概率統(tǒng)計第二章1

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫、教案制作： 裁判員在運動場裁判員在運動場上不叫運動員的名上不叫運動員的名字而叫號碼，這樣字而叫號碼，這樣建立了一種對應(yīng)關(guān)建立了一種對應(yīng)關(guān)系系. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 為更好地揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律,有必要將隨機試將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化驗的結(jié)果數(shù)量化,即引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果.例例 檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果 , 也可以用一個離散變量來描述1,( )0,X次品正品第一節(jié) 隨機變量上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁設(shè) 是試驗E的樣本空間, 若則稱 X ( ) 為 上的 隨機變量隨機變量一般用大寫字母 X, Y , Z , )(X實

2、數(shù)定義定義隨機變量 ( random variable )按一定法則 1,( )0,X次品正品sR這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函 數(shù)數(shù)不一樣不一樣！.( )X上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 (1) 隨機變量是一個函數(shù) , 但普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的,而隨機變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實數(shù)).隨機變量與普通的函數(shù)不同:1,( )0,X次品正品隨機變量隨機變量X 是R上的映射, (2) 隨機變量X 的可能取值不止一個, 試驗前只能預(yù)知它的可能的取值，但不能預(yù)知取哪個值(3) X 以一定的概率取某個值. 有了隨機變量有了隨機變量, 隨

3、機試驗中的各種事件，就可隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達(dá)出來以通過隨機變量的關(guān)系式表達(dá)出來.二、引入隨機變量的意義二、引入隨機變量的意義 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用用X表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫沒有收到呼叫沒有收到呼叫1X0X上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 再如再如，從某一學(xué)校隨機選從某一學(xué)校隨機選一學(xué)生，測量他的身高一學(xué)生，測量他的身高. 我們可以身高看作隨我們可以身高看作隨機變量機變量X,然后我們可以提出關(guān)于然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題的各種問題. 如如

4、PX1.7=？ PX1.5=?P1.5X0.95 的最小的的最小的m .查表得查表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=10,m=9.1505. 0!5mkkke或或上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例6 6 社會上定期發(fā)行某種獎券,中獎率為p.某人每次購買一張獎券,如果沒有中獎則下次繼續(xù)購買1張,直至中獎為止.求該人購買次數(shù)的分布律. 解解 設(shè)該人購買的次數(shù)為X ,則X的可能取值為.,2, 11X表示第一次購買就中獎,其概率為p.2X表示購買兩次獎券,但第一次未中獎,其概率為1-p,而第二次中獎,其概率為p.由獨立性知,有ppXP

5、)1 (2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1(1)1,2,kP Xkppk(1) 一般的,如果某隨機變量的分布律具有(1)的形式,則稱該隨機變量服從參數(shù)為參數(shù)為p的幾何分布的幾何分布.kX表示共購買了k次獎券,其中前k-1次都未中獎,而第k次中獎,因此有ppkXPk 1)1 ( 因此,購買次數(shù) 的分布律為X 例例6 6 社會上定期發(fā)行某種獎券,中獎率為p.某人每次購買一張獎券,如果沒有中獎則下次繼續(xù)購買1張,直至中獎為止.求該人購買次數(shù)的分布律.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例3 設(shè)某批產(chǎn)品共有N件，其中有M 件次品。按如下兩種方式從中任選n件產(chǎn)品: (1)一次次從中取出產(chǎn)品，每次取一件，并在觀察后放回;

6、設(shè)取得的次品數(shù)為 ，試求 的分布律。解 (1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取時抽到一件次品的概率均為M/N，所以故有nkNMNMCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,1),/,(NMnBXXXnNC種，而其中恰好有k件次品的取法共有knMNkMCC種，所以有此時我們稱X服從超幾何分布。,min, 2 , 1 , 0,MnkCCCkXPnNknMNkM 例例3 設(shè)某批產(chǎn)品共有N件，其中有M 件次品。按如下兩種方式從中任選n件產(chǎn)品(2)在N件產(chǎn)品中任選n件,設(shè)取得的次品數(shù)為 ，試求 的分布律。XX (2)在N件產(chǎn)品中任選n件，所有可能的取法有上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁()x 為X 的分布函數(shù)分布

