向量代數(shù)與空間解析幾何學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1向量向量(xingling)代數(shù)與空間解析幾何代數(shù)與空間解析幾何 第一頁，共120頁。2xoy面面yoz面面zox面面空間空間(kngjin)直角坐標(biāo)系共有八直角坐標(biāo)系共有八個卦限個卦限xyoz第2頁/共120頁第二頁，共120頁。3)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxCxyzo),(zyxM 空間空間(kngjin)的點的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊特殊(tsh)點的表點的表示示:)0 , 0 , 0(O坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的點,P,Q,R坐標(biāo)面上的點坐標(biāo)面上的點,A,B,C一個分量為零一個分量為零:

2、:點在坐標(biāo)點在坐標(biāo)(zubio)(zubio)面上面上. . 兩個分量為零兩個分量為零: :點在坐標(biāo)軸上點在坐標(biāo)軸上. . 第3頁/共120頁第三頁，共120頁。4, ),(1111zyxM設(shè)設(shè)),(2222zyxM為空間為空間(kngjin)兩點兩點,由勾股定理由勾股定理(u dn l)，得，得兩點間的距離兩點間的距離(jl)(jl)公式：公式： 22122122121)()()(|zzyyxxMM Oxyzz1z2x2x1y1y2M2M1特特別別，點點),(zyxM與與原原點點)0 , 0 , 0(O的的距距離離為為 222|zyxOM 第4頁/共120頁第四頁，共120頁。5 在在 z

3、軸上求與兩點軸上求與兩點 A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距等距離離(jl)的點的點.設(shè)該點為設(shè)該點為M(0, 0, z) , ,由題設(shè)由題設(shè) |MA| = |MB| ,即即222222)2()05()03()7()01()04( zz 解得解得，914 z即所求點為即所求點為.)914, 0, 0(M例例1 1解解第5頁/共120頁第五頁，共120頁。6一、向量一、向量(xingling)的概念的概念1、向量、向量(xingling): 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 稱為向稱為向量量(xingling) (或矢量或矢量).用一條有方向的線段來表示向量用一條有

4、方向的線段來表示向量.2、向量的幾何表示法向量的幾何表示法以線段的以線段的長度長度表示向量的表示向量的大小大小, ABa特別特別: : 模為模為1 1的向量稱為的向量稱為單位向量單位向量. . 模為模為0 0的向量稱為的向量稱為零向量零向量. .記為記為 , ,它的方向可以看它的方向可以看作是任意的作是任意的. .0有向線段的有向線段的方向方向表示向量的方向表示向量的方向. .以以A為起點為起點, B為終點的向量為終點的向量, 記為記為 或或 .ABa向量向量 的大小叫做向量的的大小叫做向量的模模. 記為記為 或或 . ABAB|a| |第6頁/共120頁第六頁，共120頁。73、自由、自由(

5、zyu)向量向量a自由向量：只有大小、方向自由向量：只有大小、方向, 而無特定起點的向量而無特定起點的向量. 具有在空間中可以任意平移具有在空間中可以任意平移(pn y)的性質(zhì)的性質(zhì).ba與與若若向向量量大小相等且方向相同大小相等且方向相同,記記作作相相等等與與稱稱 .ba.ba aab4、向量、向量(xingling)相等相等即通過平移即通過平移可以使它們可以使它們重合重合, ,第7頁/共120頁第七頁，共120頁。85、向量、向量(xingling)平行平行(或或共線共線)abab6、向量、向量(xingling)共面共面 當(dāng)把若干個向量的起點放在一起時當(dāng)把若干個向量的起點放在一起時, ,

6、若它們的若它們的終點和公共起點在一個平面終點和公共起點在一個平面(pngmin)(pngmin)上上, ,則稱這則稱這些向量共面些向量共面. . 如果兩個向量如果兩個向量 與與 的方向相同或相反的方向相同或相反, ,稱為稱為平行平行, ,記為記為abab第8頁/共120頁第八頁，共120頁。9, 0 a, 0 bab 稱稱為為向向量量 a與與向向量量 b的的夾夾角角, 記記為為 特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角的夾角(ji jio)可在可在0與與 之間任意取值之間任意取值.)0( AOBAOB 則則),(ba),(ab或或.7、兩向

