第2講常見(jiàn)函數(shù)值域或最值的經(jīng)典求法（解析版）

1、第2講 常見(jiàn)函數(shù)值域或最值的經(jīng)典求法【高考地位】函數(shù)值域是函數(shù)概念中三要素之一,是高考中必考內(nèi)容,具有較強(qiáng)的綜合性,貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.而在高考試卷中的形式可謂千變?nèi)f化,但萬(wàn)變不離其宗,真正實(shí)現(xiàn)了?？汲Ｐ碌目荚囈?所以,我們應(yīng)該掌握一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域求解的基本方法.方法一 觀察法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；第二步 利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.例1函數(shù)的值域_【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)值域?yàn)?【變式演練1】求函數(shù)的值域.【解析】2x0，082x802故函數(shù)的值域是.方法二 分離常

2、數(shù)法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 觀察函數(shù)類型，型如；第二步 對(duì)函數(shù)變形成形式；第三步 求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求函數(shù)的值域.例2 求函數(shù)的值域.【解析】第一步，觀察函數(shù)類型，型如；第二步，變形：函數(shù)，第三步，求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求函數(shù)的值域：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?【變式演練2】【北京大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三5月階段性檢測(cè)】若函數(shù)的定義域是，則的值域是_.【答案】【解析】由當(dāng)時(shí)，所以，則所以，即的值域?yàn)?故答案為：方法三 配方法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 將二次函數(shù)配方成；第二步 根據(jù)二次函數(shù)的圖

3、像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域. 例3 定義在上的函數(shù)的值域是_【解析】第一步，將函數(shù)配方成：由+10+241第二步，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域：因?yàn)?所以1即函數(shù)的值域是【變式演練3】已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：因二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,且時(shí),函數(shù)值,當(dāng)時(shí),因此當(dāng)時(shí), .故當(dāng),故應(yīng)選C.考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).方法四 反函數(shù)法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 求已知函數(shù)的反函數(shù)；第二步 求反函數(shù)的定義域；第三步 利用反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域的關(guān)系即可求出原函數(shù)的值域例4 設(shè)為，的反函數(shù)，則的最大值為

4、【答案】【解析】第一步，先判定函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的；第二步，求出函數(shù)的值域；第三步，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)得出反函數(shù)在為增函數(shù)；所以在為增函數(shù)；所以的最大值為【變式演練4】求函數(shù)的值域.方法五 換元法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關(guān)聯(lián)；第二步 另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.例5 求函數(shù)， 的值域.【解析】第一步，變化函數(shù)為二次函數(shù)的形式：，設(shè)，第二步，求出換元后函數(shù)的定義域：，第三步，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的值域：可得 ，綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)?【變式演練5】【2021新高考高考最后一卷數(shù)學(xué)第二模擬】

5、函數(shù)的值域?yàn)開(kāi).【答案】【解析】由題可得，令，則，即，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，要使方程有解，則需，得.綜上，例6 求函數(shù)的值域.【解析】第一步，換元（注意換元后的變量的取值范圍）：令，所以原函數(shù)可化為第二步，根據(jù)函數(shù)解析式判定單調(diào)性：因?yàn)槠溟_(kāi)口向下，并且對(duì)稱軸是，故當(dāng)時(shí)取得最大值為，沒(méi)有最小值，故值域?yàn)?【變式演練6】 求函數(shù)，的值域.方法六 判別式法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，型如的函數(shù)；第二步 將函數(shù)式化成關(guān)于的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)的取值范圍，即得函數(shù)的值域.例7 求函數(shù)的值域.【解析】第一步，將函數(shù)式化成關(guān)于的方程的形式：因?yàn)樗?/p>

6、以第二步，根據(jù)判別式得出函數(shù)值的取值范圍：時(shí)，上式可以看成關(guān)于的二次方程，該方程的范圍應(yīng)該滿足即此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根即，當(dāng)時(shí)，方程化為7=0，顯然不能成立，所以，將，分別代入檢驗(yàn)的不符合方程，所以【變式演練7】求函數(shù)的值域.【解析】，當(dāng)時(shí)方程有解，當(dāng)時(shí)由可得，綜上可知值域?yàn)?方法七 基本不等式法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，型如或的函數(shù)；第二步 對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.例8 已知，求函數(shù) 的最小值.【解析】第一步，將函數(shù)解析式化成的形式：因?yàn)?，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函?shù)最小值：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等

