數(shù)學分析知識點總結PPT學習教案

1、會計學1數(shù)學分析知識點總結數(shù)學分析知識點總結求出求出及特殊的點集及特殊的點集取特殊的分割取特殊的分割, )1(iT iiiTbaxfdxxf)(lim )(0| 取左端點或右端點。取左端點或右端點。等分，等分，通常對通常對inba ,（2） 利用牛頓利用牛頓-萊布尼茲公式。萊布尼茲公式。babaxFaFbFdxxf| )()()()(2 2、定積分的計算、定積分的計算在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方法求出其值：法求出其值：第1頁/共63頁3 3、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義面積的代數(shù)和。面積的代數(shù)和。4 4、定積分的性質、定積分的性質線性、

2、線性、 關于積分區(qū)間的可加性、關于積分區(qū)間的可加性、估值不等式、估值不等式、積分第一、第二中值定理。積分第一、第二中值定理。5 5、定積分與不定積分的聯(lián)系、定積分與不定積分的聯(lián)系（1 1）變上限積分的導數(shù)公式；）變上限積分的導數(shù)公式；保號性、保號性、),()(xfdttfdxdxa )()()()(xaxafxbxbf )()()(xbxadttfdxd第2頁/共63頁（2 2）牛）牛- -萊公式。萊公式。（3 3）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。函數(shù)的函數(shù)不一定可積。因為因為“含有含有第一類間斷點第一類間斷點的函數(shù)的函數(shù)”都沒有原函數(shù)，都沒有原

3、函數(shù)，而而“含有有限個含有有限個第一類間斷點第一類間斷點的函數(shù)的函數(shù)”都可積。都可積。所以可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。 0 , 01 , 10 ,1sin)(22xxxxxxf且且 0 , 01 , 10 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且且第3頁/共63頁無界，從而不可積，無界，從而不可積，在在11)( xf),(11)(xfxf的原函數(shù)是的原函數(shù)是，在在但但 即說明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。第4頁/共63頁6 6、可積條件、可積條件必要條件必要條件 若函數(shù)若函數(shù)f在在a,b上可積，則上可積，則f在在a,b上必定有界上必定有界。 充要條件（充要條件（1） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積

4、當且僅當可積當且僅當： ，使，使分割分割T , 0 . Tiix, 0T分分割割、 使得屬于使得屬于T的所有小區(qū)間中的所有小區(qū)間中， 充要條件（充要條件（2） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積當且僅當可積當且僅當： 對應于振幅對應于振幅 的那些小區(qū)間的那些小區(qū)間 的總長的總長. kkx kk 第5頁/共63頁7 7、可積函數(shù)類、可積函數(shù)類1、在、在a,b上連續(xù)的函數(shù)在上連續(xù)的函數(shù)在a,b可積?？煞e。2、在、在a,b上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在 a,b上可積。上可積。 3、在、在 a,b上單調的有界函數(shù)在上單調的有界函數(shù)在a,b上可積。上可積。 （允許有無限多個間斷點）（

5、允許有無限多個間斷點） 但并非可積函數(shù)只有這但并非可積函數(shù)只有這3類。如：黎曼函數(shù)類。如：黎曼函數(shù)不屬于這不屬于這3類的任何一類，但它是可積的。類的任何一類，但它是可積的。 在在a,b上函數(shù)的間斷點形成收斂的數(shù)列，上函數(shù)的間斷點形成收斂的數(shù)列，則函數(shù)在則函數(shù)在a,b可積?？煞e。第6頁/共63頁8 8、利用不定積分計算定積、利用不定積分計算定積分分（1 1）線性；）線性；恒等變形；恒等變形； 換元；換元； 分部積分；分部積分；一些特殊類型函數(shù)的積分。一些特殊類型函數(shù)的積分。（2 2）與不定積分法的差別）與不定積分法的差別 （3 3）利用對稱性、周期性及幾何意義。）利用對稱性、周期性及幾何意義。牛

6、牛- -萊公式萊公式 積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 開偶次方時，要帶絕對值。開偶次方時，要帶絕對值。第7頁/共63頁9 9、雜記、雜記（1）定積分可用于計算某類特殊數(shù)列的極限。）定積分可用于計算某類特殊數(shù)列的極限。（2） 對對D(x)和和R(x) 的可積問題多一些關注。的可積問題多一些關注。第8頁/共63頁1 1、微元法的理論依據(jù)、微元法的理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定積積分分的的微微分分的的分分就就是是這這表表明明連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的定定積積于于是是即即的的一一個個原原函函數(shù)