7、量、兩向量(xingling)的夾的夾角角將它們將它們(t men)(t men)平移，使得始平移，使得始點重合，點重合， ab方方向向相相同同與與ba:0 方方向向相相反反與與ba: 平行，平行，垂垂直直與與ba:2 .ba 第9頁/共120頁第九頁，共120頁。101、向量、向量(xingling)的的加法加法(1) 平行四邊形法則平行四邊形法則(fz)abbba (2) 三角形法則三角形法則(fz)abba b向量的加法向量的加法第10頁/共120頁第十頁，共120頁。11向量向量(xingling)(xingling)加法的運算加法的運算規(guī)律：規(guī)律：(1) 交換律交換律: abba (

8、2) 結(jié)合律結(jié)合律:)()(cbacba ba ababcb cba abcba 第11頁/共120頁第十一頁，共120頁。12多個多個(du )(du )向量相加向量相加: : s1a2a3a4anaaa 21從從1a的的起起點點開開始始, ,首首尾尾相相接接, ,指指向向na的的終終點點. . 例如例如(lr),4321aaaas 第12頁/共120頁第十二頁，共120頁。13abb b cbabac )(2) 向量向量(xingling)減減法法.規(guī)定規(guī)定(gudng):)( baba (1) 負向量負向量: 與與 模相同而方向相反的向量模相同而方向相反的向量, 稱為稱為 的的負向量負向

9、量, 記作記作 .aaa aa 將將 之一平移之一平移, 使使起點重合起點重合, 由由 的終點向的終點向 的終點作一向量的終點作一向量, 即為即為 abba,.ba abba ba 第13頁/共120頁第十三頁，共120頁。14定義定義(dngy)模：模： |aa 當(dāng)當(dāng) 0時時, ;同同向向與與aa 當(dāng)當(dāng) 0時時, 當(dāng)當(dāng) = 0時時, ., 0它它的的方方向向可可以以是是任任意意的的 a 設(shè)設(shè)為實數(shù)為實數(shù)(shsh). 規(guī)定: 向量 與數(shù) 的 為一個向量.a 乘積乘積aaa 0 ;反反向向與與aa a 0 方向：方向：第14頁/共120頁第十四頁，共120頁。15向量向量(xingling)與

10、數(shù)的乘積的運算與數(shù)的乘積的運算規(guī)律規(guī)律:(1) 結(jié)合律結(jié)合律:aaa)()()( (2) 分配律分配律:aaa )(baba )(定理定理(dngl)設(shè)設(shè)0 a, ,則則ab/存存在在唯唯一一實實數(shù)數(shù)k, ,使使akb . . 向量向量(xingling)(xingling)的的單位化：單位化：，設(shè)設(shè)0 a則則 表表示示與與 a方方向向相相同同的的單單位位向向量量. . aa|1第15頁/共120頁第十五頁，共120頁。16例例2 2 試用向量證明三角形兩邊試用向量證明三角形兩邊(lingbin)(lingbin)中點的連線平中點的連線平行于第三邊行于第三邊, ,且其長度等于第三邊的一半且其長

11、度等于第三邊的一半. . 如如圖圖所所示示, ,設(shè)設(shè)ED,分分別別為為ACAB,的的中中點點, ,則則 證證ABCDE,21ABAD ADAEDE ,21ACAE 所以所以(suy)(21ABAC ,21BC 所以所以(suy),/ BCDE且且.21BCED 第16頁/共120頁第十六頁，共120頁。17設(shè)設(shè)cba,兩兩兩兩不不平平行行, ,若若0 cba, ,則則 cba,構(gòu)構(gòu)成成一一個個三三角角形形. . 設(shè)設(shè)立立方方體體三三邊邊為為cba, ,FEDCBA,為為各各邊邊中中點點, , 例例3 3證證證證明明：EFCDAB,構(gòu)構(gòu)成成三三角角形形. . ABCDEFOabc, )(21ba

12、AB , )(21caCD , )(21bcEF 0 EFCDAB, ,即即構(gòu)構(gòu)成成三三角角形形. . 第17頁/共120頁第十七頁，共120頁。18設(shè)設(shè)FED,分分別別是是 ABC 三三邊邊的的中中點點, ,證證明明 類類似似, ,設(shè)設(shè)dcba,兩兩兩兩不不平平行行, ,若若0 dcba, ,則則dcba,構(gòu)構(gòu)成成一一個個四四邊邊形形( (但但不不一一定定共共面面) ). . 練習(xí)練習(xí)(linx)：證證明明向向量量CDBFAE,構(gòu)構(gòu)成成某某個個三三角角形形的的三三邊邊. . 第18頁/共120頁第十八頁，共120頁。191. 起點在原點的向量起點在原點的向量(向徑向徑)OM設(shè)點設(shè)點 M (x