7、函數(shù)。設(shè) X 是一個隨機變量，定義定義1 1是任意實數(shù)，則稱函數(shù)x( )(),F xP Xx12P xXx21()( )F xF x可以使用分布函數(shù)值描述隨機變量落在區(qū)間里的概率。第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)1x2xx 21P XxP Xx 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標(biāo)，那么分布函看作數(shù)軸上隨機點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間 內(nèi)的概率內(nèi)的概率,(xxoxXX 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁分布函數(shù)完整地描述了分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性. .)()(1221xFxFxXxP因此可以認(rèn)為12P

8、 xXx21()( )F xF x可以使用分布函數(shù)值描述隨機變量落在區(qū)間里的概率。1x2xx 21P XxP Xx 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機變量.()x 為X 的分布函數(shù)分布函數(shù)。設(shè) X 是一個隨機變量，定義定義1 1( )(),F xP Xxx解解:例1. 已知隨機變量X 的分布律為1612131Xkp02求分布函數(shù)( )F x( )F xP Xx當(dāng) 時, 0 x Xx ( )0F x當(dāng) 時, 01x( )F xP Xx0P X13當(dāng) 時, 12x( )F x 1136( )F x 1.1201P XP X12P XP X0P X 2x 當(dāng)時，

9、x210( )F x 所以，0,0 x 1,2x 1/ 2,12x1/ 3,01x0,01/ 3,01( )1/ 2,121,2xxF xxx概率函數(shù)圖概率函數(shù)圖1 312x()P Xx1 61 21 6OOO1)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖012111362X210()x ( )(),F xP Xx 的圖形是階梯狀的圖形,在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).0,01/ 3,01( ),1/ 2,121,2xxF xxx1 312x1 61 21 6OOO1)(xF012111362X210F(x)右連續(xù)( )(

10、)F xP Xx 一般,設(shè)離散型隨機變量X的分布律為kkpxXP,2, 1k則由概率的可加性可得分布函數(shù)為xxkxxkkkpxXPxXPxF)(1 312x1 61 21 6OOO1)(xF210上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12xx若二、分布函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)不減性：()lim( )0,xFF x (0)lim( )( ).txF xF tF x 右連續(xù)性： ，且，則()lim( )1;xFF x 上述三條性質(zhì)，也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。( )(),F xP Xx2112()( ) 0,F xF xP xXx12()xx事實上,0( )1F x12()()F xF xx上頁下頁鈴結(jié)

11、束返回首頁例例1 1 設(shè)隨機變量X的分布律為Xkp1 2 3412141求X的分布函數(shù),并求,21XP32 XP解解 由概率的可加性,得所求的分布函數(shù)為 3,41214132,214121,411,0)(xxxxxXPxF上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3 13(3)(2)2 1424FFP X 412121FXP因此3,41214132,214121,411, 0)(xxxxxXPxF23PX2323PXP XP X(3)(2)FF( )()F xP Xxox23 例例 2 一個靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點與圓

12、心的距離. 試求隨機變量X的分布函數(shù).解：解：（1） 若 x 3出現(xiàn)的次數(shù)),則)32, 3( BY故所求的概率為2720323132)2(333223CCYP 例例3 3 設(shè)隨機變量.5 , 2UX現(xiàn)在對X進行三次獨立的觀測，求至少有兩次觀測值大于3的概率.解：解：3231)3(53dxXP上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例2.4.3設(shè)隨機變量 服從區(qū)間 上的均勻分布,求方程X0,524420tXtX有實根的概率.解: 因為當(dāng)2161620XX 時方程有實根,即或1X 2X 時方程有實根,所以所求概率為12P XX 或12P XP X 52105dx3.5上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二二. .指數(shù)分布指數(shù)分

13、布( (Exponential Distribution) )如果隨機變量X的概率密度為0, 00,)(xxexfx)(EX則稱 X 服從參數(shù)為參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布.0 其其中中為常數(shù)為常數(shù), 01.0 xxf xedxe 1,0( )0,0 xexF xP Xxx 例例若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, 則其則其分布函數(shù)分布函數(shù)為為證：證：事實上事實上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 00 xdt 0 x 當(dāng)當(dāng) 時時,0 x 當(dāng)當(dāng) 時時, xF xf t dt 00dt 0 xtedt 0, 00,)(xxexfx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁易

14、知，若),(EX則其分布函數(shù)為1,0( )0,0 xexF xx 指數(shù)分布在排隊論和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常用它來作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,電話的通話時間,微生物的壽命,隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都可認(rèn)為是近似服從指數(shù)分布.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 指數(shù)分布的一個重要性質(zhì)就是“無后效性無后效性”或“無記憶性無記憶性”.具體敘述如下.),(EX設(shè)則對于任意的 s 0, t 0,有|tXPsXtsXP事實上，有,|sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)(tXPeeetsts1,0( )0,0 xexF xx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 假如把服從指數(shù)分布的隨機變量

