橢圓的簡單幾何性質(zhì)系列PPT課件

1、橢圓的定義橢圓的定義圖形圖形標準方程標準方程焦點坐標焦點坐標 a,b,c的關系的關系 焦點位置的焦點位置的判斷判斷122 (220)MFMFaac 22200(,)acb acab22221 0 xyabab22221 0yxabab12yoFFMx1oFyx2FMcabM橢圓橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax范圍：范圍：, 122ax得：得：122 by -axa, -byb 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中（如圖）組成的矩形中（如圖） oyB2B1A1A2F1F2cab1. 觀察：觀察：x,y的范圍？的范圍？2. 思考：如何用代數(shù)思考：如何用代數(shù)方法解釋方法解

2、釋x,y的范圍？的范圍？ -axa, -byb 一一.范圍范圍二、橢圓的頂點二、橢圓的頂點22221(0)，xyabab在中令令 x=0 x=0，得，得 y=y=？，？，說明橢圓與說明橢圓與 y軸的交點（軸的交點（ ），）， 令令 y=0y=0，得，得 x=x=？, , 說明橢圓與說明橢圓與 x軸的交點（軸的交點（ ）。）。* *頂點頂點：橢圓與它的對稱橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0* *長軸長軸、短軸短軸： 線段線段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分別叫做橢圓

3、的分別叫做橢圓的長軸和短軸。長軸和短軸。a a、b b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長半長半軸長軸長和和短半軸長短半軸長。焦點總在長軸上焦點總在長軸上! !三三.橢圓的對稱性橢圓的對稱性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y） 把把(X)換成換成(-X),方程不變方程不變,說明橢圓關于說明橢圓關于( )軸對稱；軸對稱； 把把(Y)換成換成(-Y),方程不變方程不變,說明橢圓關于說明橢圓關于( )軸對稱；軸對稱； 把把(X)換成換成(-X), (Y)換成換成(-Y),方程還是不變方程還是不變,說明橢圓關說明橢圓關于于( )對稱；對稱；Y X 原點原點 所以，所以，坐標

4、軸是橢圓的坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x練習：根據(jù)前面所學有關知識畫出下列圖形練習：根據(jù)前面所學有關知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四四、橢圓的離心率、橢圓的離心率ace 離心率：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。11離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：1 1）e e 越接近越接近 1

5、1，c c 就越接近就越接近 a a，從而，從而 b b就越小，就越小，橢圓就越扁橢圓就越扁因為因為 a c 0a c 0，所以，所以0e 10e b)(ab)cea知識歸納知識歸納a2=b2+c2 ) 0(ba，標準方程標準方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標頂點坐標焦點坐標焦點坐標半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的的關系關系22221(0)xyabab關于關于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關于原點成中心對稱關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b. b. (a

6、b)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)(b,0)、(-b,0)(-b,0)、(0,a)(0,a)、(0,-a)(0,-a)(0 , c)(0 , c)、(0, -c)(0, -c)關于關于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關于原點成中心對稱關于原點成中心對稱長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba)5,0(),5,0(21FF例題例題1:1: 求橢圓求橢圓 9 x9 x2 2 +

7、 4y+ 4y2 2 =36 =36的長軸和短軸的的長軸和短軸的長、離心長、離心 率、焦點和頂點坐標。率、焦點和頂點坐標。橢圓的長軸長是橢圓的長軸長是: :離心率離心率: :焦點坐標是焦點坐標是: :四個頂點坐標是四個頂點坐標是: :)3 , 0(),3, 0(),0 , 2(),0 , 2(2121BBAA橢圓的短軸長是橢圓的短軸長是:2a=62b=435ace解題步驟：解題步驟：1 1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程求、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程求a a、b b：2 2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置.解：把已知方程化成標準方程解：把已知方程化成標準方程19422yx四、例

8、題講解：四、例題講解：549,2,3cba練習練習: :求橢圓求橢圓 16 x16 x2 2 + 25y+ 25y2 2 =400 =400的長軸和的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標。短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標。解：把已知方程化成標準方程解：把已知方程化成標準方程1452222yx31625,4,5cba橢圓的長軸長是橢圓的長軸長是: :離心率離心率: :6.053ace焦點坐標是焦點坐標是: :)0,3(),0,3(21FF四個頂點坐標是四個頂點坐標是: :)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA橢圓的短軸長是橢圓的短軸長是: :2a=102b=8例

9、例2:2: 求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1 1）經(jīng)過點）經(jīng)過點（-3-3，0 0）、）、（0 0，-2-2）；）；22194xy22194xy解：解： 方法一：方法一：設橢圓方程為設橢圓方程為mxmx2 2nyny2 21 1（m m0 0，n n0 0，mnmn），），將點的坐標代入方程，求出將點的坐標代入方程，求出m m1/9,n1/9,n1/41/4。所以橢圓的標準方程為所以橢圓的標準方程為 方法二：方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在圓與坐標軸的交點就是橢