13、,y, z)zijkMoxyCABzyxN以以 分別表示沿分別表示沿x, y, z軸正向的單位向量軸正向的單位向量, 稱為稱為基本單基本單位向量位向量. .kji,OM = OA + AN +NM r= OA + OB + OC,kzj yix 稱稱 OA、OB、OC分別是分別是OM 在在 x 軸軸, y 軸軸, z 軸軸上的上的分向量分向量, 而而x, y, z,分別是分別是OM 在三坐標(biāo)軸上的投在三坐標(biāo)軸上的投影影, 稱為稱為OM 的的坐標(biāo)坐標(biāo).簡記為簡記為 , 此稱為向量此稱為向量 的的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式.OMr ,zyxr 第19頁/共120頁第十九頁，共120頁。20 xyzo 1

14、MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaPMQMPMazyx 111 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 2. 起點不在原點起點不在原點O的任一向量的任一向量21MMa 設(shè)點設(shè)點 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)第20頁/共120頁第二十頁，共120頁。21kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的

15、坐標(biāo)按基本單位向量的坐標(biāo)(zubio)分解式：分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量在三個坐標(biāo)軸上的分向量(xingling)：,kajaiazyx向量向量(xingling)的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：,zyxaaa向量的向量的坐標(biāo)表達式坐標(biāo)表達式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 第21頁/共120頁第二十一頁，共120頁。22,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( .)()()(kajaiazy

16、x 第22頁/共120頁第二十二頁，共120頁。23兩向量兩向量(xingling)平行的充要平行的充要條件：條件：即即 ax = bx，ay = by，az = bz，于是于是(ysh)./zzyyxxbabababa 即對應(yīng)的坐標(biāo)即對應(yīng)的坐標(biāo)(zubio)成比成比例例.注注: 在上在上 式中規(guī)定式中規(guī)定, 若某個分母為零若某個分母為零, 則相應(yīng)的分子也為則相應(yīng)的分子也為零零.已知已知baba /設(shè)設(shè),zyxaaaa ,zyxbbbb 且且 為常數(shù)為常數(shù),第23頁/共120頁第二十三頁，共120頁。24設(shè)設(shè)點點),(111zyxA, ,),(222zyxB, ,在在線線段段AB上上求求一一點

17、點M, ,使使 MBAM )1( . . （定定比比分分點點） ,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，ABMxyzo例例4 4解解由題意由題意(t y)知：知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 第24頁/共120頁第二十四頁，共120頁。25,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為)1,1,1(212121 zzyyxx 特特別別, ,1 , ,得得線線段段AB的的中中點點 )2,2,

18、2(212121zzyyxx 第25頁/共120頁第二十五頁，共120頁。26設(shè)設(shè)向向量量,zyxr ， 作作kzj yi xrOM ， xyzo)0 ,0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxN),(zyxM 由勾股定理由勾股定理(u dn l)知，知，,|222zyxOMr 此即向量此即向量(xingling)(xingling)模的坐標(biāo)模的坐標(biāo)表示表示. . 第26頁/共120頁第二十六頁，共120頁。27 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為稱為方向角方向角. . ，,zyxOMr 設(shè)設(shè)xyzo M,0 ,0 .0 第27頁/共

19、120頁第二十七頁，共120頁。28 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為稱為方向角方向角. . ，,zyxOMr 設(shè)設(shè)xyzo M 由圖分析由圖分析(fnx)可可知知 cos|rx cos|ry cos|rz 向量的方向向量的方向(fngxing)余弦余弦方向余弦通常用來表示方向余弦通常用來表示向量的方向向量的方向. .第28頁/共120頁第二十八頁，共120頁。29 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為稱為方向角方向角. . ，,zyxOMr 設(shè)設(shè)xyzo M 222|zyxr ,cos222zyxx 向量方向余弦向量方向余弦

20、(yxin)的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示式式時時，當(dāng)當(dāng)0|222 zyxr,cos222zyxy .cos222zyxz 第29頁/共120頁第二十九頁，共120頁。301coscoscos222 方向余弦(yxin)的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊(tsh)地：單位向量的方向余弦為,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 第30頁/共120頁第三十頁，共120頁。31 已知兩點已知兩點M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 計算向計算向量量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2例例5 5解解M1 M2 = 1, 1, 221

21、MM;22cos ,21cos ,21cos .43 ,3 ,32 ;2)2(1)1(222 模模:方向方向(fngxing)余余弦：弦：方向方向(fngxing)角：角：第31頁/共120頁第三十一頁，共120頁。32 已知兩點已知兩點A(4, 0, 5)和和B(7, 1, 3). 求方向和求方向和AB 一致的單位向量一致的單位向量.例例6 6解解，14)2(13|222 AB.142 ,141 ,143| ABABa,2, 1, 3 AB第32頁/共120頁第三十二頁，共120頁。33P8 習(xí)題習(xí)題(xt)8.21. 第33頁/共120頁第三十三頁，共120頁。34sF解解: : 由物理知

