隨機過程第三章

1、第第3章章 隨機信號與線性系統(tǒng)隨機信號與線性系統(tǒng)3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論一般電子系統(tǒng)中，通常含有若干個基本單元電路。一般電子系統(tǒng)中，通常含有若干個基本單元電路。線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器非線性系統(tǒng)：平方律檢波器，調(diào)制器，混頻器，限幅器非線性系統(tǒng)：平方律檢波器，調(diào)制器，混頻器，限幅器在確定信號輸入的情況下，線性系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出有在確定信號輸入的情況下，線性系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出有明確的表達式。明確的表達式。對于隨機信號的問題，要想得到輸出的明確表達式是對于隨機信號的問題，要想得到輸出的明確表達式是不可能的。不可能的。一個隨機過程可以通過自相關(guān)函

2、數(shù)、功率譜密度、均一個隨機過程可以通過自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、均方值等統(tǒng)計特性來描述。方值等統(tǒng)計特性來描述。如何根據(jù)線性系統(tǒng)輸入隨機信號的統(tǒng)計特性以及線性如何根據(jù)線性系統(tǒng)輸入隨機信號的統(tǒng)計特性以及線性系統(tǒng)的特性，確定輸出系統(tǒng)的統(tǒng)計特性系統(tǒng)的特性，確定輸出系統(tǒng)的統(tǒng)計特性? ?2u線性系統(tǒng)：具有疊加性和比例性的系統(tǒng)線性系統(tǒng)：具有疊加性和比例性的系統(tǒng)u舉例：舉例：( )x t L ( ) ( )y tL x t1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t2 tdLdtLLdu u線性時不變系統(tǒng)：系統(tǒng)響應(yīng)不依賴于時間起點的線性時不變系統(tǒng)：系統(tǒng)響應(yīng)不依賴于時間起點的選擇

3、，即如果輸入信號提前或延時一段時間，則選擇，即如果輸入信號提前或延時一段時間，則輸出信號也同樣提前或延時一段相同的時間，而輸出信號也同樣提前或延時一段相同的時間，而輸出信號的波形保持不變。輸出信號的波形保持不變。400() ()y ttL x ttu連續(xù)時不變線性系統(tǒng)分析方法連續(xù)時不變線性系統(tǒng)分析方法1.時域分析時域分析2.頻域分析頻域分析3. 物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)條件穩(wěn)定系統(tǒng)條件: 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)條件條件:5( )( )( ),Y sH s X s sj( )h t dt Y( )( )X( )H0, ( )0th t ( )() ( )( ) ()( )( )y t

4、x thdxh tdx th t3.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析u在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號的某個在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號的某個只取決于輸入信號的只取決于輸入信號的。u根據(jù)輸入隨機信號的根據(jù)輸入隨機信號的和和，再加上已知線性系統(tǒng)，再加上已知線性系統(tǒng)或或，就可以求出輸出隨機信號相應(yīng)的均值、相關(guān)，就可以求出輸出隨機信號相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)和功率譜密度 u分析方法分析方法：時域分析法：時域分析法 ；頻域分析法；頻域分析法。63.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的

5、均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距73.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距8輸入為隨機信號輸入為隨機信號X(t)的某個的某個的的，則，則為：為：0)()()(dtxhty一個確定性函數(shù)對于隨機信號對于隨機信號

6、X(t)任意一個樣本函數(shù)均成立。那么任意一個樣本函數(shù)均成立。那么對于所有的試驗對于所有的試驗結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機過程結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機過程0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距9Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX

7、td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t YX0( )mmhd若若X(t)為平穩(wěn)隨機過程，為平穩(wěn)隨機過程，則則3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距10 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t由于由于系統(tǒng)的輸出

8、是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)系統(tǒng)輸入輸出輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距11 XY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru duX( )()Rh若輸入為平穩(wěn)隨機過程若

9、輸入為平穩(wěn)隨機過程3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距12已知已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸系統(tǒng)輸出出端的自相關(guān)函數(shù)端的自相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEttX1212( , )( )( )Rt th th tY121XY12( , )( )( , )Rt th

10、tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXXYYX( )( )( )()( )()( )( )RRhhRhRh3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距13系統(tǒng)輸出的系統(tǒng)輸出的n n階矩的一般表達式為階矩的一般表達式為 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX t

