第10章靜電場(場強(qiáng)和電勢)

1、1第第 10 章章靜靜 電電 場場2庫侖定律：庫侖定律：真空中兩個(gè)靜止的真空中兩個(gè)靜止的 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷之間的相互作用力表示為之間的相互作用力表示為1q2qrFre221290/NmC1085. 81094141 k o真空的介電常數(shù)真空的介電常數(shù)rerqqF221041 “點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷”是個(gè)理想化模型是個(gè)理想化模型10.1 10.1 真空中的靜電場真空中的靜電場10.1.1 10.1.1 庫侖定律庫侖定律3庫侖定律只討論兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用庫侖定律只討論兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用力，若有力，若有 兩個(gè)以上靜止的點(diǎn)電荷，實(shí)驗(yàn)告訴我們：兩個(gè)以上靜止的點(diǎn)電荷，實(shí)驗(yàn)告訴我們：兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用

2、力并不因第三個(gè)兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力并不因第三個(gè)點(diǎn)電荷的存在而改變。點(diǎn)電荷的存在而改變。-電力的疊加原理電力的疊加原理 niiFF1靜止的點(diǎn)電荷周圍存在著一種靜止的點(diǎn)電荷周圍存在著一種彌散的特殊的物質(zhì)彌散的特殊的物質(zhì), ,稱為稱為靜電場靜電場。處于靜電場中的電荷都受到該電場。處于靜電場中的電荷都受到該電場的作用力的作用力: 電荷電荷電場電場電荷電荷 （近距作用）（近距作用）10.1.2 10.1.2 電場電場 電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度4電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度0qFEqo正試驗(yàn)電荷正試驗(yàn)電荷 （電量足夠小、尺寸足夠小）（電量足夠小、尺寸足夠?。?是空間坐標(biāo)的函數(shù)，它是從是空間坐標(biāo)的函數(shù)，它是從“力力”的角的角

3、度度 來描述電場的物理量。來描述電場的物理量。E設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷 q1、q2、qNNEEE,2, 1則它們同時(shí)存在時(shí)的場強(qiáng)為則它們同時(shí)存在時(shí)的場強(qiáng)為 它們單獨(dú)存在時(shí)的場強(qiáng)分別為它們單獨(dú)存在時(shí)的場強(qiáng)分別為 NiiEE1電場疊加原理電場疊加原理1q2qiq4q3qiEP51 1 靜止的點(diǎn)電荷的電場靜止的點(diǎn)電荷的電場rrerqqerqqqFE2002000414 場強(qiáng)與試驗(yàn)電荷場強(qiáng)與試驗(yàn)電荷q0無關(guān)無關(guān),確實(shí)反映電場本身的性質(zhì)。確實(shí)反映電場本身的性質(zhì)。靜止的點(diǎn)電荷的電場靜止的點(diǎn)電荷的電場: :(1)是球?qū)ΨQ的是球?qū)ΨQ的;(2)是與是與 r 平方反比平方反比 的非均勻場。的

4、非均勻場。Fq0qrerP當(dāng)當(dāng) r 0 時(shí)，時(shí)， E ，怎么解釋？怎么解釋？62 2 靜止點(diǎn)電荷的電場疊加靜止點(diǎn)電荷的電場疊加設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷 q1、q2、qN則它們同時(shí)存在時(shí)的場強(qiáng)為則它們同時(shí)存在時(shí)的場強(qiáng)為 iioiriNiireqEE214 點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式場強(qiáng)公式場強(qiáng)疊加場強(qiáng)疊加原理原理任意點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)任意點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)原則上講原則上講可以求得可以求得7例例1 求電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)求電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的場強(qiáng) rroeelrqEEE2224 電偶極子：電偶極子：一對靠得很近的等量異號點(diǎn)電荷。一對靠得很近的等量異號點(diǎn)電荷。E E Er re