22、由物理知, , 與位移平行與位移平行的分力作功的分力作功, , 與位移垂與位移垂直直(chuzh)(chuzh)的分力不的分力不作功作功. . 于是于是一、向量(xingling)的數(shù)量積|cos|SFW 例如例如: 設(shè)力設(shè)力 F 作用于某物體上作用于某物體上, 物體有一段位移物體有一段位移 S , 求功的表示式求功的表示式.cos| SF 第34頁/共120頁第三十四頁，共120頁。35ab 數(shù)量數(shù)量(shling)積也稱為積也稱為“點點積積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論(jiln) (jiln) 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影

23、的乘積的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積. .定義(dngy),Prjcos|bba ,Prjcos|aab abbabPrj| .Prj|baa cos| |baba 向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba ， ( (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角) ) 投影第35頁/共120頁第三十五頁，共120頁。36數(shù)量數(shù)量(shling)積符合下列運算規(guī)律：積符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： . )()()(bababa 第36頁/共120頁第三十六頁，共120頁。37關(guān)于關(guān)于(gun

24、y)數(shù)量積的說明：數(shù)量積的說明：證證.| aaa 即即0)2( ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos . ba 即即，2|)1(aaa ,ba ,0cos . 0cos| | baba, 0 .|cos| |2aaaaa ,2 ,2 第37頁/共120頁第三十七頁，共120頁。38例例1 1 利用向量證明利用向量證明(zhngmng)(zhngmng)三角形的余三角形的余弦定理弦定理證證ab c.cos2222 abbac , bac 由于由于)()(| 2babaccc babbaa 2， cos| |2|22baba .cos2 222 abbac 第38頁/共12

25、0頁第三十八頁，共120頁。39證證明明三三角角不不等等式式 |baba . 例例2 2證證 cos| baba，|ba )()(| 2bababa 22| |2|bbaa 222bbaa ，2) | (ba 所以所以(suy). |baba 第39頁/共120頁第三十九頁，共120頁。40,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)()(kbjbibkajaiazyxzyx ,kji ,0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ijk第40頁/共120頁第四十頁，共120頁。41 cos| |baba ,| |cosbaba 222222

26、coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦兩向量夾角余弦(yxin)的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示式式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量由此可知兩向量(xingling)垂直的充要條件為垂直的充要條件為第41頁/共120頁第四十一頁，共120頁。42例例3 3解解已知已知3 , 1, 2 a，4 , 1 , 3 b，求，求 ba ； baab22 。 (1)ba ;17431)1(32 ,143)1(22222 a,264132222 bbaab22 4 , 1 , 3143 , 1, 226 .22,40,10 (2)第42頁/共120頁第四十二頁，共120頁

27、。43例例4 4解解;1100111 AMB cos.),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( AMBBAM 求求和和已知三點已知三點、,21221 .3 AMB.,的的夾夾角角與與就就是是向向量量作作向向量量MBMAAMBMBMA ,0 , 1 , 1 MA,1 , 0 , 1 MBMBMA ,2,2 MBMAMBMAMBMA ABM第43頁/共120頁第四十三頁，共120頁。44先研究物體(wt)轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的力矩LFPQO 設(shè)設(shè) O 為為一一根根杠杠桿桿 L 的的支支點點， 有有一一力力 F 作作用用于于這這杠杠桿桿上上 P 點點處處力力 F 與與 OP 的的夾

28、夾角角為為 ，力力 F 對對支支點點 O 的的力力矩矩是是一一向向量量 M，它它的的模模 |FOQM sin| |FOP M 的的方向方向: 垂直于垂直于OP與與F 所在的平所在的平面面, 指向使指向使OP、F與與M 滿足滿足右手規(guī)則右手規(guī)則.第44頁/共120頁第四十四頁，共120頁。45定義(dngy)向向量量a與與b的的向向量量積積 bac 規(guī)規(guī)定定為為 sin| |)1bacc 的的模模大大小?。?其其中中 為為a與與b的的夾夾角角) 2 2) )方方向向：c的的方方向向同同時時垂垂直直于于a和和b， 即即垂垂直直于于a, ,b所所決決定定的的平平面面, ,a, ,b和和ba 成成右右

