一次函數(shù)的應(yīng)用

1、一次函數(shù)的應(yīng)用一次函數(shù)的應(yīng)用本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.5分段函數(shù)的定義分段函數(shù)的定義在在自變量的不同自變量的不同取值范圍內(nèi)變量之取值范圍內(nèi)變量之間的關(guān)系不同，表示間的關(guān)系不同，表示函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的表達(dá)式有不同有不同的形式，這種函數(shù)叫作分段的形式，這種函數(shù)叫作分段函數(shù)。函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)不是幾個函數(shù)動腦筋動腦筋 某地為保護(hù)環(huán)境，鼓勵節(jié)約用電，實行階梯電價某地為保護(hù)環(huán)境，鼓勵節(jié)約用電，實行階梯電價制度制度. 規(guī)定每戶居民每月用電量不超過規(guī)定每戶居民每月用電量不超過160kWh，則按，則按0.6元元/ /（kWh）收費；若超過收費；若超過160kWh，則超出部分，

2、則超出部分每每1kWh加收加收0.1元元.（1）寫出某戶居民某月應(yīng)繳納的電費）寫出某戶居民某月應(yīng)繳納的電費y( (元元) )與所用的與所用的 電量電量x( (kWh) )之間的函數(shù)表達(dá)式；之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）畫出這個函數(shù)的圖象；）畫出這個函數(shù)的圖象；（3）小王家）小王家3月份，月份，4 月份分別用電月份分別用電150kWh和和200kWh， 應(yīng)繳納電費各多少元？應(yīng)繳納電費各多少元？電費與用電量相關(guān)電費與用電量相關(guān).當(dāng)當(dāng)0 x160時，時， y=0.6x；當(dāng)當(dāng)x160時，時， y = 1600.6+ +（x - -160）（0.6+0.1）= 0.7x- -16.（1）y與與x的函數(shù)表達(dá)式也

3、可以合起來表示為的函數(shù)表達(dá)式也可以合起來表示為y = 0.7x- -16 （x160）. .0.6x （0 x160），（2） 該函數(shù)的圖象如圖該函數(shù)的圖象如圖4-16. 該函數(shù)圖象由兩個該函數(shù)圖象由兩個一次函數(shù)的圖象拼接在一次函數(shù)的圖象拼接在一起一起.圖圖4-16當(dāng)當(dāng)x = 150時，時， y = 0.6150=90，即即3月份的月份的 電費為電費為90元元. 當(dāng)當(dāng)x = 200時，時，y = 0.7200- -16=124， 即即4月份的電費為月份的電費為124元元. （3）2. 某移動公司對于移動話費推出兩種收費方式：某移動公司對于移動話費推出兩種收費方式： A方案：每月收取基本月租費方

4、案：每月收取基本月租費25元，另收通話費元，另收通話費 為為0.36元元/min； B方案：方案： 零月租費，通話費為零月租費，通話費為0.5元元/min. （1）試寫出）試寫出A，B兩種方案所付話費兩種方案所付話費y（元元）與通話與通話 時間時間t（min）之間的函數(shù)表達(dá)式；之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）分別畫出這兩個函數(shù)的圖象；）分別畫出這兩個函數(shù)的圖象；（3）若林先生每月通話）若林先生每月通話300 min，他選擇哪種付費，他選擇哪種付費 方式比較合算？方式比較合算？解：解： （1） A方案：方案： y = 25+0.36t（t0）， B方案：方案：y = 0.5t（t0）. .（2）這兩個函

5、數(shù)的圖象如下：）這兩個函數(shù)的圖象如下：O51510510yt30152535y = 25+0.36t（t0）O132123yty = 0.5t（t0）（3）當(dāng)）當(dāng)t=300時，時，A方案：方案：y = 25+0.36t=25+0.36300=133（元元）；）；B方案：方案：y = 0.5t=0.5300=150（元元）.所以此時采用所以此時采用A方案比較合算方案比較合算.某移動公司開設(shè)兩種業(yè)務(wù)：環(huán)球通：先繳50元月租，然后每通話1分鐘，再付0.4元神州行：不用繳納月租費，每通話1分鐘，付話費0.6元（1）寫出兩種方式的函數(shù)關(guān)系式）寫出兩種方式的函數(shù)關(guān)系式（2）通話多少分鐘，兩種費用相同）通話