7、號(hào)成立。因?yàn)樵诙x域內(nèi)，所以最小值為1.例9 已知函數(shù)，求的值域.【解析】第一步，將函數(shù)解析式化成的形式：因?yàn)?，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函?shù)最小值：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。因?yàn)樵诙x域內(nèi)，所以最小值為5.【變式演練8 】【2021屆新高考同一套題信息原創(chuàng)卷】（多選）下列說(shuō)法正確的是（ ）A已知，則函數(shù)B已知，則函數(shù)的值域?yàn)镃已知，則函數(shù)的最小值為2D已知，則【答案】AB【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故A正確；，在單調(diào)遞增，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，故C錯(cuò)誤；，同號(hào)當(dāng)，同負(fù)時(shí)，顯然，故D錯(cuò)誤，故選：AB【變式演練9】 求的最小值；【解析】由題意得，令，則，又

8、當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，故的最小值是考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)；基本不等式.方法八 單調(diào)性法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 確定函數(shù)的定義域；第二步 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第三步 確定函數(shù)的值域或最值.例10 求函數(shù)的值域.【解析】第一步，將函數(shù)化成基本初等函數(shù)的形式：令，所以第二步，討論函數(shù)的單調(diào)性：因?yàn)?；所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；第三步，討論函數(shù)的單調(diào)性：又因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)；所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；第四步，根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)的最值，進(jìn)而得出值域：所以，所以函數(shù)的值域?yàn)??！军c(diǎn)評(píng)】本題先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的最

9、大值和最小值，得到函數(shù)的值域.例11求函數(shù)的值域.【解析】第一步，將函數(shù)化成基本初等函數(shù)的形式：令，所以第二步，討論函數(shù)的單調(diào)性：因?yàn)?；所以在上是增函?shù)，在上是減函數(shù)；第三步，討論函數(shù)的單調(diào)性：又因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)；所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；第四步，根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)的最值，進(jìn)而得出值域：所以，所以函數(shù)的值域?yàn)??！军c(diǎn)評(píng)】（1）如果能確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以使用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域.（2）本題中利用了這樣一個(gè)性質(zhì)：增（減）函數(shù)+增（減）函數(shù)=增（減）函數(shù).（3）本題都是增函數(shù)，利用到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.【變式演練10】 已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；【解析】，令，此時(shí)有， .【變

10、式演練11】 求函數(shù)的值域.【解析】由，解得，在此定義域內(nèi)函數(shù)是單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)的值域是.方法九 數(shù)形結(jié)合法萬(wàn)能模板內(nèi) 容使用場(chǎng)景函數(shù)值域求解解題模板第一步 作出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的圖像；第二步 利用函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域.例12 求函數(shù)的值域.【解析】第一步，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的直線的斜率：由題意可得：函數(shù)可看成定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的斜率，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在單位圓上，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到單位圓連線的斜率的問(wèn)題。第二步，根據(jù)直線與圓相切得出函數(shù)的值域：設(shè)直線的方程為，所以因?yàn)橹本€與圓相切，所以，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋骸军c(diǎn)評(píng)】（1）對(duì)于某些具有明顯幾何意義的函數(shù)，我們可以

11、利用數(shù)形結(jié)合的方法求該函數(shù)的值域.先找到函數(shù)對(duì)應(yīng)的形態(tài)特征，再求該函數(shù)的值域.（2）由于對(duì)應(yīng)著兩點(diǎn)之間的斜率（差之比對(duì)應(yīng)直線的斜率），所以本題可以利用斜率分析解答.例13 求函數(shù)的值域.【解析】第一步，求函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)式應(yīng)滿足真數(shù)大于0:所以由得,所以函數(shù)的定義域是，第二步，求真數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的值域：設(shè)點(diǎn)，所以,所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)評(píng)】要迅速地找到函數(shù)對(duì)應(yīng)的形，必須注意積累.這樣才能提高解題的效率.來(lái) 【變式演練12】 定義運(yùn)算a*b，a*b=ab(ab)(a>b)，例如1*2=1，則函數(shù)y=1*2x的值域?yàn)椋?）A (0,1) B (-,1) C 1,+) D (0,