15、解釋為某元件工作的壽命,則上式表明,在該元件已工作了s小時的條件下,它還能繼續(xù)工作t小時的概率與已經(jīng)工作過的時間s無關(guān).換句話說,如果元件在時刻s還“活著”,則它的剩余壽命的分布還是原來壽命的分布,而與它已工作了多長的時間無關(guān).所以有時又稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕永遠(yuǎn)年輕”的.值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型分布指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型分布.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 下面的例子說明了泊松分布和指數(shù)分布之間的關(guān)系。即 服從參數(shù)為 指數(shù)分布。X=1te ,0( )( )0,0 xexf xF xx()( )!ktP N tkek上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁三三.正態(tài)分布

16、正態(tài)分布(Normal Distribution)若隨機變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX 稱相應(yīng)的分布函數(shù)為正態(tài)分布正態(tài)分布,相應(yīng)的概率密度為正態(tài)密度正態(tài)密度.服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)變量正態(tài)變量. .正態(tài)變量的分布函數(shù)為22()21( )2txF xedt 正態(tài)分布是概率論中最重要最重要的一個分布.高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差,所以又稱為高斯分布.經(jīng)驗表明,許多實際問題中的隨機變量,如測量誤差,炮彈落點的分布,人的身高,學(xué)生考試的成績,農(nóng)作物的產(chǎn)量,產(chǎn)品的尺寸等都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布.三三.正態(tài)分布

17、正態(tài)分布(Normal Distribution)若隨機變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX+ ( )f x dx22 tIedt記2212xttedt令2212tedt22(22)xyIedxdy22002rderdr2I( )1.f x dx若隨機變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX22200red 202 .d ;12 dxxf ;01 xf曲線曲線 關(guān)于關(guān)于 軸對稱；軸對稱； fx 3函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 f

18、x 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值取得最大值x 正態(tài)分布的概率密度曲線圖正態(tài)分布的概率密度曲線圖: :xyo1.222()21( )2xf xe; 0)(,)5(xfx時當(dāng) 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2N22()21( )2xf xe概率密度曲線特點概率密度曲線特點: :當(dāng)固定時,越大,曲線的峰越低,落在附近的概率越小,取值就越分散,是反映X的取值分散性的一個指標(biāo)。 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2N22()21( )2xf xe;,)(,)9(軸作平移變換著只是沿圖形的形狀不變的大

19、小時改變當(dāng)固定xxf概率密度函數(shù)圖形特點概率密度函數(shù)圖形特點: : 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和和唯一確定，唯一確定， 當(dāng)當(dāng)和和不同時，是不同的正態(tài)分布。不同時，是不同的正態(tài)分布。下面我們介紹一種下面我們介紹一種最重要最重要的正態(tài)分布的正態(tài)分布若隨機變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布),1 ,0( NX若則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 其概率密度函數(shù)通常用)(x表示,分布函數(shù)記作).(x2221)(xexxtdtex2221)(若隨機變量 X 的概率密度為22()21(

20、)2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350.4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度 的圖形)(x221( )2xxe12上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁公式:)(1)(xx 1xx ()yx()x()x 0yxxx221( ),2xxe221( )2xtxedt1(0)2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù))(x可通過查書后的附表得到.但是表中只列出了0 x時的分布函數(shù)值,對于0 x時的情形,可利用下面的公式計算)(1)(xx問題：問題：對于一般的正態(tài)分布),(2N,如

21、何計算其分布函數(shù)的值?設(shè)),(2NX其分布函數(shù)為),(xF則22()21( )2txF xedt)(tux2212xuedu221( )2xtxedt上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁于是,有 P aXbF bF a 通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式正態(tài)概率計算公式,它把一般正態(tài)變量的概率計算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來計算.設(shè)),(2NX其分布函數(shù)為),(xF則22()21( )2txF xedtx2212xueduba 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁若),(2NX則(0,1)XZN定理定理XP ZxPx)(xx證明：P Xx更進一步的，還有下面的結(jié)論。( )xP XxF x 若若 XN(0,1),)(bXaP)()(

