成立立，則則 a a b b若若 a a = =b b，則則a a = = b b, ,與與已已知知a a b b矛矛盾盾, ,若 a b，則a b,若 a b，則a b b矛矛盾盾, ,故故假假設設不不成成立立，結(jié)結(jié)論論 a a b b成成立立。例例2 2 知知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只需一有且只需一個根。個根

10、。證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，1 12 21 12 2不不妨妨設設其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1 12 2則則a ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0與與已已知知a a 0 0矛矛盾盾, ,故故假假設設不不成成立立，

11、結(jié)結(jié)論論成成立立。P P例例3 3：證明：圓的兩條不全是直徑的相交：證明：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能相互平分弦不能相互平分. .知：在知：在OO中中, ,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CDCD不全是直徑不全是直徑 求證：求證：ABAB、CDCD不能相互平分。不能相互平分。A AB BC CD DO O 例4 求證： 是無理數(shù)。2 2證：假設 2是有理數(shù)，證：假設 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是

12、是偶偶數(shù)數(shù)，故故設設m m= =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2從從而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這這與與m m，n n互互質(zhì)質(zhì)矛矛盾盾！是無理數(shù)成立所以假設不成立，2.,;,1,2步伐步伐大大推動了數(shù)學前進的大大推動了數(shù)學前進的第一次危機第一次危機從而引發(fā)了數(shù)學史上的從而引發(fā)了數(shù)學史上的理數(shù)理數(shù)這就是無這就是無是不可公度的是不可公度的還有一類數(shù)與還有一類數(shù)與外外之之使人們認識到在有理數(shù)使人們認識到在有理數(shù)的發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)正是正是.,.,、事實矛盾等、事實矛盾等或與定義、公理、定理或與定義、公理、

13、定理假設矛盾假設矛盾或與或與條件矛盾條件矛盾這個矛盾可以是與已知這個矛盾可以是與已知理下得出矛盾理下得出矛盾的推的推反證法的關(guān)鍵是在正確反證法的關(guān)鍵是在正確由上面的例子可以看出由上面的例子可以看出 !,.,)(:,全全局局拱拱手手讓讓予予對對方方數(shù)數(shù)學學家家索索性性把把或或頂頂多多一一子子棋棋對對奕奕者者不不外外犧犧牲牲一一卒卒象象它它還還要要高高明明勢勢的的讓讓棋棋法法局局時時犧犧牲牲一一子子以以取取得得優(yōu)優(yōu)比比起起象象棋棋開開武武器器是是數(shù)數(shù)學學家家最最有有力力的的一一件件反反證證法法歸歸謬謬法法贊贊它它數(shù)數(shù)學學家家哈哈代代曾曾經(jīng)經(jīng)這這樣樣稱稱國國近近代代英英問問題題的的有有力力工工具具疑

14、疑難難反反證證法法常常常常是是解解決決某某些些 .,.)(,用用及及應應用用進進一一步步了了解解反反證證法法的的作作己己查查找找相相關(guān)關(guān)書書籍籍感感興興趣趣的的同同學學可可以以自自就就采采用用了了反反證證法法的的證證明明個個質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)有有無無限限多多如如數(shù)數(shù)史史上上有有許許多多經(jīng)經(jīng)典典證證明明事事實實上上課堂互動講練課堂互動講練用反證法證明否認性命題用反證法證明否認性命題考點突破考點突破結(jié)論中含有結(jié)論中含有“不、不、“不是、不是、“不能夠、不能夠、“不存在不存在等詞語的命題稱為否認性命題，此類問題的正面等詞語的命題稱為否認性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較詳細，適于運用反證法比較模糊，而

15、反面比較詳細，適于運用反證法 如圖，設如圖，設SA，SB是圓錐的兩條母線，是圓錐的兩條母線，O是是底面圓心，底面圓心，C是是SB上一點，求證：上一點，求證：AC與平面與平面SOB不垂直不垂直【思緒點撥】結(jié)論是【思緒點撥】結(jié)論是“不垂直，呈不垂直，呈“否認性否認性，思索運用反證法，即假設，思索運用反證法，即假設“垂直，再導出垂直，再導出矛盾，從而一定矛盾，從而一定“不垂直不垂直【證明】假設【證明】假設AC平面平面SOB，由于直線由于直線SO在平面在平面SOB內(nèi)，內(nèi)，所以所以ACSO.又又SO底面，底面，所以所以SOAB.所以所以SO平面平面SAB.故平面故平面SAB底面底面這與知條件矛盾，這與知

16、條件矛盾，所以假設不成立所以假設不成立即即AC與平面與平面SOB不垂直不垂直【名師點評】經(jīng)過否認給出命題，將原來的否認【名師點評】經(jīng)過否認給出命題，將原來的否認性命題轉(zhuǎn)化為一定命題，再加以利用，找出矛盾性命題轉(zhuǎn)化為一定命題，再加以利用，找出矛盾用反證法證明獨一性命題用反證法證明獨一性命題結(jié)論中含有結(jié)論中含有“有且只需，有且只需，“只需一個，只需一個，“獨獨一存在等詞語的命題，表達了結(jié)果的一存在等詞語的命題，表達了結(jié)果的“獨一獨一性，結(jié)論易于否認，也易于推出矛盾，常用性，結(jié)論易于否認，也易于推出矛盾，常用反證法來證明反證法來證明 求證：兩條相交直線有且只需一個交求證：兩條相交直線有且只需一個交點