29、手手系系. . 向量積也稱為向量積也稱為(chn wi)“(chn wi)“叉積叉積”、“外積外積”.”.bac ab第45頁/共120頁第四十五頁，共120頁。46注注: （1）向量積的模的幾何）向量積的模的幾何(j h)意義意義.|ba 是是以以ba,為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積； （2 2）0 ba 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) ba/. . （3 3）0 aa sin| |baba bac ab第46頁/共120頁第四十六頁，共120頁。47向量向量(xingling)積符合下列積符合下列運算規(guī)律：運算規(guī)律：（1）反交換律：反交換律：.abba （2）分配律：分配律：.)(cb

30、cacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )()(baba bbbaabaa .2ba 例例5 5第47頁/共120頁第四十七頁，共120頁。48,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ijk第48頁/共120頁第四十八頁，共120頁。49向量向量(xingling)積還可用三階行列式表積還可用三階行列式表示示.zyxzyxbbbaaakjiba ba

31、kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 第49頁/共120頁第四十九頁，共120頁。50求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量. bac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc . )5152(kj 例例6 6解解第50頁/共120頁第五十頁，共120頁。51在在頂頂點點為為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC邊邊上上的的高高BD. ABCD3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積的面積(min j)為為|2

32、1ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |521225BD .5| BD例例7 7解解|21BDACS |ABAC 054340 kji,161215kji 第51頁/共120頁第五十一頁，共120頁。52設(shè)已知三個向量設(shè)已知三個向量cba,，數(shù)量數(shù)量 cba )(稱為稱為這三個向量的這三個向量的混合積混合積，記為，記為cba. . 定義(dngy)cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合混合(hnh)積的坐標(biāo)表達式積的坐標(biāo)表達式第52頁/共120頁第五十二頁，共

33、120頁。53（1）向量）向量(xingling)混合積的幾何混合積的幾何意義：意義： 向向量量的的混混合合積積cba是是這這樣樣的的一一個個數(shù)數(shù), 它它的的絕絕對對值值表表示示以以向向量量cba,為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積. acbba 關(guān)于混合關(guān)于混合(hnh)積的說明：積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量 a、b、c 共共面面 . 0 cba第53頁/共120頁第五十三頁，共120頁。54ABCD已知空間內(nèi)不在一平面上的四點已知空間內(nèi)不在一平面上的四點),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444

34、zyxD, 求四面體的體積求四面體的體積. 由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.| |61ADACABV 例例8 8解解第54頁/共120頁第五十四頁，共120頁。55,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 141414131313121212 abs 61 zzyyxxzzyyxxzzyyxxV ABCD,121212zzyyxxAB 第55頁/共120頁第五十五頁，共120頁。56例例9 9解解判別判別)2 , 0 , 3(),4 , 3 , 1(),

35、2 , 1 , 1(),1, 1, 2(DCBA 四點是否共面？四點是否共面？ 只要判別三個向量只要判別三個向量AB、AC、AD是否共面即可是否共面即可 630420321 ,3 , 2 , 1 AB,5 , 4 , 3 AC,3 , 1 , 1 AD311543321)( ADACAB,0 因此因此(ync) A、B、C、D 四點共四點共面面 第56頁/共120頁第五十六頁，共120頁。57解解例例1010已已知知2 cba，計計算算)()()(accbba . )()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0

36、0 0 0 cba )(cba )(2 2cba .4 第57頁/共120頁第五十七頁，共120頁。58向量向量(xingling)的數(shù)量積的數(shù)量積向量(xingling)的向量(xingling)積向量(xingling)的混合積（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）第58頁/共120頁第五十八頁，共120頁。59P15 習(xí)題習(xí)題(xt)8.31. 第59頁/共120頁第五十九頁，共120頁。60 xyzo 如果如果(rgu)一非零向量一非零向量垂直于一平面，這向量就叫垂直于

37、一平面，這向量就叫做該平面的法線向量做該平面的法線向量法線向量法線向量(xingling)的特的特征：征：垂直于平面(pngmin)內(nèi)的任一向量已知平面的法線向量為已知平面的法線向量為,CBAn 設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為，),(zyxMn一、平面及其方程),(0000zyxM且過點且過點求平面方程求平面方程.0MM1、平面的點法式方程第60頁/共120頁第六十頁，共120頁。61,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面的點法式(fsh)方程,CBAn ),(0000zyxM),(zyxM00 nMMxyzon0MM第61頁/共120頁第六十一頁，共