22、)(abbXaP)()(ab若),(2NX則(0,1)XZN)(bZaPaXbP設(shè)),(2NX,則有%26.68) 1() 1 (|XP)(1)(xx|1XPXP若),(2NX則(0,1)XZN(1)( 1) ()yx()x()x 0yxxx 11XP 68.26%查表可得查表可得 11PZ 2 (1) 1 設(shè)),(2NX,則有%26.68) 1() 1 (|XP%44.95)2()2(2|XP%74.99)3()3(3|XP即, X落在 內(nèi)幾乎是肯定的事.這就是所謂的“ ”法則.)3,3(399.74%3268.26%2395.44%解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面

23、我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的h . .看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子: 例例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在頭機會在 0.01 以下來設(shè)計的以下來設(shè)計的. .設(shè)人的身高設(shè)人的身高XN( (170, ,62),),問車門高度應(yīng)如何確定問車門高度應(yīng)如何確定? ? 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計要求按設(shè)計要求因為因為 XN( (170, ,62),),故故 P(X0.99因而因而 = = 2.33, ,即即 h=170+13.98 184設(shè)計車門高度為設(shè)計車門高度為184厘米時，可使厘米時，

24、可使人與車門碰頭的人與車門碰頭的機會不超過機會不超過0.01. .P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h 6170h上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例5 由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?解 1)6568. 0)33. 1()67. 0(150600400150600700700400 XP)150,600(2N2)15060030013001300XPXP97

25、72. 0)2(1 (1)2(1上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 設(shè)該值為, a則有, 1.0)( aXP即1 . 0150600)( aaXP查表得28.1150600a從而mma408 例5 由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?)150,600(2N解:3)離散型隨機變量離散型隨機變量函數(shù)函數(shù)的分布的分布解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時時， Y 取對應(yīng)值取對應(yīng)值 5，7，13，例例1設(shè)設(shè)X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3

26、的概率函數(shù)的概率函數(shù). 3013502075.Y而且而且X取某值與取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率件，兩者具有相同的概率.故故上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第五節(jié)第五節(jié) 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布一一. .離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布關(guān)鍵是要確定兩點：1) 可能的取值可能的取值; ;2) 取任一值的概率取任一值的概率. . 本節(jié)的基本任務(wù)本節(jié)的基本任務(wù):已知隨機變量X的分布(分布律或概率密度),求)(XgY的概率分布.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例1 1 已知 X 的概率分布為求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2

27、 的分布律解解:Y 1pi-3 -1 1 321418181X pk-1 0 1 221418181上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁Y 2pi1 0 1 421418181X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律解解:Y 2pi0 1 4218381上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例2 2 設(shè)隨機變量 X 的分布律為nn21412121并且,2sinXY求Y 的分布律. 解解 Y 的可能取值為-1,0,1,并且111415216118121)14() 1(kkkkXPYP314114121)2()0(112kkkkXPYP) 1(YP158)0() 1(1

28、YPYP上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁所以158) 0() 1(1) 1(YPYPYP111415216118121)14() 1(kkkkXPYP314114121)2()0(112kkkkXPYP例：設(shè)隨機變量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。, 04( )80, Xxxfx其他2( )YFyP YyP Xy 0( )0;YyFy當(dāng)時， 16 ( )1YyFy當(dāng)時， 016 y當(dāng)時,( )0YFyPXy0816ytydt1, 016( )160, Yyfy其他Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。( ) ( )XYFxFy，解：分別記X,Y的分布函數(shù)為二二.連續(xù)型隨機變量的

29、分布連續(xù)型隨機變量的分布問題問題: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度),(xfX).(yfY上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二二.連續(xù)型隨機變量的分布連續(xù)型隨機變量的分布基本步驟基本步驟:問題問題: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度),(xfX).(yfY1.確定Y的取值范圍.如果其取值的范圍為區(qū)間),(ba則當(dāng)),( bay時,. 0)(yfY2. 當(dāng)),( bay時,先求分布函數(shù),)(yYPyFY然后再對分布函數(shù)求導(dǎo)即得概率密度.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例： 2( ) ( ).YXf xxYXYfy 設(shè) 的概率密度為，求 的概率密度( )YYFy解：設(shè) 的概率分布函數(shù)為

30、 0( )YyFy當(dāng)時，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dtf t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy( )( )( )( ) ( )( ( ) ( )xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx連續(xù)時，()PyXy從中可以看到，在求P(Yy) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X, 從而得到與 g(X) y 等價的X 的不等式 .三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布解解 設(shè)設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設(shè)設(shè) X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P