7、數(shù)是是則則它它的的變變上上限限積積分分上上連連續(xù)續(xù)在在設設UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第第10章章第9頁/共63頁2 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法計算積分或原函數(shù)的計算積分或原函數(shù)的這種取微元這種取微元積分積分的無限積累的無限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據(jù)由理論依據(jù)dxxfdxxfUbadxxfdUAba 第10頁/共63頁（1）U是是與與一一個個變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關關的的量量；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就

8、可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達達這這個個量量U.3 3、所求量的特點、所求量的特點第11頁/共63頁；）的的變變化化區(qū)區(qū)間間的的相相關關量量（記記為為確確定定）, 1baxU 2表表達達式式微微元元的的建建立立）U設想把區(qū)間設想把區(qū)間,ba分成分成n個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為并記為,dxxx ，求出相應于這小區(qū)間的部分量，求出相應于這小區(qū)間的部分量U 的近似值的近似值.如果如果U 能近似地表示為能近似地表示為,ba上的一個上的一個連續(xù)函數(shù)在連續(xù)函數(shù)在x處的值處的值)(xf與與dx的乘積，的乘積， ，即即dxxfxdUdU )()( ,C)(baxf

9、其其中中，即即)()( xoxxfU ）。（此此時時，以靜代動以簡代繁、以直代曲、。則則 badxxfU)( 4 4、解題步驟、解題步驟第12頁/共63頁是是非非常常困困難難的的。通通常常要要驗驗證證)()( xoxxfU 一一般般來來說說不不是是唯唯一一的的。中中的的且且)()()( xfxoxxfU 也也不不是是唯唯一一的的。中中的的所所以以)( )( xfdxxfUba 第13頁/共63頁平面圖形的面積平面圖形的面積直角坐標直角坐標參數(shù)方程參數(shù)方程極坐標極坐標弧微分弧微分弧長弧長旋轉體體積旋轉體體積旋轉體側面積旋轉體側面積?第14頁/共63頁5 5、定積分應用的常用公式、定積分應用的常用

10、公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA| )(|xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標情形直角坐標情形abab上曲線減下曲線對上曲線減下曲線對x積分。積分。第15頁/共63頁yxOcdAx=f(y)（圖（圖5）x=g(y) dcdyygyfA)()(右曲線減左曲線對右曲線減左曲線對y積分。積分。一般解題步驟：一般解題步驟：（1）畫草圖，定結構；）畫草圖，定結構；（2）解必要的交點，定積分限；）解必要的交點，定積分限；（3）選擇適當公式，求出面積（定積分）。）選擇適當公式，求出面積（定積分）。注意：答案永遠為正。注意：答案永

11、遠為正。第16頁/共63頁如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應應曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)第17頁/共63頁 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標情形極坐標情形第18頁/共63頁(2) 體積體積xdxx xyodxxfVbax2)( dyyVdcy2)( xyo)(y

12、x cddxxxfVbay)(2 dyyyVdcx)(2 第19頁/共63頁xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立體體的的體體積積為為：繞繞極極軸軸旋旋轉轉由由)( rr ） ） 第20頁/共63頁(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為22dydxds 第21

13、頁/共63頁C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長弧長 drrs )()(22(4) 旋轉體的側面積旋轉體的側面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側側ydsdS 2 第22頁/共63頁(5) 變力所作的功變力所作的功)(xFoabxdxx x babadxxFdWW)(6) 液體壓力液體壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 第23頁/共63頁(7) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(8) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值

14、 badxxfaby)(1第24頁/共63頁一、兩類反常積分的概念一、兩類反常積分的概念 adxxf)( uaudxxf)(lim badxxf)( buaudxxf)(lim badxxf )(lim0 dxxf)( adxxf)( adxxf)(當當 adxxf)(和和 adxxf)(都都收收斂斂時時， a為任意常數(shù)為任意常數(shù),就就稱稱 dxxf)(收收斂斂； 第25頁/共63頁如果如果a,b都是瑕點都是瑕點，則定義，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(， c為為(a,b)內任一實數(shù)。內任一實數(shù)。當且僅當右端兩個積分都收斂時，才稱左端瑕積分收斂。當且僅當右端兩個積分