6、多少分鐘，兩種費用相同（3）通話）通話300分鐘，選哪種合算？分鐘，選哪種合算？（4）通話費為）通話費為100元，選擇哪種通話時間長些？元，選擇哪種通話時間長些？甲、乙兩地相距甲、乙兩地相距40 km，小明，小明8:00 點騎自行車點騎自行車由甲地去乙地，平均車速為由甲地去乙地，平均車速為8 km/h；小紅；小紅10:00坐公共汽車也由甲地去乙地，平均車速為坐公共汽車也由甲地去乙地，平均車速為40 km/h.設(shè)小明所用的時間為設(shè)小明所用的時間為x（h），小明與甲地的距離，小明與甲地的距離為為y1（km），小紅離甲地的距離為，小紅離甲地的距離為y2（km）.例例1 舉舉例例（1）分別寫出）分別寫

7、出y1 ，y2與與x之間的函數(shù)表達(dá)式；之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象，）在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象， 并指出誰先到達(dá)乙地并指出誰先到達(dá)乙地.（1）解解 小明所用時間為小明所用時間為x h， 由由“路程路程=速度速度時間時間” 可知可知y1 = 8x， 自變量自變量x 的取值范圍是的取值范圍是0 x5. 由于小紅比小明晚出發(fā)由于小紅比小明晚出發(fā)2 h，因此小紅所用時間，因此小紅所用時間 為為（x - - 2）h. 從而從而 y2 = 40（x - - 2），自變量，自變量x 的取值范圍是的取值范圍是2x3. （1）分別寫出）分別寫出y1 ，y2

8、與與x之間的函數(shù)表達(dá)式；之間的函數(shù)表達(dá)式； 過點過點M（0，40）作射線作射線l 與與x 軸平行，它先與射線軸平行，它先與射線 y2 = 40（x - - 2）相交，這表明小紅先到達(dá)乙地相交，這表明小紅先到達(dá)乙地. （2） 解解 將以上兩個函數(shù)的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，將以上兩個函數(shù)的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中， 如圖如圖4-17所示所示.圖圖4-17（2）在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象，）在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象， 并指出誰先到達(dá)乙地并指出誰先到達(dá)乙地.一輛汽車和一輛摩托車分別從A,B兩地去同一城市,它們離A地的路程隨時間變化的圖象如圖所示.則下列結(jié)論錯誤的

9、是( )A.摩托車比汽車晚到1 hB. A,B兩地的路程為20 kmC.摩托車的速度為45 km/hD.汽車的速度為60 km/h小華的爺爺每天堅持體育鍛煉某天他慢步到離家較遠(yuǎn)的綠島公園，打了一會兒太極拳后跑步回家下面能反映當(dāng)天小華的爺爺離家的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ） B C D如圖2，火車勻速通過隧道（隧道長大于火車長）時，火車進(jìn)入隧道的時間與火車在隧道內(nèi)的長度之間的關(guān)系用圖象描述大致是火車隧道動腦筋動腦筋 國際奧林匹克運動會早期，男子撐桿跳國際奧林匹克運動會早期，男子撐桿跳高的紀(jì)錄近似值如下表所示：高的紀(jì)錄近似值如下表所示：年年 份份190019041908高度高度( (m)

10、 )3.333.533.73 觀察這個表中第二行的數(shù)據(jù)，可以為奧運會觀察這個表中第二行的數(shù)據(jù)，可以為奧運會的撐桿跳高紀(jì)錄與時間的關(guān)系建立函數(shù)模型嗎？的撐桿跳高紀(jì)錄與時間的關(guān)系建立函數(shù)模型嗎？ 用用t表示從表示從1900年起增加的年份，則在奧運會年起增加的年份，則在奧運會早期，男子撐桿跳高的紀(jì)錄早期，男子撐桿跳高的紀(jì)錄y( (m) )與與t的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式可以設(shè)為式可以設(shè)為 y = kt + b. 上表中每一屆比上一屆的紀(jì)錄提高了上表中每一屆比上一屆的紀(jì)錄提高了0.2m，可以，可以試著建立一次函數(shù)的模型試著建立一次函數(shù)的模型.年年 份份190019041908高度高度( (m) )3.33

11、3.533.73解得解得 b = 3.3， k=0.05.公式公式就是奧運會早期男子撐桿跳高紀(jì)錄就是奧運會早期男子撐桿跳高紀(jì)錄y與時間與時間t的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.于是于是 y=0.05t+3.33. 當(dāng)當(dāng)t = 8時，時， y = 3.73，這說明，這說明1908年的撐桿跳高年的撐桿跳高紀(jì)錄也符合公式紀(jì)錄也符合公式. 由于由于t=0（即（即1900年）時，撐桿跳高的紀(jì)錄為年）時，撐桿跳高的紀(jì)錄為3.33m，t=4（即（即1904年）時，紀(jì)錄為年）時，紀(jì)錄為3.53m，因此，因此 b = 3.3，4k + b =3.53. 能夠利用上面得出的能夠利用上面得出的公式公式預(yù)測預(yù)測1912年奧運