12、1【答案】D【解析】當(dāng)12x時(shí)，即x0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=1，當(dāng)12x時(shí)，即x0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=2x由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域?yàn)椋海?，1故選：D考點(diǎn)：遇到函數(shù)創(chuàng)新應(yīng)用題型時(shí)，處理的步驟一般為：根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；再化簡(jiǎn)解析式，求函數(shù)解析式的最簡(jiǎn)形式，并分析解析式與哪個(gè)基本函數(shù)比較相似；根據(jù)定義域和解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)【高考再現(xiàn)】1. 【2014高考重慶理第12題】函數(shù)的最小值為_(kāi).【答案】考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；2、二次函數(shù)的最值.【名師點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算，二次函數(shù)，換元法，配方法求最值，本題屬于基礎(chǔ)題，注意函數(shù)的定義域.2

13、.【2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷精編版）】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A B C D 【解析】不等式為 (*)，當(dāng)時(shí)，(*)式即為， ，又（時(shí)取等號(hào)），（時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)時(shí)，(*)式為， ，又（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，綜上故選A【考點(diǎn)】不等式、恒成立問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】首先滿足轉(zhuǎn)化為去解決，由于涉及分段函數(shù)問(wèn)題要遵循分段處理原則，分別對(duì)的兩種不同情況進(jìn)行討論，針對(duì)每種情況根據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對(duì)應(yīng)的的范圍.3. 【2014上海理】若是的最小值，則的取值范圍為（ ）. (A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D)

14、 【答案】D【解析】由于當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，由題意當(dāng)時(shí)，應(yīng)該是遞減的，則，此時(shí)最小值為，因此，解得，選D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍4.【2018高考福建】若函數(shù) （ 且 ）的值域是 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是【答案】【考點(diǎn)定位】分段函數(shù)求值域【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的值域問(wèn)題，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其值域是各段函數(shù)值取值范圍的并集，將分段函數(shù)的值

15、域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，要注意分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題5.【2015高考北京，理14】設(shè)函數(shù)若，則的最小值為；若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】(1)1，(2)或.【解析】時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)值大于1，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為1；（2）若函數(shù)在時(shí)與軸有一個(gè)交點(diǎn)，則，并且當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)與軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以；若函數(shù)與軸有無(wú)交點(diǎn)，則函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)與軸有無(wú)交點(diǎn)，在與軸有無(wú)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，和，由于，兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)均滿足；綜上所述的取值范圍或.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，涉及函數(shù)圖象、函數(shù)的最值，函數(shù)的零

16、點(diǎn)、分類討論思想解【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)知識(shí)，本題屬于中等題，第一步正確畫(huà)出圖象，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，第二步涉計(jì)參數(shù)問(wèn)題，針對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，按照題目所給零點(diǎn)的條件，找出符合零點(diǎn)要求的參數(shù)，討論要全面，注意數(shù)形結(jié)合6. 【2015高考浙江，理10】已知函數(shù)，則，的最小值是【答案】，.【解析】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為.【考點(diǎn)定位】分段函數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)以及求函數(shù)的最值，屬于容易題，在求最小值時(shí)，可以求每個(gè)分段上的最小值，再取兩個(gè)最小值之中較小的一個(gè)即可，在求最小值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條

17、件，是否在其分段上，分段函數(shù)常與數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.7. 【2017浙江】若函數(shù)f(x)=x2+ ax+b在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則M mA與a有關(guān)，且與b有關(guān)B與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)【答案】B【解析】因?yàn)樽钪翟谥腥?，所以最值之差一定與無(wú)關(guān)，選B【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值【名師點(diǎn)睛】對(duì)于二次函數(shù)的最值或值域問(wèn)題，通常先判斷函數(shù)圖象對(duì)稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象，當(dāng)函數(shù)圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對(duì)稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)

18、，則函數(shù)圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為最小值，區(qū)間端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的一端取得函數(shù)的最大值8. 【2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（浙江卷精編版）】已知，函數(shù)在區(qū)間1,4上的最大值是5，則a的取值范圍是_【答案】【解析】，分類討論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值，舍去；當(dāng)時(shí)，此時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)，則：或，解得：或綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是【名師點(diǎn)睛】本題利用基本不等式，由，得，通過(guò)對(duì)解析式中絕對(duì)值符號(hào)的處理，進(jìn)行有效的分類討論：；，問(wèn)題的難點(diǎn)在于對(duì)分界點(diǎn)的確認(rèn)及討論上，屬于難題解題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)對(duì)各種情況逐一進(jìn)行討論9.【2017北京，文11】已知，且x+y=1，則的取值范圍是_【答案】【解析】【考點(diǎn)】二次函數(shù)【

