高中數(shù)學(xué)選修2-2(從導(dǎo)數(shù)到微積分) 311數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念 理科班課件

1、3.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念3.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念第三章第三章數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)+無理數(shù)無理數(shù)實數(shù)實數(shù)NZQR數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念有理數(shù)有理數(shù)=分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)=循環(huán)小數(shù)循環(huán)小數(shù)實數(shù)實數(shù)=小數(shù)小數(shù)數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)在古代人看來，沒有就表示最少了，最少就用在古代人看來，沒有就表示最少了，最少就用“零零”表示，沒有比零更小的數(shù)了，可是負(fù)數(shù)不但表示沒有，表示，沒有比零更小的數(shù)了，可是負(fù)數(shù)不但表示沒有，而且意味著比沒有還要少，這是怎么回事呢？而且意味著

2、比沒有還要少，這是怎么回事呢？ 中國人認(rèn)識負(fù)數(shù)比世界上任何一個國家的民族都要早得中國人認(rèn)識負(fù)數(shù)比世界上任何一個國家的民族都要早得多多. 我國在西漢時代就會用負(fù)數(shù)，當(dāng)時的人用我國在西漢時代就會用負(fù)數(shù)，當(dāng)時的人用紅色紅色算籌表示算籌表示正數(shù)，用正數(shù)，用黑色黑色算籌表示負(fù)數(shù)算籌表示負(fù)數(shù). 系統(tǒng)地論述負(fù)數(shù)，我國也是世界上最早的系統(tǒng)地論述負(fù)數(shù)，我國也是世界上最早的. 在東漢初編在東漢初編成的成的九章算術(shù)九章算術(shù)內(nèi)，就已記載了正、負(fù)數(shù)的相反意義，還內(nèi)，就已記載了正、負(fù)數(shù)的相反意義，還提出了正、負(fù)數(shù)的加減法則提出了正、負(fù)數(shù)的加減法則. “較大數(shù)與較小數(shù)的比可能等于較小數(shù)與較大數(shù)的比嗎較大數(shù)與較小數(shù)的比可能等

3、于較小數(shù)與較大數(shù)的比嗎? 直到直到17世紀(jì)世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家笛卡兒引進坐標(biāo)系后法國數(shù)學(xué)家笛卡兒引進坐標(biāo)系后,負(fù)數(shù)獲得負(fù)數(shù)獲得了幾何解釋了幾何解釋,負(fù)數(shù)在方程中去得了合理地位負(fù)數(shù)在方程中去得了合理地位.數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念無理數(shù)無理數(shù) 公元前公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的學(xué)派的弟弟(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的對角線發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的與其一邊的長度是不可公度的.這一不可公度性與畢氏學(xué)派這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù)指有理數(shù))的哲

4、理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。舟身亡的懲處。 畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙孔隙”。而這

5、種而這種“孔隙孔隙”經(jīng)后人證明簡直多得經(jīng)后人證明簡直多得“不可勝數(shù)不可勝數(shù)”。于是，。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機.數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念無理數(shù)無理數(shù) 15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)世紀(jì)意大利著名畫家達(dá).芬奇稱之為芬奇稱之為“無理的無理的數(shù)數(shù)”，17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀不可名狀”的數(shù)。的數(shù)。 然而，真理畢竟

6、是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是理才是“無理無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理無理數(shù)數(shù)”這便是這便是“無理數(shù)無理數(shù)”的由來。的由來。 數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念請分別在我們學(xué)過的整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集中解下列方程。153) 1x4)22x2)32x1)42x 4343無解2222無解無解無解無解無解數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念對于一元二次方程對于一元二次方程 沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根012 x12 x12

7、ii數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 （1）； （2） i 數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 形如形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)的數(shù)叫做復(fù)數(shù). 全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做，一般用字母一般用字母 表示表示 .不是實數(shù)。所以，時，因當(dāng)bibibbib0)(02222數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 “復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)”、“虛數(shù)虛數(shù)”這兩個名詞，都是人們在解方程時引入的。為了用公這兩個名詞，都是人們在解方程時引入的。為了用公式求一元二次、三次方程的根，就會遇到求負(fù)數(shù)的平方根的問題。式求一元二次、三次方程的根，就會遇到求負(fù)數(shù)的平方根的問題。1545年，年，意

8、大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（意大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（Girolamo Cardano,1501年年1576年）在年）在大術(shù)大術(shù)一一書中，書中，首先研究了虛數(shù)首先研究了虛數(shù)，并進行了一些計算。，并進行了一些計算。1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦別利年，意大利數(shù)學(xué)家邦別利（Rafacl Bombclli,1525年年1650年）正式使用年）正式使用“實數(shù)實數(shù)”“”“虛數(shù)虛數(shù)”這兩個名這兩個名詞。此后，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（詞。此后，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Gottfried Wilbclm Lcibniz,1646年年1716年）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（年）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler,1707年年1783年）