38、120頁。62求求過過點點)0 , 3, 2( A且且以以3 , 2, 1 n為為法法向向的的平平面面方方程程. . 解解例例1 1，03)3(2)2( zyx化簡得所求平面化簡得所求平面(pngmin)方方程為程為.0832 zyx由平面由平面(pngmin)的點的點法式法式第62頁/共120頁第六十二頁，共120頁。63求求過過三三點點)1, 0 , 1( A、)2 , 1 , 2(B和和)1 , 1 , 1( C的的平平面面方方程程. ,3, 1, 1 AB取取ACABn ,3, 8, 1 所求平面所求平面(pngmin)方方程為程為, 0)1(3)0(8)1( zyx化簡得化簡得.04

39、38 zyx解解例例2 2BCAn212311 kji,2, 1, 2 AC第63頁/共120頁第六十三頁，共120頁。64一一般般, ,若若三三點點)3 , 2 , 1( ),( izyxAiiii不不在在一一直直線線上上, ,則則這這三三點點確確定定一一張張平平面面, ,其其方方程程為為( (混混合合積積) ) 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 或或 01111333222111 zyxzyxzyxzyx. . 稱為稱為(chn wi)平面的三點式方程平面的三點式方程 第64頁/共120頁第六十四頁，共120頁。65求求過過點點) 1 , 1 , 1

40、(,且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n所以所求平面所以所求平面(pngmin)的法向量為的法向量為21nnn 5,15,10 化簡得化簡得. 0632 zyx, 0)1()1(3)1(2 zyx所求平面所求平面(pngmin)方程為方程為解解例例3 3兩平面兩平面(pngmin)的法向分別的法向分別為為1223111 kji,1, 3, 2/第65頁/共120頁第六十五頁，共120頁。66 前面看到前面看到, ,平面可用三元一次方程平面可用三元一次方程(y c fn chn)(y c fn chn)表示

41、；反之表示；反之, ,任一三元一次方程任一三元一次方程(y c fn chn) (y c fn chn) 0 DCzByAx（* *） 當(dāng)當(dāng) A,B,C A,B,C 不全為零時不全為零時(ln sh),(ln sh),表示一張平面表示一張平面, , 它的法向為它的法向為 ,CBAn （* *）稱為平面的）稱為平面的一般方程一般方程. . 第66頁/共120頁第六十六頁，共120頁。67平面一般方程的幾種特殊平面一般方程的幾種特殊(tsh)情情況：況：, 0)1( D平面平面(pngmin)通過坐標(biāo)原通過坐標(biāo)原點；點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平

42、行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論 情形.0 DCzByAx第67頁/共120頁第六十七頁，共120頁。68解解例例4 4求通過求通過 x 軸和點軸和點(4, 3, 1)的平面的平面(pngmin)方程方程.由于平面由于平面(pngmin)過過 x 軸軸, 所以所以 A = D = 0.設(shè)所求平面設(shè)所求平面(pngmin)的方程為的方程為 By + Cz = 0 ,又點(4, 3, 1)在平面上, 所以 3B C = 0 , C = 3B , ,所求平面方程為所求平面方程

43、為 By 3Bz = 0 ,0 B顯然顯然所以所求平面方程為所以所求平面方程為.03 zy第68頁/共120頁第六十八頁，共120頁。69設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR(其其中中0 a,0 b,0 c), 求求此此平平面面方方程程. 設(shè)平面設(shè)平面(pngmin)方程為方程為, 0 DCzByAx將三點將三點(sn din)坐標(biāo)坐標(biāo)代入得代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例5 5第69頁/共120頁第六十九頁，共120頁。70代入即得所求方程代入即得所求方程(fngc

44、hng)為為1 czbyax平面平面(pngmin)的截距式方的截距式方程程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距oyPxzQR,aDA ,bDB .cDC ,0 D顯然顯然,0 DCzByAx第70頁/共120頁第七十頁，共120頁。71把平面把平面(pngmin)方程化為方程化為截距式截距式, 14/556/5 zyxxyzo求求平平面面0546 zyx與與三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍四四面面體體的的體體積積. . .1441254556561 V解解例例6 6第71頁/共120頁第七十一頁，共120頁。72兩平面法向量(xingling)之間的夾角稱為兩平面的夾角.定義定

45、義(dngy)（通常（通常(tngchng)取銳取銳角）角）1 1n2 2n , 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 第72頁/共120頁第七十二頁，共120頁。73按照兩向量按照兩向量(xingling)夾角余弦公夾角余弦公式有式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面(pngmin)夾角余弦公式兩平面兩平面(pngmin)位置特位置特征：征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 第73頁/共120頁第七十三頁，共120頁。74求求兩兩平平