10、圓的頂點，于是焦點在x x軸上，軸上，且點且點P P、Q Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故a a3 3，b b2 2，所以橢圓的標準方程為，所以橢圓的標準方程為 （2 2）離心率為）離心率為 ，經(jīng)過點（，經(jīng)過點（2,02,0）23練習：練習： 橢圓的一個頂點為 ,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程02，A分析：分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置 橢圓的標準方程為： ；11422yx橢圓的標準方程為： ；116422yx解：解：（1）當 為長軸端點時， ， ， 2a1b02，A（2）當 為短軸端點時， , ， 2b4a02，A綜上所述，橢圓的

11、標準方程是 或 11422yx116422yx標準方程標準方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標頂點坐標焦點坐標焦點坐標半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關的關系系22221(0)xyabab關于關于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關于原點成中心對稱關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)關于關于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸

12、成軸對稱；關于原點成中心對稱關于原點成中心對稱長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba二.離心率的常見題型及解法題型一：定義法例1.已知橢圓方程為 + =1，求橢圓的離心率；162x82y1.1.直接算出直接算出a a、c c帶公式求帶公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.幾何意義：幾何意義：e e為為OPFOPF2 2的正弦值的正弦值3. 3. 已知已知a a2 2、c c2 2直接求直接求e e2 2 變式訓

13、練1： 若橢圓 + =1的離心率為1/2，求m的值.222cea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 221bea題型二：方程法例2.依據(jù)a,b,c,e的關系，構造關于a,c,的齊次式，解出e即可，但要注意橢圓離心率范圍是0eb0)+ =1(ab0)的三個頂點為的三個頂點為B B1 1 (0(0，-b)-b)，B B2 2 (0(0，b),A(a,0),b),A(a,0),焦點焦點F(c,0)F(c,0)且且B B1 1F FABAB2,2,求該橢圓的離心率。求該橢圓的離心率。22ax22byB B2 2 (0(0，b)b)B B1 1 (0

14、(0，-b)-b)A(a,0)A(a,0)F(c,0)F(c,0)x xoy y 練習 2 ：已知一橢圓的短軸長與焦距長相等，求橢圓的離心率。五.小結(jié)1.知識點：求離心率的兩種常規(guī)方法：（1）定義法:求a,c或a、c的關系；（2）方程法:根據(jù)題上的相等關系，構造關于a,c的齊次式，解出e.2.思想方法： 方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想高考鏈接（2012新課標全國卷）設F1和F2是橢圓 + =1(ab0)的左、右焦點，P為直線 x= 上一點， F2 P F1是底角為30的等腰三角形， 求該橢圓的離心率。22ax22bya23F2 (c,0)xoyF F1 1 (-c,0) (-c,0)x=3a/2x=3

15、a/2P302c2cc2c=3a/22c=3a/2六.課后練習2.設橢圓的兩個焦點分別為F1和F2 ，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若為F2PF1等腰直角三角形，求橢圓的離心率.1.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距長成等差數(shù)列，求該橢圓的離心率.3.3.已知橢圓的兩個焦點為已知橢圓的兩個焦點為F F1 1和和F F2 2，A A為橢圓上一為橢圓上一點點 ，且，且AFAF1 1AFAF2 2，AFAF1 1F F2 2=60=60，求該橢圓的，求該橢圓的離心率。離心率。1.1.橢圓以坐標軸為對稱軸，離心率橢圓以坐標軸為對稱軸，離心率 ，長軸長為，長軸長為6 6，則橢圓的方程則橢圓的方

16、程 為為（ ）32e 120y36x22 15y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C)(D)15y9x22 或或或或C2.若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率差數(shù)列，則其離心率e=_已知橢圓 的離心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：當橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 82 ka92b12 kcx 當橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 滿足條件的 或 4k45k練習2：已知橢圓 的離心率 ，求 的值 ）

17、（111522kkykx21ek練習3：例例4 4：點點M(x,y)M(x,y)與定點與定點F(4,0)F(4,0)的距離和它到定直的距離和它到定直線線l l:x = :x = 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) ，求點，求點M M的軌跡的軌跡。42554xyoFMlF1l( (橢圓的第二定義橢圓的第二定義) )準線方程：準線方程：cxa2 解：解：如圖，設如圖，設d是點是點M到直線到直線L的距離，根據(jù)題意，所求軌的距離，根據(jù)題意，所求軌跡的集合是：跡的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyabab 這是一個橢圓的標

18、準方程，所以點這是一個橢圓的標準方程，所以點M的的軌跡是長軸、短軸分別是軌跡是長軸、短軸分別是2a、2b的橢圓。的橢圓。點點M（x,y）與定點）與定點F（c,0）的距離）的距離 和它到定直線和它到定直線的距離比是常數(shù)的距離比是常數(shù)2:al xc(0).caca求求M點的軌跡。點的軌跡。|M FcPMda平方，化簡得平方，化簡得 ：222,:acb令可化得若點若點F F是定直線是定直線l外一定點，動點外一定點，動點M M到點到點F F的距離的距離與它與它到直線到直線l l的距離的距離之之比比等于等于常數(shù)常數(shù)e e(0(0e e1)1)，則點，則點M M的軌跡是橢圓的軌跡是橢圓. .M MF FH