19、名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，除了象本題的方法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求取值范圍，也可以轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系求取值范圍，當(dāng)，表示線段，那么的幾何意義就是線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，這樣會(huì)更加簡(jiǎn)單.10. 【2014福建,理13】要制作一個(gè)容器為4，高為的無(wú)蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_（單位：元）【答案】88【解析】試題分析：假設(shè)底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為, . 則該容器的最低總造價(jià)是.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)區(qū)到最小值.考點(diǎn)：函數(shù)的最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用及基本不等式，解決此題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)解析式，再利用基本不等式求最值，

20、在利用基本不等式求最值時(shí),一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件,注意創(chuàng)造“定”這個(gè)條件時(shí)常要對(duì)所給式子進(jìn)行拆分、組合、添加系數(shù)等處理,使之可用基本不等式來(lái)解決,若多次使用基本不等式,必須保持每次取等的一致性.11.【2014高考重慶理第16題】若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】試題分析：令，其圖象如下所示（圖中的實(shí)線部分）由圖可知：,由題意得：，解這得:所以答案應(yīng)填：.考點(diǎn)：1、分段函數(shù)；2、等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想；3、數(shù)形結(jié)合的思想.【名師點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值的性質(zhì)，分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法，不等式的恒成立，屬于基礎(chǔ)題12. 【2016高考江蘇卷

21、】（本小題滿分14分）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高的四倍. （1）若則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？【答案】（1）312（2）【解析】試題分析：（1）幾何體體積為柱與錐體積之和，需明確柱與錐體積公式區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解（2）從題目問(wèn)題出發(fā)，以為自變量建立體積的函數(shù)關(guān)系式，與(1)相似，先用分別表示底面正方形周長(zhǎng)及柱的高，再利用柱與錐體積公式得，最后利用導(dǎo)數(shù)求其最值試題解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6，所以正四

22、棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.(2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m)，則0<h<6,OO1=4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵谥?，所以，即于是倉(cāng)庫(kù)的容積，從而.令，得 或（舍）.當(dāng)時(shí)， ，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，V是單調(diào)減函數(shù).故時(shí)，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng) 時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大.考點(diǎn)：函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法.而江蘇應(yīng)用

23、題，往往需結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)最值問(wèn)題，因此掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值方法是一項(xiàng)基本要求，需熟練掌握.13 【2018年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（上海卷）】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意的x1、x2R，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2). （1）若f(x)=ax3+1，求a的取值范圍；（2）若f(x)為周期函數(shù)，證明：f(x)是常值函數(shù)；（3）設(shè)f(x)恒大于零，g(x)是定義在R上、恒大于零的周期函數(shù)，M是g(x)的最大值. 函數(shù)h(x)=f(x)g(x). 證明：“h(x)是周期函數(shù)”的充要條件是“f(x)是常值函數(shù)”.【答案】（1）a0；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【

24、解析】（1）因?yàn)閷?duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，即可知道函數(shù)是一個(gè)不遞減的函數(shù)，即.若，其導(dǎo)函數(shù)為，可以得到.（2）假設(shè)不是常值函數(shù)，并且其周期為.令，且存在一個(gè)，使得.由于的性質(zhì)可知，且.因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，所以，這與前面的結(jié)論矛盾，所以假設(shè)不成立，即是常值函數(shù).（3）充分性證明：當(dāng)為常值函數(shù)時(shí)，令，即，因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，所以也是周期函數(shù).必要性證明：當(dāng)是周期函數(shù)時(shí)，令周期為.即有，則，又因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，所以.即可得到，所以是周期函數(shù)，由（2）的結(jié)論可知，是常值函數(shù).綜上所述，是周期函數(shù)的充要條件是是常值函數(shù).點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的新定義問(wèn)題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新

25、思維的能力，考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，新定義的概念實(shí)質(zhì)上只是一個(gè)載體，解決新問(wèn)題時(shí)，只要通過(guò)這個(gè)載體把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識(shí)即可，著重考查了邏輯思維能力與理論運(yùn)算能力，及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，試題難度較大，屬于難題.【反饋練習(xí)】1【陜西省榆林市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次高考模擬測(cè)試文科】下列四個(gè)函數(shù)：；，其中定義域與值域相同的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷函數(shù)的定義域和值域，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋涤蛞矠?；即定義域和值域相同；函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為；即定義域和值域相同；指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?/p>