12、會年奧運會的男子撐桿跳高紀(jì)錄嗎？的男子撐桿跳高紀(jì)錄嗎？ 實際上，實際上，1912 年奧運會男子撐桿跳高紀(jì)錄約為年奧運會男子撐桿跳高紀(jì)錄約為3.93 m. 這表明用所建立的函數(shù)模型，在已知數(shù)據(jù)鄰近這表明用所建立的函數(shù)模型，在已知數(shù)據(jù)鄰近做預(yù)測，結(jié)果與實際情況比較吻合做預(yù)測，結(jié)果與實際情況比較吻合.y=0.0512+3.33=3.93.y=0.05t+3.33. 能夠利用公式能夠利用公式預(yù)測預(yù)測20世紀(jì)世紀(jì)80年代，譬如年代，譬如1988年奧運會男子撐桿年奧運會男子撐桿跳高紀(jì)錄嗎？跳高紀(jì)錄嗎？ 然而，然而，1988年奧運會的男子撐桿跳高紀(jì)錄是年奧運會的男子撐桿跳高紀(jì)錄是5.90 m， 遠(yuǎn)低于遠(yuǎn)低于

13、7.73 m. 這表明用所建立的函數(shù)模型遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)這表明用所建立的函數(shù)模型遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)做預(yù)測是不可靠的做預(yù)測是不可靠的.y=0.0588+3.33=7.73.y=0.05t+3.33. 請每位同學(xué)伸出一只手掌，把大拇指與小拇指盡量請每位同學(xué)伸出一只手掌，把大拇指與小拇指盡量張開，兩指間的距離稱為指距張開，兩指間的距離稱為指距. 已知指距與身高具有已知指距與身高具有如下關(guān)系：如下關(guān)系：例例2指距指距x（cm）192021身高身高y（cm）151160169（1） 求身高求身高y與指距與指距x之間的函數(shù)表達(dá)式；之間的函數(shù)表達(dá)式；（2） 當(dāng)李華的指距為當(dāng)李華的指距為22cm時，你能預(yù)測他的身高嗎？

14、時，你能預(yù)測他的身高嗎？ 上表上表3組數(shù)據(jù)反映了身高組數(shù)據(jù)反映了身高y與指距與指距x之間的對應(yīng)關(guān)系，之間的對應(yīng)關(guān)系， 觀察這兩個變量之間的變化規(guī)律，當(dāng)指距增加觀察這兩個變量之間的變化規(guī)律，當(dāng)指距增加1cm， 身高就增加身高就增加9cm，可以嘗試建立一次函數(shù)模型，可以嘗試建立一次函數(shù)模型. 解解設(shè)身高設(shè)身高y與指距與指距x之間的函數(shù)表達(dá)式為之間的函數(shù)表達(dá)式為y = kx + b.將將x=19， y=151與與x = 20，y=160代入上式，得代入上式，得 19k + b = 151， 20k + b = 160. （1） 求身高求身高y與指距與指距x之間的函數(shù)表達(dá)式；之間的函數(shù)表達(dá)式；解得解得

15、k = 9， b = - -20.于是于是y = 9x - -20. 將將x = 21，y = 169代入代入式也符合式也符合.公式公式就是身高就是身高y與指距與指距x之間的函數(shù)表達(dá)式之間的函數(shù)表達(dá)式.解解 當(dāng)當(dāng)x = 22時，時， y = 922- -20 = 178. 因此，李華的身高大約是因此，李華的身高大約是178 cm.（2） 當(dāng)李華的指距為當(dāng)李華的指距為22cm時，你能預(yù)測他的身高嗎？時，你能預(yù)測他的身高嗎？ （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定該一次函數(shù)的表達(dá)式；）根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定該一次函數(shù)的表達(dá)式；練習(xí)練習(xí)（2）如果蟋蟀）如果蟋蟀1min叫了叫了63次，那么該地當(dāng)時的氣溫大約次，那么該地當(dāng)時

