C第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)

1、第第5 5章章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)測(cè)量誤差的基本知識(shí)5.1 5.1 測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述5.2 5.2 評(píng)定精度的指標(biāo)評(píng)定精度的指標(biāo)5.3 5.3 誤差傳播定律誤差傳播定律5.4 5.4 等精度直接觀測(cè)平差等精度直接觀測(cè)平差5.5 5.5 不等精度直接觀測(cè)平差不等精度直接觀測(cè)平差本章內(nèi)容如下：本章內(nèi)容如下： 誤差即觀測(cè)值與真值之間的差值。 = = L L - - X X觀測(cè)者、儀器、外界條件觀測(cè)者、儀器、外界條件觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)，其結(jié)果具有不同精度。觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)，其結(jié)果具有不同精度。 觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，其結(jié)果具有同等精度。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，其結(jié)果具有同等精度。v

2、 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差( (system error) 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值都相同，或按一定的規(guī)律變化。出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值都相同，或按一定的規(guī)律變化。v 偶然誤差偶然誤差( (accident error) ) 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值從單個(gè)上看沒有規(guī)律性，而從整體上分出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值從單個(gè)上看沒有規(guī)律性，而從整體上分析卻具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性析卻具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 。又稱真誤差。又稱真誤差( (ture erro

3、r) )。v 粗差粗差( (gross error) ) 在觀測(cè)中出現(xiàn)的讀錯(cuò)、記錯(cuò)或測(cè)錯(cuò)等，統(tǒng)稱為粗差。粗差在觀測(cè)中出現(xiàn)的讀錯(cuò)、記錯(cuò)或測(cè)錯(cuò)等，統(tǒng)稱為粗差。粗差在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的。為了杜絕粗差的產(chǎn)生，除在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的。為了杜絕粗差的產(chǎn)生，除需認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，必須采取必要的檢核措施。需認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，必須采取必要的檢核措施。 設(shè)三角形閉合差為L1L3L2v 處理方法處理方法 系統(tǒng)誤差可以采取以下方法進(jìn)行處理：系統(tǒng)誤差可以采取以下方法進(jìn)行處理：1.1.對(duì)稱觀測(cè)；對(duì)稱觀測(cè)；2.2.加改正數(shù)；加改正數(shù)；3.3.將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。180iiii 0

4、3 30 0.138 29 0.134 59 0.272 36 21 0.097 20 0.092 41 0.189 69 15 0.069 18 0.083 33 0.152 912 14 0.065 16 0.073 30 0.138 1215 12 0.055 10 0.046 22 0.101 1518 8 0.037 8 0.037 16 0.074 1821 5 0.023 6 0.028 11 0.051 2124 2 0.009 2 0.009 4 0.018 2427 1 0.005 0 0 1 0.005 27以上 0 0 0 0 0 0 合 計(jì) 108 0.498 109

5、 0.502 217 1.000 正 誤 差個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)k k頻率頻率k k/ /n n負(fù) 誤 差誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d（） 合 計(jì)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)k k個(gè)數(shù)k頻率頻率k k/ /n n頻率頻率k k/ /n n 偶然誤差分布情況統(tǒng)計(jì)偶然誤差分布情況統(tǒng)計(jì)（1）在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)）在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì) 超過一定的限度；超過一定的限度；（2）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能 性大；性大；（3）絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；）絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；（4）當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)

6、平均值）當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值 趨近于零。即趨近于零。即偶然誤差具有如下特性：偶然誤差具有如下特性： 0limlim21 nnnnn直方圖誤差分布曲線誤差分布曲線22221)(ef 平均誤差即算術(shù)平均誤差，其定義為：在對(duì)某量進(jìn)行一平均誤差即算術(shù)平均誤差，其定義為：在對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)中，各次觀測(cè)誤差的絕對(duì)值的算術(shù)平均值叫算術(shù)平系列觀測(cè)中，各次觀測(cè)誤差的絕對(duì)值的算術(shù)平均值叫算術(shù)平均誤差，記為均誤差，記為 。X。niiXXnX101當(dāng)當(dāng)n較大時(shí)，可用下式估算為：較大時(shí)，可用下式估算為：1nnXXXi5.2 5.2 評(píng)定精度的指標(biāo)評(píng)定精度的指標(biāo)v 定義定義 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差(sta