5、 req q Pl 【解【解】r l 時(shí)時(shí) rreerq204 3033444rprl qrrrqoo l qp 稱為電偶極矩稱為電偶極矩8對連續(xù)帶電體的場強(qiáng)對連續(xù)帶電體的場強(qiáng) qorqreqEE24dd 體電荷體電荷 dq = dv ：體電荷密度：體電荷密度面電荷面電荷 dq = ds ：面電荷密度：面電荷密度線電荷線電荷 dq = dl ：線電荷密度：線電荷密度 ),(dzyxEExxqdqrEdPre9例例2 設(shè)有一均勻帶正電直線，長為設(shè)有一均勻帶正電直線，長為l，電荷線密度為，電荷線密度為 。有一點(diǎn)。有一點(diǎn)P與帶電直線的距離為與帶電直線的距離為a，求，求P點(diǎn)的場強(qiáng)。點(diǎn)的場強(qiáng)。（P點(diǎn)與直

6、線兩端點(diǎn)的連線與帶電直線間的夾角分別點(diǎn)與直線兩端點(diǎn)的連線與帶電直線間的夾角分別為為 1和和 2） 【解【解】dq在在P產(chǎn)生的場強(qiáng)大小為產(chǎn)生的場強(qiáng)大小為 20dd4xEr在計(jì)算場強(qiáng)時(shí)要分別計(jì)算在計(jì)算場強(qiáng)時(shí)要分別計(jì)算x、y方向上的電場分量方向上的電場分量 20dddcoscos4xxEEr20dddsinsin4yxEEr10為了便于積分，必須要統(tǒng)一變量為了便于積分，必須要統(tǒng)一變量 dd222222csc,cot,csc axaxaxar)sin(sin4cos4120021 aaExd)cos(cos4sin4120021 aaEydxyEEEij11討論討論: 1. 若場點(diǎn)在靠近直線的中部若場

7、點(diǎn)在靠近直線的中部, 物理上可以將直線看成物理上可以將直線看成 “無限長無限長”aE02 2.若若 場點(diǎn)在遠(yuǎn)離直線場點(diǎn)在遠(yuǎn)離直線 的地方，物理上可以認(rèn)為該直線的地方，物理上可以認(rèn)為該直線 是一個(gè)點(diǎn)電荷是一個(gè)點(diǎn)電荷204xqE 12例例3 求一個(gè)半徑為求一個(gè)半徑為 R 的均勻帶電的均勻帶電 q（設(shè)（設(shè) q 0） 的細(xì)園環(huán)軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)。的細(xì)園環(huán)軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)。【解】【解】根據(jù)對稱性的分析根據(jù)對稱性的分析 cos4dd20rqEEx 2/32202044cosxRqxrq 方向沿方向沿 x 軸正向軸正向13例例4 求半徑為求半徑為 R,均勻帶電圓面的軸線上任一點(diǎn)的均勻帶電圓面的軸線上任一點(diǎn)

8、的 場強(qiáng)。設(shè)面電荷密度為場強(qiáng)。設(shè)面電荷密度為 （設(shè)（設(shè) 0）dq = 2 r dr 2322042/ddxrxrrE 各個(gè)細(xì)圓環(huán)各個(gè)細(xì)圓環(huán)在在P點(diǎn)的場強(qiáng)點(diǎn)的場強(qiáng)方向都相同方向都相同 RxrrrxEE0232202/dd 【解】【解】 2/32204xRqxE 14討論討論 1:對對 x R 時(shí)時(shí), 利用泰勒公式利用泰勒公式 2/1221xR 22211xRx 22211xRx2020244xqxRE 相當(dāng)于點(diǎn)電荷的電場相當(dāng)于點(diǎn)電荷的電場151 1 電場線電場線形象地描述電場的性質(zhì)形象地描述電場的性質(zhì)（1）方向）方向電場線上每點(diǎn)的切線方向電場線上每點(diǎn)的切線方向 就是該點(diǎn)場強(qiáng)的方向。就是該點(diǎn)場強(qiáng)的