11、h th th tu3.2.1 時域分析法時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論結(jié)論1：若輸入：若輸入X(t)是是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。結(jié)論結(jié)論2：若輸入：若輸入X(t)是嚴平穩(wěn)的，則輸出是嚴平穩(wěn)的，則輸出Y(t)也也是嚴平穩(wěn)的。是嚴平穩(wěn)的。 結(jié)論結(jié)論3：若輸入：若輸入 X(t)是寬遍歷性的，則輸出是寬遍歷性的，則輸出Y(t)也是寬遍歷性的，且也是寬遍歷性的，且X(t)、Y(t)聯(lián)合遍歷聯(lián)合遍歷 。1415結(jié)論結(jié)論1：若輸入是：若輸入是 X(t) 寬寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)

12、平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出輸出Y(t)也也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。XX( )mtm常數(shù)X12X( , )( )Rt tR12tt 2X(0)( )RE Xt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )Rt tX0( )()h u Ru du X( )()RhYX( )R若輸入若輸入X(t)為為寬平穩(wěn)隨機過程，則有：寬平穩(wěn)隨機過程，則有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 1622X00Y (

13、 )( )( ) ( )()EtE Yth u h v Ruv dudv X00( )( )()h uh vRuv dudv X00(0)( )( )Rh uh v dudv X00(0)( )( )Rh v dvh u du0)(dtth2( )E Yt 17結(jié)論結(jié)論2：若：若輸入輸入X(t)是是嚴平穩(wěn)的，則嚴平穩(wěn)的，則輸出輸出Y(t)也也是嚴是嚴平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。 18結(jié)論結(jié)論3：若：若輸入輸入X(t)是是寬遍歷性的，則寬遍歷性的，則輸出輸出Y(t)也也是寬遍歷性的，是寬遍歷性的，且且X(t) 和和Y(t) 聯(lián)合聯(lián)合遍歷遍歷 1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TT

14、Tlimh u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm191Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y()2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u duTX0() ( )Ru h

15、u duXY( )R 習(xí)題習(xí)題3.2.2 頻域分析法頻域分析法 21 1 1、輸出的均值、輸出的均值 2 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 22 1 1、輸出的均值、輸出的均值 2 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H3.2.2 頻域分析法頻域分析法 23 1 1、輸出的均值、輸出的均值 2 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜

16、密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSH 由，兩邊取付氏變換得： 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 24 1 1、輸出的均值、輸出的均值 2 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 XYX( )( )( )SSHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s3.3 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程一、希爾伯特變換一、希爾伯特變換 25261(

17、)( )*x tx tt( )1/h tt0( )0jHj1)(H0202)(二、二、 解析過程及其性質(zhì)解析過程及其性質(zhì)1、定義、定義 2、性質(zhì)、性質(zhì)習(xí)題習(xí)題3.4 窄帶隨機過程表示窄帶隨機過程表示一、窄帶隨機過程一、窄帶隨機過程1、定義、定義 322、窄帶隨機過程的表達式窄帶隨機過程的表達式 3、窄帶隨機過程的萊斯表達式、窄帶隨機過程的萊斯表達式 4、萊斯表達式的性質(zhì)萊斯表達式的性質(zhì) ( )aS習(xí)題習(xí)題3.7 窄帶隨機過程包絡(luò)和相位的窄帶隨機過程包絡(luò)和相位的特性特性421 1、窄帶、窄帶隨機過程包絡(luò)與相位的慢變化特性隨機過程包絡(luò)與相位的慢變化特性 證明： 因為 )(ta)(tb是低頻限帶隨機

18、過程， 即它們的功率譜只在 c0區(qū)間內(nèi)非0，且 0c則 )()(2)()()()(222tatatataEtataE)(2)0(2aaRR= 432022-5-14此式說明：若 c1，在t到 t的時間內(nèi)， )(ta的變化的均方值遠小于 )(ta的均方值。 因為 0c，即 0022ccTT，令 0T01cT由切比雪夫不等式： 22x(x)XPE令 0 x()( )a tTa t，注意 0(x) () ( )0EE a tTE a t帶入上式，得：2200)()(0)()(taTtaEtaTtaP44222002( ) ()( )cT E a tP a tTa t01cT0T0 x( ) t0T)(ta)(ta)(tb)(tA)(t即即 ，即，即足夠小時，對于給定的足夠小時，對于給定的右式趨近于右式趨近于0。這就是說，。這就是說，為窄帶隨