15、都收斂時，才稱左端瑕積分收斂。二、二、計算方法計算方法求正常積分求正常積分+求極限；求極限；)0( axdxap 時，發(fā)散時，發(fā)散當當時，收斂；時，收斂；當當11pp bapaxdx)( 時，發(fā)散時，發(fā)散當當時，收斂；時，收斂；當當110pp第26頁/共63頁三、兩類反常積分的判斂方法三、兩類反常積分的判斂方法1、Cauchy準則準則 收收斂斂 )(adxxf有有, 021GuuaG .)(21 uudxxf有有),(, 0, 021 aauu.)(21 uudxxf 是是瑕瑕點點）收收斂斂（adxxfba )(第27頁/共63頁2、比較法則、比較法則 baadxxfdxxf的的斂斂散散性性，

16、和和用用于于判判別別| )(| )(|通常取通常取p-積分為比較對象，且常用極限形式。積分為比較對象，且常用極限形式。3、Dirichelet判別法和判別法和Abel判別法判別法 用于判別兩個函數(shù)相乘時的反常積分的斂散性用于判別兩個函數(shù)相乘時的反常積分的斂散性。:)0(cos sin adxxxdxxxapap的斂散性的斂散性和和時，發(fā)散。時，發(fā)散。時，條件收斂；時，條件收斂；時，絕對收斂；時，絕對收斂；0101 ppp第28頁/共63頁四、絕對收斂與條件收斂四、絕對收斂與條件收斂定積分：定積分：可積，可積，在在可積可積在在,|,bafbaf無窮積分：無窮積分：. )( | )(|收收斂斂收收

17、斂斂 aadxxfdxxf瑕積分：瑕積分：. )( | )(|收斂收斂收斂收斂 babadxxfdxxf可可積積，在在可可積積在在,|,2bafbaf. )( | )(|2收斂收斂收斂收斂 aadxxfdxxf. | )(| )(2收斂收斂收斂收斂 babadxxfdxxf. )( )(2收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf第29頁/共63頁 數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)交錯級數(shù)一般項級數(shù)一般項級數(shù)第30頁/共63頁 nnnuuuuu3211nns lim存在存在. . niinnuuuus121收斂收斂 1nnu有有, 0, 0 pNmN .|21 pmmmuuu收斂收斂正項級

18、數(shù)正項級數(shù) 1nnu有有界界。ns 第31頁/共63頁 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂于收斂于時時當當,11,1 0qqaqaqnn 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,1 11ppnnp 時，發(fā)散時，發(fā)散當當條件收斂條件收斂時時當當絕對收斂絕對收斂時時當當0,10,1 1)1(1pppnnpn第32頁/共63頁 11cos , sinnpnpnnxnnx時，絕對收斂；時，絕對收斂；當當1 p,0時，發(fā)散時，發(fā)散 p.,10條條件件收收斂斂時時，收收斂斂當當 p相同。相同。斂散性與斂散性與dxnnxp 1sin第33頁/共63頁收斂級數(shù)的基本性質：收斂級數(shù)的基本性質：. 0lim . 11 nnnnu

19、u 收收斂斂.0lim 1發(fā)發(fā)散散 nnnnuu,)(, . 2 dcsdvcuvsunnnn 3. 級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限項無關，但收斂的級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限項無關，但收斂的和一般會有影響。和一般會有影響。4 . 收斂級數(shù)加括號后仍收斂，且和不變（即有結收斂級數(shù)加括號后仍收斂，且和不變（即有結合律）；合律）；5. 絕對收斂級數(shù)的任意重排級數(shù)仍絕對收斂，且絕對收斂級數(shù)的任意重排級數(shù)仍絕對收斂，且和不變（即有交換律）。和不變（即有交換律）。6.6. 收斂收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的的和必為發(fā)散級數(shù)。和必為發(fā)散級數(shù)。第34頁/共63頁正項級數(shù)審斂法正項級數(shù)審斂法1、比較法（、比較法（u

20、n為有理表達式時）；為有理表達式時）；2、比式法（、比式法（un含含n!時）；時）；3、根式法（、根式法（un含含n次方時）；次方時）；4、積分法、積分法 ( ）；斂散性易判別時斂散性易判別時當當 adxxf)(5、拉貝法（、拉貝法（ ）；）；時時當當1lim1 nnnuu第35頁/共63頁 )1()1(111nnnnnnuu 或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數(shù)收斂級數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對值的絕對值1 nnur. . )