9、方向。（2）密度密度通過某點(diǎn)處垂直于通過某點(diǎn)處垂直于 的單位面積的單位面積 的電場線條數(shù)與該點(diǎn)場強(qiáng)的大小成正比的電場線條數(shù)與該點(diǎn)場強(qiáng)的大小成正比 （通常取比例系數(shù)為（通常取比例系數(shù)為1）。）。E SE線線切線切線E10.2 10.2 真空中的高斯定理及應(yīng)用真空中的高斯定理及應(yīng)用16幾種典型電場的電力線分布幾種典型電場的電力線分布 172.2.電通量電通量定義定義: 通過任一給定面積的電場線條數(shù)稱通過任一給定面積的電場線條數(shù)稱 為通過該面積的電通量，用為通過該面積的電通量，用 e 表示。表示。 通過面元通過面元 dS的電通量為的電通量為通過面元通過面元 dS的電通量為的電通量為 d e = E

10、dScos 注意：注意：1.e是對面而言，不是點(diǎn)函數(shù)。是對面而言，不是點(diǎn)函數(shù)。 2.e 是代數(shù)量，有正、負(fù)。是代數(shù)量，有正、負(fù)。d e = EdS18 通過任一面積通過任一面積S的電通量為的電通量為 SEdcosdee 通過任一封閉面通過任一封閉面S的電通量為的電通量為SESEddcose 對閉合曲面，約定以對閉合曲面，約定以向外為法向正方向。向外為法向正方向。在電力線穿出處在電力線穿出處, 900 電通量為負(fù)。電通量為負(fù)。19高斯定律是反映靜電場性質(zhì)的一個(gè)基本定律。高斯定律是反映靜電場性質(zhì)的一個(gè)基本定律。在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意閉合曲面（稱為高在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意閉合曲面（稱為高

11、斯面）的電通量，等于該曲面所包圍電量的代數(shù)和斯面）的電通量，等于該曲面所包圍電量的代數(shù)和除以除以 0，即即 0 內(nèi)內(nèi)qSEde（S）高斯面上各點(diǎn)高斯面上各點(diǎn) 不一樣，不一樣，公式中公式中 為為 處的處的 。EsdEE3 3 高斯定律高斯定律20驗(yàn)證高斯定理的正確性驗(yàn)證高斯定理的正確性 （1）通過點(diǎn)電荷）通過點(diǎn)電荷q為球心的球面的電通量等于為球心的球面的電通量等于q/ 0 SEde 02020d41d41 qSrqeSerqnr 21（2）通過包圍點(diǎn)電荷）通過包圍點(diǎn)電荷 q 的任意封閉曲面的任意封閉曲面 的電的電 通量都等于通量都等于q/ 0這是因?yàn)辄c(diǎn)電荷這是因?yàn)辄c(diǎn)電荷q 的的 電力線是連續(xù)地電

12、力線是連續(xù)地 延伸到無限遠(yuǎn)的緣故。延伸到無限遠(yuǎn)的緣故。（3）通過不包圍點(diǎn)電荷）通過不包圍點(diǎn)電荷 q 的任意封閉曲面的的任意封閉曲面的 電通量都電通量都 等于等于0。 這也是因?yàn)辄c(diǎn)電荷這也是因?yàn)辄c(diǎn)電荷q 的的 電力線是連續(xù)地電力線是連續(xù)地延伸到無限遠(yuǎn)的緣故。延伸到無限遠(yuǎn)的緣故。封閉面上各點(diǎn)處的場強(qiáng)為封閉面上各點(diǎn)處的場強(qiáng)為0 0？22（4）推廣到多個(gè)點(diǎn)電荷的情形）推廣到多個(gè)點(diǎn)電荷的情形002010 內(nèi)內(nèi)qqq SdESdE SEESEmSniSiSnimnjjiS 1njj111)(dde 0 內(nèi)內(nèi)qSEde我們驗(yàn)證了高斯定理我們驗(yàn)證了高斯定理23對電荷連續(xù)分布的帶電體，可將它分成許多對電荷連續(xù)分