7、ndard deviation)nnlim 中誤差中誤差(mean square error)nm * * 在一定的觀測(cè)條件下，標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)固定的常數(shù)，在一定的觀測(cè)條件下，標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)固定的常數(shù)，而中誤差則是隨著觀測(cè)次數(shù)的多少及讀取的觀測(cè)值大小而中誤差則是隨著觀測(cè)次數(shù)的多少及讀取的觀測(cè)值大小而改變的隨機(jī)變量，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)逐漸增大時(shí)，中誤差逐而改變的隨機(jī)變量，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)逐漸增大時(shí)，中誤差逐漸趨近于標(biāo)準(zhǔn)差漸趨近于標(biāo)準(zhǔn)差。是反映一組真誤差離散程度的指標(biāo)。是反映一組真誤差離散程度的指標(biāo)。v 中誤差的計(jì)算中誤差的計(jì)算 例：同精度下對(duì)某一三角形進(jìn)行了例：同精度下對(duì)某一三角形進(jìn)行了1010次觀測(cè)，求得每次觀次

8、觀測(cè)，求得每次觀測(cè)所得的三角形閉合差分別為（單位：測(cè)所得的三角形閉合差分別為（單位：）：）：3 3，-2-2，-4-4，2 2，0 0，-4-4，3 3，2 2，-3-3，-1-1。7 . 21013234024232222222222 m 另一臺(tái)儀器的結(jié)果（單位：另一臺(tái)儀器的結(jié)果（單位：）：）：3 3，1 1，-2-2，2 2，0 0，-3-3， 2 2， 1 1，-1-1，0 0。8 . 1 10011230221322222222m683. 021)(222dedfP955. 021)(222222222dedfP997. 021)(333323322dedfPv 容許誤差容許誤差m2容

9、m3極v 極限誤差極限誤差( (limit error) )v 定義定義 誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比稱為該觀測(cè)值的誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比稱為該觀測(cè)值的相對(duì)誤差相對(duì)誤差，常用常用1/1/N 的形式表示。的形式表示。DmDmK1 例：分別丈量了例：分別丈量了100m100m及及200m200m的兩段距離，觀測(cè)值的中誤差均的兩段距離，觀測(cè)值的中誤差均為為2cm2cm，試比較兩者的觀測(cè)成果質(zhì)量。，試比較兩者的觀測(cè)成果質(zhì)量。5000110002. 011Dm10000120002. 022Dm中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比稱為該觀測(cè)值的中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比稱為該觀測(cè)值的相對(duì)中誤差相對(duì)中誤差K。5.3

10、5.3 觀測(cè)值與算術(shù)平均值的中誤差觀測(cè)值與算術(shù)平均值的中誤差 LXnlimlim () limnnnLXnXn lim0nn即即，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值 。 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某未知量觀測(cè)了設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為次，觀測(cè)值為l1, l2, l3 , ln，現(xiàn)在要根據(jù)這，現(xiàn)在要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值確定出該未知量的最或個(gè)觀測(cè)值確定出該未知量的最或然值。設(shè)未知量的真值為然值。設(shè)未知量的真值為X ，以，以L表示上式觀測(cè)值的算術(shù)平均表示上式觀測(cè)值的算術(shù)平均值，則有值，則有 式中：式中：i = liX取極限：取極限：現(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均

11、值的中誤差公式?，F(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。 式中，式中，1 / n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為誤差均為m?，F(xiàn)以?，F(xiàn)以M表示算術(shù)平均值的中誤差，則算術(shù)平均值表示算術(shù)平均值的中誤差，則算術(shù)平均值的中誤差為的中誤差為nlnlnlnL11121mnMmnnmnmnmM1122222 觀測(cè)量的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值改正數(shù)，觀測(cè)量的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值改正數(shù)，用用v表示。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)為表示。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)為n時(shí)，有時(shí)，有 nnlLvlLvlLv2211 lnLv nlL 0v 將 代入上式，得代入上式，得 觀測(cè)值改

12、正數(shù)的重要特性觀測(cè)值改正數(shù)的重要特性: 即對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。即對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。 由真誤差與觀測(cè)值改正數(shù)的定義可知：由真誤差與觀測(cè)值改正數(shù)的定義可知： XlnXlXln2211 nnvXLvXLvXL2211兩邊同時(shí)平方并相加，得兩邊同時(shí)平方并相加，得 vXLvvXLn22 0vXL2nvv 因?yàn)橐驗(yàn)?，令，令 ，代入上式，得，代入上式，得 XL nlL nnXlXnlXL因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 )(22221132212213221222212222nnnnnnnnn 013221lim nnnnnnn122 nnnvvn1nm2因?yàn)橐驗(yàn)?nmnvvm

13、22所以所以整理后，得整理后，得 1nvvm這就是用觀測(cè)值改正數(shù)求觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式。這就是用觀測(cè)值改正數(shù)求觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式。 例：某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如下表所示，求算術(shù)平例：某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如下表所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。 v 定義定義v 公式推導(dǎo)公式推導(dǎo))(21nxxxfZ，)(2211nnxxxxxxfZZ，nnxxfxxfxxfZ2211)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 ( knnkkknnnnxxfxxf