21、0( nu其中其中交錯級數(shù)審斂法交錯級數(shù)審斂法這是這是Dirichelet判別法的特殊情形。判別法的特殊情形。第36頁/共63頁一般項級數(shù)審斂法一般項級數(shù)審斂法1、Abel判別法，判別法，2、Dirichelet判別法。判別法。斂。斂。則，再考慮是否條件收則，再考慮是否條件收收斂則為絕對收斂，否收斂則為絕對收斂，否斂），斂），的斂散性（正項級數(shù)判的斂散性（正項級數(shù)判一般先考慮一般先考慮 | nu 用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級數(shù)一定發(fā)散。數(shù)一定發(fā)散。第37頁/共63頁, , . 2BvAunn絕絕對對收收斂斂于于絕絕對對收收斂斂于于若若 則它們的乘積按

22、任意順序所得的級數(shù)也絕對則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對收斂于收斂于AB. . 111svsunnnn也也絕絕對對收收斂斂于于，則則其其重重排排級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂于于設設 絕對收斂級數(shù)的性質絕對收斂級數(shù)的性質 條件收斂的級數(shù)，可以適當重排，使其按任意預條件收斂的級數(shù)，可以適當重排，使其按任意預定的方式收斂定的方式收斂或或發(fā)散。發(fā)散。第38頁/共63頁第第13章章,| )()(|, 0 )1( xfxfIxNnNn都都有有若若等價于下列等價于下列3條之條之一：一：. 0| )()(|suplim )3( xfxfnIxn好用！好用！.| )()(|, 0 )2( xfxfIxNnmN

23、mn都都有有一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn典型例題典型例題：)( )(xfxfnI第39頁/共63頁)( )(xfxfnI的常用判定法：的常用判定法：. 0| )()(|suplim )1( xfxfnIxn,| )()(|, 0 )2(000000 xfxfIxNnNn有有上上不不連連續(xù)續(xù)。在在上上連連續(xù)續(xù)，但但在在IxfIxfnn)()(, )3( 第40頁/共63頁).()(1xsxukk一致收斂于一致收斂于 ,),( )( )1(Dxx sxsn 有有, 0, 0 )2(DxpNmN .| )()()(|21 xuxuxup

24、mmm. 0| )()(|suplim )3( xsxsnDxn等價于下列等價于下列3條之條之一一：典型例題典型例題：一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn第41頁/共63頁一致收斂的判別法：一致收斂的判別法： 1)(kkxu（1）優(yōu)級數(shù)判別法）優(yōu)級數(shù)判別法（2）Abel判別法判別法（3）Dirichelet判別法判別法第42頁/共63頁)()(1xsxukk不一致收斂于不一致收斂于 的常用判定法：的常用判定法：, 0 )( 1xun）（D, )( )( 2xsxsn）（D上上不不連連續(xù)續(xù)。在在上上連連續(xù)續(xù)，但但在在IxsIxunn)( )

25、(, )3( 第43頁/共63頁一致收斂函數(shù)列的性質：一致收斂函數(shù)列的性質：)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 則則（1）上上也也連連續(xù)續(xù)，且且也也在在則則其其極極限限函函數(shù)數(shù)Ixf)( （2）連續(xù)，連續(xù)，在在且且Ixfnn)(, )( )(xfxfnI)( )(xfxfnI（3）.)(lim)(limdxxfdxxfnbannnba 收斂，收斂，在在0)(xxfn連續(xù)，且連續(xù)，且在在Ixfnn)(, 上上一一致致收收斂斂，則則在在Ixfn)( (lim( )lim( ).nnnnfxfx第44頁/共63頁一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質則則上一致收

26、斂上一致收斂在在,)(1Dxunn (1)(2), 0 )(xunD,)(1一致收斂一致收斂在在baxunn 連續(xù)，連續(xù)，在在且且,)(,baxunn 且且連連續(xù)續(xù)在在則則,)()(1baxuxsnn .)()( babanndxxudxxu（3）收斂，收斂，在在0 )(xxun 連續(xù)，且連續(xù)，且在在 )(,Ixunn 上上一一致致收收斂斂，則則在在Ixun )( ( )( ).nnfxfx第45頁/共63頁一、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域一、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級級數(shù)數(shù). ,00時時當當 xnnnxa 0定理定理