13、布的帶電體，可將它分成許多電荷元電荷元, 高斯定律同樣是正確的。高斯定律同樣是正確的。 0 內(nèi)內(nèi)qSEde說明：說明：3. 高斯定理是平方反比定律的必然結(jié)果；高斯定理是平方反比定律的必然結(jié)果；1. 由由 的值決定，與的值決定，與 分布無關(guān)；分布無關(guān)；e內(nèi)內(nèi) q內(nèi)內(nèi)q2. 高斯面為幾何面，高斯面為幾何面， q內(nèi)內(nèi) 和和 q外外 總能分清；總能分清；4. 庫侖定律只適用于靜電場，庫侖定律只適用于靜電場，高斯定理高斯定理不僅不僅 適用于靜電場，還適用于變化的電場。適用于靜電場，還適用于變化的電場。24 4. 4. 高斯定律的應(yīng)用舉例高斯定律的應(yīng)用舉例(1) (1) 定性分析一些問題定性分析一些問題例

14、：分析電力線的性質(zhì)例：分析電力線的性質(zhì)電力線總是從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷電力線總是從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷;無電荷處不中斷。無電荷處不中斷。若若P點(diǎn)無電荷，點(diǎn)無電荷， SSE0d則有：則有：N入入 = N出出， P點(diǎn)處電場線點(diǎn)處電場線連續(xù)。連續(xù)。 靜電場稱為有源場靜電場稱為有源場SP25帶電系統(tǒng)帶電系統(tǒng)多余的正電荷多余的正電荷發(fā)出發(fā)出的電力線將指向系統(tǒng)外的負(fù)的電力線將指向系統(tǒng)外的負(fù)電荷（或無限遠(yuǎn)）。電荷（或無限遠(yuǎn)）。帶電系統(tǒng)帶電系統(tǒng)多余的負(fù)電荷多余的負(fù)電荷處，處，必有從系統(tǒng)外的正電荷發(fā)來必有從系統(tǒng)外的正電荷發(fā)來的電力線（或從無限遠(yuǎn)來的的電力線（或從無限遠(yuǎn)來的電力線）。電力線）。例：分析導(dǎo)體

15、帶電時(shí)例：分析導(dǎo)體帶電時(shí) 電荷分布的性質(zhì)（見后面）電荷分布的性質(zhì)（見后面）26分析場強(qiáng)的對稱性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑娣治鰣鰪?qiáng)的對稱性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑?高斯面應(yīng)該通過場點(diǎn)高斯面應(yīng)該通過場點(diǎn) 高斯面各部分或高斯面各部分或 、或、或 EE應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)的關(guān)鍵：應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)的關(guān)鍵：（2 2）求某些具有對稱性分布的電荷的場強(qiáng)分布）求某些具有對稱性分布的電荷的場強(qiáng)分布 在在 的的高斯面上，各處場強(qiáng)相等高斯面上，各處場強(qiáng)相等E27 313234RRq 電荷體密度電荷體密度例例5 均勻帶電量為均勻帶電量為q（設(shè)（設(shè)q0）的球?qū)?，?nèi)外半徑）的球?qū)樱瑑?nèi)外半徑分別為分別為R1和和R2，求電場分布。，求電場分

16、布。 【解【解】 場有球?qū)ΨQ性場有球?qū)ΨQ性: 2Rr 對對 為為 過待求點(diǎn)、過待求點(diǎn)、 與帶電球?qū)油牡那蛎?。與帶電球?qū)油牡那蛎?。高斯面高斯面SSrSdOR2R128 SSEd SSrEd)()(42rEr 0 內(nèi)內(nèi)q高斯面高斯面 S上的上的 E 大小相同，方向處處與面元垂直。大小相同，方向處處與面元垂直。SrSdOR2R1rerqE204 rrerqerEE204)( 內(nèi)內(nèi)得得到到 29: 21RrR 對對 Rrq )(34313 內(nèi)內(nèi)SrOR2R1PrerRrE 203133)( 同理同理rrerqerEE204)( 內(nèi)內(nèi)得得到到 對對: 1Rr 00 E q內(nèi)內(nèi)rrerqerEE204

