第三章(第1節(jié))單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

1、 本章將主要討論振動(dòng)系統(tǒng)由外部持續(xù)激本章將主要討論振動(dòng)系統(tǒng)由外部持續(xù)激勵(lì)所產(chǎn)生的振動(dòng)，稱(chēng)為勵(lì)所產(chǎn)生的振動(dòng)，稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)。 系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)取決于激勵(lì)的類(lèi)系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)取決于激勵(lì)的類(lèi)型，依照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的次序，外部激勵(lì)分為型，依照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的次序，外部激勵(lì)分為: : 簡(jiǎn)諧激勵(lì)；簡(jiǎn)諧激勵(lì)； 疊加原理：疊加原理：對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，可以先分別求對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，可以先分別求出對(duì)所給定的許多各種激勵(lì)的響應(yīng)，然后組合得出對(duì)所給定的許多各種激勵(lì)的響應(yīng)，然后組合得出總響應(yīng)。出總響應(yīng)。 非周期性激勵(lì)。非周期性激勵(lì)。 周期性激勵(lì)；周期性激勵(lì)； 如圖如圖3.1-1所示的二階線(xiàn)性有所示的二階線(xiàn)性有阻尼的彈

2、簧阻尼的彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)。質(zhì)量系統(tǒng)。這一系這一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 這個(gè)單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程這個(gè)單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的全部解包括兩部分。的全部解包括兩部分。一是通解一是通解x1，二是特解，二是特解x2，即，即21xxx在小阻尼情況下，通解在小阻尼情況下，通解x1為為衰減振動(dòng)衰減振動(dòng)，稱(chēng)為，稱(chēng)為瞬態(tài)瞬態(tài)振動(dòng)振動(dòng)；特解；特解x2表示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下產(chǎn)生的表示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下產(chǎn)生的強(qiáng)迫強(qiáng)迫振動(dòng)振動(dòng)，它是一種持續(xù)等幅振動(dòng)，稱(chēng)為，它是一種持續(xù)等幅振動(dòng)，稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。 tFtFkxxcxmsin)(0 (3.1-1)圖 3.1-1微分方程及解的形式微分方程及解的形式微分

3、方程的求解微分方程的求解式中式中X為強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅，為強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅，為相位差，是兩個(gè)為相位差，是兩個(gè)待定常數(shù)待定常數(shù)。 將式將式(3.1-2)代入式代入式(3.1-1)，得得為了便于比較，把上式右端的為了便于比較，把上式右端的F0sint改寫(xiě)如下改寫(xiě)如下設(shè)特解為設(shè)特解為)sin(2tXx(3.1-2)tFtXctXmksin)cos()sin()(02(3.1-3)sin(sin00tFtF)cos(sinsincos00tFtF(3.1-4) 微分方程的求解微分方程的求解將式將式(3.1-4)代回式代回式(3.1-3)，整理后得，整理后得)sin(cos)(02tFXmk0)cos()si

4、n(0tFXccos)(02FXmksin0FXc 該方程對(duì)于任意時(shí)間該方程對(duì)于任意時(shí)間t都應(yīng)恒等于零，有都應(yīng)恒等于零，有由此可得由此可得2220cmkFX(3.1-5)2tgmkc(3.1-6)微分方程的求解微分方程的求解 為了便于進(jìn)一步討論，把式為了便于進(jìn)一步討論，把式(3.1-5)與與式式(3.1-6)的分子分母同除以的分子分母同除以k，得如下變化形式，得如下變化形式 222021nnkFX(3.1-7)式中式中 。nccnmcccmk2,2212tgnn(3.1-8)得特解為得特解為這就是在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下系統(tǒng)的這就是在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下系統(tǒng)的位移響應(yīng)位移響應(yīng)。 02222sin12nnF

5、kxt (3.1-9)可以看出強(qiáng)迫振動(dòng)的一些帶有普遍性質(zhì)的特點(diǎn)：可以看出強(qiáng)迫振動(dòng)的一些帶有普遍性質(zhì)的特點(diǎn)：(1) 在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，強(qiáng)迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，強(qiáng)迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的振動(dòng)的頻率與激勵(lì)頻率頻率與激勵(lì)頻率相同相同，但穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相但穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位滯后于激勵(lì)相位。位滯后于激勵(lì)相位。(2) 強(qiáng)迫振動(dòng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅振幅X和相位差和相位差都只決定于系統(tǒng)都只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激勵(lì)的大小與頻率本身的物理性質(zhì)和激勵(lì)的大小與頻率，與初始條與初始條件無(wú)關(guān)。件無(wú)關(guān)。初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)。初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)。(3) 強(qiáng)迫振動(dòng)振幅的大小在工程實(shí)際問(wèn)題中具有強(qiáng)迫振動(dòng)振

