2016年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密啟封并使用完畢前試題類型:2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁(yè)，第n卷3至5 頁(yè).2 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效4 .考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回第I卷.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)集合 A 0,2,4,6,8,10, B 4,8,則 6aB =皿0,2,4,6,810(A)長(zhǎng) (B) RM(C) 0 2610(2)若 z 43i ,則三=

2、 |z|4 3.4 3.+" i i(A) 1(B) 1(C) 5 5(D) 5 5(3)已知向量 BA= ( , ), BC =(,)，則/ ABC=2222(A) 30° ( B) 45°(C) 60° (D) 120°(4)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 C, B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為 5 C .下面敘述不正確的是(A)各月的平均最低氣溫都在0c以上(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同(D)平均

3、最高氣溫高于 20c的月份有5個(gè)(5)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M, I,N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是_81 工工(A)15(B) 8(C) 15(D)30(6)若 tan 0 =3 ,貝U cos2 0 =4114(A)5 (B)5(C)5(D) 5421已知 a 23,b 33,c 253,則 (A)b<a<c (B) a<b<c(C)b<c<a (D)c<a<b(8)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a=4, b=6,那么輸出的n=(A) 3 (B)

4、 4 (C) 5 (D) 6 1一.一,BC邊上的局等于 1BCUsinA(9)在 VABC 中，b= 433_10至3 10(A) 10(B) 10(C) 5(D) 10(10)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1,粗實(shí)現(xiàn)畫(huà)出的是某多面 體的三視圖，則該多面體的表面積為(A) 18 360(B) 54 18,5(C) 90(D) 81(11)在封閉的直三棱柱 ABC A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為 V的球.若ABBC, AB=6, BC=8,AA1=3,則V的最大值是(12)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:2y221(a b 0)的左焦點(diǎn)，A, B分別為Cb2(A) 4 兀(B)(C) 6 兀(D)

5、室的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交 于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(A) 1 (B) 1 (C) - (D) 33234第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都 必須作答.第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分2x y 1 0,(13)設(shè)x, y滿足約束條件 x 2y 1 0,則z=2x+3y-5的最小值為 .x 1,(14)函數(shù)y=sin x-錯(cuò)誤!未指定書(shū)簽。cosx的圖像可由函數(shù) y=2sin x的圖像至少向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)

6、度得到.(15)已知直線l: x J3y 6 0與圓x2+y2=12交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作l的垂線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，則|CD|=.x 1(16)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f (x) e x ,則曲線y= f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程式三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1 1, a2 (2an 1 1)an 2an 1 0.11)求 a2, a3;(II)求an的通項(xiàng)公式(18)(本小題滿分12分)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖A臺(tái)MW孝李修笠之家裕

7、昌注：年份代碼1 - 7分別對(duì)應(yīng)年份 2008 - 2014.(I)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合(n)建立量.附注：y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到y(tǒng)與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；0.01),預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理參考數(shù)據(jù):9.327tiyi40.17i 1y)20.55,錯(cuò)誤!未指定書(shū)簽。2.646.參考公式:n(tii 1t)(y y)n(tii 1n，t)2 B y)2i 1回歸方程y a bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:(19)(本小題滿分12分)PAL地面 ABCD , AD /BC, AB=AD=AC=3 , PA=BC=4 ,如圖，四棱錐 P-AB

8、CD中,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD , N為PC的中點(diǎn).證明MN /平面PAB;(II)求四面體N-BCM的體積.(20)(本小題滿分12分)已知拋物線C： y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線11, 12分別交C于A, B兩點(diǎn), 交C的準(zhǔn)線于P, Q兩點(diǎn).(I )若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明 AR/ FQ;(II)若 PQF的面積是 ABF的面積的兩倍，求 AB中點(diǎn)的軌跡方程.(21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f(x) 1n x x 1.(I)討論f(x)的單調(diào)性；x 1(II)證明當(dāng)x (1,)時(shí)，1 x；1nx(III )設(shè) c 1 ,證明當(dāng) x (0,1)時(shí)，1

9、 (c 1)x cx.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)(22)(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖，O。中的中點(diǎn)為P,弦PC, PD分別交AB于E, F兩點(diǎn)。(I )若/ PFB=2/ PCD,求/ PCD 的大?。?II)若EC的垂直平分線與 FD的垂直平分線交于點(diǎn) G,證明OGLCD。(23)(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直線坐標(biāo)系xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為(為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為psin ()=.(I)寫(xiě)出Ci的普通方程和 C2的直角坐標(biāo)方

10、程；(II )設(shè)點(diǎn)P在Ci上，點(diǎn)Q在C2上，求I PQ I的最小值及此時(shí) P的直角坐標(biāo)(24)(本小題滿分10分)，選修4 5:不等式選講已知函數(shù) f(x)= I 2x-a I +a.(I)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)w6的解集；(II)設(shè)函數(shù) g(x)= I 2x-1 I .當(dāng) xC R 時(shí)，f(x)+g(x)>3,求 a 的取值范圍。絕密啟封并使用完畢前試題類型：新課標(biāo)出2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)正式答案、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1) CA(2) D(8) B(3) A(9) D(4) D(10)