17、)( 內(nèi)內(nèi)也也有有 30SrOR2R1PE0rR2R12204Rq 當(dāng)把電荷從體分布抽象為面分布時(shí)，在帶電面當(dāng)把電荷從體分布抽象為面分布時(shí)，在帶電面 兩側(cè)的電場強(qiáng)度發(fā)生突變。兩側(cè)的電場強(qiáng)度發(fā)生突變。有普遍性有普遍性當(dāng)當(dāng) q、R2不變時(shí)：不變時(shí)： R1增大，層變薄，增大，層變薄，R1 r 0）的均勻帶電）的均勻帶電 “無限長無限長”直線的場強(qiáng)分布。直線的場強(qiáng)分布?！窘狻俊窘狻?電場有柱對稱性電場有柱對稱性 SESEdde rE02 取長為取長為 l 通過通過P點(diǎn)的同軸點(diǎn)的同軸封閉圓柱面為高斯面。封閉圓柱面為高斯面。02 llrE 33例例7 求面電荷密度為求面電荷密度為 （設(shè)（設(shè) 0）的均勻帶電

18、）的均勻帶電 “無限大無限大”平面的場強(qiáng)分布。平面的場強(qiáng)分布。【解】【解】電場具有平面電場具有平面對稱性對稱性 ，如圖選取高斯面，如圖選取高斯面0e2dd SSESESE 02 E34 如果帶電系統(tǒng)是如果帶電系統(tǒng)是 球、板、柱球、板、柱 電荷分布的組合電荷分布的組合, 可以直接利用以上典型結(jié)果，再疊加。可以直接利用以上典型結(jié)果，再疊加。 例：平行板電容器的電場分布例：平行板電容器的電場分布 - E= 0E= / 0 ，方向向右方向向右E= 035點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷的靜電場中，移動(dòng)電荷的靜電場中，移動(dòng)電荷 qo，從從P1 P2電場力作功電場力作功：10.3 10.3 環(huán)路定理環(huán)路定理 電勢電勢 rEq

19、d0 2100200114d421rrqqrrqqrr lEqlFAppdd01221EFrdrr 2r1rld0qqP1P210.3.1 10.3.1 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理說明點(diǎn)電荷的靜電場是保守力場說明點(diǎn)電荷的靜電場是保守力場36任意點(diǎn)電荷系或連續(xù)帶電體的靜電場也是保守力場。任意點(diǎn)電荷系或連續(xù)帶電體的靜電場也是保守力場。由場強(qiáng)疊加原理可以證明：由場強(qiáng)疊加原理可以證明： 0lEd說明說明1：上式中的：上式中的 是是 處的處的 。EldE說明說明2：高斯定律是靜電場的第一個(gè)重要規(guī)律，高斯定律是靜電場的第一個(gè)重要規(guī)律， 環(huán)路定理是靜電場的第二個(gè)重要規(guī)律。環(huán)路定理是靜電場的第二個(gè)重要規(guī)

20、律。左端的積分稱為靜電場的左端的積分稱為靜電場的環(huán)流環(huán)流常用下式表示常用下式表示靜電場靜電場 的保守性的保守性：靜電場的安培環(huán)路定理靜電場的安培環(huán)路定理37例例2. 電力線為一系列電力線為一系列 不均勻平行直線不均勻平行直線 的靜電場的靜電場 是不存在的。是不存在的。例例3. 平行板電容器必有平行板電容器必有 邊緣效應(yīng)。邊緣效應(yīng)。LE例例1. 電力線閉合的電場電力線閉合的電場，肯定不是靜電場。，肯定不是靜電場。E利用環(huán)路定理可以分析一些問題：利用環(huán)路定理可以分析一些問題：3810.3.2 10.3.2 電勢與電勢差電勢與電勢差由靜電場保守性，引入電勢能的概念。由靜電場保守性，引入電勢能的概念。