46、面面062 zyx和和052 zyx的的夾夾角角. . 解解例例7 7，2 , 1, 11 n兩平面兩平面(pngmin)的法向分別的法向分別為為，1 , 1 , 22 n，321 nn，6|21 nn21|cos2121 nnnn .3 第74頁/共120頁第七十四頁，共120頁。75解解例例8 8 判斷下列判斷下列(xili)(xili)各組平面的位置關(guān)各組平面的位置關(guān)系：系：；：0432 )1(1 zyx .01865 2 zyx： ，1 , 3, 21 n，8 , 6 , 52 n，021 nn. 21 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面兩平面(pngm

47、in)平行平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行(pngxng)但不重但不重合合01224, 012)2( zyxzyx解解第75頁/共120頁第七十五頁，共120頁。76,212142 21)0 , 1, 1()0 , 1, 1( MM兩平面兩平面(pngmin)平行平行所以所以(suy)兩平面重合兩平面重合.02224, 012)3( zyxzyx,1, 1, 21 n2 , 2, 42 n解解第76頁/共120頁第七十六頁，共120頁。77.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1( 21，求求它它的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一一平平

48、面面通通過過兩兩點點 zyxMM1 1M2M1n.02 zyx111201 kji,1, 1, 2 解解例例9 9所求平面所求平面(pngmin)的法向的法向為為，過過點點)1 , 1 , 1(1M，0)1()1()1(2 zyx化簡得化簡得n121 nMMn 第77頁/共120頁第七十七頁，共120頁。78過過點點)1 , 3, 2( 且且與與平平面面0432 zyx平平行行的的平平面面方方程程. . 將將)1 , 3, 2( 代入得代入得 7 D, , 所求方程為所求方程為 0732 zyx. . 解解例例1010，032 Dzyx設(shè)所求方程設(shè)所求方程(fngchng)為為第78頁/共12

49、0頁第七十八頁，共120頁。79設(shè)設(shè)),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一點，求外一點，求0P到平面的距離到平面的距離. 1PNn0P 解解則有則有 0111 DCzByAx, , 在平面上取一點在平面上取一點),(1111zyxP, , 顯然有顯然有 |01ndnPP , , 而而,10101001CBAzzyyxxnPP )()()(101010zzCyyBxxA )(111000CzByAxCzByAx ，DCzByAx 000第79頁/共120頁第七十九頁，共120頁。80222000|CBADCzByAxd 點到平面點到平面(pngmin)距離公距離公式式如如,

50、 ,點點)1 , 1 , 1(到平面到平面0432 zyx的距離為的距離為 ，DCzByAxnPP 00001，而而222| CBAn 1944132 .144 , |01ndnPP 第80頁/共120頁第八十頁，共120頁。81平面平面(pngmin)的方程的方程（熟記平面的幾種（熟記平面的幾種(j zhn)特殊位置的特殊位置的方程）方程）兩平面(pngmin)的夾角.點到平面的距離公式.點法式方程一般方程截距式方程 （注意兩平面的（注意兩平面的位置關(guān)系位置關(guān)系）第81頁/共120頁第八十一頁，共120頁。82xyzo1 2 定義定義(dngy)空間空間(kngjin)直線可看成兩個不平行平

51、面直線可看成兩個不平行平面的交線的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA 空間(kngjin)直線的一般方程L1、空間直線的一般方程第82頁/共120頁第八十二頁，共120頁。83xyzo方向方向(fngxing)向量的向量的定義：定義： 如果一非零向量平行于一條如果一非零向量平行于一條已知直線，這個已知直線，這個(zh ge)(zh ge)向量稱向量稱為這條直線的方向向量為這條直線的方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM pzznyymxx0

52、00 第83頁/共120頁第八十三頁，共120頁。84pzznyymxx000 直線(zhxin)的點向式方程(或?qū)ΨQ式方程)注注：若：若0 m, ,理解為理解為 lzznyyxx000, , 若若0 nm, ,理解為理解為 00yyxx, , 此時此時(c sh)直線與直線與 x 軸垂直；軸垂直； 此時直線此時直線(zhxin)與與 xOy 面面垂直垂直. 第84頁/共120頁第八十四頁，共120頁。85tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量方向向量(xingling)的余弦稱為直線的余弦稱為直線的方向余弦的方向余弦. 直線(