6、幅的大小在工程實(shí)際問(wèn)題中具有重要意義。如果振幅超過(guò)允許的限度，構(gòu)件中會(huì)重要意義。如果振幅超過(guò)允許的限度，構(gòu)件中會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的交變應(yīng)力，而導(dǎo)致疲勞破壞，或者影產(chǎn)生過(guò)大的交變應(yīng)力，而導(dǎo)致疲勞破壞，或者影響機(jī)器及儀表的精度。響機(jī)器及儀表的精度。關(guān)于解的討論關(guān)于解的討論可以將式可以將式(3.1-7)寫(xiě)成無(wú)量綱的形式寫(xiě)成無(wú)量綱的形式2222220)2()1 (1)/(2)/(1 1nnXX(3.1-10)212tan(3.1-11)引入符號(hào)：引入符號(hào)：nkFX000XX頻率比；頻率比； 振動(dòng)系統(tǒng)零頻率撓度；振動(dòng)系統(tǒng)零頻率撓度；放大因子。放大因子。 關(guān)于解的討論關(guān)于解的討論幅頻特性曲線(xiàn)幅頻特性曲線(xiàn)放大因子放

7、大因子與頻率比與頻率比的關(guān)系：的關(guān)系：當(dāng)頻率比當(dāng)頻率比1時(shí)，時(shí)，趨于零，趨于零，振幅可能非常小。振幅可能非常小。當(dāng)激勵(lì)頻率與振動(dòng)系統(tǒng)頻率當(dāng)激勵(lì)頻率與振動(dòng)系統(tǒng)頻率很接近時(shí)，即很接近時(shí)，即1時(shí)，定義為時(shí)，定義為共共振振，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可能很大，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可能很大，比比X0大很多倍，唯一的限制因大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。素是阻尼。圖 3.1-2關(guān)于解的討論關(guān)于解的討論共振共振由式由式(3.1-10)可見(jiàn)，在可見(jiàn)，在=1時(shí)，有時(shí)，有 實(shí)際上，當(dāng)有阻尼作用時(shí)，實(shí)際上，當(dāng)有阻尼作用時(shí)，振幅最大并不在振幅最大并不在 = n處處，而發(fā)生在，而發(fā)生在 (3.1-12)21ncFXX002(3.1-13

8、)n221(3.1-14), 0)2()1 (8)1 (4dd22222將式將式(3.1-10)對(duì)對(duì)(或或)進(jìn)行微分，令結(jié)果等于零進(jìn)行微分，令結(jié)果等于零,即即關(guān)于解的討論關(guān)于解的討論共振共振 據(jù)此，放大因子與振幅為據(jù)此，放大因子與振幅為（振幅最大時(shí)）（振幅最大時(shí)）(3.1-15)222222212121212142111dcFXX02012(3.1-16)22221, 021 有時(shí)，把強(qiáng)迫振動(dòng)振幅最大時(shí)的頻率稱(chēng)為共振頻率，有時(shí)，把強(qiáng)迫振動(dòng)振幅最大時(shí)的頻率稱(chēng)為共振頻率，也可以把振動(dòng)系統(tǒng)以最大振幅進(jìn)行振動(dòng)的現(xiàn)象稱(chēng)為共振。也可以把振動(dòng)系統(tǒng)以最大振幅進(jìn)行振動(dòng)的現(xiàn)象稱(chēng)為共振。關(guān)于解的討論關(guān)于解的討論相頻

9、頻特性曲線(xiàn)相頻頻特性曲線(xiàn) 相位差相位差與頻率比與頻率比的關(guān)系：的關(guān)系：在在1時(shí)，相位差時(shí)，相位差，即，即在高頻范圍內(nèi)，響應(yīng)與激勵(lì)接在高頻范圍內(nèi)，響應(yīng)與激勵(lì)接近于反相位。近于反相位。在在=1，即共振時(shí)，相位差，即共振時(shí)，相位差/2，這時(shí)，這時(shí)與阻尼大小無(wú)關(guān)，與阻尼大小無(wú)關(guān)，這是共振時(shí)的一個(gè)重要特征。這是共振時(shí)的一個(gè)重要特征。圖 3.1-3關(guān)于解的討論關(guān)于解的討論共振時(shí)的響應(yīng)共振時(shí)的響應(yīng) 再研究當(dāng)激勵(lì)頻率再研究當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率與系統(tǒng)固有頻率n相等相等( (即共振即共振) )時(shí)的響應(yīng)情況。在方程時(shí)的響應(yīng)情況。在方程(3.1-1)中，中，令c=0，=n，有，有 根據(jù)微分方程理論可知：根據(jù)微分方