11、B第II(5) C(11) B卷(6) D(12) A填空題：本大題共3小題，每小題5分(13) 10(14) (15) 4(16) y 2x3三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)1 1斛：(I)由題息1侍 a2 , a3 5分2 4(n)由 an2 Ra_ 1)an 2an 1 0 得 22-0 1)小 1).a 1因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以 一an 2一1 一故an是首項(xiàng)為1,公比為一的等比數(shù)列，因此2an12n 1 .12(18)(本小題滿分12分)解：(I)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得_7t 4, (ti t)2i 128, J p y

12、)2 0.55,(ti i 1t)(yi y)ti小i 140.17 4 9.32 2.89,2.890.55 2 2.6460.99.4因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99 ,說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合 y與t的關(guān)系6(II)由 y932 1.331 及(I)得?77_(tit)(yiy)i 17(tit)2i 1? y b?t 1.331 0.103 4 0.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為：? 0.92 0.10t10將2016年對(duì)應(yīng)的t 9代入回歸方程得：？ 0.92 0.10 9 1.82.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸12

13、分(19)(本小題滿分12分)2解：(I)由已知得 AM AD 2,取BP的中點(diǎn)T ,連接AT,TN ,由N為PC中點(diǎn) 31八知 TNBC , TN -BC 23分2又AD BC ,故TN平行且等于AM ,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN /AT .因?yàn)锳T 平面PAB, MN 平面PAB,所以MN 平面PAB6(n)因?yàn)镻A 平面ABCD, N為PC的中點(diǎn)，1所以N到平面ABCD的距離為1 PA9 分2取 BC的中點(diǎn)E , 連結(jié)AE .由 AB AC 3得 AE BCAEAB2 BE25.由AM / BC得M到BC的距離為J5 ,故S BCM 1 4，5 2<5 . 21PA 4.

14、5所以四面體N BCM的體積vnbcm 1sBem -PA 至512分323(20)(本小題滿分12分)1 _一 一斛：(I)由題設(shè) f(_ ,0).設(shè) 11: y a, l2: y b ,則 ab 0 ,且2a2b2111a bA(,0),B(,b),P( -,a),Q( -,b), R(-,).222222記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為l ,則l的方程為2x (a b)y ab 03分(i)由于F在線段AB上，故1 ab 0.記AR的斜率為k1, FQ的斜率為k2,則, a ba b1ab,k1 2 - b k2.1aa ab aa所以AR / FQ5 分(n)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),則

15、 S ABFb a| FDX1i,sPQF1 .1 a b-.由題設(shè)可得一b a X1 - ,所以X1 0 (舍去)，X1 1.2 22設(shè)滿足條件的 AB的中點(diǎn)為E(x, y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kAB kDE可得2- 一(x 1).a b x 1當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),而 ab y ,所以 y2 x 1(x 1). 2E與D重合.所以，所求軌跡方程為 y2 x 1.12(21)(本小題滿分12分)解：(I)由題設(shè)，f(x)的定義域?yàn)?0,), f'(x) 1 1,令f'(x) 0,解得x 1.x當(dāng)0 x 1時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0,

16、 f(x)單調(diào)遞減.4分(n)由(I)知， f (x)在x 1處取得最大值，最大值為f(1) 0.所以當(dāng)x 1時(shí)，lnx x 1.11x 1故當(dāng) x (1,)時(shí)，lnx x 1, ln 1 ,即 1 x. 7x xIn x分(出)由題設(shè) c 1,設(shè) g(x) 1 (c 1)x c，則 g (x) c 1 c In c,令 g (x) 0 ,解得x0In cIn c當(dāng) x xo 時(shí)，g (x)0 , g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x xo時(shí)，g (x) 0 , g(x)單調(diào)遞減.9分c 1. 一.由(n)知，1 c,故 0 xo 1,又 g(0) g(1) 0,故當(dāng) 0 x 1 時(shí), ln cg(x) 0

17、.所以當(dāng) x (0,1)時(shí),1 (c 1)x cx. 12分22 .(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講解：(I)連結(jié) PB,BC,則 BFD PBA BPD, PCD PCB BCD.因?yàn)?AP BP,所以 PBA PCB,又 BPD BCD ,所以 BFD PCD.又 PFD BFD 180 , PFB 2 PCD，所以 3 PCD 180 , 因 此PCD 60 .(n)因?yàn)?PCD BFD,所以 PCD EFD 180 ,由此知C,D,F,E四點(diǎn)共圓，其圓心既在 CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故 G就是過(guò)C,D,F,E四點(diǎn)的圓的圓心，所以 G在CD的垂直平分線上，因此 OG CD .23 .(本小題滿分10分)選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程2解：(I) Ci的普通方程為 y2 1 , C2的直角坐標(biāo)方程為x y 4 0.5分3(n)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(73cos ,sin ),因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的 最小值，即 為 P 到C2的 距 離 d() 的 最 小 值d( ) |,、3cos .sin4| 、2|sin() 2.238分當(dāng)且僅當(dāng) 2k(k Z)時(shí)，d()取得最小值，最小值為 J2,此時(shí)P的直