16、的氣溫大約 為多少攝氏度？為多少攝氏度？ （3）能用所求出的函數(shù)模型來預(yù)測蟋蟀在）能用所求出的函數(shù)模型來預(yù)測蟋蟀在0 時所鳴叫的時所鳴叫的 次數(shù)嗎？次數(shù)嗎？在某地，人們發(fā)現(xiàn)某種蟋蟀在某地，人們發(fā)現(xiàn)某種蟋蟀1min 所叫次數(shù)與所叫次數(shù)與當(dāng)?shù)貧鉁刂g近似為一次函數(shù)關(guān)系當(dāng)?shù)貧鉁刂g近似為一次函數(shù)關(guān)系. 下面是蟋蟀下面是蟋蟀所叫次數(shù)與氣溫變化情況對照表：所叫次數(shù)與氣溫變化情況對照表： 1.蟋蟀叫的次數(shù)蟋蟀叫的次數(shù)8498119溫度（溫度（）151720 解解設(shè)蟋蟀設(shè)蟋蟀1min所叫次數(shù)與氣溫之間的函數(shù)表達(dá)式所叫次數(shù)與氣溫之間的函數(shù)表達(dá)式為為y = kx + b. 將將x=15， y=84與與x = 2

17、0，y=119代入上式，得代入上式，得 15k + b = 84， 20k + b = 119. 解得解得k = 7， b = - -21.于是于是y = 7x - -21. （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定該一次函數(shù)的表達(dá)式；）根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定該一次函數(shù)的表達(dá)式；有有y = 7x - -21=63，解得解得x=12. 當(dāng)當(dāng)y = 63時，時， 解解（2）如果蟋蟀）如果蟋蟀1min叫了叫了63次，那么該地當(dāng)時的氣溫大約次，那么該地當(dāng)時的氣溫大約 為多少攝氏度？為多少攝氏度？ （3） 能用所求出的函數(shù)模型來預(yù)測蟋蟀在能用所求出的函數(shù)模型來預(yù)測蟋蟀在0 時所時所 鳴叫次數(shù)嗎？鳴叫次數(shù)嗎？答：不能，因為此函數(shù)

18、關(guān)系是近似的，與實際答：不能，因為此函數(shù)關(guān)系是近似的，與實際 生活中的情況有所不符，蟋蟀在生活中的情況有所不符，蟋蟀在0 時可能時可能 不會鳴叫不會鳴叫.2. 某商店今年某商店今年7月初銷售純凈水的數(shù)量如下表月初銷售純凈水的數(shù)量如下表所示：所示：日期日期123數(shù)量（瓶）數(shù)量（瓶）160165170（1）你能為銷售純凈水的數(shù)量與時間之間的關(guān)系）你能為銷售純凈水的數(shù)量與時間之間的關(guān)系 建立函數(shù)模型嗎？建立函數(shù)模型嗎？（2）用所求出的函數(shù)解析式預(yù)測今年）用所求出的函數(shù)解析式預(yù)測今年7月月5日該商店日該商店 銷售純凈水的數(shù)量銷售純凈水的數(shù)量. 解解 銷售純凈水的數(shù)量銷售純凈水的數(shù)量y( (瓶瓶) )與

19、時間與時間t的的 函數(shù)關(guān)系式是函數(shù)關(guān)系式是 y= 160+（t- -1）5= 5t+155.日期日期123數(shù)量（瓶）數(shù)量（瓶）160165170（1）你能為銷售純凈水的數(shù)量與時間之間的關(guān)系）你能為銷售純凈水的數(shù)量與時間之間的關(guān)系 建立函數(shù)模型嗎？建立函數(shù)模型嗎？解解 當(dāng)當(dāng)t=5時，時， y= 55+155= 180( (瓶瓶).).（2）用所求出的函數(shù)解析式預(yù)測今年）用所求出的函數(shù)解析式預(yù)測今年7月月5日該商店日該商店 銷售純凈水的數(shù)量銷售純凈水的數(shù)量.動腦筋動腦筋一次函數(shù)一次函數(shù)y = 5 - - x的圖象如圖的圖象如圖4-18所示所示.（1） 方程方程x + y = 5 的解有多少個？的解

20、有多少個？ 寫出其中的幾個寫出其中的幾個.（2） 在直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點，在直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點， 它們在一次函數(shù)它們在一次函數(shù)y = 5 - - x的圖象上嗎？的圖象上嗎？圖圖4-18（3） 在一次函數(shù)在一次函數(shù)y = 5 - - x的圖象上任取一點，它的的圖象上任取一點，它的 坐標(biāo)滿足方程坐標(biāo)滿足方程x + y = 5嗎？嗎？（4） 以方程以方程x + y = 5 的解為坐標(biāo)的所有點組成的的解為坐標(biāo)的所有點組成的 圖象與一次函數(shù)圖象與一次函數(shù)y = 5 - - x的圖象相同嗎？的圖象相同嗎？圖圖4-18 事實上，事實上， 以二元一次方程以二元一次方程x

