Modeling2009數(shù)學(xué)建模王新茂

1、數(shù)學(xué)建模Mathematical Modeling王新茂中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系2教學(xué)安排2月20日講課2月27日討論3月6日講課3月13日討論3月20日講課3月27日討論4月3日講課4月10日討論4月17日講課4月24日討論5月1日勞動(dòng)節(jié)5月8日講課5月15日討論5月22日講課5月29日討論6月5日講課6月12日討論6月19日講課6月26日討論6月29日考試開始3參考書目1.數(shù)學(xué)建模，F(xiàn).R.Giordano、M.D.Weir、W.P.Fox著，葉其孝、姜啟源等譯，機(jī)械工業(yè)出版社，2005。2.問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型方法，劉來(lái)福、曾文藝編著，北京師范大學(xué)出版社，1999。3.數(shù)學(xué)建模精品案例，朱道

2、元編著，東南大學(xué)出版社，1999。4.數(shù)學(xué)模型，譚永基、俞文 編著，復(fù)旦大學(xué)出版社，1995。5.中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（一、二、三），李大潛主編，高等教育出版社。6.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)，http:/4什么是數(shù)學(xué)建模？ 使用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程實(shí)際現(xiàn)象實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)解答解決方案基于合理的假設(shè)通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)“描述實(shí)際現(xiàn)象”“近似實(shí)際問(wèn)題”建模求解建模的目的是“解決實(shí)際問(wèn)題”實(shí)踐是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃脡牡奈ㄒ粯?biāo)準(zhǔn)應(yīng)用檢驗(yàn)注：并非所有實(shí)際問(wèn)題都可通過(guò)數(shù)學(xué)建模求解。5數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程1. 針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，明確建模目的。2. 抓住主要因素，簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題。3. 使用數(shù)學(xué)方法，導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型。

3、 定義變量參數(shù)，量化主要因素。 找出主要因素之間的相互聯(lián)系。 假設(shè)合理、推理嚴(yán)密、數(shù)據(jù)精確、有說(shuō)服力。4. 使用數(shù)學(xué)工具，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題。5. 檢驗(yàn)修改模型，實(shí)施數(shù)學(xué)結(jié)果。 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕忉屖欠穹峡陀^規(guī)律。 檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合。 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木?、穩(wěn)定性和靈敏度。6數(shù)學(xué)建模的常用方法 以客觀規(guī)律的普遍性為基礎(chǔ)，考慮局部規(guī)律的特殊性，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步建立模型。 根據(jù)量綱、比例關(guān)系、相似性、平衡原理、變化機(jī)理等確立變量之間的相互制約的關(guān)系。 收集整理數(shù)據(jù)，從中歸納出合理的假設(shè)。 用微分方程描述連續(xù)變量的變化和相互影響。 用隨機(jī)變量描述模型中因素的不確定性。 用圖論語(yǔ)言描述模型的研究對(duì)象及

4、其之間的關(guān)系，如工作順序、狀態(tài)轉(zhuǎn)移等。 將復(fù)雜的系統(tǒng)分解成若干子系統(tǒng)，分而治之。7數(shù)學(xué)模型的分類 按實(shí)際問(wèn)題分類人口模型、生態(tài)模型、經(jīng)濟(jì)模型、交通流模型、投入產(chǎn)出問(wèn)題、郵路問(wèn)題、選址問(wèn)題、排隊(duì)服務(wù)問(wèn)題 . 按數(shù)學(xué)方法分類數(shù)值計(jì)算問(wèn)題、微分方程問(wèn)題、優(yōu)化問(wèn)題、規(guī)劃問(wèn)題、圖論問(wèn)題、概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題、系統(tǒng)決策問(wèn)題 . 按建模目的分類機(jī)理模型、仿真模型、預(yù)測(cè)模型、優(yōu)化模型、決策模型 按問(wèn)題的確定性分類白箱問(wèn)題、灰箱問(wèn)題、黑箱問(wèn)題8問(wèn)題1.1：商品的價(jià)格與供求數(shù)量的關(guān)系。問(wèn)題：產(chǎn)量的增加能否帶來(lái)收入的增加？一、初等模型9問(wèn)題1.2：求豬的長(zhǎng)L、寬w、高h(yuǎn)、重m之間的關(guān)系。模型1：假設(shè)豬的形狀是幾何相似的，密