53、zhxin)的參數(shù)方程第85頁/共120頁第八十五頁，共120頁。86求求過過兩兩點點),(111zyxA、),(222zyxB的的直直線線方方程程. . 解解例例1111 直線直線(zhxin)的兩點式方的兩點式方程程 方向方向(fngxing)向量向量為為，,121212zzyyxxAB 121121121zzzzyyyyxxxx 所以所以(suy)所求直線方程為所求直線方程為第86頁/共120頁第八十六頁，共120頁。87一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( , 且且和和 y 軸軸垂垂直直相相交交，求求其其方方程程. 所以所以(suy)交點交點為為),0, 3, 0( B取取BAs

54、,4, 0, 2 所求直線(zhxin)方程.440322 zyx解解例例1212因為直線因為直線(zhxin)和和 y 軸垂直相交軸垂直相交, 第87頁/共120頁第八十七頁，共120頁。88即直線過點即直線過點)2 , 0 , 1( , , 解解例例13 13 將直線一般式化為對稱方程將直線一般式化為對稱方程(fngchng)(fngchng)及參數(shù)方程及參數(shù)方程(fngchng)(fngchng)： 043201zyxzyx先在直線先在直線(zhxin)上找一點：上找一點：,1 x令令， 06302zyzy解得解得， 20zy第88頁/共120頁第八十八頁，共120頁。89兩平面的法向：

55、兩平面的法向：1111， n, ,3 , 1, 22 n, , 直直線線的的方方向向向向量量為為 3, 1, 421 nns， 直直線線的的對對稱稱方方程程為為 32141 zyx. . 再求方向再求方向(fngxing)向量：向量： 043201zyxzyx1 2 1n2n參數(shù)參數(shù)(cnsh)方方程為程為.3241 tztytx即直線過點即直線過點)2 , 0 , 1( , , 第89頁/共120頁第八十九頁，共120頁。90定義定義(dngy)直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos

56、(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向(fngxing)向量的夾角稱為兩直線的夾角.（通常取銳角） 兩直線(zhxin)的夾角公式s1s2第90頁/共120頁第九十頁，共120頁。91兩直線兩直線(zhxin)的位置關(guān)系：的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如(lr)，.21LL 即即第91頁/共120頁第九十一頁，共120頁。92求兩直線求兩直線 1L：21213 zyx和和 2L：230212/3 zyx的夾角的

57、夾角. . 解解例例1414,851517|220213|cos .851arccos 第92頁/共120頁第九十二頁，共120頁。93定義定義(dngy)直線和它在平面上的投影直線的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角(ji jio) (ji jio) 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角(ji jio)(ji jio),:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns.20 第93頁/共120頁第九十三頁，共120頁。94222222|sinpnmCBACpBnAm 直線(zhxin)與平面的夾角公式直線與平面(pngmin)的位

58、置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm)2cos(sin | )2cos(| 第94頁/共120頁第九十四頁，共120頁。95例例15 15 判定下列各組直線與平面判定下列各組直線與平面(pngmin)(pngmin)的的關(guān)系：關(guān)系：. 3224: 37423: )1( zyxzyxL和和又點又點M0(3, 4, 0)在直線在直線(zhxin) L 上上, 但不在但不在平面上平面上,所以所以(suy) L 與與 平行平行, 但不重合但不重合.解解L的方向向量的方向向量3 , 7, 2 s 的法向量的法向量2, 2, 4 n,0 ns所以所以 L 與與 平行平行.第95

59、頁/共120頁第九十五頁，共120頁。96解解L的方向向量的方向向量7 , 2, 3 s 的法向量的法向量14, 4, 6 n,/ns所以所以(suy) L 與與 垂直垂直.81446: 723: )2( zyxzyxL和和例例15 15 判定下列各組直線與平面判定下列各組直線與平面(pngmin)(pngmin)的的關(guān)系：關(guān)系：第96頁/共120頁第九十六頁，共120頁。97解解L的方向向量的方向向量4, 1 , 3 s的法向量的法向量111， n. 3: 431232: )3( zyxzyxL和和,0 ns所以所以(suy) L 與與 平行平行.又又 L 上的點上的點 M0(2, 2, 3

60、) 滿足平面滿足平面(pngmin)方程方程,所以所以(suy) L 與與 重合重合.例例15 15 判定下列各組直線與平面的關(guān)系：判定下列各組直線與平面的關(guān)系：第97頁/共120頁第九十七頁，共120頁。98設(shè)設(shè)直直線線 :L21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直線線與與平平面面的的夾夾角角. ,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s|sinsnsn 967 .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角(ji jio)解解例例1616第98頁/共120頁第九十八頁，共120頁。99求求過過點點)4 , 2, 1( 且且與與平平面面0432 zyx垂垂直直的的直直線線方方