9、和法國數(shù)學(xué)家棣年）和法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（莫佛（Abrabam de Moivre,1667年年1754年）等又研究了虛數(shù)與對數(shù)函數(shù)、年）等又研究了虛數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等之間的關(guān)系，除解方程以外，還把它用于微積分等方面，得出很三角函數(shù)等之間的關(guān)系，除解方程以外，還把它用于微積分等方面，得出很多有價值的結(jié)果，使某些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單而易于處理。大約在多有價值的結(jié)果，使某些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單而易于處理。大約在1777年，年，歐拉第一次用歐拉第一次用i來表示來表示-1的平方根的平方根，1832年，德國數(shù)學(xué)家年，德國數(shù)學(xué)家高斯高斯（Carl Fricdrich Gauss,1777年年

10、1855年）年）第一次引入復(fù)數(shù)概念第一次引入復(fù)數(shù)概念，一個復(fù)數(shù)可以用，一個復(fù)數(shù)可以用abi來表示，其中來表示，其中a，b是實數(shù)，是實數(shù)，i代表虛數(shù)單位，這樣就把虛數(shù)與實數(shù)統(tǒng)一起代表虛數(shù)單位，這樣就把虛數(shù)與實數(shù)統(tǒng)一起來了。高斯還把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)起來，給出了復(fù)數(shù)的一種幾何來了。高斯還把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)起來，給出了復(fù)數(shù)的一種幾何解釋。不久，人們又將復(fù)數(shù)與平面向量聯(lián)系起來，并使其在電工學(xué)、流體力解釋。不久，人們又將復(fù)數(shù)與平面向量聯(lián)系起來，并使其在電工學(xué)、流體力學(xué)、振動理論、機翼理論中得到廣泛的實際應(yīng)用，然后，又建立了以復(fù)數(shù)為學(xué)、振動理論、機翼理論中得到廣泛的實際應(yīng)用，然后，又建立

11、了以復(fù)數(shù)為變數(shù)的變數(shù)的“復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)”的理論，這是一個嶄新而強有力的數(shù)學(xué)分支，所以我們的理論，這是一個嶄新而強有力的數(shù)學(xué)分支，所以我們應(yīng)該深刻認(rèn)識到了應(yīng)該深刻認(rèn)識到了“虛數(shù)不虛虛數(shù)不虛”的道理。的道理。 通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位。i20,2,3 ,2iiii123說出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部練一練CR ( ,)zabia bR復(fù)數(shù)2.2.復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)的分類：00 ba，非純虛數(shù)00 ba，純虛數(shù) 0b虛數(shù) 0b實數(shù)虛數(shù)集虛數(shù)集復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集實數(shù)集實數(shù)集純虛數(shù)集純虛數(shù)集 3. 3.規(guī)定：規(guī)定：,Rdcba 若dicbi

12、a dbca注：注：1)000abiab且2) 一般來說，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相一般來說，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小了等，而不能比較大小了.1.1.說明下列數(shù)中，那些是說明下列數(shù)中，那些是實數(shù)實數(shù)，哪些是，哪些是虛數(shù)虛數(shù)，哪些是哪些是純虛數(shù)純虛數(shù)，并指出復(fù)數(shù)的實部與虛部，并指出復(fù)數(shù)的實部與虛部. .,72,618. 0,72i,293i13 ,i,2i0 058i數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念immz)1(1 解解: （1）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時，復(fù)數(shù)時，復(fù)數(shù)z 是實數(shù)是實數(shù)01 m1 m（2）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時，復(fù)數(shù)時，復(fù)數(shù)z 是虛數(shù)是虛數(shù)01 m1 m（3）當(dāng)當(dāng) 0101mm即即 時，復(fù)數(shù)時，復(fù)數(shù)z 是是純虛數(shù)純虛數(shù)1 m練習(xí)練習(xí): :當(dāng)當(dāng)m m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)為何實數(shù)時，復(fù)數(shù) 是是 （1 1）實數(shù)）實數(shù) （2 2）虛數(shù)）虛數(shù) （3 3）純虛數(shù)）純虛數(shù)immmZ) 1(222 數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念iyyix)3()12( Ryx ,. yx與與 )3(112yyx解得解得4,25 yx,Rdcba 若dicbia dbca 3. 3.規(guī)定：規(guī)定：數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 ,Rdcba 若dicbia dbcai iyixyx4222 數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)