10、程理論可知：當(dāng)當(dāng)=n時(shí)，微分方程時(shí)，微分方程(3.1-17)的的特解為特解為 tFkxxmsin0 (3.1-17)2sin2cos200ttmFttmFx(3.1-18) 這就說(shuō)明在共振時(shí)，如無(wú)阻尼，振幅將隨時(shí)間無(wú)限這就說(shuō)明在共振時(shí)，如無(wú)阻尼，振幅將隨時(shí)間無(wú)限地增大，如圖地增大，如圖3.1-4所示。所示。圖 3.1-4例題：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程例題：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程（例（例3.1-1) 共振現(xiàn)象是工程中需要研究的重要課題，共振現(xiàn)象是工程中需要研究的重要課題，工程中通工程中通常取常取0.75 1.25的區(qū)間為共振區(qū)的區(qū)間為共振區(qū)，在共振區(qū)內(nèi)振動(dòng)都很，在共振區(qū)內(nèi)振動(dòng)都很強(qiáng)烈，會(huì)導(dǎo)致機(jī)器或

11、結(jié)構(gòu)的過(guò)大變形而造成破壞，但同強(qiáng)烈，會(huì)導(dǎo)致機(jī)器或結(jié)構(gòu)的過(guò)大變形而造成破壞，但同樣可以利用振動(dòng)為人類(lèi)服務(wù)。樣可以利用振動(dòng)為人類(lèi)服務(wù)。 例例3.1-1 在一彈簧在一彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)上作用一簡(jiǎn)諧質(zhì)量系統(tǒng)上作用一簡(jiǎn)諧力力 ，如圖，如圖3.1-5所示。初始瞬時(shí)所示。初始瞬時(shí)x(0)=x0， ，試求系統(tǒng)的響應(yīng)。試求系統(tǒng)的響應(yīng)。 tFFsin0 00 xx解：解：系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為tFkxxmsin0 其解為其解為tmkFtAtAxnnsinsincos2021式中式中A1和和A2是由初始條件確定的常數(shù)。是由初始條件確定的常數(shù)。圖 3.1-5例題：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程例題：無(wú)阻尼強(qiáng)

12、迫振動(dòng)微分方程（例（例3.1-1)001022,nnFxAxAkm 代入初始條件代入初始條件x(0)=x0， ，得得0)0(xx把把A1和和A2值代入解中，得值代入解中，得sinsinsincos2000ttmkFtxtxxnnnnnttmkFtAnnnsinsinsin20當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，時(shí)，x0= =0，上式簡(jiǎn)化為，上式簡(jiǎn)化為0 x ttmkFxnnsinsin20例題：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程例題：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程（例（例3.1-1) 在有阻尼的情況下，后一種自由振動(dòng)在一段時(shí)間內(nèi)在有阻尼的情況下，后一種自由振動(dòng)在一段時(shí)間內(nèi)逐漸衰減，系統(tǒng)的振動(dòng)逐漸變成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，如圖逐漸衰減，系統(tǒng)的振動(dòng)逐

13、漸變成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，如圖3.1-6所所示。示。 強(qiáng)迫振動(dòng)的初始階段的解由三部分組成：強(qiáng)迫振動(dòng)的初始階段的解由三部分組成：第一項(xiàng)是初始條件產(chǎn)生的第一項(xiàng)是初始條件產(chǎn)生的自由振動(dòng)自由振動(dòng)；第二項(xiàng)是簡(jiǎn)諧激勵(lì)產(chǎn)生的第二項(xiàng)是簡(jiǎn)諧激勵(lì)產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)； 第三項(xiàng)是不論初始條件如何都第三項(xiàng)是不論初始條件如何都伴隨強(qiáng)迫振動(dòng)而產(chǎn)伴隨強(qiáng)迫振動(dòng)而產(chǎn)生的自由振動(dòng)生的自由振動(dòng)。同時(shí)，系統(tǒng)中不可避免地存在著阻尼，。同時(shí)，系統(tǒng)中不可避免地存在著阻尼，自由振動(dòng)將不斷的衰減。自由振動(dòng)將不斷的衰減。圖 3.1-6例題：不平衡質(zhì)量激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)例題：不平衡質(zhì)量激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)（例（例3.1-2） 例例3.1-2 作為承受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的一個(gè)