17、點【思緒點撥】屬于獨一性命題，用反證法證明比【思緒點撥】屬于獨一性命題，用反證法證明比較簡單較簡單【證明】假設結(jié)論不成立，那么有兩種能夠：無【證明】假設結(jié)論不成立，那么有兩種能夠：無交點或不只需一個交點交點或不只需一個交點假設直線假設直線a，b無交點，無交點，那么那么ab或或a，b是異面直線，與知矛盾是異面直線，與知矛盾假設直線假設直線a，b不只需一個交點，不只需一個交點，那么至少有兩個交點那么至少有兩個交點A和和B，這樣同時經(jīng)過點這樣同時經(jīng)過點A，B就有兩條直線，就有兩條直線，這與這與“經(jīng)過兩點有且只需一條直線相矛盾經(jīng)過兩點有且只需一條直線相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只需一個交點綜上所述

18、，兩條相交直線有且只需一個交點【名師點評】留意此題反設中不能漏掉【名師點評】留意此題反設中不能漏掉“無交點無交點這種情況這種情況變式訓練變式訓練2求證：方程求證：方程5x12的解是獨一的的解是獨一的由假設，得由假設，得x2x10，從而，當從而，當x2x10時，有時，有5x2x11；當當x2x10時，有時，有5x2x11.顯然，都與矛盾，這闡明假設不成立顯然，都與矛盾，這闡明假設不成立所以原方程的解是獨一的所以原方程的解是獨一的當一個命題的結(jié)論以當一個命題的結(jié)論以“最多、最多、“最少等方式出最少等方式出現(xiàn)時，宜用反證法現(xiàn)時，宜用反證法 (此題總分值此題總分值14分分)知知a，b，c是互不相等的是

19、互不相等的實數(shù)，求證：由實數(shù)，求證：由yax22bxc，ybx22cxa和和ycx22axb確定的三條拋物線至少有一條確定的三條拋物線至少有一條與與x軸有兩個不同的交點軸有兩個不同的交點 用反證法證明用反證法證明“至多至多“至少存在性至少存在性問題問題【規(guī)范解答】假設題設中的函數(shù)確定的三條拋【規(guī)范解答】假設題設中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與物線都不與x軸有兩個不同的交點軸有兩個不同的交點.3分分由由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得，得1(2b)24ac0，且，且2(2c)24ab0，且，且3(2a)24bc0.6分分同向不等式求和得：同向不等式求和得：4b24c24a2

20、4ac4ab4bc02a22b22c22ab2bc2ac0，10分分(ab)2(bc)2(ac)20，abc.12分分這與題設這與題設a，b，c互不相等矛盾，互不相等矛盾，因此假設不成立，從而命題得證因此假設不成立，從而命題得證.14分分【名師點評】留意【名師點評】留意“至少有一個、至少有一個、“至多有一個至多有一個的否認方式分別為的否認方式分別為“一個也沒有、一個也沒有、“至少有兩個至少有兩個1用反證法證明問題時要留意以下三點：用反證法證明問題時要留意以下三點：(1)必需先否認結(jié)論，即一定結(jié)論的反面，當結(jié)論必需先否認結(jié)論，即一定結(jié)論的反面，當結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必需羅列出各種能夠結(jié)論，的

21、反面呈現(xiàn)多樣性時，必需羅列出各種能夠結(jié)論，短少任何一種能夠，反證都是不完好的；短少任何一種能夠，反證都是不完好的；(2)反證法必需從否認結(jié)論進展推理，即應把結(jié)論反證法必需從否認結(jié)論進展推理，即應把結(jié)論的反面作為條件，且必需根據(jù)這一條件進展推的反面作為條件，且必需根據(jù)這一條件進展推證否那么，僅否認結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進證否那么，僅否認結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進展推理，就不是反證法；展推理，就不是反證法；方法感悟方法感悟(3)推導出的矛盾能夠多種多樣，有的與知矛盾，推導出的矛盾能夠多種多樣，有的與知矛盾，有的與假設矛盾，有的與現(xiàn)實矛盾等，推導出的矛有的與假設矛盾，有的與現(xiàn)實矛盾等，推導出的矛盾必需是明顯的盾必需是明顯的2在反證法中，常見的在反證法中，常見的“結(jié)論詞與結(jié)論詞與“反設詞反設詞原結(jié)論詞原結(jié)論詞至少有一至少有一個個至多有一至多有一個個至少有至少有n個個至多至多有有n個個反設詞反設詞一個也沒一個也沒有有(不存不存在在)至少有兩至少有兩個個至多有至多有(n1)個個至少至少有有(n1)個個原結(jié)論原結(jié)論詞詞只有一個只有一個對所有對所有x成成立立對任意對任意x不不成立成立反設詞反設詞沒有或至沒有或至少有兩個少有兩個存在某個存在某個x不成立不成立存在某個存在某個x成立成立原結(jié)論原結(jié)論詞詞都是都是一定是一定是p或或qp且且q反設詞反設詞不都不都是是