5、度為常值，則mL3。若將豬看成橢圓柱，忽略四蹄，則mwhL。模型2：將豬看作支撐在四蹄上的彈性梁，在重力作用下，下垂高度d，彈性模量為常值，則mwdh3/L3。問(wèn)題：以上結(jié)論是否合理？?jī)蓚€(gè)模型是否一致？?jī)蓚€(gè)模型的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？哪個(gè)模型比較準(zhǔn)確？一、初等模型10一、初等模型問(wèn)題1.3：求人的身高h(yuǎn)、體重m、力量f、靈活性a之間的關(guān)系。模型1：假設(shè)人體具有幾何相似性，密度為常值，則mh3。將肌肉看成彈性桿，橫截面積s、相對(duì)伸長(zhǎng)量為常值，彈性模量為常值，則fsh2，a=f/m1/h。問(wèn)題：以上假設(shè)是否合理？如何修改模型？模型2：測(cè)量一定人群的身高、體重、力量、靈活性，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。問(wèn)題：如何定量

6、測(cè)量靈活性？如何擬合？11一、初等模型問(wèn)題1.4：如何提高鉛球運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。模型1：投擲距離s與出手高度h、出手速度v、仰角a有關(guān)。若不考慮空氣阻力，則s隨h、v的增大而增大。給定h、v，最佳投擲角度 。模型2：設(shè)臂長(zhǎng)L、出手時(shí)的肩高H為常數(shù)， 。模型3：設(shè)鉛球重m，可獲得的總能量 為常值。問(wèn)題：投擲距離還與哪些因素有關(guān)？空氣阻力對(duì)成績(jī)的影響有多大？以上假設(shè)是否合理？以上模型是否適用于標(biāo)槍、鏈球等其它投擲項(xiàng)目？gvghvvs/cos)2sinsin(22ghvgh2arccos21sinLHhmghmv 22112氮肥 產(chǎn)量磷肥 產(chǎn)量鉀肥 產(chǎn)量氮肥 產(chǎn)量磷肥 產(chǎn)量鉀肥 產(chǎn)量1015.18 03

7、3.46 018.98 011.02 06.39015.7523421.36 2432.47 4727.35 2812.7499.484716.7636725.72 4936.06 9334.86 5614.56 9812.46 9316.89410132.29 7337.96 14038.52 8416.27 14714.38 14016.24513534.03 9841.04 18638.44 11217.75 19617.118617.56620239.45 14740.09 27937.73 16822.59 29421.94 27919.2725943.15 19641.26 372

8、38.43 22421.63 39122.64 37217.97833643.46 24542.17 46543.87 28019.34 48921.34 46515.84940440.83 29440.36 55842.77 33616.12 58722.07 55820.1110 47130.75 34242.73 65146.22 39214.11 68524.53 65119.4一、初等模型問(wèn)題1.5（CMCM92A）：為了研究氮、磷、鉀三種肥料對(duì)于土豆和生菜的作用，分別作了三組實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下。在考察一種肥料的施用量與產(chǎn)量關(guān)系時(shí)，另兩種肥料的施用量固定在第7個(gè)水平上。問(wèn)：如何施肥效果最

9、好？(施肥量：公斤/公頃，產(chǎn)量：噸/公頃)13建模思路：1. 確定產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系。多項(xiàng)式擬合、指數(shù)函數(shù)擬合、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原始誤差、多種肥料的復(fù)合效果2. 優(yōu)化農(nóng)產(chǎn)品的投入產(chǎn)出。考慮化肥對(duì)土壤破壞、生態(tài)農(nóng)業(yè)、綠色食品3. 模型的檢驗(yàn)與改進(jìn)。 改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方式、正交設(shè)計(jì)一、初等模型土豆生菜010020030040010203040500100200300400510152025050100 150 200 250 30010203040500100 200 300 400 500 600 7005101520250100 200 300 400 500 60010203040500100 200 3

10、00 400 500 60051015202514以下問(wèn)題任選一題：1. 利用下表數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)并修改問(wèn)題1.3的模型。作業(yè)一級(jí)別抓舉挺舉總成績(jī)級(jí)別抓舉挺舉總成績(jī)56138.5168305489812021762153182.532553102.512922669165197.5357.55811114125177173210377.563116142257851872203956912815828694188232.5417.57513115928610520023643675+139182.5318105+213263.5472.5男子舉重世界紀(jì)錄女子舉重世界紀(jì)錄152. 利用下表數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)問(wèn)