21、 電勢能電勢能W與電場力功與電場力功A的關(guān)系為的關(guān)系為babababaabWWWlEqlFA )()()()(0)()(ddd如果選定如果選定b點(diǎn)為電勢能零點(diǎn)，則點(diǎn)為電勢能零點(diǎn)，則a點(diǎn)電勢能為點(diǎn)電勢能為 零零勢勢點(diǎn)點(diǎn))(0aalEqWd電勢能是試探電荷與電場所共的，是試探電荷與電勢能是試探電荷與電場所共的，是試探電荷與電場之間的相互作用能量。電場之間的相互作用能量。 39引入表征電場性質(zhì)的物理量引入表征電場性質(zhì)的物理量電勢電勢 零勢點(diǎn)零勢點(diǎn))(0aaalEqWUd理論上理論上： 對有限電荷分布，選對有限電荷分布，選U=0。 對無限大電荷分布，對無限大電荷分布， 選有限遠(yuǎn)選有限遠(yuǎn) 的適當(dāng)點(diǎn)為電勢

22、零點(diǎn)。的適當(dāng)點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。實(shí)際上實(shí)際上：常選大地或機(jī)殼的公共線為電勢零點(diǎn)。：常選大地或機(jī)殼的公共線為電勢零點(diǎn)。電勢是從電場力作功的角度來描述電場的物理量。電勢是從電場力作功的角度來描述電場的物理量。電場強(qiáng)度是從電場力的角度來描述電場的物理量。電場強(qiáng)度是從電場力的角度來描述電場的物理量。40靜電場中靜電場中a、b兩兩點(diǎn)電勢的差值，稱為點(diǎn)電勢的差值，稱為電勢差電勢差 但不影響兩點(diǎn)間的電勢差。但不影響兩點(diǎn)間的電勢差。電勢差更為根本，因?yàn)樗从畴妶隽ψ龅墓?。電勢差更為根本，因?yàn)樗从畴妶隽ψ龅墓Αｋ妱萘泓c(diǎn)的選擇可任意。電勢零點(diǎn)的電勢零點(diǎn)的選擇可任意。電勢零點(diǎn)的選擇改變了，各點(diǎn)的電勢也都改變了。選擇改變

23、了，各點(diǎn)的電勢也都改變了。 )()(00baabbabaablEqAqWWUUUd41由電勢定義與場強(qiáng)疊加原理可以導(dǎo)出由電勢定義與場強(qiáng)疊加原理可以導(dǎo)出電勢疊加原理電勢疊加原理 lElElElEEElEUanaanaaaddddd )()()()(2)()(12)()(1)()()(零零勢勢點(diǎn)點(diǎn)零零勢勢點(diǎn)點(diǎn)零零勢勢點(diǎn)點(diǎn)零零勢勢點(diǎn)點(diǎn)零零勢勢點(diǎn)點(diǎn) niinaUUUUU121在點(diǎn)電荷系的電場中，任一點(diǎn)的電勢等于每一在點(diǎn)電荷系的電場中，任一點(diǎn)的電勢等于每一個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和和（零勢點(diǎn)應(yīng)相同）。（零勢點(diǎn)應(yīng)相同）。 42例例8 求點(diǎn)電荷求點(diǎn)電荷 q 的電勢分布。的電勢分布。利用電勢定義，取無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)利用電勢定義，取無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)【解】【解】rqU04 點(diǎn)電荷的電勢公式點(diǎn)電荷的電勢公式 )()(aaarElEUddarrqrrqa0204