14、例子，考慮圖作為承受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的一個(gè)例子，考慮圖3.1-6所示的不平衡轉(zhuǎn)子激發(fā)的振動(dòng)。兩個(gè)偏心質(zhì)量所示的不平衡轉(zhuǎn)子激發(fā)的振動(dòng)。兩個(gè)偏心質(zhì)量m/2以角以角速度速度按相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣可以使兩個(gè)偏心質(zhì)量激勵(lì)按相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣可以使兩個(gè)偏心質(zhì)量激勵(lì)的水平分量相互抵消，鉛垂分量則相加起來(lái)。設(shè)轉(zhuǎn)子的的水平分量相互抵消，鉛垂分量則相加起來(lái)。設(shè)轉(zhuǎn)子的偏心矩為偏心矩為e，機(jī)器總質(zhì)量為，機(jī)器總質(zhì)量為M，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解：系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為圖 3.1-6 0dd)sin(dddd)(2222kxtxctextmtxmM上式可以寫(xiě)成上式可以寫(xiě)成tmekxxcxMsin2

15、例題：不平衡質(zhì)量激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)例題：不平衡質(zhì)量激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)（例（例3.1-2） 設(shè)響應(yīng)為設(shè)響應(yīng)為)sin(tXx 根據(jù)方程根據(jù)方程（3.1-7）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值幅值為為2222211kmeX 式中式中 ，而，而 。根據(jù)方程。根據(jù)方程（3.1-8）的穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的響應(yīng)的相位角相位角nMkn22112tg 同樣響應(yīng)的幅值也可以變換為同樣響應(yīng)的幅值也可以變換為22222222)2()1 ()2()1 (1MmeMmeXn例題：不平衡質(zhì)量激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)例題：不平衡質(zhì)量激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)（例（例3.1-2） 因而，在這種情況下，無(wú)量綱比為因而，在這種情況下，無(wú)量綱比為22222222)2()

16、1 ()2()1 (1nmeMX 用幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)表示如圖用幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)表示如圖3.1-7所示所示 圖 3.1-7 在低頻在低頻1時(shí)，則時(shí)，則MX/me趨 近 于趨 近 于 1 ， 即， 即Xme/M，而不趨向，而不趨向于零。于零。 例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)（例（例3.1-3） 解：解：取鉛垂坐標(biāo)軸取鉛垂坐標(biāo)軸x與與y，分別以物體，分別以物體與支承靜止時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)，向與支承靜止時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)，向上為正。其運(yùn)動(dòng)微分方程為上為正。其運(yùn)動(dòng)微分方程為0)()(yxkyxcxm 或者改寫(xiě)成為或者改寫(xiě)成為例例3.1-3 作為承受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的另一個(gè)例子，是當(dāng)支承產(chǎn)作為承

17、受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的另一個(gè)例子，是當(dāng)支承產(chǎn)生簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的情況。在許多情況下，系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)生簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的情況。在許多情況下，系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)是由于支承的運(yùn)動(dòng)。如圖是由于支承的運(yùn)動(dòng)。如圖3.1-8所示的系統(tǒng)，假定物體所示的系統(tǒng)，假定物體m只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，支承可以上下運(yùn)動(dòng)，其規(guī)律為，只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，支承可以上下運(yùn)動(dòng)，其規(guī)律為， 求系統(tǒng)的響應(yīng)。求系統(tǒng)的響應(yīng)。tYysinyyxxxnnnn2222 例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)（例（例3.1-3） 設(shè)支承的位移設(shè)支承的位移y與振動(dòng)系統(tǒng)中的質(zhì)量與振動(dòng)系統(tǒng)中的質(zhì)量m的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)x表示為表示為 tYysintYyco

18、stXxsintXxcostXxsin2 把上面的式子代入振動(dòng)微分方程得把上面的式子代入振動(dòng)微分方程得tYtYtXtXtYtYtXtXnnnsincos2cos2sin1sincos2cos2sin122為了便于比較，把上式右端項(xiàng)改寫(xiě)為為了便于比較，把上式右端項(xiàng)改寫(xiě)為)cos(sinsincos)sin(sinsin)sin(2coscos2)cos(2cos2tYtYtYtYtYtYtYtY例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)（例（例3.1-3） 代回整理得代回整理得)cos(cos2sin)sin(sin2coscos2sin12tYtYtXtX這個(gè)方程對(duì)于任意時(shí)間這個(gè)方程對(duì)于任意時(shí)間t都應(yīng)恒等于零，所以都應(yīng)恒等于零，所以sin（t-）和和cos（t-）前面括號(hào)內(nèi)的量都必須分別等于零，有前面括號(hào)內(nèi)的量都必須分別等于零，有YXYXcos2sin2sin2cos122232222)2()1 (2tg)2()1 ()2(1YX因此因此例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)例題：支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)（例（例3.