19、 Hl新知探究新知探究動畫動畫第二定義第二定義 直線直線 叫做橢圓相應于焦叫做橢圓相應于焦點點F F2 2(c(c，0)0)的的準線準線，相應于焦點，相應于焦點F F1 1( (c c，0)0)的準線方程是的準線方程是O Ox xy yF F2 2F F1 1新知探究新知探究2axc2axc2axc 2axc橢圓的準線與離心率橢圓的準線與離心率離心率離心率：橢圓的準線橢圓的準線 ：2axc2222:1(0)yxa bab 思考又如何呢?ceaoxyMLLFF離心率的范圍離心率的范圍：01e相對應焦點相對應焦點F F（c,0c,0），準線是：），準線是：相對應焦點相對應焦點F F（- c,0-

20、c,0），準線是：），準線是：2axc2axc1.1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e、幾何意義：幾何意義：a a- -長長半半軸、軸、b b- -短短半半軸、軸、c c- -半焦距，半焦距，e e- -離心率；離心率； 相互關系：相互關系： 橢圓中的基本元素橢圓中的基本元素2.2.基本點：基本點：頂點、焦點、中心頂點、焦點、中心3.3.基本線基本線: : 對稱軸對稱軸（共兩條線），（共兩條線），準線準線222bacace 焦點總在長軸上焦點總在長軸上! !課堂小結(jié)課堂小結(jié)ca2ca2-準線準線 1 橢圓橢圓 + =1 + =1 上一點上一點P P到到右準線的距離為右準線的距

21、離為10,10,則則: :點點P P到左焦點的到左焦點的距離為距離為( )( ) A.14 B.12 C.10 D.8 A.14 B.12 C.10 D.81002x362y 【答案】6例3：22594511312FxyPAPAPF已知 是橢圓的左焦點， 是橢圓上動點點（， ）是一定點（）求的最小值變式變式2234121112FxyPAPAPF已知 是橢圓的左焦點， 是橢圓上動點點（， ）是一定點（）求的最小值1.若橢圓的兩個焦點把兩準線間的距離三等分若橢圓的兩個焦點把兩準線間的距離三等分,則則:離心率離心率e=_2離心率離心率e= ,且兩準線間的距離為且兩準線間的距離為4的橢圓的的橢圓的標準

22、方程為標準方程為_223.若橢圓的短軸長為若橢圓的短軸長為2,長軸是短軸的長軸是短軸的2倍倍,則則:中心到準中心到準線線的距離為的距離為( ) A. B. C. D.5585543383344.離心率離心率e= ,一條準線方程為一條準線方程為x=-53325求標準方程求標準方程直線與橢圓的位置關系直線與橢圓的位置關系種類:相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點) 直線與橢圓的位置關系的判定代數(shù)方法代數(shù)方法222201AxByCxyab由方程組20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程組有兩解兩個交點相交方程組有一解一個交點相切方程組無解無交點相離1.1.位置關系：相交、相切、相離位

23、置關系：相交、相切、相離2.2.判別方法判別方法( (代數(shù)法代數(shù)法) ) 聯(lián)立直線與橢圓的方程聯(lián)立直線與橢圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)(1)00直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個公共點；有兩個公共點； (2)(2)=0 =0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)(3)0 k-3366-k33當 =時有一個交點當或時有兩個交點當時沒有交點lmm oxyml解：設直線 平行于 ，224501259xykxy由方程組22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（）450lxyk則 可寫成：

24、12k25k25解得=，=-25.k 由圖可知 oxy45250mxy直線 為：22402515414145mld直線 與橢圓的交點到直線 的距離最近。且思考：最大的距離是多少？max22402565414145d設直線與橢圓交于設直線與橢圓交于P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )兩點，直線兩點，直線P P1 1P P2 2的斜率為的斜率為k k弦長公式：弦長公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知識點知識點2：弦長公式：弦長公式可推廣到任意二次曲線例例3 3：已知斜率為已知斜率為1 1的直線的直線L L過橢圓過橢圓 的右焦點，

25、交橢圓于的右焦點，交橢圓于A A，B B兩點，求弦兩點，求弦ABAB之長之長222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點:3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例5 ：已知橢圓：已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達定理韋達定理斜率斜率韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標公式來構造韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標公式來

26、構造知識點知識點3：中點弦問題：中點弦問題例例 5已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造 出中點坐標和斜率出中點坐標和斜率點點作差作差知識點知識點3：中點弦問題：中點弦問題點差法：點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率差構造出中點坐標和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy設中點，0120122,2xxxyyy則

27、有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在橢圓上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關弦的中點問題，常用設而不求的思想方法 例例5已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y

28、-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點的直線有且只有一條兩點的直線有且只有一條解后反思：中點弦問題求解關鍵在于充分利用解后反思：中點弦問題求解關鍵在于充分利用“中點中點”這這一一 條件，靈活運用中點坐標公式及韋達定理，條件，靈活運用中點坐標公式及韋達定理，練習： P49：A8例例6、如圖，已知橢圓如圖，已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點，兩點， AB的中點的中點M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 練習：練習： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過