11、題1.4的模型。3. 利用互聯(lián)網(wǎng)上的真實(shí)數(shù)據(jù)，對(duì)從事某種體育項(xiàng)目的專業(yè)運(yùn)動(dòng)員的身高、體重、力量、靈活性建模。作業(yè)一#出手速度出手高度仰角成績(jī)114.081.9535.1321.76213.952.0439.0021.70313.952.0439.0021.66413.972.0038.2021.52513.582.0237.7520.76613.512.0038.6920.30713.432.0238.5020.26813.162.0240.2719.4016二、微分方程模型問(wèn)題2.1：根據(jù)以下數(shù)據(jù)對(duì)酵母培養(yǎng)物的生物量建模。模型1：畫出pt圖像、pt圖像、pp圖像。猜測(cè)dp/dt=ap-bp2

12、，擬合(pn+1-pn-1)/2=apn-bpn2，得a、b。51015100200300400500600510152040608010020030040050060020406080時(shí)間t012345678酵母p9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3350.79101112131415161718441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.817二、微分方程模型由微分方程解出的p(t)函數(shù)圖像與原始數(shù)據(jù)非常吻合。問(wèn)題：對(duì)模型 dp/dt = ap-bp2 給以生物學(xué)上的解釋。若假設(shè) dp/dt = c0+c1p

13、+c2p2+c3p3，結(jié)果是否會(huì)更好?51015100200300400500600pt a p0b p0 a b p0at0.5408630.000814439 0.0555255 0.540863t18二、微分方程模型問(wèn)題2.2：人口的預(yù)測(cè)和控制。模型1 (Malthus)：假設(shè)出生率死亡率為常數(shù)，dx/dt = ax。模型2 (logistic)：dx/dt = ax-bx2。模型3 (Leslie)：考慮各年齡段的人口數(shù)。xtsdtxsxtxtxtxacacbbabtxtxtxkkkkk),()()()()()()(2112121121連續(xù)模型離散模型19二、微分方程模型問(wèn)題2.3：傳

14、染病的傳播。模型1：假設(shè)總?cè)藬?shù)n，感染人數(shù)x，未采取防病措施，經(jīng)常與他人接觸。dx/dt = kx(n-x) ，k:接觸率。結(jié)論：一段時(shí)間之后，所有人都會(huì)被感染。204060801002040608010020二、微分方程模型模型2：假設(shè)總?cè)藬?shù)n ，無(wú)癥狀感染人數(shù)x（經(jīng)常與他人接觸），有癥狀感染人數(shù)y（被隔離治療，治愈后仍可能被感染），已免疫或死亡人數(shù)z。dx/dt = k1x(n-x-y-z)-k2x，dy/dt = k2x-k3y，dz/dt = k4y，k1:感染率，k2:發(fā)病率，k3:治愈率，k4:免疫率+死亡率。結(jié)論：當(dāng)k40 時(shí)，所有人都會(huì)免疫或死亡。當(dāng)k2k1n時(shí)，疫情被迅速撲滅。當(dāng)k2j。若作業(yè)i沒(méi)有預(yù)先作業(yè)，添加邊Begin-i。若作業(yè)i沒(méi)有后續(xù)作業(yè)，添加邊i-End。原問(wèn)題化為“用一些從Begin到End的路徑P覆蓋所有頂點(diǎn)1,2,.,n，使得 maxP(iPTi ) 最小”。52五、圖網(wǎng)絡(luò)模型問(wèn)題5.8：根據(jù)相互之間的戰(zhàn)績(jī)對(duì)選手實(shí)力進(jìn)行排名。模型：假設(shè)各選手在爭(zhēng)奪一個(gè)冠軍稱號(hào)。已知選手i對(duì)選手j的戰(zhàn)績(jī)?yōu)閍ij勝、bij負(fù)、cij平。構(gòu)造得分矩陣S=(sij)和概率轉(zhuǎn)移矩陣P=(pij)。pij表示在眾選手中，選手j能夠?qū)⒐谲姺Q號(hào)從選手i處奪來(lái)的概率。 。pi為選手i擁有冠軍稱號(hào)的概率。iniiji