26、即定義域和值域不同；冪函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，即定義域和值域相同；故選：C.2【上海市楊浦區(qū)2021屆高三上學(xué)期一模（期末）】下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢BCD【答案】C【分析】由題意利用基本初等函數(shù)的值域，得出結(jié)論【詳解】解：函數(shù)的值域?yàn)椋逝懦?；函?shù)的值域?yàn)?，故排除；函?shù)的值域?yàn)?，故滿足條件；函數(shù)的值域?yàn)?，故排除，故選：3【上海市浦東新區(qū)2021屆高三上學(xué)期一?！恳阎瘮?shù)，則以下4個(gè)命題：是偶函數(shù)；在上是增函數(shù)；的值域?yàn)?；?duì)于任意的正有理數(shù)，存在奇數(shù)個(gè)零點(diǎn).其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A0B1C2D3【答案】B【分析】取特殊值可判斷；根據(jù)值域中不含負(fù)無(wú)理數(shù)可判斷；根據(jù)為有理數(shù)或?yàn)闊o(wú)理數(shù)，解出

27、可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以不是偶函?shù)，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以在不是增函?shù)，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋@然的值域中不含負(fù)無(wú)理數(shù)，故的值域不為，故錯(cuò)誤；的零點(diǎn)即為有理數(shù)或?yàn)闊o(wú)理數(shù)，對(duì)于為有理數(shù)，必有解，對(duì)于為無(wú)理數(shù)，必有解或無(wú)解，故有三個(gè)零點(diǎn)或一個(gè)，故正確；故選：B.4【貴州省安順市2021屆全市高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)統(tǒng)一考試】設(shè)集合，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)求得集合，然后再根據(jù)交集定義計(jì)算【詳解】，又，故選：B5【上海市南模中學(xué)2021屆高三三模數(shù)學(xué)試題】下列函數(shù)中，與函數(shù)的值域相同的函數(shù)為 （ ）ABCD【答案】B【詳解】試題解析：函數(shù)的值域?yàn)?，而，只有，所以選B.6【天津市

28、南開(kāi)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三（上）】下列四個(gè)函數(shù)：；，其中定義域與值域相同的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）ABCD【答案】B【分析】分別求出所給4個(gè)函數(shù)的定義域和值域比較是否相同.【詳解】的定義域與值域均為R，的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，的定義域和值域均為R.所以定義域與值域相同的函數(shù)是，共有2個(gè).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域值域求解，考查學(xué)生對(duì)于一些簡(jiǎn)單基本初等函數(shù)的掌握情況，較簡(jiǎn)單.7【云南省昆明市第一中學(xué)2021屆高三高中新課標(biāo)第一次摸底測(cè)試】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢(-，-2B2，+)C(-，-2 2，+)D-2，2【答案】C【分析】利用基本不等式可求該函數(shù)的值域.【詳解】當(dāng)

29、時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域、基本不等式，注意根據(jù)基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，本題屬于基礎(chǔ)題.8若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可確定其最小值為，由可求得，；由此根據(jù)值域可確定函數(shù)定義域，即可得到的取值范圍.【詳解】為開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)令，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：9【2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試伯樂(lè)馬模擬考試（三）文科】高斯函數(shù)屬于初等函數(shù)，以大數(shù)學(xué)家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯的名字命名，其圖形在形狀上像一個(gè)倒懸著的鐘，高

30、斯函數(shù)應(yīng)用范圍很廣，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影，設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢0，1BCD【答案】D【分析】先求出函數(shù)的值域，再根據(jù)題干中要求即可得出的值域.【詳解】即函數(shù)的值域?yàn)橛筛咚购瘮?shù)定義可知函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：D10【金科大聯(lián)考2020屆高三5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文科）】已知函數(shù)可以表示成一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之差，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）.ABCD【答案】C【分析】由題干條件構(gòu)造方程組解出函數(shù)和的解析式，再用分離參數(shù)法將對(duì)恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，有，解得，可化為，有，有，得，又由，有.故選：C11【2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題（二）】函數(shù)的值域?yàn)開(kāi).【答案】【解析】由已知得，解得，所以的定義域?yàn)椋視r(shí)與都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以的值域?yàn)?12函數(shù)的值域是_【答案】【解析】由題知，因?yàn)?，所以，所以，則，因此，故答案為:.13函數(shù)的值域是_【答案】【解析】由題意，函數(shù)，因?yàn)椋?，則，可得，故函數(shù)的值域是.【點(diǎn)睛】本