14、xxfZxxfxxfxxfZxxfxxfxxfZjinjijijinnxxxfxfxxfxxfxxfZ1,22222221212kxxxfxfkxxfkxxfkxxfkZjinjijijinn1,2222222121222222221212nnzxfxfxf22222221212nnzmxfmxfmxfmkxxfkxxfkxxfkZnnkk22222221212limlimv 常用函數(shù)的中誤差公式常用函數(shù)的中誤差公式kxz nxxxz21nnxkxkxkz2211xzkmm 22221nzmmmmnmmz2222222121nnzmkmkmkm 倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù)和差函數(shù) 線性函數(shù)線性

15、函數(shù)mlL3003010100121lllL 例：用長例：用長30m的鋼尺丈量了的鋼尺丈量了10尺段，若每尺段的中誤差尺段，若每尺段的中誤差ml= =5mm，求全長，求全長L及其中誤差。及其中誤差。mmmmlL5010mmmmlL1610例：有函數(shù)式如下，若例：有函數(shù)式如下，若x的中誤差的中誤差mx為已知，求為已知，求mz。22 3 122121xyxyyyzxzyyzxyxymmmmmyyzmmxymmxy5 4122223322221212121xzmmxzxxzxyxyyyz757 1)22(23223122121方法一方法一: :方法二方法二: : 函數(shù)式中各觀測(cè)值之間必須相互獨(dú)立函數(shù)

16、式中各觀測(cè)值之間必須相互獨(dú)立5.5 5.5 不等精度直接觀測(cè)平差不等精度直接觀測(cè)平差 設(shè)對(duì)某未知量分兩組進(jìn)行觀測(cè)，第一組測(cè)設(shè)對(duì)某未知量分兩組進(jìn)行觀測(cè)，第一組測(cè)4次，觀測(cè)值為次，觀測(cè)值為L1、L 2、L 3、L 4，第二組測(cè)，第二組測(cè)2次，觀測(cè)值為次，觀測(cè)值為L 1、L 2，它，它們都是等精度觀測(cè)，則們都是等精度觀測(cè)，則6214321LLLLLLx2 421243211LLxLLLLx6242421432121LLLLLLxxx表示各觀測(cè)值可靠程度的數(shù)值（表示各觀測(cè)值可靠程度的數(shù)值（p）。）。v 權(quán)的定義權(quán)的定義v 權(quán)的確定權(quán)的確定設(shè)不等精度觀測(cè)值的中誤差分別為設(shè)不等精度觀測(cè)值的中誤差分別為m1

17、，m2，mn)0( 2222211，nnmpmpmp22222112222121 nnnnmpmpmpmmmppp或：【例例】設(shè)以不等精度觀測(cè)某角度，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差分別為設(shè)以不等精度觀測(cè)某角度，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差分別為：m1=11，m2= =22，m3= =33，則它們的權(quán)各為則它們的權(quán)各為91411 12332222112mpmpmp，時(shí)，4936362332222112mpmpmp，時(shí)，941442332222112mpmpmp，時(shí)，v 單位權(quán)與單位權(quán)中誤差單位權(quán)與單位權(quán)中誤差) 2 1(220nimmpii， iipmm10 等于等于1 1的權(quán)稱為的權(quán)稱為單位權(quán)單位權(quán)，與這個(gè)單位權(quán)相

18、對(duì)應(yīng)的中誤差稱為，與這個(gè)單位權(quán)相對(duì)應(yīng)的中誤差稱為單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差，一般用，一般用m0表示。對(duì)于中誤差為表示。對(duì)于中誤差為mi的觀測(cè)值，其權(quán)的觀測(cè)值，其權(quán)pi為為 設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行了一組不等精度觀測(cè)，觀測(cè)值分別為設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行了一組不等精度觀測(cè)，觀測(cè)值分別為L1，L 2，Ln，其對(duì)應(yīng)的權(quán)為其對(duì)應(yīng)的權(quán)為p1，p2，pn，則加權(quán)平均值則加權(quán)平均值即為不等精度觀測(cè)值的最或然值即為不等精度觀測(cè)值的最或然值。計(jì)算公式為計(jì)算公式為：nnnpppLpLpLpppLx212211nnLppLppLppx221122222222212212nnmppmppmppM20202202220212pmmppmppmppMn 0pmM npm0nppM 10npvvm)1(nppvvMmpppHpHpHpH340.163213322110mm