21、+ y = 5的解為坐標(biāo)的解為坐標(biāo)的點所組成的圖形與一次函數(shù)的點所組成的圖形與一次函數(shù)y = 5 - - x的圖象完全相同的圖象完全相同. 我們知道二元一次方程我們知道二元一次方程x + y = 5的解有無數(shù)組，的解有無數(shù)組，以這些解為坐標(biāo)的點在一次函數(shù)以這些解為坐標(biāo)的點在一次函數(shù)y = 5 - - x的圖象上的圖象上. 將方程將方程x + y = 5化成一次函數(shù)的形式：化成一次函數(shù)的形式：y = 5 - - x ， 易知該一次函數(shù)的圖象上任意一點的坐標(biāo)也滿足易知該一次函數(shù)的圖象上任意一點的坐標(biāo)也滿足方程方程x + y = 5. 一般地，一般地， 一次函數(shù)一次函數(shù)y = kx + b 圖象上任

22、意一點圖象上任意一點的坐標(biāo)都是二元一次方程的坐標(biāo)都是二元一次方程kx- -y + b = 0 的一個解，的一個解，以二元一次方程以二元一次方程kx- - y + b = 0的解為坐標(biāo)的點都在的解為坐標(biāo)的點都在一次函數(shù)一次函數(shù)y = kx + b的圖象上的圖象上.你能找到下面兩個問題之間的聯(lián)系嗎？你能找到下面兩個問題之間的聯(lián)系嗎？（1） 解方程：解方程： 3x - - 6 = 0.（2） 已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y = 3x - - 6，問，問x取何值時，取何值時，y = 0？動腦筋動腦筋 從圖中可以看出，一次函數(shù)從圖中可以看出，一次函數(shù)y = 3x - - 6的圖象與的圖象與x 軸交于點軸交于

23、點（2，0）， 這就是當(dāng)這就是當(dāng)y = 0 時，得時，得x = 2， 而而x = 2正是方程正是方程3x - - 6 = 0的解的解.（1） 方程方程3x - - 6 = 0的解為的解為x = 2.（2） 畫出函數(shù)畫出函數(shù)y = 3x - - 6的圖象（如圖的圖象（如圖4-19），），圖圖4-19 一般地，一次函數(shù)一般地，一次函數(shù)y = kx + b （k0） 的圖象的圖象與與x 軸的交點的橫坐標(biāo)是一元一次方程軸的交點的橫坐標(biāo)是一元一次方程kx + b = 0的解的解.任何一個一元一次方程任何一個一元一次方程kx + b = 0 的解，的解， 就是一次就是一次函數(shù)函數(shù)y = kx + b 的圖

24、象與的圖象與x 軸交點的橫坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo).已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y = 2x + 6， 求這個函數(shù)的圖象求這個函數(shù)的圖象與與x軸交點的橫坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo).舉舉例例例例1（1） 令令y = 0， 解方程解方程2x + 6 = 0， 得得x = - -3. 所以一次函數(shù)所以一次函數(shù)y = 2x + 6的圖象與的圖象與x軸交點軸交點 的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為- -3.解法一解法一直線直線y = 2x + 6與與x 軸交于點軸交于點（- -3，0），所以該圖象與所以該圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)為軸交點的橫坐標(biāo)為- -3.畫出函數(shù)畫出函數(shù)y = 2x + 6的圖象（如圖的圖象（如圖4-20），）， 解法

25、二解法二圖圖4-20 上面這兩種解法分別從上面這兩種解法分別從“數(shù)數(shù)” 與與“形形” 的角的角度出發(fā)來解決問題度出發(fā)來解決問題. 練習(xí)練習(xí)1. 把下列二元一次方程改寫成把下列二元一次方程改寫成y = kx + b的形式的形式.（1） 3x + y = 7； （2） 3x + 4y = 13. 解解 （1） y = - -3x+ 7； （2） y =x.313442. 已知函數(shù)已知函數(shù)y = 3x + 9，自變量滿足什么條件時，自變量滿足什么條件時，y = 0？答：答：x= - -3.3. 利用函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象， 解方程解方程3x - - 9 = 0.- -3O396- -3369xy解解 畫出函數(shù)畫出函數(shù)y = 3x + 9的圖象，如下圖所示，的圖象，如下圖所示，所以方程所以方程3x - -