27、1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 說明冪級數(shù)存在收斂半徑。說明冪級數(shù)存在收斂半徑。收斂半徑的求法：收斂半徑的求法： （1）根式法）根式法，（2）比式法）比式法，第46頁/共63頁定理定理 2 2 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na,設設 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當當0 時時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;這個方法不適合求缺項級數(shù)的收斂半徑。這個方法不適合求缺項級數(shù)的收斂半徑。 冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點的收斂情況，轉化成數(shù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點的收斂情況，轉化成數(shù)項級數(shù)的判斂問題。項級數(shù)的判斂問題

28、。第47頁/共63頁二、冪級數(shù)的性質二、冪級數(shù)的性質（1）在收斂區(qū)間內閉一致收斂，）在收斂區(qū)間內閉一致收斂，（2）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，（3）在收斂區(qū)間可以逐項求導、逐項求積）在收斂區(qū)間可以逐項求導、逐項求積，且所得冪級數(shù)收斂半徑不變。，且所得冪級數(shù)收斂半徑不變。第48頁/共63頁三、冪級數(shù)的求和三、冪級數(shù)的求和通常采用逐項求導、逐項求積，并利用一些已通常采用逐項求導、逐項求積，并利用一些已知級數(shù)的和函數(shù)。知級數(shù)的和函數(shù)。. 1| ,11 0 xxxnn常常用用注意這個級數(shù)的各種變異。注意這個級數(shù)的各種變異。第49頁/共63頁;11)1(0 xxnn ;11)1()4(

29、202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;11)()2(0 xxnn . 1| x第50頁/共63頁四、函數(shù)展開成冪級數(shù)四、函數(shù)展開成冪級數(shù) 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導, ,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). . 如果如果f(x) 能展成冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)是唯一的能展成冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)是唯一的，就是，就是f(x)的泰勒級數(shù)。的泰勒級數(shù)。 0)(lim xRnn. . 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導, ,則則 f( (x) )nnnxxnxf)(!)(000)

30、( . . f( (x) )= =nnnxxnxf)(!)(000)( 第51頁/共63頁1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:不不能能展展成成冪冪級級數(shù)數(shù)；不不存存在在，說說明明，若若求求)()(!)()1(0)(0)(xfxfnxfaknn ).()(0)(limxfIxfxRn內內收收斂斂于于區(qū)區(qū)間間的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則若若 ,0)(lim(2)IxRnn的的范范圍圍考考察察 2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分

31、逐項積分等方等方法法,求展開式求展開式.第52頁/共63頁記住幾個特殊函數(shù)的展開式：記住幾個特殊函數(shù)的展開式：),1ln( ,11 ,11 ,cos ,sin ,xxxxxex 注意收斂范圍。注意收斂范圍。第53頁/共63頁本章討論了下面三類問題：本章討論了下面三類問題：1、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。2、冪級數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質。、冪級數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質。3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件及方法。、函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件及方法。第54頁/共63頁請同學體會求冪級數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐請同學體會求冪級數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐項求積

32、時，收斂域可能擴大，只要冪級數(shù)在端點項求積時，收斂域可能擴大，只要冪級數(shù)在端點收斂，而和函數(shù)在相應點有定義，那么和函數(shù)成收斂，而和函數(shù)在相應點有定義，那么和函數(shù)成立的區(qū)間就可以包含這個端點。（立的區(qū)間就可以包含這個端點。（這是的結果這是的結果）逐項求導時，一般收斂域會減少。逐項求導時，一般收斂域會減少。如如,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 第55頁/共63頁第十五章第十五章傅里葉級數(shù)的理論基礎：傅里葉級數(shù)的理論基礎：,sin,cos

33、,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性（1）它們的最小公共周期為）它們的最小公共周期為,2 （2）任何兩個不同的函數(shù)相乘在）任何兩個不同的函數(shù)相乘在 上積上積分為分為0，, （3）任何一個函數(shù)的平方在）任何一個函數(shù)的平方在 上積分不上積分不為為0，, 第56頁/共63頁本章重點研究函數(shù)展成三角級數(shù)的方法。本章重點研究函數(shù)展成三角級數(shù)的方法。 如果如果f(x)能展成一致收斂的三角級數(shù)，則這個三角能展成一致收斂的三角級數(shù)，則這個三角級數(shù)必是級數(shù)必是f(x) 的傅里葉級數(shù)。的傅里葉級數(shù)。 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnx